Introdução a teoria de membranas

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Introdu»c~ao µa Teoria de Membranas
(Vasos de Press~ao de Paredes Finas)
R.J. Marczak
Vers~ao 1.1 - dezembro/1999
Conte¶udo
1 Introdu»c~ao 1
2 Tens~oes resultantes 2
3 Equa»c~oes de equil¶ibrio 4
3.1 Membranas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Membranas de revolu»c~ao (cascas ¯nas de revolu»c~ao) . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Exemplos resolvidos 9
5 Prontu¶ario de solu»c~oes anal¶iticas 11
5.1 Reservat¶orios esf¶ericos e semi-esf¶ericos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Reservat¶orios cil¶indricos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Reservat¶orios co^nicos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.4 Outras geometrias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Dimensionamento 20
7 Uni~oes de vasos com geometrias diferentes - c¶alculo de tampas 20
8 Normas 21
1 Introdu»c~ao
O estudo da Meca^nica dos S¶olidos ¶e comumente dividido em classes estruturais: barras, vigas,
membranas, placas e cascas (¯gura 1). As equa»c~oes que governam cada classe s~ao v¶alidas
apenas como teorias estruturais, isto ¶e, incorporam simpli¯ca»c~oes assumidas para distribui»c~oes
de tens~oes e deslocamentos, a forma como os carregamentos s~ao aplicados, a geometria do
problema e o comportamento constitutivo do material. Todas estas simpli¯ca»c~oes te^m um ¶unico
objetivo: levar a teorias com equa»c~oes mais simples e com menor n¶umero de vari¶aveis, a ¯m
de facilitar sua solu»c~ao anal¶³tica ou num¶erica. Mais importante ainda, cada uma destas classes
possui portanto limites para utiliza»c~ao, a partir dos quais as hip¶oteses feitas n~ao se aplicam mais.
Deve-se ter sempre em mente que, em princ¶ipio, todo problema ¶e tridimensio-nal. Na pr¶atica,
no entanto, a solu»c~ao da grande maioria dos problemas atrav¶es da elasticidade tridimensional ¶e
imposs¶ivel, dada a complexidade da geometria, do carregamento ou das condi»c~oes de contorno do
problema. ¶E justamente a¶i que est¶a a vantagem de se utilizar uma teoria estrutural apropriada:
a possibilidade de se obter uma solu»c~ao razoavelmente precisa sem muita complica»c~ao.
Este texto objetiva fornecer uma introdu»c~ao resumida µa teoria de membranas, planas e
espaciais de revolu»c~ao. Membranas constituem uma importante categoria estrutural, sendo
sua aplica»c~ao geralmente associada a vasos de press~ao de parede ¯na, reservat¶orios, paredes
pressurizadas, etc. De uma maneira geral, a maior parte dos componentes estruturais planos ou
curvos com espessura muito ¯na apresentam uma rigidez µa °ex~ao muito pouco signi¯cativa em
compara»c~ao com a rigidez de membrana1 (¯gura 2). Nestes casos, as tens~oes devido a °ex~ao
1Por esta raz~ao as equa»c~oes de membranas s~ao muitas vezes chamadas de Teoria de Cascas Finas, denomina»c~ao
que tamb¶em ser¶a utilizada neste texto.
1
Figura 1: Classes estruturais mais comuns.
podem ser desprezadas em rela»c~ao µas tens~oes de membrana e as equa»c~oes aqui vistas fornecem
bons resultados.
Figura 2: Tens~oes de °ex~ao s~ao desconsideradas no estudo de membranas.
Assim como vigas s~ao caracterizadas como elementos estruturais em que uma das dimens~oes
¶e muito maior que as outras duas, membranas s~ao estruturas onde duas das dimens~oes s~ao
muito maiores que a terceira (espessura h). Tipicamente, considera-se casca ¯na estruturas em
que a raz~ao raio/espessura est¶a entre 50 e 1000. Outras categorias aparecem dependendo da
geometria encontrada. Por exemplo, cascas de revolu»c~ao s~ao as obtidas pela rota»c~ao de uma
geratriz (meridiano) em torno de um eixo de revolu»c~ao (eixo de axissimetria), cascas rasas s~ao
as cascas com curvatura pequena, e assim por diante (¯gura 3).
2 Tens~oes resultantes
Assim como nas teorias de vigas, ¶e muitas vezes mais pr¶atico se escrever as equa»c~oes gover-
nantes em termos de tens~oes resultantes. Tens~oes resultantes nada mais s~ao do que as tens~oes
usuais escritas por unidade de comprimento. Os ¶indices seguem a mesma nota»c~ao de tens~oes.
