Unidade IX – Rotação de Corpos Rígidos slide

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

9.1 – Quantidades Angular e Linear
9.2 – Energia de Cinética de Rotação
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
9.4 – Torque
9.5 – Relação entre torque e aceleração angular
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
Unidade IX – Rotação de Corpos Rígidos
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
 Para situações em que a deformação de um objeto devido à rotação pode ser negligenciada, considera-se o objeto rígido, isto é, não deformável. Com efeito, a separação entre todos os pares de partículas do objeto e a velocidade angular permanecem inalterados.
9.1 – Quantidades Linear e Angular
Fig. 9.1 – Objeto rígido girando em torno do eixo z que passa pelo ponto O. 
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.1 – Quantidades Linear e Angular
 O espaço angular θ (rad) é definido como o quociente entre o espaço linear S e o raio r da trajetória.
Fig. 9.2 – Um ponto P em um objeto rígido girando, com velocidade linear v, em torno do eixo z que passa pelo ponto O. 
 A velocidade angular ω (rad/s) é definido como o quociente entre a velocidade linear v e o raio r do trajeto.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.1 – Quantidades Linear e Angular
Fig. 9.3 – A direção da velocidade angular de um objeto é ortogonal ao plano de giro e seu sentido é dado pela regra da mão direita envolvida. 
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.1 – Quantidades Linear e Angular
 A aceleração angular α (rad/s2) é definida como o quociente entre a aceleração linear tangencial at e o raio.
Fig. 9.4 – Um ponto P em um objeto rígido submetido às acelerações centrípeta ar e tangencial at.
 Aceleração centrípeta ar:
 Aceleração resultante a:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
Fig. 9.5 – Um objeto rígido girando em torno do eixo z com velocidade angular constante ω.
 Seja vi a velocidade linear da i-ésima (massa mi) que forma o objeto rígido da Fig. 9.5, então a energia cinética dessa partícula é dada por:
 A energia total do objeto é dada pela soma das energias de todas as suas partículas:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
 Como o objeto é considerado rígido, a velocidade angular é a mesma para todas as partículas, logo:
 A quantidade I apresentada a seguir é definida como Momento de Inércia e está relacionado com a distribuição de massa em torno de um eixo de rotação fixo.
 Combinado as duas equações acima, temos a energia cinética de rotação KR:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
 EA9.1.: Quatro pequenas esferas são fixadas aos cantos de uma armação de massa desprezível, colocada sobre o plano xy (Fig. 9.6). Os raios das esferas são pequenos em relação às dimensões da armação. (a) Se o sistema gira em torno do eixo y com velocidade angular ω, encontrar o momento de inércia Iy e a energia cinética de rotação em torno deste eixo. (b) Se o sistema gira em torno do eixo z (ortogonal ao plano xy), obter o momento de inércia Iz e a energia cinética de rotação em torno desse mesmo eixo.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
Fig. 9.6 – Quatro esferas estão com separação fixa. O momento de inércia do sistema depende do eixo em torno qual o sistema é gira.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
 Sol. EA9.1.: (a) A partir das equação 9.6 e 9.7, temos:
 Para rotação em torno do eixo z, temos:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.2 – Energia Cinética de Rotação
 Prob9.1.: Quatro partículas estão ligadas por hastes rígidas de massa desprezível (Fig 9.7). A origem está no centro do retângulo. Todo o sistema está no plano xy e é colado a girar em torno do eixo z com uma velocidade angular 6,00 rad/s. Calcule (a) o momento de inércia em torno do eixo z e (b) a energia de rotação do sistema. [143 kg.m2 e 2,57 kJ] 
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
 O momento de inércia de um corpo rígido extenso é:
 EA9.2 – Calcule o momento de inércia de um aro uniforme de massa M e raio R (Fig. 9.8) ao redor de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo seu centro.
 Sol. EA9.2: 
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
 EA9.3 – Calcule o momento de inércia Iy de uma barra rígida uniforme de comprimento L e massa M (Fig. 9.9) ao redor de um eixo perpendicular à barra (eixo y) e passando através de seu centro de massa.
 Sol. EA9.3: 
Fig. 9.9
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
 EA9.4 – Um cilindro sólido e uniforme possui raio R, massa M e comprimento L. Calcule seu momento de inércia Iz ao redor de seu eixo central (eixo z na Fig. 9.10).
 Sol. EA9.4: 
Fig. 9.10
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
Fig. 9.11 – Teorema dos eixos paralelos: perspectiva mostrando o eixo de rotação z e o eixo paralelo através do centro de massa.
 Seja ICM o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa do objeto, então o momento de inércia I em torno de qualquer eixo paralelo e à distância D do eixo que passa pelo centro de massa, é dado por:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
 EA9.5 – Considere mais uma vez a barra rígida uniforme de massa M e comprimento L mostrada na Fig. 9.9. Encontrar o momento de inércia da barra em torno de um eixo perpendicular à barra e passando através de uma extremidade (eixo y’ na Fig. 9.9).
 Sol. EA9.5: Aplicando o teorema dos eixos paralelos::
 O esforço para girar a barra em torno de seu centro de massa é menor que para girar em torno da extremidade.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
Fig. 9.12a – Momentos de Inércia de corpos rígidos e homogêneos de diferentes geometrias.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
Fig. 9.12b – Momentos de Inércia de corpos rígidos e homogêneos de diferentes geometrias.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.3 – Cálculo do Momento de Inércia
 Prob9.2 – Duas massas M e m estão ligadas por uma haste rígida de comprimento L e de massa negligenciável (Fig. 9.13). Para um eixo perpendicular à haste, mostrar que o sistema possui o momento de inércia mínimo quando o eixo passa através do centro de massa. Mostrar que este momento de inércia é , onde .
