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Cálculo I Arnaldo Barbosa Lourenço Clício Freire da Silva Genilce Ferreira Oliveira Manaus 2007 FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes Lourenço, Arnaldo Barbosa. L892c Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva, Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3 SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 TEMA 10 – Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 TEMA 15 – Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TEMA 16 – Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 TEMA 18 – Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM PERFIL DOS AUTORES UNIDADE I Função TEMA 01 FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1.1. Definição, elementos Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b, uma regra que nos permite associar a cada ele- mento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado ima- gem de f e que se indica por Imf: Imf = {f(x)|x∈Df} Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são sub- conjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f : A B uma função. O conjunto Gf = {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordena- dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla- no de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen- sado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f. Observação – Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de explicitar o domínio e o con- tradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão. Exemplo: Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e B={0, 1, 4, 5}, verificarse a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função. Solução: M = {0, 1 ,2} N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02 = 0 x = 1 y = 12 = 1 x = 2 y = 22 = 4 No diagrama de flechas, temos que: Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplica- ção, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N. Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. Gráficos de funções Dizemos que uma relação binária R: A B é fun- ção ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A. Exemplos: 1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun- ção. 11 Cálculo I – Função Solução: Dado o gráfico, temos que: Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação. 2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou aplicação. Solução: Dado o gráfico abaixo, temos: Observe que todas as retas verticais que tra- çarmos, tocarão em um e único ponto no grá- fico. Logo g é uma função ou aplicação. 3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que: • Df = IR • Im(f) = {x3 / x∈IR} = IR • O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3. • f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 03 = 0, f(1) = 13 = 1 • O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3, x∈IR} Domínio de funções O domínio de uma função representa o conjun- to de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos: a) O domínio de uma função polinomial é sem- pre real. b) Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este dife- rente de zero. c) Radical com índice par no numerador pos- sui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero. Exemplos: 1. Qual é o domínio mais amplo para a função ? Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio é dado por D(f) = IR – {1}. 2. Qual é o domínio da função ? Solução: → 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}. 3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se: a) Df = IR b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3 = y. 12 UEA – Licenciatura em Matemática c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3 . d) f(–1)=(–1)3 = –1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. e) Gráfico de f: Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR} Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3, sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.); quando x se aproxima de zero, y aproxima- se de zero mais rapidamente que x((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). esta análise dá-nos uma idéia da parte do gráfi- co correspondente a x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x). 4. Seja f a função dada por . Tem–se: a) Df = {x∈IR| x ≥ 0} b) Im f = {x∈IR/ y ≥ 0} c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2). d) e) f) Gráfico de f: A função f é dada pela regra . Quando x cresce, y também cresce sendo o crescimento de Y mais lento que o de x ; quando x se aproxima de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente que . 5. Considere a função g dada por . Tem–se: a) Dg = {x∈IR| x ≠ 0} b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o real g(x) = 1/x c) d) Gráfico de g: Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi- mando-se de Zero ; à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0. Observação – Quando uma função vem dada por uma regra do tipo x |→ y, y = f(x), é comum referir-se à variável y como variá- vel dependente, e à variável x como variável independente. 6. Dada a função f(x) = – x2 + 2x, simplifique: a) b) 13 Cálculo I – Função Solução: a) assim . Observe: f(1) = –12 +2 = 1. b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2 + 2(x + h) = –x2 – 2xh – h2 + + 2x + 2h. Então, ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0. 7. Função constante – Uma função f: A → IR dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante. a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se: (i) Df = IR; Im f = {2} (ii) Gráfico de f Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}. O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2). 8. g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é 9. Seja Tem–se: a) Df = IR; Im f = {–1,1} b) Gráfico de f Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não. 1.2 Função composta Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que: h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A. Representando essa situação por diagrama de flechas, temos: Exemplos a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1 14 UEA – Licenciatura em Matemática g(x) = 3 – 4x (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 = 6 – 8x – 1 = 5 – 8x (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) = 3 – 8x + 4 = 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) = 5 – 8x – 7 + 8x = –2 a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0). Solução: (fog)(x) = 2x + 1 f(x) = –2x + 3 g(0) = ? (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1 1. Qual é o domínio mais amplo da função ? Solução: (1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 (2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2 Fazendo-se (1) (2), temos que: – D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2} 2. Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e g(x) = 2– 3x. Solução: f(x) = 2kx +1 g(x) = 2– 3x fog(x) = gof(x) 2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 4k = –1 k = –1/4 3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x. Solução f(2x –1) = 3 – x 2x – 1 = –1 x = 0 f(–1) = 3 – 0 f(–1) = 3 4. Determine o domínio da função . Solução: x + 1 = t x = t – 1 3 – x > 0 x < 3 D(f) = ]–;3[ 1.4 Função polinomial do 1.o grau Definição Chama-se função polinomial do 1.o grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chama- do de coeficiente de x, e o número b é chama- do termo constante. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1.o grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. • Se a > 0, então f será crescente. 