Usualmente, as tens~oes resultantes s~ao obtidas integrando-se as tens~oes locais ao longo da es-
2
(a)
(b)
geratriz
raio de curvatura
q
Figura 3: Exemplos de cascas: (a) casca de revolu»c~ao; (b) casca rasa.
pessura do corpo. Deste modo se obt¶em os esfor»cos internos que est~ao atuando sobre a parede
da membrana. Assim, tem-se as seguintes tens~oes resultantes (¯gura 4):
² Tens~oes resultantes de membrana:
Nxx =
Z
h
¾xx dz
Nyy =
Z
h
¾yy dz (1)
Nxy =
Z
h
¿xy dz
² Tens~oes resultantes de °ex~ao:
Mxx =
Z
h
¾xxz dz
Myy =
Z
h
¾yyz dz (2)
Mxy =
Z
h
¿xyz dz
² Tens~oes resultantes de cisalhamento:
Qx =
Z
h
¿xz dz
Qy =
Z
h
¿yz dz (3)
3
(a)
(b)
y x
z
y x
z
N
M
M
xx
yy
y
Q
N
Q
N
xy
yy
xx
x
xyN
xyM
xyM
Nyy xyN
N
Nxx
xy
Figura 4: Tens~oes resultantes em um elemento de (a) membrana ou (b) casca.
De acordo com o que foi destacado anteriormente, as tens~oes resultantes dadas pelas eqs.(2-
3) s~ao desprezadas no estudo de membranas, mas s~ao muito importantes no estudo de placas
e cascas de espessura signi¯cativa, pois neste caso os componentes suportam °ex~ao. Conse-
quentemente, os carregamentos que ser~ao considerados aqui s~ao os carregamentos de press~ao
interna (para membranas espaciais) e for»cas concentradas ou distribu¶idas que atuam no plano
da membrana (no caso de membranas planas).
Adicionalmente, j¶a que as tens~oes de °ex~ao s~ao desprezadas, n~ao h¶a necessidade de se integrar
as eqs.(1), pois as tens~oes s~ao constantes. Ent~ao, as eqs.(1) ¯cam:
Nxx = ¾xxh
Nyy = ¾yyh (4)
Nxy = ¿xyh
3 Equa»c~oes de equil¶ibrio
As equa»c~oes de equil¶ibrio para membranas podem ser deduzidas da forma usual, isto ¶e, veri¯can-
do o equil¶ibrio de um elemento in¯nitesimal. Vamos aqui deduzir dois casos b¶asicos: membranas
planas e membranas de revolu»c~ao.
3.1 Membranas planas
Seja um elemento diferencial de dimens~oes dx £ dy, como ilustrado na ¯gura 5, submetida a
for»cas de corpo bx e by.
4
Figura 5: Elemento diferencial de membrana plana.
Do equil¶ibrio nas dire»c~oes x e y, vem:X
Fx = (Nxx + dNxx)dy ¡ Nxxdy + (Nxy + dNxy)dx ¡ Nxydx + bxhdxdy = 0X
Fy = (Nyy + dNyy)dx ¡ Nyydx + (Nyx + dNyx)dy ¡ Nyxdy + byhdxdy = 0 :
O equil¶ibrio de momentos em torno do eixo z resulta apenas dNyx = dNxy (o que era de se
esperar, j¶a que ¾xy = ¾yx). Dividindo-se por dV = hdxdy resulta:
@Nxx
@x
+
@Nxy
@y
+ hbx = 0 (5a)
@Nxy
@x
+
@Nyy
@y
+ hby = 0 : (5b)
Ou, em termos de tens~oes locais:
@¾xx
@x
+
@¿xy
@y
+ bx = 0 (6a)
@¿xy
@x
+
@¾yy
@y
+ by = 0 : (6b)
Obviamente, a solu»c~ao das eqs.(6a-6b) ¶e muito dif¶icil para geometrias mais complidadas.
Este caso constitui um t¶opico importante da Elasticidade bidimensional, e n~ao ser¶a visto aqui.
3.2 Membranas de revolu»c~ao (cascas ¯nas de revolu»c~ao)
Este caso ¶e especialmente importante para aplica»c~oes em vasos de press~ao e reservat¶orios em
geral. Usualmente, estes elementos s~ao esf¶ericos, cil¶indridos, co^nicos etc. Assim, sua geometria
apresenta um ou dois raios de curvatura e um eixo de revolu»c~ao. Utilizando a de¯ni»c~ao de
meridiano e paralelo (¯gura 8), ¶e mais f¶acil utilizar a nota»c~ao de tens~oes referenciada aos eixos
circunferencial (paralelo) e meridional (meridiano). Da mesma forma, a posi»c~ao de um ponto
¯ca completamente de¯nida com a indica»c~ao dos a^ngulos sobre estes eixos: o a^ngulo µ indica a
posi»c~ao circunferencial enquanto o a^ngulo Á indica a posi»c~ao meridional. A dire»c~ao perpendicular
ao plano tangente µa membrana ser¶a denotada pelo ¶indice n. Este tipo de problema ¶e chamado
de axissim¶etrico, isto ¶e, a solu»c~ao obtida para um meridiano¶e a mesma para qualquer posi»c~ao µ.