Fig. 9.13
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.4 – Torque
 O torque (τ) é definido para uma referência de eixo especificada, sendo igual ao produto de uma força e o braço de momento que a força, este último é definido em relação a um eixo de rotação.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.4 – Torque
 Quando há mais de uma força atuando sobre um objeto, adota-se a convenção de que o sinal do torque é positivo se o giro ocorre no sentido anti-horário, caso o giro ocorra no sentido horário o torque é considerado negativo.
Fig. 9.15 – Duas forças atuando em um objeto: a força F1 tende a girar o objeto para no sentido anti-horário em torno do ponto O, e a força F2 tende a girar no sentido horário.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.4 – Torque
 EA9.6 – Suponha F1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, F2 = 15,0 N e R2 = 0,50 m. Qual o torque líquido sobre o eixo de rotação (Fig. 9.16) e de que maneira o cilindro da irá girar?
 Sol. EA9.5: F1 produz torque negativo (horário) e F2 produz torque positivo (anti-horário).
Fig. 9.16 – Duas forças atuando em um objeto.
(giro no sentido anti-horário)
*
Prof. MSc. Edson
S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 Ao aplicar uma força tangencial Ft em um corpo pontual, à distância r de um pivô, o torque produzido é:
 O torque atuando em uma partícula é igual ao produto do momento de inércia pela aceleração angular adquirida pela partícula.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 Apesar de cada ponto em um objeto rígido girando em torno de um eixo fixo não pode experimentar a mesma força, velocidade linear ou aceleração linear, cada ponto experimenta a mesma velocidade angular e aceleração angular, em qualquer instante. 
 Em qualquer instante, um objeto rígido rotativo como um todo é caracterizado por valores específicos para a velocidade angular, aceleração angular e torque líquido.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 EA9.7 – Máquina de Atwood Revisada: Dois blocos de massas m1 e m2 estão conectados a uma polia de massa M e raio R como na Fig. 9.18. Encontre a aceleração de cada bloco e as tensões T1 e T2 na corda. 
Fig. 9.18
 Sol. EA9.7:
Bloco 2:
Bloco 1:
Polia:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 Cont. Sol. EA9.7: Dividindo a equação III por R, temos:
 Considerando a polia como um cilindro sólido, temos:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 Cont. Sol. EA9.7: Levando IV em I, temos:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.5 – Relação entre torque e velocidade angular
 Prob9.3 – Um bloco de massa m1 = 2,00 kg e um bloco de massa m2 = 6,00 kg estão ligados por uma corda sem massa sobre uma polia em forma de um disco com raio R = 0,250 m e massa M = 10,0 kg. Esses blocos são colocados sobre uma cunha fixa de ângulo  = 30,0° (Fig. 9.19). O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies de ambos blocos é 0,360. 
Obter os diagramas de corpo livre dos blocos e da polia, (a) a aceleração dos dois blocos e (b) as tensões na corda de ambos os lados da polia.
[(a) 0,309 m/s2 (b) 7,67 e 9,22 N] 
Fig. 9.19
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 O trabalho realizado pela força F quando o objeto (Fig. 9.20) gira uma distância ds = rd em um tempo dt é:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 A equação 9.14 é conhecida como o teorema da energia cinética para a rotação.
 EA9.8 – Um veículo 2.0 produz 19,5 kgfm de torque a 4800 rpm. Sua potência máxima é 155 cv em 6300 rpm. (a) Qual a potência (cv) em 4800 rpm e (b) o torque (kgfm) em potência máxima? (1 kgf = 9,8 N e 1 cv = 735,5 W).
 Sol. EA9.8:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 EA9.9 – Uma barra uniforme de comprimento L e massa M está livre para girar em torno de um pino sem atrito passando por uma extremidade (Fig. 9.21). A barra é solta do repouso na posição horizontal. Qual a velocidade do centro da barra na sua posição mais baixa?
 Sol. EA9.9: Não há atrito, logo: 
Fig. 9.21
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 Prob9.4 – Um disco maciço de raio R e massa M está livre para rodar através de um pivô sem atrito situado em um ponto em sua borda (Fig. 9.22). (a) Se o disco é solto do repouso da posição indicada pelo círculo azul, qual é a velocidade de seu centro de massa ao atingir a posição do círculo tracejado? (b) Qual é a velocidade do ponto mais baixo do disco nessa posição ?
[(a) 2(Rg/3)1/2 (b) 4(Rg/3)1/2]
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 EA9.10 – Dois cilindros com massas m1 e m2 estão ligados por uma corda que passa sobre uma polia de raio R e momento de inércia I em torno do seu eixo de rotação (Fig. 9.23). A corda não escorrega sobre a polia, e o sistema é libertado do repouso. Obter as velocidades lineares dos cilindros após cilindro 2 descer uma distância h, e a velocidade angular da polia neste instante.
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 Sol. EA9.10: Pelo teorema da energia cinética, temos:
 A perda de energia potencial é convertida em trabalho:
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
9.6 – Trabalho, Potência e Energia na Rotação
 Prob9.4 – Uma massa de 15,0 kg e outra de 10,0 kg, são suspensas por uma polia de raio 10,0 cm e massa 3,00 kg (Fig. 9.24). O cabo possui massa desprezível e faz com que a polia gire sem escorregar. A polia gira sem atrito. As massas começam o movimento a partir do repouso e a 3,00 m de distância. Tratar a polia como um disco uniforme e determinar as velocidades das duas massas quando elas atingem a mesma altura. 2,36 m/s 
Fig. 9.24
*
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
*
Física Geral I
Referências Bibliográficas
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
www.walter-fendt.de/ph14br/