15 Cálculo I – Função 16 UEA – Licenciatura em Matemática Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • Se a < 0, então f será decrescente; Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Observação – Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a): Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos: 1. Esboce os gráficos. a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I Solução: a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon- tos (0, 0) e (1, 2). b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2). c) Primeiro, eliminemos o módulo y = –2x 2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2. Solução: Primeiro, eliminemos o módulo ou Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessade cada uma: para x ≥ 1, f(x) = x + 1 para x < 1, f(x) = –x + 3 Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma. Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi- co de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtém- se do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas uni- dades. 1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o grau) Definição Chama-se função quadrática, ou função poli- nomial do 2.o grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2.o grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. • a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; • a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo. Observação – A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obti- do para o radicando Δ, chamado discrimi- nante, a saber: • quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando Δ é zero, há só uma raiz real; • quando Δ é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: Exemplo: (PUC) Determine as coordenadas do vértice da 17 Cálculo I – Função parábola y = –x2 + 2x – 5. a) (1,–4) b) (0,–4) c) (–1,–4) d) (2,–2) e) (1,–3) Solução: 1. y = –x2 + 2x – 5, então a = –1, b = 2 e c = –5 2. = b2 – 4ac = 22 – 4.(–1).(–5) = –16 3. 4. 5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: a < 0 Exemplo: (USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano. Solução: (1) f(x) = –x2 + 2x –1, então a = –1, b = 2 e c = –1 (2) = b2 – 4ac, então = 22 – 4.(–1).(–1) = 0, logo as raízes de f são (3) (4) (5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0) (6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7) Então o gráfico pode ser dado por: Observação: 1. Função polinomial – Uma função f: IR → IR dada por f(x) = a0xn + a1xn–1+ ... + an – 1x + an em que a0, a1, a2, ..., an são números fixos, denomina-se função polinomial de grau n (n IN). a) f(x) = x2 – 4 é uma função polinomial de grau 2, e seu gráfico é a parábola 18 UEA – Licenciatura em Matemática O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria pa- ralela ao eixo Oy. b) g(x) = (x – 1)3 é uma função polinomial de grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = x3, transladando-o uma unidade para a direita. 2. Função racional – Uma função f é uma função dada por onde p e q são duas funções polinomiais; o domínio de f é o con- junto {x∈IR|q(x) ≠ 0}. a) é uma função racional definida para todo x 0. Como , segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3). b) é uma função racional com domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que . À medida que I x I vai crescen- do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o grá- fico de g vai, então “encostando” na reta y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). À medida que x aproxima-se de zero, o grá- fico de g vai encostando na curva . c) é uma função racional com Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é obtido do gráfico de y = , transladando-o duas unidades para a esquerda. 19 Cálculo I – Função 1. Calcule: a) f(–1) e sendo f(x) = –x2 + 2x b) g (0), g (2) e g( ) sendo c) sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0 d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0 2. Simplifique sendo dados: a) f(x) = x2 e p = 1 b) f(x) = 2x + 1 e p = 2 c) f(x) = 1/x e p = 2 d) f(x) = e p = –3 e) f(x) = 5 e p = 2 3. Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x) igual a: a) 2x + 1 b) x2 c) –2x2 + 3 d) 5 e) 4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a) f(x) = 3x b) c) h(x) = d) g(x) = e) f(x) = 5. Determine o domínio das funções: a) b) c) d) e) 1.6 Função exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em ex- poente. A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais posi- tivos, maiores que zero). Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1. y = 2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabe- la e o gráfico abaixo: 2. y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a ta- bela e o gráfico seguintes: 0 20 UEA – Licenciatura em Matemática Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes. b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1). c) Os valores de y são sempre positivos (po- tência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente. Se a > 1, então f será decrescente. 1.7 Função logaritmica Considere a função y = ax, denominada função exponencial, em que a base a é um número po- sitivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que, nessas condições, ax é um nú- mero positivo, para todo x∈IR, onde IR é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais po- sitivos por R+*, poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R → R*+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1 Essa é bijetora, pois: a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos- suem imagens distintas. b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co- incide com o seu contradomínio. Assim sendo, a função exponencial é BIJETO- RA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa. Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay → y = logax Portanto a função logarítmica é então: f: R*+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1. Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y = x. 0 21 Cálculo I – Função Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que: • Para a > 1, as funções exponencial e loga- rítmica são CRESCENTES. • Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = logax é o conjun- to R+* . • O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais. • O domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais. • O conjunto-imagem da função y = ax é o conjunto R*+. Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarít- mica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponen- cial. Isso ocorre porque as funções são inver- sas entre si. 0 22 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE II Limites TEMA 02 LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS 2.1 O papel dos limites de funções reais O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria ma- temática envolvida com o CálculoDiferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. O motivo para isso é que nem tudo o que que- remos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estu- dos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e con- tinuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresenta- do no fim), que é uma conseqüência do estu- do de continuidade de funções. 2.2 Idéia intuitiva de limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1} → R definida por: lim Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1. Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) quanto por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1. Pela esquerda de x = 1 Pela direita de x = 1 Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotare- mos por: lim x→1 f(x) = 2 Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo: 2.3 Limite de uma função real Seja f uma função real definida sobre o interva- lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per- tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos: lim x→ +∞ f(x) = Ld O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproxi- mam de Le, quando x se aproxima de c por va- lores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos: lim x→ +∞ f(x) = Le Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos: 25 Cálculo I – Limites 26 UEA – Licenciatura em Matemática lim x→ c f(x) = L O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi- trário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão. O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites dife- rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único. Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B. Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0<|x–a|<d". Tomando d=min{d',d"}>0, temos que: |f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que 0<|x–a|<d. Pela desigualdade triangular, temos: |A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos: |A–B| < e então |A–B| = 0, o que garante que A=B. Exemplos: 1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (val- ores menores que 1) e calcular o valor corres- pondente de y: Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja: lim x→1 (2x + 1) = 3 Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x as- suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: lim x→a f(x) = b se, quando x se aproxima de a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b). 2. Seja, agora, a função lim Como x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x → 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, lim x→1 g(x) = limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 27 Cálculo I – Limites 3. Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c. à Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2: à Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan- to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2. 2.4 Generalização do conceito de limite Definição Dados uma função f: B IR e um ponto de acu- mulação a de B, diz-se que um número ∈IR é limite de f em a, e escreve-se: lim x→a f(x) = ou f(x) → , com x → a quando vale a seguinte condição: Para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε. Exemplos: 1. Consideremos a função à Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por- tanto, é natural suspeitar que lim x→1 f(x) = 4. Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever |f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2 obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo: lim x→1 2(x 2 – 1)/(x – 1) = 4 [δ = ε/2] à 2. lim x→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon- trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| . Assim, se tomarmos δ = ε/3, temos: 0 > |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε. 3. lim x→2 (x 2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, |x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto, |x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então |(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε. Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}. 4. lim x→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem- pre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos tomar δ = ε uma vez que, nesse caso: 0 <|x – a|< δ,então: |cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2| à 28 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Na função f definida por temos: lim x→1+ f(x)= limx→1+(3 – x) = 2 e limx→1− f(x) = limx→1−(x 2 – 4) = –3 Como os limites laterais são diferentes, dize- mos que lim x→1 f(x) não existe. 2. Dada a função f definida por para to- do x∈IR*, calcule lim x→0+ f(x) e limx→0− f(x). Existe limx→0 f(x)? Solução: , temos: e Considerando que lim x→0+ f(x) ≠ limx→0− f(x), concluí- mos que não existe lim x→0 f(x). 3. Calcule lim x→1+ f(x) e limx→1− f(x), sendo . Solução: lim x→1+ f(x) = limx→1+ 2x= 2 e limx→1− f(x) = limx→1− x 2 = 1. 1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. a) 1 b) n c) 1 d) n 2. Dada a função , verifique que lim x→1+ f(x) = limx→1− f(x). TEMA 03 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 3.1 Introdução Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas: ∃f(a) ∃lim x→a f(x) lim x→a f(x) = f(a) 3.2 Propriedade das funções contínuas Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x) ± g(x) é contínua em a; f(x) . g(x) é contínua em a; f(x) g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0). 3.3 Generalização sobre continuidade de uma função Dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa que f(a) existe e que f leva pontos “próximos” de a em pontos “próximos” de f(a). Isso pode ser resumido precisamente na seguinte definição: Definição: Uma função f : B → é contínua em um ponto a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε. Note que, se o domínio de f for um intervalo, B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três seguintes condições: 1) a∈B; 2) existe lim x→a f(x) e 3) lim x→a f(x) = f(a). 3.4 O teorema de Weierstrass Toda função contínua num intervalo fechado [a,b] assume um máximo e um mínimo em [a,b]. Entretanto é importante observar que ele ga- rante que uma função, sendo contínua num in- tervalo fechado, certamente admitirá ponto de extremo, tanto máximo como mínimo, poden- 29 Cálculo I – Limites do ser interior ao intervalo ou em qualquer das extremidades. à Observação: No gráfico, observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mí- nimo local, ambos interiores ao intervalo. Entretanto o ponto de máximo global da fun- ção ocorre na extremidade b, e o ponto de mínimo global ocorre na extremidade a do in- tervalo. Também é conveniente observar que o Teo- rema só vale se a função é contínua num inter- valo fechado. Se a continuidade for num inter- valo aberto, não é possível garantir a existência de máximo e mínimo globais. Exemplos: 1 Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos: À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi- ma–se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade lim x→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri- fique a igualdade f(c) = lim x→ c f(x), diz–se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. 2. Vejamos a função: à O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas lim x→ 2 g(x) ≠ g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2. 3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é con- tínua em 1, pois Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a ∈ IR, temos: 4. A função definida em IR é descontínua em 1, pois Observemos que f é contínua em IR – {1} pois, para todo a IR – {1}, temos: 5. Dada a função , verificar se existe algum ponto de descontinuidade . Como lim x→ 3 f(x) = limx→ 3 (x + 1) = 4; limx→ 3+ f(x) = = lim x→ 3 4 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3 f(x) = f(3) o que implica que a função é contínua no ponto x = 3. Para k ≤ 3, lim x→ k f(x) = limx→ k (x + 1) = lim x→ k x + limx→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1 Para k > 3, lim x→ k f(x) = limx→ k 4 = 4 e f(k) = 4 Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade. Em geral, restringimos a análise aos valores de x que não verificam as condições de existência de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3). 6. Verifique se a função é contínua em x = 3. Cálculo de f(3): Cálculo de lim x® 3 f(x) = Como lim x® 3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3 Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. 1. 2. 3. 4. 5. TEMA 04 PROPRIEDADES DOS LIMITES 4.1 Introdução Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduzire- mos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a. • Se f(x) = C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C. • Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b. • Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então: (1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B (2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B (3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A (4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An (5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo. (6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) • Se acontecer uma das situações abaixo: Lim f(x) = 0. Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar. Então: Exemplos: 1. 