¶E importante notar que um dado problema s¶o pode ser considerado axissim¶etrico se n~ao apenas
5
Figura 6: Exemplos de problemas (a) axissim¶etricos e (b) n~ao-axissim¶etricos.
a geometria, mas tamb¶em o carregamento e as condi»c~oes de contorno s~ao axissim¶etricas (¯gura
6).
A geometria deste tipo de problema pode ser completamente de¯nida pela geratriz (merid-
iano) e o eixo de revolu»c~ao, ou ainda pelos dois raios de curvatura da geratriz: rm ¶e o raio
de um dado ponto da geratriz at¶e o eixo de revolu»c~ao (medido perpendicularmente µa geratriz),
enquanto rµ ¶e o raio de curvatura local da geratriz no plano da geratriz. Um outro raio que pode
ser ¶util ¶e ro, que ¶e dado pela dista^ncia da geratriz at¶e o eixo de revolu»c~ao, perpendicularmente
a este ¶ultimo. A ¯gura 7 ilustra alguns exemplos.
Seja agora um elemento diferencial como o ilustrado na ¯gura 8, submetida µa uma press~ao
p. Como o problema ¶e axissim¶etrico, apenas a tens~ao meridional (¾mm) varia de uma aresta
do elemento a outra, enquanto a tens~ao circunferencial (¾
µµ
) permanece constante para cada
paralelo. Obviamente a tens~ao cisalhante de membrana ¾mµ tamb¶em ¶e nula.
Projetando-se todas as for»cas na dire»c~ao normal ao plano tangente e efetuando-se o somat¶orio
resulta: X
Fn = (Nµµ + dNµµ) rmdÁ sin
dµ
2
+ Nmm rµdµ sin
dÁ
2
+
+(Nmm + dNmm ) rµdµ sin
dÁ
2
¡ p r
µ
dµ rmdÁ
= 0 :
6
Figura 7: Exemplos de cascas de revolu»c~ao: (a) casca gen¶erica; (b) casca cil¶indrica; (c) casca
co^nica; (d) casca esf¶erica e (e) casca toroidal.
Considerando os a^ngulos dµ e d'pequenos, sindµ=2 ' dµ=2 e sin dÁ=2 ' dÁ=2. Desprezando-se
os produtos dNmm dµ dÁ e dNµµ dµ dÁ, resulta
Nµµ
r
µ
+
Nmm
rm
= p ; (7)
ou, em termos de tens~oes:
¾µµ
r
µ
+
¾mm
rm
=
p
h
: (8)
A eq.(8) ¶e chamada equa»c~ao de Laplace. Obviamente esta equa»c~ao sozinha n~ao permite o
c¶alculo das duas tens~oes. A ¯m de se obter uma outra equa»c~ao, pode-se veri¯car o equil¶ibrio
al longo da dire»c~ao tangencial. Entretanto, isto resultaria em uma identidade. Uma forma
alternativa muito simples de se obter uma equa»c~ao adicional ¶e veri¯car o equil¶ibrio de toda a
estrutura ao longo do eixo de revolu»c~ao, utilizando-se um corte na altura de um paralelo qualquer
como refere^ncia (¯gura 9). Assim,
2¼roNmm sinÁ = F ;
Nmm =
F
2¼ro sinÁ
: (9)
onde F ¶e a resultante do carregamento ao longo do eixo de simetria. Se a membrana est¶a sujeita
apenas a press~ao interna, ent~ao F = ¼r2op. Se existirem outros carregamentos, estes devem ser
adicionados a F . Por exemplo, se al¶em da press~ao interna o vaso estiver cheio de l¶iquido, ent~ao
F = ¼r2op + P , onde P ¶e o peso do l¶iquido contido, e assim por diante.
7
Figura 8: Elemento diferencial de membrana de revolu»c~ao.
Em termos da tens~ao meridional, a eq.(9) ¯ca:
¾mm =
F
2¼hro sinÁ
: (10)
Agora, a partir da determina»c~ao de ¾mm pode-se obter ¾µµ atrav¶es da eq.(8). Esta abordagem
¶e particularmente atrativa porque n~ao foi feito qualquer uso das propriedades do material, e
portanto as equa»c~oes s~ao v¶alidas para problemas n~ao lineares tamb¶em.
