trigonometria e numeros complexos av final discursiva e objetiva

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1. Para evitar a contaminação da água pela fossa, deve-se construí-la distante, no mínimo, 20 m do poço de água. 
Analisando o esquema de construção de um poço de água e de uma fossa em uma casa campestre, e tendo as 
medidas b = 12 m, c = 18 m e  = 80°, é possível que a água do poço, nesse caso, pode ser contaminada pela 
fossa? Demonstre este resultado representando os cálculos envolvidos. 
(arredonde o resultado para os centésimos) 
(utilize: sen 80º = 0,985, cos 80º = 0,174 ou tg 80º = 5,671) 
 
Resposta Esperada: 
Para esta situação, temos que utilizar o conceito de Lei do Cosseno. 
Sendo assim: 
a² = b² + c² - 2.b.c.cos(Â) 
a² = 12² + 18² - 2.12.18.cos(80°) 
a² = 144 +324 - 75,168 
a² = 392,832 
a = 19,82 m 
Logo, há a possibilidade de contaminação pela fossa. 
 
2
. 
Os números complexos são fundamentais na Engenharia Elétrica devido às aplicações e às contribuições a seguir: 
A primeira aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos parece ter sido realizada pelo cientista 
alemão Hermann von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos 
de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz 
(1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo 
Impedância (inventado por Heaviside), assim como os números complexos para os elementos dos circuitos elétricos 
CA, o que foi seguido por Steinmetz. 
 
Dados os números complexos z=1 - 2i e w = - 3+i, calcule: 
 
a) z . w 
 
b) z/w 
 
c) z² 
 
FONTE: Disponível em: 
<http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=130%3Aaplicacoesee&catid=38
%3Aconteudosfvc&Itemid=11>. Acesso em: 30 jun. 2015. 
Resposta Esperada: 
Resposta: 
 
 
 
1. Em geometria, quadrante é qualquer das quatro partes iguais em que se pode dividir uma circunferência com uma 
reta horizontal e outra vertical. Para os ângulos a seguir, determine a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
895°; 760°; 664° e 2561° 
 a) 1º, 3º, 4º e 3º quadrante. 
 b) 1º, 1º, 2º e 3º quadrante. 
 c) 2º, 3º, e 1º quadrante. 
 d) 2º, 1º, 4º e 1º quadrante. 
 
2. Entre as contribuições da Trigonometria para a matemática, podemos destacar vários ramos, tanto na matemática 
pura quanto na matemática aplicada, e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria, para a prática 
docente, é comumente ensinada no Ensino Médio. Sabendo que cos x = 1/5 e que x pertence ao Primeiro 
Quadrante, encontre o valor de sen 2x e, de acordo com as opções a seguir, assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
Anexos: 
Formulário - Trigonometria e Números Complexos (Paulo) 
 
3. A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gono (ângulos) e metron (medida); 
significando assim "medida dos triângulos". Com relação às funções trigonométricas, temos a seguir alguns 
gráficos expressando a função seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente. Se quiséssemos 
apenas os gráficos de cotangente, cosseno e secante respectivamente, assinale a alternativa que apresenta a 
sequência CORRETA: 
 
 a) I - II - V. 
 b) I - VI - IV. 
 c) III - II - V. 
 d) III - VI - IV. 
 
4. Os números complexos surgem para ampliar o conjunto dos números reais, dando assim a possibilidade de 
respostas para algumas equações. No entanto, para trabalhar com estes números, é necessário que suas 
definições sejam bem absorvidas para um entendimento completo sobre o assunto. Com base no exposto, analise 
as sentenças a seguir: 
 
I- O produto de dois números complexos conjugados é um número real. 
II- O módulo de um número complexo é um número real não negativo. 
III- O argumento de qualquer número complexo da forma bi vale pi/2. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) As sentenças I e II estão corretas. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) As sentenças II e III estão corretas. 
 
5. Dentro do Conjunto dos Complexos, assim como outros conjuntos, existe a possibilidade de realizar as operações 
de adição e multiplicação, entre outras. Obviamente, as propriedades operatórias devem respeitar os ciclos 
existentes nos valores de i. Baseado nisto, sendo i a unidade imaginária e efetuando-se a multiplicação (5+i) (2-i), 
obtemos como produto: 
 a) 8+3i. 
 b) 8+2i. 
 c) 11-3i. 
 d) 11+3i. 
Anexos: 
Formulário - Trigonometria e Números Complexos (Paulo) 
 
6. Chamamos de trapézio o quadrilátero que possui bases paralelas. O trapézio pode ser classificado como 
isósceles, escaleno ou retângulo. Considere um trapézio retângulo cuja base maior mede o dobro da menor. 
Sabendo que a soma dos comprimentos das bases deste trapézio é de 30 m e que seu ângulo agudo mede 30°, 
qual a sua altura? 
 a) É de 2,89 m. 
 b) É de 5,77 m. 
 c) É de 2,31 m. 
 d) É de 1,15 m. 
Anexos: 
Formulário - Trigonometria e Números Complexos (Paulo) 
 
7. Os triângulos podem ser classificados pelo tamanho de seus lados ou pela medida de seus ângulos. Dado que 
um triângulo equilátero possui 12 cm de perímetro, assinale a alternativa CORRETA que apresenta, 
respectivamente, a medida da sua altura e de sua área: 
 
 a) II e IV. 
 b) I e IV. 
 c) I e III. 
 d) II e III. 
 
8. A possibilidade de representar um número complexo em formas diferentes, onde cada caso possibilita ao 
observador extrair dados relevantes. Observe o número complexo a seguir, que se apresenta na forma polar. 
Após, analise cada uma das sentenças, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale 
a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - F - V. 
 b) F - V - V - F. 
 c) V - F - F - F. 
 d) V - F - V - F. 
 
9. O cálculo de potências de números reais com expoente natural é realizado através de uma multiplicação em que 
todos os fatores são iguais à base e em quantidade igual ao expoente natural. Para os números complexos, o 
processo é basicamente o mesmo, porém devemos tomar certos cuidados operacionais. Baseado nisto, sendo z 
= 1+i, onde i é a unidade imaginária, assinale a alternativa CORRETA que calcula o número complexo a seguir: 
 
 a) É igual a 32i. 
 b) É igual a 16i. 
 c) É igual a 16. 
 d) É igual a 32. 
Anexos: 
Formulário - Trigonometria e Números Complexos (Paulo) 
 
10. As funções trigonométricas, por apresentarem características de periodicidade e por serem cíclicas, muitas vezes 
podem apresentar o mesmo valor para dois arcos diferentes. Analisando isto, imagine dois ângulos distintos, 
menores que 360°, que possuem para seno o mesmo valor positivo. Assinale a alternativa CORRETA que 
representa a soma desses ângulos: 
 a) É igual a 180°. 
 b) É igual a 45°. 
 c) É igual a 90°. 
 d) É igual a 270°.