2. 3. 4. 30 UEA – Licenciatura em Matemática 31 Cálculo I – Limites 5. 6. 7. 8. Observações sobre as propriedades: As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de fun- ções. As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem que, se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas. 4.2 Teoremas importantes Teorema do anulamento – Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0, quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Esse resultado é útil para podermos obter cál- culos com limites. Teorema do Confronto (regra do sanduiche) – Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim h(x), então Lim g(x) = L. Generalização: Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) x∈B, e lim x→a f(x) = limx→a h(x) = . Então limx→a g(x) = . O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a figura abaixo. Demonstração: Seja ε > 0 um número qualquer. Como lim x→a f(x)= limx→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε, x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε, Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a condição 0 < |x – a| < δ implica ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε, Donde |g(x) – | < ε, ou seja, lim x→a g(x) = . Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x→0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1 Observações – Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são deno- minadas expressões indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso. Exemplo: Seja f uma função e suponha que para todo x tenhamos |f(x)| ≤ x2. a) Calcule, caso exista, lim x→ 0 f(x); b) f é contínua em x = 0? Por quê? Solução: a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2 Como lim x→ 0 f(–x 2) = 0 = lim x→ 0 x 2, segue, do teo- rema do confronto, que lim x→ 0 f(x) = 0. b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim, lim x→ 0 f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0. 1. Calcular . Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 se anulam para x = 3, cairemos na expressão e nada poderemos concluir. Assim, devemos sim- plificar a fração, eliminando a indeterminação. Logo, 2. Calcular . Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. 3. Calcular . 4. Calcular . 1. Calcule lim x→ 1 (log 10x). a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Determine o Valor de . a) 1/5b) 2/6 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/5 3. Calcule . a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 19 4. Calcule a) 2/5 b) 3/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 2/4 5. Ache o valor de . a) 1 b) –1 c) –2 d) 3 e) –4 6. O é igual a: a) –4 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 7. Calcular . a) x b) 2x c) 4x d) 3x e) 5x 32 UEA – Licenciatura em Matemática 8. O é igual a: a) 1/9 b) 1/27 c) 1/243 d) 1/81 e) 1/54 9. O valor de é: a) 2 b) 0 c) 8 d) 4 e) 10. O limite a) não existe; b) não é nenhum número real; c) vale 2; d) vale 0; e) vale 4. 11. O vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 12. O valor de é: a) –1 b) –2 c) d) 0 e) 1 TEMA 05 LIMITES INFINITESIMAIS 5.1 Limites infinitos Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico dessa fun- ção por meio das tabelas abaixo. Quando x → 0, por valores maiores que zero (x → 0+) os valores da função crescem sem limite. Quando x → 0, por valores menores que zero (x → 0), os valores da função decrescem sem limite. Observamos que próximo de x = 0, o compor- tamento da função é estranho. Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0, esta função não tem os va- lores aproximando-se de um limite bem defi- nido. Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observa- mos que: 33 Cálculo I – Limites Observamos pelas tabelas, que se x → 0, por valores maiores ou menores do que 0, os va- lores da função crescem sem limite. Assim, po- demos afirmar, por este exemplo, que, quando x → 0 esta função tem os valores aproximan- do-se de um limiar (inf = infinito = ∞). Nesse caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por: Por causa dessa notação, costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos, e por causa desse limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota verti- cal, que é uma reta cuja equação é dada por x = 0, neste caso. Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x = a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por: limx→a f(x)=+ ∞ Se, para todo número real L>0, existir um d>0 tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L. De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um grá- fico com todos os valores da imagem no interva- lo (–∞,0). O comportamento de g próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0, no entanto represen- tamos tal resultado por: Limx→0 –1/x²= + ∞ Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x→a pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando x → a é infinito, e escrevemos: limx→af(x) = +∞ Analogamente, a expressão matemática: limx→af(x) = –∞ significa que f(x) tende a –∞, se x→a pela esquerda e também pela direita. 5.2 Extensão sobre limites no infinito Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x→∞) ou quando x decresce arbitrariamente (x→–∞). Pelas tabelas, observamos que: Limx→+ ∞ h(x) = 0 Limx→– ∞ h(x) = 0 Quando construímos o gráfico de h, observa- mos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas aproxima-se dela em +∞ e em –∞. Temos, então, uma definição geral, engloban- do tal situação: Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,∞). Escrevemos: lim x→∞ f(x) = L quando, para todo e>0, existe um número real M > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M. y x x y x y 34 UEA – Licenciatura em Matemática Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal. Definição: Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho- rizontal do gráfico de f se lim x→∞ f(x) = L ou limx→–∞f(x) = L 5.3 Limite de uma função polinomial para x→±∞ Seja a função polinomial f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0. Então: Demonstração: Mas: Logo: De forma análoga, para g(x) = bmxm +...b1x + b0, temos: Exemplos: 1. 2. 3. 1. Calcule a) 1/5 b) 2/6 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4 2. Calcule a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 3. Calcule . a) 0 b) 1 c) 6 d) 2 e) –2 4. Calcule . a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 5. Calcule os limites: a) b) c) d) e) 35 Cálculo I – Limites TEMA 06 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 6.1 Introdução Demonstração: Para x → 0, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: Mas: lim x→0 1 = limx→0 cos x = 1 g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se lim x→a g(x) = limx→a h(x) = b então, limx→a f(x) = b. Logo, 6.2 Exemplos: a) b) c) d) 1. Determinar . 2. Determinar Transformando, temos: 3. Calcular Transformando, temos: 1. Calcular os seguintes limites: a) b) 36 UEA – Licenciatura em Matemática 2. Determine: a) b) c) 3. Calcular os seguintes limites: a) b) c) d) e) f) TEMA 07 LIMITES EXPONENCIAIS 7.1 Introdução Nesse caso, e representa a base dos logarit- mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú- mero irracional cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de . Notamos que à medida que . De forma análoga, efetuando a substituição , temos: Ainda de forma mais geral, temos : As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios desse tipo e evitam substituições algébricas. Se ax – 1 = u, então ax + 1 = u. Mas: 37 Cálculo I – Limites Logo: Como x → 0 , então u → 0. Portanto: Generalizando a propriedade acima, temos . 