Por outro lado, existem limita»coes. A mais importante delas se deve ao fato de que a
eq.(9) requer que o v¶inculo resista µa for»ca que atua tangencialmente µa casca. Entretanto, foi
utilizada apenas a componente da rea»c~ao ao longo do eixo de revolu»c~ao. Ou seja, n~ao ¶e feita
qualquer veri¯ca»c~ao do que acontece na dire»c~ao perpendicular µa membrana (¯gura 10). Se
Figura 9: Equil¶ibrio ao longo do eixo de revolu»c~ao.
8
o v¶inculo suportar estas for»cas, ocorrer~ao tens~oes de °ex~ao de grande magnitude na regi~ao
pr¶oxima ao v¶inculo. Usualmente, s~ao adotados an¶eis de refor»co nas extremidades para resistirem
a este esfor»co. Entretanto, nestes casos aparecem tens~oes signi¯cativas de °ex~ao que oscilam
violentamente quando se aproxima da extremidade. O mesmo ocorre nas arestas de intersec»c~ao
de geometrias diferentes. Este efeito ¶e comumente chamado de efeito de bordo, e um tratamento
detalhado deste assunto exige o uso de teorias de °ex~ao de cascas. Por outro lado, por se
tratar de um efeito muito localizado, as equa»c~oes aqui vistas podem ser utilizadas para efeito
de dimensionamento global do vaso.
Figura 10: Efeito das condi»c~oes de contorno na extremidade da casca.
4 Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Determinar as tens~oes circunferenciais e meridionais em um reservat¶orio esf¶erico submetido µa
press~ao interna.
Neste caso, tem-se
rm = rµ = ro = R
Tomando-se metade da esfera, pode-se aplicar a eq.(10):
¾mm =
F
2¼hR
e como
F = ¼R2p
ent~ao
¾mm =
pR
2h :
9
Substituindo este resultado na eq.(8) obt¶em-se
¾mm = ¾µµ :
¥
Exemplo 2: O tanque cil¶indrido ilustrado abaixo possui uma tampa co^nica e est¶a completamente preenchido
de um °uido com peso espec¶i¯co ° = ½g. Determinar as tens~oes resultantes na parte cil¶indrica e na tampa
co^nica.
Primeiramente, ser¶a analisada a parte cil¶indrica. Os raios de curvatura s~ao:
rm = 1
r
µ
= R
Ent~ao, como o raio de curvatura meridional ¶e in¯nito, a eq.(7) se reduz a:
Nµµ
rµ
=
Nµµ
R
= p ;
onde a press~ao ¶e dada pelo carregamento hidrost¶atico p = °z = ½gz. Portanto,
Nµµ = ½gzR 0 · z · H:
Agora, pela eq.(10), torna-se claro que
Nmm = 0 0 · z · H :
Resolvendo agora a parte co^nica, veri¯ca-se que em qualquer posi»c~ao z > H o carregamento resultante sobre
o tampo ¶e:
F =°H¼R2| {z }
cilindro
+
°
3
(H + D ¡ z) ¼R2| {z }
cone
Usando a eq.(9):
Nmm =
F
2¼R sin® =
°H¼R2+ °
3
(H+D¡z)¼R2
2¼R sin® H · z · H + D ;
enquanto
Nµµ = ½gzR ;
como na parte cil¶indrica, pois rm = 1 tamb¶em na parte co^nica.
Observe{se que, como os resultados foram calculados em termos de tens~oes resultantes, tanto a parte cil¶indrica
quanto a parte co^nica podem ter qualquer espessura, pois esta s¶o ¶e utilizada no c¶alculo das tens~oes nominais ¾mm
e ¾µµ .
¥
10
5 Prontu¶ario de solu»c~oes anal¶iticas
Nesta se»c~ao ser~ao apresentadas algumas solu»c~oes anal¶iticas retiradas da bibliogra¯a. Nas equa»c~oes
apresentadas, E ¶e o m¶odulo de elasticidade, º ¶e o coe¯ciente de Poisson, °m ¶e o peso espec¶i¯co
do material do reservat¶orio (por unidade de ¶area projetada) e ° ¶e o peso espec¶i¯co do °uido
contido no reservat¶orio (isto ¶e ½g). Quando pertinente, ¶e apresentado tamb¶em o deslocamento
sofrido pela membrana na dire»c~ao radial u e a respectiva rota»c~ao da superf¶icie m¶edia da casca '.
Em alguns outros casos ¶e fornecido ainda o deslocamento longitudinal w, isto ¶e, ao longo do eixo
de revolu»c~ao. Observe-se que apenas a condi»c~ao de contorno de apoio deslizante ¶e considerada,
e portanto n~ao s~ao consideradas quaisquer tens~oes de °ex~ao. Nos casos onde ocorre a uni~ao de
geometrias diferentes, as solu»c~oes apresentadas n~ao devem ser utilizadas nas intersec»c~oes.
