minimos quadrados

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120 CAPÍTULO 6. MÍNIMOS QUADRADOS
4. A tabela seguinte contém os registos efectuados dos valores médios da radiação solar
numa região de Portugal para alguns meses do ano:
mês (xi) J(1) F(2) M(3) A(4) M(5) J(6) J(7) A(8) S(9) O(10) N(11) D(12)
122 - 188 - - 270 - - - 160 - 120
Ajuste o modelo
M(x) = c1x+ c2sen(x)
aos valores da tabela, no sentido dos mínimos quadrados, e use o modelo encontrado
para prever a radiação média no mês de Agosto.
Resolução:
Mudança de variável: Radiação→ f(x).
Colocação da calculadora em modo radianos.
Trata-se de um modelo linear não polinomial, com φ1 = x e φ2 = sen(x). Resolve-se
recorrendo a (A.42).
x f(x) φ1 φ2 φ
2
1 φ
2
2 φ1φ2 fφ1 fφ2
1 122 1 0.841471 1 0.708073 0.841471 122 102.659460
3 188 3 0.141120 9 0.019915 0.423360 564 26.530562
6 270 6 -0.279415 36 0.078073 -1.676493 1620 -75.442185
10 160 10 -0.544021 100 0.295959 -5.440211 1600 -87.043378
12 120 12 -0.536573 144 0.287910 -6.438875 1440 -64.388750∑
- - - 290 1.389931 -12.290748 5346 -97.684291
Sistema linear em c1 e c2:
 290 −12.290748
−12.290748 1.389931



 c1
c2

 =

 5346
−97.684291


O sistema linear é resolvido por EGPP, obtendo os valores c1 = 24.720339 e c2 =
148.314761.
Assim, o modelo toma a forma de M(x) = 24.720339x+ 148.314761sen(x)
121
A radiação média no mês de Agosto é dada pelo valor da função com x = 8:
M(8) = 24.720339× 8 + 148.314761sen(8) = 344.499144
A radiação média durante o mês de Agosto é aproximadamente 344.499144.
CONUM:
MQLINE
Mínimos Quadrados - Modelo Não Polinomial Linear
Vector de Funções
x1
sen(x1)
Pontos Valores da Função
1.000000 122.000000
3.000000 188.000000
6.000000 270.000000
10.000000 160.000000
12.000000 120.000000
Ponto Interpolador = 8.000000
Parâmetros do Modelo
c[1] = 24.720341
c[2] = 148.314721
Soma dos Quadrados dos Resíduos = 45461.075610
Valor do Modelo no Ponto Interpolador = 344.499120