1. Determinar 2. Determinar o . Fazendo temos x = 3 u e x → + ∞ impli- ca u → +∞ assim: Logo: 3. Calcular . Transformando, temos: Fazendo –x = t, temos: x → –∞ t → + ∞ Substituindo-se, vem: 1. Calcule a) e b) e7 c) 1/e3 d) ex e) e4 2. Calcule o a) e b) –e c) e2 d) e) e4 3. Calcule os limites: a) b) c) 38 UEA – Licenciatura em Matemática Augustin-Louis Cauchy (Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio de 1857) foi um matemático francês. O primeiro avanço na matemática moderna por ele produzido foi a introdução do rigor na análise matemática. O segundo foi no lado oposto – combinatorial. Partindo do ponto cen- tral do método de Lagrange, na teoria das equa- ções, Cauchy tornou-a abstrata e começou a sistemática criação da teoria dos grupos. Não se interessando pela eventual aplicação do que criava, ele desenvolveu para si mesmo um sistema abstrato. Antes dele, poucos bus- caram descobertas proveitosas na simples manipulação da álgebra. Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini- tos. Em análise infinitesimal, criou a noção moderna de continuidade para as funções de variável real ou complexa. Mostrou a importância da convergência das séries inteiras, com as quais seu nome está ligado. Fez definições pre- cisas das noções de limite e integral definida, transformando-as em notável instrumento para o estudo das funções complexas. Sua abor- dagem da teoria das equações diferenciais foi inteiramente nova, demonstrando a existência de unicidade das soluções, quando definidas as condições de contorno. Exerceu grande influência sobre a física de então, ao ser o primeiro a formular as bases matemáticas das propriedades do éter, o fluido hipotético que serviria como meio de propagação da luz. A vida de Augustin Cauchy assemelha-se a uma tragicomédia. Seu pai, Louis-François, esteve muito próximo da guilhotina, apesar de ser advogado, culto, estudioso da Bíblia, católico fanático e tenente de polícia.Augustin era o mais velho dos seis filhos (dois homens e quatro mulheres). Seguia obsti- nadamente os preceitos da Igreja Católica. Seu eterno louvor à beleza e à santidade cansava os que o ouviam. 39 Cálculo I – Limites UNIDADE III Derivada 43 Cálculo I – Derivada TEMA 08 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO 8.1 CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLA AGITA O MEIO CIENTÍFICO As primeiras idéias sobre o cálculo foram re- gistradas na Grécia, no século V a.C., e es- tavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxo de Cnido quem teria dado os primeiros passos nesse campo, criando o método de exaustão, que mais tarde foi aplicado brilhantemente pelo matemático grego Arquimedes de Sira- cusa (287–212 a.C.) para calcular a área de um segmento parabólico. Para o cálculo avançar, porém, era necessário descobrir fórmulas ge- rais, que permitissem, por exemplo, calcular a área de qualquer figura geométrica. Contudo isso só veio a acontecer no século XVII, quando vários matemáticos, entre eles o francês Pierre de Fermat (1601–1665) e os ingleses Jhon Wallis (1616–1703) e Isaac Barrow (1630–1677), deram importantes pas- sos nesse sentido, além de abrirem caminho para dois outros grandes matemáticos daque- la época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz. Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Essa dupla, trabalhando separadamente e no mesmo período, estabeleceu as bases do cálculo. Newton fundamentava suas idéias na mecâni- ca e Leibniz, na geometria. A partir do século XVIII, o cálculo sofreria pro- fundas transformações, principalmente por causa dos trabalhos dos matemáticos france- ses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) e Joseph Louis Lagrange (1736–1813). O cálculo diferencial e integral, como é co- nhecido hoje, é um instrumento matemático de extrema importância. Suas aplicações, além da matemática e da física, estendem-se também à química, à biologia, à engenharia, etc. 8.2 INTRODUÇÃO DO ESTUDO DAS DERIVADAS O problema fundamental do cálculo diferencial é estabelecer uma medida para a variação da função com precisão matemática. Foi investi- gando problemas dessa natureza, lidando com grandezas que variam com continuidade, que Newton foi conduzido à descoberta dos princí- pios fundamentais do cálculo. Da física, sabemos que quando uma partícula se movimenta segundo a equação horária S = f(t), em que s é a abscissa (posição) do ponto em que se encontra a partícula no instante t (s é uma função de t), a velocidade média do mo- vimento entre dois instantes (t0,t), que vamos indicar por Vm(t0;t) é dada por: A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) é definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tende a t0: Exemplo: • Uma particula movimenta-se segundo a equação horária S = 2t2 + 5t + 10, s em me- tros e t em segundos. Obter a velocidade: a) no instante t = 1; b) num instante t = t0 44 UEA – Licenciatura em Matemática Solução: a) A velocidade média no instante t = 1 é: V(1) = 9m/s b) V(t0) = 4t0+ 5 equação da velocidade para t = 1 ⇒ V(1) = 4 × 1 + 5 = 9m/s 8.3 RAZÃO INCREMENTAL Seja f (x) uma função definida em um intervalo I de seu domínio, e sejam x0 e x = x0 + Δx dois valores pertencentes a esse intervalo Δx : acréscimo da variável x : Δx = x – x0 Δx : acréscimo da variável y : Δy = f(x) – f(x0) ou Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) Denomina-se razão inceremental o quociente Então, temos: ou Exemplo: Calcular a razão incremental da função f(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0 = 2 Solução: f(x) = 3x – 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 – 1 ⇒ f(x0) = 5 Então, temos: ⇒ ⇒ 8.4 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Seja y = f (x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0 e x0 + Δx dois valores de seu domínio. Denomina-se derivada da função f (x) no ponto x0 o limite finito (se existir) da razão incremen- tal da função quando Δx tende a zero, ou seja: 45 Cálculo I – Derivada Exemplo: 1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 – 2 no ponto x0 = 2 Solução: Como , temos: 2. Dada a função f(x) = 3x2, definida em IR, calcu- lar a função derivada f’(x). Solução: 1. Calcule a razão incremental da função f (x), re- lativa ao ponto x0, nos seguintes casos: a) f(x) = 3x2 + 1, no ponto x0 = 2 b) f(x) = x2 + 3x, no ponto x0 = 1 c) f(x) = x3, no ponto x0 = –1 2. Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0 em cada caso: a) f(x) = x2 + 1, no ponto x0 = 3 b) f(x) = x2 + 2x, no ponto x0 = 4 c) f(x) = x2 – 3x + 4, no ponto x0 = 1 d) f(x) = 2x – 1, no ponto x0 = 2 3. Dada a função f (x), definida em IR, determine f´(x) nos seguites casos: a) f(x) = x2 – 2x b) f(x) = x c) f(x) = d) f(x) = 3x + 4 e) f(x) = x3 + 2x2 4. Determine o valor de x que anula a derivada da função f(x) = x2 – 4x 5. Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t – 2. Calcule a sua velocidade no instante t0= 2seg. 1. A derivada da função f(x) = x2 – 3x no ponto x = 0 é igual a: a) 0 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) n.d.a. 2. Sendo f(x) = 2x2, então f’(3) é igual a: a) 4 b) 12 c) 18 46 UEA – Licenciatura em Matemática d) 36 e) n.d.a. 3. Se f(x) = 6x3, então f’(x) é igual a: a) 9x2 b) x2 c) 18x2 d) 3x2 e) n.d.a. 4. A função derivada de y = x3 é definida por: a) y’ = 3x b) y’ = 3x2 c) y’ = x2 d) y’ = 3x3 e) 5. A função derivada da função é: a) b) c) d) e) n.d.a. 6. A função derivada da função f(x) = 3x2 – 2x anula-se para: a) x = 0 b) x = 3 c) d) e) n.d.a. TEMA 09 A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 9.1. Introdução Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f (x) admita uma reta tangente t num ponto P de abscissa x0. Vamos represen- tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta tan- gente em relação ao eixo x. Da geometria analítica, sabemos que o coefi- ciente angular da reta t, que vamos indicar por mt(x0), é dado por: mt(x0) = tgαt(x0). Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, de abscissa x ≠ x0, a reta S = é uma secante ao gráfico. O coeficiente angular da secante, que indicaremos por Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixo e Q movimentando-se sobre o gráfico, aproxi- 47 Cálculo I – Derivada mando-se de P, observamos que a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tan- gente: αs → αt(x0) Nesse caso, temos tambem: tgαs → tgαt(x0) ms → mt(x0) Então, temos: Quando existe o limite finito Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x² no ponto de abscis- sa x = 1 Solução 9.2 DEFINIÇÃO Para estudar esse problema, consideremos o gráfico da função y = f (x) indicado na figura: Em que: Δx= incremento da variável x Δyincremento da função razão incremental Na figura, temos: s é uma reta secante à curva; t é uma tangente à curva no ponto A(x0, y0); (considerando o triângulo ABC) Note que, quando Δx → 0, o ponto B tenderá ao ponto A, e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo β tenderá a α, e teremos: Enquanto Δx tende a zero, a reta secante tende a uma posição limite, que é a reta tangente à curva no ponto A de abscissa x0. Portanto o coeficiente angular da tangente é o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando Δx tende a zero. O valor desse limite denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, e indica- mos f’(x0). 48 UEA – Licenciatura em Matemática Definição: Seja a função f (x) definida no intervalo [a, b], e seja um pontode abscissa x0 desse inetrvalo. Denomina-se derivada da função f (x) no ponto de abscissa x0, o limite, se existir e for finito, da razão quando Δx tende a zero. Ou ou Exemplos: • Determinar a derivada da função f(x) = 3x2 no ponto de abscissa x0 = 2. Solução: 1.ª MANEIRA Se x0 = 2 ⇒ f(x0) = f(2) = 3 × 22 = 12 Logo: 2.ª MANEIRA f(x0 + Δx) = f(2 + Δx) = 3 (2 + Δx)2 = 12 + 12Δx + 3(Δx)2 f(x0 ) = f(2) = 3 . 22 = 12 Logo: f’(2 ) = 12 • Dada a função , calcular a deriva- da de f’(x) no ponto x = 0. Solução: Daí: Observação: Não possui derivada em x = 0 • Determinar, pela definição, a função deriva- da de f(x) = x2. Solução: • Qual a reta tangente ao gráfico da função na origem? SOLUÇÃO A reta que procuramos passa no ponto (0;0) (x → 0+, pois é definida só para x ≥ 0). 49 Cálculo I – Derivada Quando o limite é +∞, a reta tangente é perpendicualr ao eixo x. Concluímos que a reta tangente a na origem é o eixo y. • Dada a função f(x) = x2 – 2x, determinar f’(6): SOLUÇÃO f(x) = x2 – 2x f(x0) = f(6) = 62 – 2 . 6 = 24 Logo: • Dada a função f (x) = sen x, determinar, pela definição, a função derivada de f (x). SOLUÇÃO Como, pela triigonometria, sen a – sen b = , temos: Pelo limite trigonométrico fundamental, estudado anteriormente, temos: Substituindo na igualdade anterior, temos: • Seja a função f: IR → IR tal que f(x) = 3x2 – 1. Determinar: a) a derivada de f no ponto de abscissa 2, isto é, f´(2); b) a equação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto P (2, 11). SOLUÇÃO a) como e , temos: b) Temos, da reta t, o ponto P(2,11) e o coefi- ciente angular m = f’(2) = 12. Pela equação fundamental: obtemos a equacação da reta t : y – 11 = 12(x – 2) ∴ y = 12x – 13. Graficamente, temos: = 10 50 UEA – Licenciatura em Matemática • A função f : IR –{3} → tal que é derivável no intervalo ]1, 5[? SOLUÇÃO Para que uma função f seja derivável em um ponto de abscissa a, a definição exige que exista f (a). Como 3 ∉ D(f), temos que f não é derivável no ponto de abscissa 3 e, por- tanto, não é derivável no intervalo ]1, 5[. • Mostrar que a função f : IR –{3} → IR tal que é derivável em todo seu domínio. SOLUÇÃO Temos que: , para x ≠ 3. Existe f’(a) se, e somente se, existe e é fini- to o limite: Para qualquer a, a ∈ IR e a ≠ 3, temos: Como esse limite existe e é finito para todo elemento real a, a ≠ 3, temos que f é derivável em seu domínio. 1. Considerando a reta t, tangente à curva defini- da por f (x) = x², no ponto de abscissa 2, deter- minar: a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t. 2. Considerando a reta t, tangente à curva defini- da por , no ponto de abscissa 1, determinar: a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t 3. Qual é a equação da reta tangente à curva y = x2 – 3x no seu ponto de abscissa 4? 4. A equação da reta tangente à curva de equação y = 2x2 – 1, no ponto de abscissa 1, é: a) y = 4x – 3 b) y = 4x – 1 c) y = 2x + 3 d) y = –2x + 1 e) y = 3x + 2 5. Aplicando a definição, calcule: a) a derivada da função f(x) = x2 + x no ponto de abscissa x = 3. b) a derivada da função f(x) = x2 – 5x + 6 no ponto x = 1. 6. Através da definição, ache a derivada de f (x) = cos x 51 TEMA 10 REGRAS DE DERIVAÇÃO 10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS Regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) mais facilmente. A demons- tração dessas regras poderá ser feita com a aplicação da definição; como esse processo é demasiado longo, faremos algumas, e as ou- tras ficarão como exercícios complementares. a) Derivada da função constante f(x) = k ⇒ f’(x) = 0; k ∈ IR Demonstração: Exemplo: f(x) = ⇒ f’(x) = 0 b) Derivada da função identidade A derivada da função identidade f (x) = x é 1, ou seja: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1 Demonstração: c) Derivada da função potência A derivada da função f(x) = xn (n ∈ N*) é: f’(x) = n × xn–1, ou seja: f(x) = xn ⇒ f’(x) = nxn–1 Exemplos: • f(x) = x3 ⇒ f’(x) = 3x3–1 = 3x2 • f(x) = 4x2 ⇒ f’(x) = 2 × 4 × x2–1 = 8x •f(x) = x–5 ⇒ f’(x) = –5 x x–5–1 = –5x–6 = • d) Derivada da função seno A derivada da função f (x) = senx é a função f´(x) = cosx, ou seja: f(x) = senx ⇒ f’(x) = cosx Demonstração Obs.: e) Derivada da função co-seno A derivada da função f (x) = cosx é a função f’(x) = –senx f) Derivada da funçãoe exponencial A derivada da função exponencial f(x) = ax (a > 0 e a ≠ 1 é a função f’(x) = ax . ln a Demonstração: Obs: Exemplo: f(x) = 5x ⇒ f’(x) = 5x . ln 5 g) Derivada da função logarítmica neperiana A derivada da função f (x) = lnx é a função (x > 0) Cálculo I – Derivada Caso seja dado o logaritmo numa base a, a > 0 e a ≠ 1, fazemos a mudança para a base e. Então: Exemplos: • (x > 0) • (x > 0) 10.2 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO Sejam u e v funções deriváveis em um interva- lo aberto I. Para todo x, x∈I, tem-se que: a) Derivada da soma f(x) = u(x) + v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) + v’(x) Demonstração: f’(x) = u’(x) + v’(x) c . q . d b) Derivada da diferença f(x) = u(x) – v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) – v’(x) Obs.: A soma ou a diferença para n funções • f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un ⇒ f’(x) = u’1(x) + u’2(x) +...+ u’n(x) • f(x) = u1(x) – u2(x) –...– un ⇒ f’(x) = u’1(x) – u’2(x) –...– u’n(x) 1. Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = x4 + sen x Solução: f’(x) = 4x3 + cos x b) g(x) = x5 – x3 Solução: g’(x) = 5x4 – 3x2 c) h(x) = 3 – x + cos x + ln x Solução: 2. Obtenha as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 10 ⇒ f’(x) = 10 b) f(x) = x5 ⇒ f’(x) = 5 . x5–1 = 5x4 c) f(x) = x3 + x2 ⇒ f’(x) = 3x2 + 2x d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4 d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4 e) f(x) = sen x + cos x ⇒ f’(x) = cos x + (–sen x) = cos x – sen x f) f(x) = 2x ⇒ f’(x) = 2x ln 2 g) f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex . 1 = ex h) 3. Encontre a equação da reta tangente à curva: a) y = x5 no ponto x0 = 1 SOLUÇÃO y = x5 no ponto x0 = 1 f(x) = x5 ⇒ f(x0) = f(1) = 1 f’(x) = 5x4 ⇒ f’(1) = 5 . 14 = 5 No ponto (1,1): y – f(1) = f’(1)(x – 1) y – 1 = 5(x – 1) ⇒ y = 5x – 4 b) y = ln x no ponto x0 = 2 SOLUÇÃO 4. Determine f’(x), sabendo que: a) f(x) = x2 . cos x b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x) 52 UEA – Licenciatura em Matemática 53 SOLUÇÃO a) f(x) = x2 . cos x f’(x) = (x2 . cos x)’ = (x2)’cos x + x2 (cos x)’ = 2x . cos x + x2(–sen x) = 2x . cos x – x2 . sen x logo, f’(x) = 2x . cos x – x2 . sen x b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x) f’(x) = (x2 + 3x + 1)’lnx + (x2 + 3x + 1)(ln x)’ = (2x + 3) ln x + (x2 + 3x + 1) = = 2x . ln x + 3 . ln x + 3 + Logo, f’(x) = 2x . ln x + 3 . ln x + x + 3 + 5. Determine f’(x), sabendo que: a) b) c) f(x) = tg x d) f(x) = cot gx Respostas: a) b) c) f’(x) = sec2 x d) f’(x) = cos sec2 x 1. Determine f’(x), sabendo que: a) f(x) = x2 + x + 1 b) f(x) = lnx – cos x c) f(x) = 3x5 d) f(x) = 3x2 + 2x + 1 e) f(x) = ax2 + bx + c f) f(x) = lnx + 2cos x 2. Determine o coeficiente angular da reta tan- gente à curva y = x3 + x2 + x + 1 no ponto x0 = 1. 