5.1 Reservat¶orios esf¶ericos e semi-esf¶ericos:
Estes casos est~ao ilustrados na ¯gura 11. Os carregamentos considerados s~ao press~ao uniforme
e cargas hidrost¶aticas.
² Reservat¶orio esf¶erico submetido a press~ao uniforme - ¯guras 11-a e 11-c:
¾mm =
pR
2h
¾
µµ
= ¾mm
u =
pR2
2Eh
(1 ¡ º)
' = 0
Esta solu»c~ao ¶e v¶alida tamb¶em para semi-esferas (¯gura 11-c).
² Reservat¶orio esf¶erico preenchido com l¶iquido e apoiado por anel - ¯gura 11-b:
Neste caso a press~ao no interior do reservat¶orio ¶e dada por: p = °R (1 ¡ cos ®) :
Para ® · ®o:
¾mm =
°R2
6h
µ
1 ¡ 2 cos
2 ®
1 + cos ®
¶
¾µµ =
°R2
6h
µ
5 ¡ 6 cos ® + 2cos
2 ®
1 + cos®
¶
Para ® > ®o:
¾mm =
°R2
6h
µ
5 +
2 cos2 ®
1 + cos ®
¶
¾µµ =
°R2
6h
µ
1 ¡ 6 cos ® ¡ 2 cos
2 ®
1 + cos®
¶
² Reservat¶orio semi-esf¶erico sob peso pr¶oprio - ¯gura11-d2:
¾mm =
¡°mR
h (1 + cos ®)
¾
µµ
=
¡°mR
h
µ
cos ® ¡ 1
1 + cos®
¶
2Caso a geometria esteja invertida em rela»c~ao µa ilustrada, deve-se trocar os sinas de ambas componentes de
tens~ao e dos deslocamentos.
11
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
R
u
p
u
p
R R
u
a j
R
a
a o
R
u
a j
d
R
u
a
j
d
R
u
ad R
u
a
j d
j
Figura 11: Reservat¶orios esf¶ericos: (a) sob press~ao interna uniforme; (b) completamente preenchi-
do de °uido. Reservat¶orios semi-esf¶ericos: (c) sob press~ao interna uniforme; (d) sob peso pr¶oprio;
(e) convexo sob carga hidrost¶atica completa; (f) co^ncavo sob carga hidrost¶atica completa; (g)
convexo sob carga hidrost¶atica parcial; (h) co^ncavo sob carga hidrost¶atica parcial.
12
O deslocamentos radial e a rota»c~ao s~ao, respectivamente:
u =
°mR
2
Eh
sin®
·
1 + º
sin2 ®
(1 ¡ cos®) ¡ cos®
¸
' =
¡°mR
Eh
(2 + º) sin®
² Reservat¶orio semi-esf¶erico convexo sob carga hidrost¶atica completa- ¯gura 11-
e:
¾mm =
¡°R2
6h
µ
¡1 + 3d
R
¡ 2 cos
2 ®
1 + cos®
¶
¾
µµ
=
¡°R2
6h
µ
¡1 + 3d
R
¡ 4 cos
2 ® ¡ 6
1 + cos®
¶
u =
¡°R3
6Eh
sin®
·
3
µ
1 +
d
R
¶
(1 ¡ º) +
¡ 6 cos® ¡ 2 (1 ¡ º)
sin2 ®
¡
cos3 ® ¡ 1¢¸
' =
°R2
Eh
sin®
² Reservat¶orio semi-esf¶erico co^ncavo sob carga hidrost¶atica completa- ¯gura 11-f:
¾mm =
¡°R2
6h
µ
¡1 ¡ 3d
R
¡ 2 cos
2 ®
1 + cos®
¶
¾
µµ
=
¡°R2
6h
µ
¡1 ¡ 3d
R
¡ 4 cos
2 ® ¡ 6
1 + cos®
¶
u =
¡°R3
6Eh
sin®
·
3
µ
1 ¡ d
R
¶
(1 ¡ º) +
¡ 6 cos® ¡ 2 (1 ¡ º)
sin2 ®
¡
cos3 ® ¡ 1¢¸
' =
¡°R2
Eh
sin®
² Reservat¶orio semi-esf¶erico convexo sob carga hidrost¶atica parcial- ¯gura 11-g:
A press~ao sobre a estrutura ¶e dada pela express~ao: p = ° (R ¡ R cos ® ¡ d). Para pontos
acima do n¶ivel do l¶iquido:
¾mm = 0
¾µµ = 0
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¾mm =
¡°R2
6h
½
d
R
·
d
R sin2 ®
µ
3 ¡ d
R
¶
¡ 3
¸
+ 1 ¡ 2 cos
2 ®
1 + cos ®
¾
¾µµ =
¡°d2
6h
µ
1 ¡ cos ® ¡ d
R
¶
¡ ¾mm
13
² Reservat¶orio semi-esf¶erico co^ncavo sob carga hidrost¶atica parcial- ¯gura 11-h:
A press~ao sobre a estrutura ¶e dada pela express~ao: p = ¡° [R ¡ R cos (¼ ¡ ®) ¡ d]. Para
pontos acima do n¶ivel do l¶iquido:
¾mm =
°d2
6h
µ
3 ¡ d
R
¶
1
sin2 (¼ ¡ ®)
¾
µµ
=
¡°d2
6h
µ
3 ¡ d
R
¶
1
sin2 (¼ ¡ ®)
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¾mm =
°R2
6h
·
3d
R
¡ 1 + 2 cos
2 (¼ ¡ ®)
1 + cos (¼ ¡ ®)
¸
¾
µµ
= °R2
·
d
R
¡ 1 + cos (¼ ¡ ®)
¸
¡ ¾mm
5.2 Reservat¶orios cil¶indricos:
A geometria e o carregamento correspondente a estes casos est~ao ilustrados na ¯gura 12. Os
carregamentos considerados s~ao press~ao uniforme e carga hidrost¶atica.
