Cálculo III - Lista II: sequências 2

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadeˆmico do Agreste
Nu´cleo de Formac¸a˜o Docente
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professora: Maria do Desterro A. da Silva
Lista II
1. Usando a definic¸a˜o de limite, prove que a sequeˆncia de termo geral 푎푛, com:
(a) 푎푛 =
푛
푛+ 1
converge para 1.
(b) 푎푛 =
2푛2
푛2 − 4 converge para 0.
2. Mostre que toda sequeˆncia (푎푛)푛∈ℕ convergente e´ limitada (para verificar que uma dada
sequeˆncia na˜o converge, basta mostrar que ela na˜o e´ limitada).
3. Calcule lim
푛→∞
푎푛
(a) 푎푛 =
(−1)푛
푛
(b) 푎푛 =
2푛 + 1
3푛 + 2
(c) 푎푛 =
푛3 + 3푛+ 1
4푛3 + 2
(d) 푎푛 =
ln 푛
푒푛
(e) 푎푛 =
푛− 1
푛+ 1
(f) 푎푛 = 푛
2 + 3
(g) 푎푛 =
[
2
푛
+
(
3
5
)푛]
(h) 푎푛 =
푛2
푛+ 1
− 푛
2
푛+ 2
(i) 푎푛 =
4푛2 − 3푛
푛2 + 5푛− 6
(j) 푎푛 = 푛
1/푛
(k) 푎푛 =
푛
푒푛
(l) 푎푛 =
3푛
√
푛+ 1
7− 2푛√푛
(m) 푎푛 = 푛 sen(휋/푛)
(n) 푎푛 =
√
푛+ 1−√푛
(o) 푎푛 =
푛
√
푛2 + 푛
(p) 푎푛 =
푛!
(푛+ 2)!
(q) 푎푛 =
∫ 푛
1
1
푥
푑푥
(r) 푎푛 =
∫ 푛
0
1
1 + 푥2
푑푥
4. Verifique que sequeˆncia (푎푛)푛∈ℕ =
(
푛!
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ . . . ⋅ (2푛− 1)
)
푛∈ℕ
e´ mono´tona limitada
(convergente).
5. Prove que sequeˆncia de termo geral 푎푛 =
(
1 +
1
푛
)푛
e´ crescente e limitada.
6. Calcule o limite da sequeˆncia (푎푛)푛∈ℕ =
(√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
)
푛∈ℕ
. (Dica:
Identifique tal sequeˆncia com a sequeˆncia de termo geral 푏푛 = 2
1
2
+ 1
4
+...+ 1
2푛 ).
Alguns resultados
∙ (Crite´rio do Limite Zero) Se uma sequeˆncia (푎푛) converge para zero e (푏푛) e´ uma
sequeˆncia limitada, enta˜o a sequeˆncia produto (푎푛 ⋅ 푏푛) converge para zero.
∙ (Crite´rio das Subsequeˆncias) Uma sequeˆncia (푎푛) converge para 퐿 se, e somente
se, as subsequeˆncias (푎2푛) e (푎2푛−1) convergem para 퐿.
7. Use o Crite´rio das Subsequeˆncias para verificar que:
(a) a sequeˆncia de termo geral 푎푛 = (−1)푛 diverge.
(b) a sequeˆncia (푎푛) = (1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, . . .) diverge.
(c) a sequencia cujo termo geral e´ 푎푛 =
(−1)푛
푛
e´ convergente.
8. Usando o Crite´rio do Limite Zero, verifique que a sequeˆncia cujo termo geral e´
푎푛 =
1
푛
sen(푛휋 + 3) +
5
2푛
converge para zero.
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