3. Obter a reta tangente à parábola y = x2 – 4x + 3 no ponto de abscissa 4. 4. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções: a) a(x) = x3 + x b) b(x) = ln x – sen x c) c(x) = cos x ln x d) d(x) = 6x4 – 3x2 + 7x – 4 5. A equação da reta tangente à curva y = x3 – 5x + 1 no ponto de abscissa x = 1 é: a) x – y – 4 = 0 b) x – y + 4 = 0 c) x + y – 4 = 0 d) 2x +y – 1 = 0 e) 2x + y +1 = 0 6. Uma partícula move-se em linha reta. A equação horária do espaço s é s(t) = t3 + 4t2, com s em metros e t em segundos. a) Obter a velocidade instantânea da partícula para t = 1seg. b) Obter a aceleração instantânea para t = 1seg. 7. Um corpo se desloca sobre uma linha reta, de modo que a equação horária do espaço s é s(t) = 6t3 – 2t + 3, com s em quilômetros e t em horas. a) Qual é a equação horária da aceleração instantânea desse corpo? b) Qual é a aceleração instantãnea desse corpo no instante t = 2h?0 8. Considere as funções f e g dadas por f(x) = x2 – cos x e g(x) = sen x + x. Calcule o valor da expressão . 9. Considere f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x – 7 e g(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 e determine f’(0) – 2 . g’(1). Cálculo I – Derivada 54 UEA – Licenciatura em Matemática c) Derivada do produto f(x) = u(x).v(x) ⇒ f’(x) = u’(x).v(x)+u(x).v’(x) d) Derivada do quociente Sejam u e v funções deriváveis em um inter- valo aberto I. Para todo x, x∈I e v(x) ≠ 0, tem-se que: Obs.: As demonstrações b, c e d ficam para você fazer como exercícios. 10.3 OUTRAS DERIVADAS a) f(x) = tg x ⇒ f’(x) = sec2 x b) f(x) = cot gx ⇒ f’(x) = –cos sec2 x c) f(x) = sec x ⇒ f’(x) = sec x . tg x d) f(x) = cossec x ⇒ f’(x) = –cosssec x . cot gx Obs.: Faça as demonstrações como exercícios. 1. Determinar a derivada da função f(x) = x5 . sen x. Solução: u(x) = x5 ⇒ u’(x) = 5x4 v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x) f’(x) = 5x4 . sen x + x5 . cos x 2. Determinar a derivada da função f(x) = (x4+8)ln x Solução: 3. Determinar a derivada da função . Solução: u(x) = 3 ⇒ u’(x) = 0 v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x 10.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Uma função real y = f(x) é denominada função derivável no ponto x0 quando existe (finita) a derivada f’(x0). Quando f é derivável em todos os pontos do seu domínio, dizemos que ela é uma função derivável. Propriedade: Se a função f é derivável no ponto x0, então f é contínua em x0. Demonstração: Provar que f é contínua em x0 significa provar que limΔ→x0 f(x) = f(x0) Admitindo que é derivável em x0, existe: Então: lim x→x0 f(x) = lim x→x0 f(x) =[f(x) – f(x0) + f(x0)] lim x→x0 f(x) = 0 + f(x0) = f(x0)] e fica provado que, existindo f’(x0), f é contínua em x0. A recíproca desta propriedade não é ver- dadeira. Podemos ter uma função contínua em x0, mas não derivável em x0. É o que ocorre quando o gráfico tem um “bico” em x = x0 Exemplo: Mostrar que f (x) = |x| não é derivável em x = 0 55 SOLUÇÃO Mas e Como os limites laterais são diferentes, não existe f´(0). Portanto f não é derivável em x= 0, entretanto f é contínua em x = 0. Reconhecimento prático a) Uma função é contínua nos pontos em que não há “salto” nem “furo” no gráfico. b) Uma função é derivável nos pontos em que é contínua e existe uma reta tangente ao gráfico, não perpendicular ao eixo x. Num ponto em que há um “bico” no gráfico, a função é contínua, mas não derivável. 1. Observando o gráfico ao lado de uma função f definida em IR, responda se f é contínua e/ou derivável em cada ponto seguinte: a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3 2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi- co de y = tgx no ponto de abscissa . 3. Dada a função de f: a) f(x) = 2x4 – 3x2 + 4, calcule f´(1) b) , calcule f’(3) 4. A derivada da função no ponto de abscissa x = 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 1 5. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no ponto de abscissa vale: a) 1 b) 2 c) d) e) 0 6. Sendo g: IR → IR tal que g(x) = x5, obtenha: a) g’(2); b) a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 2. 7. Encontre a derivada de cada uma das se- guintes funções: a) a(x) = x5 + x4 + 2 b) a(x) = x5 + x4 + 2 c) c(x) = x5 ln x d) d(x) = (x2 + 3) sen x e) e(x) = x5 sen x cos x f) f(x) = 9x4 g) g(x) = 12x5 – 3x4 + 2x + 4 h) h(x) = log5 x i) i(x) = 6log2 x j) Cálculo I – Derivada 56 UEA – Licenciatura em Matemática k) l) m) 8. Seja f(x) = x2 – x. Determine as equações das retas tangentes e normal no ponto de abscissa 0. 9. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. a) f(x) = x2 – 3x, no ponto de abscissa 0. b) , no ponto de abscissa 8. c) , no ponto de abscissa 1. 10. Seja f(x) = x2. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta . TEMA 11 A REGRA DA CADEIA 11.1 Introdução Sejam g e f duas funções deriváveis nos pon- tos x e u, respectivamente. Então: A derivada da função composta (fog)(x) é dada por: (fog)’(x) = g’(x) . f’(x) ou em que y = f(u) e u = g(x) Exemplos: • Determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = (x2 + x)3 b) f(x) = cos 3x Solução: a) u = g(x) = x2 + x e f(u) = u3 g’(x) = 2x + 1 e f’(u) = 3u2 = 3(x2 + x)2 Como f’(x) = g’(x) . f’(u) f’(x) = (2x + 1) . 3(x2 + x)2 b) u = g(x) = 3x e f(u) = cos u g’(x) = 3 e f’(u) = –sen u = –sen 3x f’(x) = g’(x) . f’(u) = 3(–sen 3x) f’(x) = –3sen 3x 1. REGRAS DE DERIVAÇÃO Decorreram pela regra da cadeia as seguintes regras de derivação, em que v(x) é uma função real derivável: 57 Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos 2. DERIVADAS SUCESSIVAS Seja f (x) a função cuja derivada primeira é f´(x). Se f´(x) admite, também, a derivada f”(x), essa recebe o nome de derivada segunda de f (x). E assim por diante, define-se derivada terceira, derivada quarta e derivada n-ésima da função f(x). Exemplo: Seja f(x) = 2x5. Então, temos: f’(x) = 10x4 f’’(x) = 40x3 f’’’(x) = 120x2 f(4)(x) = 240x f(5)(x) = 240 f(6)(x) = 0 ................ f(n)(x) = 0, ∀n ≥ 6 1. Obter a equação da aceleração de uma par- tícula que se movimenta segundo a lei horária S = 2t2 + 4t + 5. Solução: S = f(t) = 2t2 + 4t + 5 v = f’(t) = 4t + 4 a = f”(t) = 4 (aceleração constante) 2. Determinar as equações da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples cuja posição é dada por SOLUÇÃO 3. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f(x) ≠ 0, então: Ou seja, se a função é representada por y = y(x), a sua inversa será dada por x = x (y). E, assim: Se x = x(y), então . CONSEQUÊNCIAS: 1. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL y = xα ⇒ y’ = α . xα−1 ; α∈IR e x > 0 3. DERIVADA DA FUNÇÃO arc sen 4. DERIVADA DA FUNÇÃO arc cos Cálculo I – Derivada 58 UEA – Licenciatura em Matemática 5. DERIVADA DA FUNÇÃO arc tg Exemplo: • Se f(x) = 3x – 6, determine (f–1)’(y) Solução: f(x) = 3x – 6 ⇒ f’(x) = 3 (f–1)(x) = x + 2 ⇒ (f–1)(x) = Então • Se y = x2, determine a derivada da sua inversa. Solução: • Se f(x) = 2x + 1, determine (f–1)’(y) SOLUÇÃO y = f(x) = 2x + 1 ⇒ y’ = f’(x) = (2x + 1)’ = 2 Portanto 1. Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = cos 2x Solução y = f(x) = 2x e z = g(y) = cos y y’ = f’(x) = 2 e z’ = g’(y) = –sen y f’(x) = g’(y) . f’(x) = (–sen y) . 2 = –2sen 2x b) F(x) = (x2 + 1)10 Solução y = f(x) = x2 + 1 e z = g(y) = y10 y’ = f’(x) = 2x e z’ = g’(y) = 10y9 F’(x) = g’(y) . f’(x) = 10y9 . 