² Reservat¶orio cil¶indrico com extremidades abertas sob press~ao uniforme - ¯gura
12-a:
Esta solu»c~ao n~ao deve ser aplicada em regi~oes pr¶oximas µas bordas do cilindro.
¾mm =
pR
2h
¾µµ =
pR
h
O deslocamento radial do cilindro ¶e:
u =
pR2
Eh
³
1 ¡ º
2
´
² Reservat¶orio cil¶indrico sob carga hidrost¶atica completa - ¯gura 12-b:
¾mm =
°HR
2h
¾
µµ
=
° (H ¡ z)R
h
² Reservat¶orio cil¶indrico sob carregamento linear gen¶erico - ¯gura 12-c:
¾mm = 0
¾µµ =
pR
h
³
1 + ¸ ¡ z
H
´
O deslocamento longitudinal e radial do cilindro s~ao, respectivamente:
u =
¡1
Eh
h
ºpRz
³
1 + ¸ ¡ z
2H
´i
w =
1
Eh
h
pR2
³
1 + ¸ ¡ z
H
´i
14
R
R
H
z
R
z
H
p (1+ )ppl l
pl
(a) (b)
(c)
p
Figura 12: Reservat¶orios cil¶indricos: (a) press~ao uniforme; (b) completamente preenchido de
°uido; (c) carregamento gen¶erico linearmente vari¶avel.
15
5.3 Reservat¶orios co^nicos:
A geometria e o carregamento correspondente a estes casos est~ao ilustrados na ¯gura 13. Os
carregamentos considerados s~ao press~ao uniforme e carga hidrost¶atica.
² Reservat¶orio co^nico sob press~ao uniforme - ¯gura 13-a:
¾mm =
¡pz cot®
h
¾
µµ
=
¡pz cot®
2h
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~ao, respectivamente3:
u =
¡pz2
Eh
cos® cot®
³
1 ¡ º
2
´
' =
3pz
2Eh
cot2 ®
² Reservat¶orio co^nico sob carregamento hidrost¶atico completo - lado convexo -
¯gura 13-b:
¾mm =
¡°z cos®
h
µ
H
2 sin®
+
z
3
¶
¾
µµ
=
¡°z cos®
h
µ
H
sin®
+ z
¶
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~ao, respectivamente:
u =
°z2
Eh
cos2 ®
·
H
sin®
³º
2
¡ 1
´
+ z
³º
3
¡ 1
´¸
' =
°z
Eh
cos2 ®
sin®
µ
3
2
H
sin®
+
8z
3
¶
² Reservat¶orio co^nico sob carregamento hidrost¶atico completo - lado co^ncavo -
¯gura 13-c:
¾mm =
¡°z cos®
h
µ
z
3
¡ H
2 sin®
¶
¾
µµ
=
¡°z cos®
h
µ
z ¡ H
sin®
¶
O deslocamento radial do cone e a rota»c~ao s~ao, respectivamente:
u =
¡°z2
Eh
cos2 ®
·
z
³º
3
¡ 1
´
¡ H
sin®
³º
2
¡ 1
´¸
' =
°z
Eh
cos2 ®
sin®
µ
3
2
H
sin®
¡ 8z
3
¶
3Se a geometria estiver invertida em rela»c~ao µa ¯gura, os sinais de u e ' devem ser trocados.
16
Figura 13: Reservat¶orios co^nicos: (a) press~ao uniforme; (b) carregamento hidrost¶atico comple-
to - lado convexo; (c) carregamento hidrost¶atico completo - lado co^ncavo; (d) carregamento
hidrost¶atico parcial - lado convexo; (e) carregamento hidrost¶atico parcial - lado co^ncavo.