2x = 20x(x2 + 1)9 2. Determine a função derivada das seguintes funções: a) f(x) = logx 2 SOLUÇÃO b) f(x) = logcos x 2 SOLUÇÃO f(x) = logcos x 2 c) f(x) = arc sen x2 SOLUÇÃO y = x2 e z = arc sen y 3. Calcular as derivadas sucessivas de: a) f(x) = 3x2 + 5x + 6 b) f(x) = sen 2x SOLUÇÃO a) f(x) = 3x2 + 5x + 6f’(x) = 6x + 5 f”(x) = 6 f’”(x) = f(“)(x) = ... = 0 b) f(x) = sen 2x f’(x) = 2 . cos 2x f”(x) = –4 . sen 2x f”’(x) = –8 cos 2x 1. Dada f(x) = sen x, calcule , onde f(4) indica a derivada quarta de f. 59 2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi- co de y = tgx no ponto de abscissa . 3. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no ponto de abscissa vale: a) 1 b) 2 c) d) e) 0 4. Sabe-se que a metade dos produtos exportados pelo Brasil vem de recursos naturais. A derivada primeira da função E(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 4, para x = 2 equivale à porcentagem dos produ- tos primários (café, minério de ferro, etc.), que é de: a) 36 % b) 38 % c) 41 % d) 49 % 5. Determine as derivadas das seguintes funções: a) b) y = f(x) = arc tg x c) d) y = f(x) = arc sen x e) y = f(x) = arc cos x 6. Calcule o valor da segunda derivada de f(x) = cos 3x no ponto . 7. Determine a derivada de f(x) = senx3 . tg x. 8. Obtenha o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva f(x) = ln(x2 – 3), no ponto de abscissa x0 = 2. 9. Um móvel efetua um movimento retilíneo uni- formemente variado obedecendo à equação horária s = 6 – 10t + 4t2, em que o espaço s é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4 s, em m/s, vale: a) –10 m/s b) 0 m/s c) 10 m/s d) 22 m/s e) 32 m/s 10. Chama-se custo marginal de produção de um artigo o custo adicional para se produzir um artigo além da quantidade já prevista. Na práti- ca, a função custo marginal é a derivada da função custo. Uma fábrica de sapatos tem um custo para produzir x sapatos dado por C (x) = 3000 + 25 x, com C em reais. Qual é o custo marginal que essa fábrica terá para produzir mais um sapato? 11. Uma fábrica de componentes eletrônicos tem um custo para produzir x componentes dado por , com c em reais. Qual é o custo marginal que essa fábri- ca tem para produzir mais um componente quando x = 0, x = 100, x = 400 e x = 800 ? 12. Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, e a lei horária do movimento é dada por s = 2t2 – 5t – 2 (SI). A aceleração escalar do movimento é: a) 2m/s2 b) 4m/s2 c) –5m/s2 d) –7m/s2 e) zero Cálculo I – Derivada 60 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 12 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA Consideremos uma função real f definida num domínio D, tal que f é derivável em D. Os sinais da função derivada f´estão relaciona- dos ao crescimento ou decrescimento de f. E valem as seguintes propriedades: I) Se f´(x) é positiva para todo x de um inter- valo I, então f é crescente em I. f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0 f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0 f’(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f é crescente em I. II) Se f’(x) é negativa para todo x de um inter- valo I, então f é decrescente em I. f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0 f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0 f’(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f é decrescente em I. Suponhamos f derivável num intervalo aberto contendo x0 e que f’(x0) = 0. A reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 tem coeficiente angular m = f’(x0), portanto é paralela ao eixo x. a) f cresce antes de x0 e decresce depois de x0. Nesse caso, x0 é ponto de máximo local. b) f decresce antes de x0 e depois cresce de x0. Nesse caso, x0 é ponto de mínimo local. c) f cresce antes e depois de x0. Nesse caso, x0 é um ponto de Inflexão de f. d) f decresce antes e depois de x0. Nesse caso, x0 é ponto de inflexão de f. Conclusão: • Num intervalo em que f’(x) > 0, f é cres- cente. • Num intervalo em que f’(x) < 0, f é decres- cente. • Os pontos em que f’(x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de inflexão. Esses pontos são chamados pontos críticos de f. Exemplo: Determinar os pontos críticos e estudar a vari- ação da função f(x) = x3 – 3x, x∈IR. Esboçar o gráfico. Solução: f(x) = x3 – 3x ⇒ f’(x) = 3x2 – 3 f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 (pontos críticos) Gráfico de f f(x) = x3 – 3x, x∈IR x = –2 ⇒ f’(–2) > 0 x = 0 ⇒ f’(0) < 0 x = 2 ⇒ f’(2) > 0 Conclusão: f é crescente nos intervalos ]–∞,1] e ]1,+∞] e é decrescente em [–1;1]. Os pontos críticos são x = –1, ponto de máximo local, e x = 1, ponto de mínimo local. 12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA Consideremos uma função real f, definida num domínio D, tal que f é derivável até a segunda 61 Cálculo I – Derivada ordem em D, isto é, existem f´(x) e f”(x) em D. Os sinais da derivada segunda f”(x) estão rela- cionados à concavidade do gráfico de f. Propriedades: I) Se f”(x) é positiva para todo x de um inter- valo I, então f é côncava para cima em I. Concavidade para cima: pontos do gráfico ficam acima das retas tangentes tg α < tg β < tg y f’(x1) < f’(x2) < f’(x3) f’(x) é crescente f”(x) > 0 f”(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para cima em I II) Se f”(x) é negativa para todo x de um inter- valo I, então f é côncava para baixo em I. Concavidade para baixo: pontos do gráfico ficam abaixo das retas tangentes. tg α > tg β > tg y f’(x1) > f’(x2) > f’(x3) f’(x) é decrescente f”(x) < 0 f”(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para baixo em I Pontos de Inflexão – São os pontos em que f muda de concavidade . Num ponto de inflexão, a reta tangente ao gráfico corta a curva. Ponto de Inflexão: f muda de concavidade A reta tangente corta o gráfico f”(x0) = 0 e f’(x0) = tg α ≠ 0 Ponto de Inflexão horizontal – a reta tangente é paralela ao eixo x. f”(x0) = 0 e f’(x0) = 0 62 UEA – Licenciatura em Matemática • Um ponto x0 em que f”(x0) = 0 e f” muda de sinal (antes e depois de x0) é um ponto de inflexão de f. Se também f’(x0) = 0, dizemos que é um ponto de inflexão horizontal, pois a reta tangente é paralela ao eixo x. • Se f”(x0) = 0 mas f” não muda de sinal (antes e depois de x0), então f não muda de concavidade em x0; portanto, nesse caso, x0 não é ponto de inflexão. Exemplos: 1. Determinar os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função . Solução: f”(–1) = –2 < 0 f”(1) = 2 > 0 x = 0 ponto de inflexão. A função é côncava para baixo em ]–∞;0] e côncava para cima em ]0;+∞;]. 2. Determinar os pontos de inflexão e estudar a concavidade de . Solução: Não há ponto de inflexão. A função é côncava para cima em todo domínio IR. Gráfico de f 12.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS Cálculo de valores máximos ou mínimos de funções reais, que podem ser determinados pela análise dos sinais da derivada primeira f´. Outro recurso que pode ser empregado na identificação de pontos de máximos ou de mí- nimos é analisar o sinal da derivada segunda nos pontos que anulam a derivada primeira. Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então a reta tangente ao gráfico de f em x0 é paralela ao eixo x, e f tem concavidade positiva próximo de x0, portanto a 63 Cálculo I – Derivada reta tangente deixa os pontos do gráfico acima dela, logo x0 é um ponto de mínimo relativo de f. Ponto de mínimo: t//x; concavidade para cima Ponto de máximo: t//x; concavidade para baixo Conclusão: f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0 ⇒ x0 é ponto de mínimo de f. f’(x0) = 00 e f”(x0) < 0 ⇒ x0 é ponto de máximo de f. Obs.: Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, não podemos tirar conclusão a respeito do ponto x0. Neste caso, convém analisar os sinais de f´antes e depois de x0. Pode ocorrer que x0 seja ponto máximo, ou de mínimo ou de inflexão. Exemplo: Indentificar os pontos críticos da função f(x) = x6 – 6x2 + 4, x∈IR Solução: f(x) = x6 – 6x2 + 4 ⇒ f(x) = 6x5 – 12x ⇒ f”(x) = 30x4 – 12 Aplicar os critérios dos sinais da derivada segunda nos pontos críticos: Para x = 0 ⇒ f”(x) < 0. Então, x = 0 é ponto de máximo local
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