17
² Reservat¶orio co^nico sob carregamento hidrost¶atico parcial - lado convexo -
¯gura 13-d:
Para pontos acima do n¶ivel de °uido,
¾mm = 0
¾
µµ
= 0
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¾mm =
¡°
6zh
·
H3 cos ®
sin3 ®
+ z2 (2z cos ® ¡ 3H cot®)
¸
¾µµ =
¡°z (z cos ® ¡ H cot®)
h
² Reservat¶orio co^nico sob carregamento hidrost¶atico parcial - lado co^ncavo -
¯gura 13-e:
Para pontos acima do n¶ivel de °uido,
¾mm =
°H3
6zh
cos ®
sin3 ®
¾
µµ
= 0
enquanto para pontos abaixo do n¶ivel de l¶iquido:
¾mm =
°z
2h
(3H cot® ¡ 2z cos ®)
¾
µµ
=
°z (H cot® ¡ z cos®)
h
5.4 Outras geometrias:
Algumas geometrias de utilidade pr¶atica est~ao ilustradas na ¯gura 14.
² Tampo el¶iptico sob press~ao uniforme - ¯gura 14-a:
¾mm =
pa2
2h
Ã
1p
a2 sin2 Á + b2 cos2 Á
!
¾
µµ
=
pa2
2b2h
"
b2 ¡ ¡a2 ¡ b2¢ sin2 Áp
a2 sin2 Á + b2 cos2 Á
#
E podem ser calculados os deslocamentos axial, radial e rotacional, dados respectivamente
por:
w =
pa2
4Eh
24µ3a2
b2
+ 1 ¡ 2º
¶
cos Á
1 + sin2 Á
q
a2
b2 ¡ 1
¡ 2a
2
b2
cosÁ +
+
b
a
r
a2
b2
¡ 1
µ
a2
b2
¡ 1
2
+ º
¶
ln
0@ ab +
q
a2
b2
¡ 1 cosÁ
a
b ¡
q
a2
b2
¡ 1 cosÁ
1A
18
Figura 14: Reservat¶orios diversos: (a) Tampo el¶iptico submetido a press~ao interna; (b) reser-
vat¶orio toroidal sob press~ao interna; (c) reservat¶orio cil¶indrico com tampa co^nica sob carregamen-
to hidrost¶atico completo; (d) reservat¶orio cil¶indrico com tampa semi-esf¶erica sob carregamento
hidrost¶atico completo.
u =
pR2
µ
sinÁ
2Eh
µ
2 ¡ º ¡ RÁ
R
µ
¶
' =
pR
µ
2Eh tanÁ
µ
R
µ
R
Á
¡ 1
¶µ
R
µ
R
Á
+ 3
¶
² Reservat¶orio toroidal sob press~ao uniforme - ¯gura 14-b:
¾mm =
pR
2h
µ
r + H
r
¶
¾
µµ
=
pR
2h
O deslocamento radial do toro ¶e dado por:
u =
pr2
2Eh
·
R
r
(1 ¡ 2º) + (1 ¡ º) sin®
¸
² Reservat¶orio cil¶indrico com tampa co^nica sob carregamento hidrost¶atico - ¯gu-
ra 14-c:
19
As express~oes abaixo se aplicam apenas para a tampa:
¾mm =
° tan®
2h cos ®
µ
H + F ¡ 2z
3
¶
z
¾µµ =
°z tan®
h cos ®
(H + F ¡ z)
² Reservat¶oriocil¶indrico com tampa semi-esf¶erica sob carregamento hidrost¶atico
- ¯gura 14-d:
As express~oes abaixo se aplicam apenas para a tampa:
¾mm =
°R
2h
·
H + F ¡ z + z (3R ¡ z)
3 (2R ¡ z)
¸
¾µµ =
°R
2h
·
H + F ¡ z ¡ z (3R ¡ z)
3 (2R ¡ z)
¸
6 Dimensionamento
As equa»c~oes aqui apresentadas fornecem resultados v¶alidos para corpos de revolu»c~ao em regi~oes
longe de perturba»c~oes. Portanto, n~ao se deve aplic¶a-las em ¶areas pr¶oximas a bocais, soldas,
refor»cos, parafusos etc. Desta forma, permitem uma an¶alise do comportamento global da es-
trutura, devendo-se recorrer a outros m¶etodos de an¶alise para solu»c~oes locais. Ent~ao, estas
equa»c~oes s~ao um ¶otimo ponto de partida para se realizar um pr¶e-dimensionamento do vaso, isto
¶e, determina»c~ao das dimens~oes principais, espessura de parede, press~ao m¶axima etc.
Se nenhuma norma espec¶i¯ca ¶e exigida, o dimensionamento geral segue as regras usuais, ou
seja, adota-se um crit¶erio de falha adequado para o material utilizado. Comumente se utiliza
ligas de materiais met¶alicos, mas materias n~ao met¶alicos como alum¶inio, cobre e bronze tamb¶em
s~ao muito utilizados. N~ao ¶e recomend¶avel o uso de materias fr¶ageis, especialmente para grandes
press~oes e altas temperaturas. Desta forma, a Teoria da M¶axima Energia de Distor»c~ao constitui
uma boa regra geral para veri¯ca»c~ao dos c¶alculos. Como n~ao h¶a tens~ao cisalhante em problemas
axissim¶etricos, as dire»c~oes meridional e circunferencial j¶a s~ao as dire»c~oes principais. Em outras
palavras, ¾mm e ¾µµ s~ao tens~oes princiapais em problemas axissim¶etricos. Nestes casos a TMED
se reduz a: q
¾2mm + ¾
2
µµ
¡ ¾mm¾µµ · ¾adm : (11)
Mas aten»c~ao! Um detalhe importante muitas vezes esquecido ¶e o fato das propriedades dos
materias se alterarem com a temperatura. Por exemplo, o m¶odulo de elasticidade dos materiais
diminui µa medida que se aumenta a temperatura. Estes dados podem ser encontrados na forma
de gr¶a¯cos E £ T para diversos materiais. Portanto, na hora de calcular, adote o m¶odulo de
elasticidade correto para a temperatura de opera»c~ao da estrutura, ou a temperatura mais cr¶itica.
Inversamente, reservat¶orios a temperaturas extremamente baixas usualmente fragilizam o metal
utilizado.
7 Uni~oes de vasos com geometrias diferentes - c¶alculo de tampas
Quando se deseja fabricar um vaso composto por diversas geometrias, deve-se levar em conta que
cada geometria se comporta de forma diferente. Seja por exemplo um vaso cil¶indrico com tampa
20
esf¶erica sujeito a uma press~ao interna uniforme. Se analisados separadamente, a extremidade
do vaso cil¶indrico que ¶e conectada µa tampa sofre um deslocamento radia uc, enquanto a tampa
esf¶erica sofre um deslocamento radial ue. Acontece que, por serem geometrias diferentes, uc 6= ue.
O mesmo ocorre com as rota»c~oes das respectiva bordas. Para que ambas as partes se comportem
como um ¶unico elemento, portanto, torna-se necess¶ario a aplica»c~ao de for»cas radiais e momentos
°etores na regi~ao da conex~ao para manter ambas as partes unidas. Estes esfor»cos provocam
tens~oes de °ex~ao que invalidam o uso da teoria de membranas para c¶alculo destas uni~oes. Uma
alternativa ¶e utilizar para o cilindro uma espessura diferente da utilizada na tampa, de modo
que o deslocamento radial de ambas as partes seja o mesmo. Isto alivia as tens~oes de °ex~ao, mas
n~ao as elimina, pois ainda assim permanecer¶a o problema com as rota»c~oes. Outra alternativa ¶e
a utiliza»c~ao de um anel de refor»co na conex~ao. Felizmente, estes efeitos s~ao bastante localizados
e desaparecem µa medida que se afasta da regi~ao da conex~ao, o que permite o uso das equa»c~oes
de membrana para o dimensionamento do restante do vaso. O c¶alculo das uni~oes, no entanto,
deve seguir a teoria de °ex~ao de cascas e as normas correspondentes.
Outro aspecto interessante em problemas que envolvem uni~oes de geometrias diferentes ¶e o
chamado projeto para iso-resiste^ncia. Esta metodologia adota uma espessura espec¶i¯ca para
cada geometria de modo que as tens~oes sejam aproximadamente as mesmas em todas as sec»c~oes
utilizadas. Um tratamento detalhado de uni~oes em vasos de press~ao foge ao escopo deste texto.
8 Normas
Existe um n¶umero muito grande de normas para projeto e dimensionamento de vasos de press~ao,
que s~ao a principal aplica»c~ao das equa»c~oes de membrana. Devido µa responsabilidade associada
a este tipo de elemento estrutural, as normas mais abrangentes abordam n~ao apenas crit¶erios
para dimensionamento, mas tamb¶em detalhes de projeto, exige^ncias de fabrica»c~ao, montagem
e inspe»c~ao assim como dos materiais utilizados. Dentre as normas mais utilizadas no mundo,
destacam-se:
² C¶odigo ASME, Se»c~ao VIII, Divis~ao 1: ¶E a norma de uso mais difundido no Brasil e
no mundo, e inclui vasos de press~ao de quase todos os tipos.
² C¶odigo ASME, Se»c~ao VIII, Divis~ao 2: Apresenta normas alternativas mais avan»cadas
para projetos de vasos de press~ao especiais.
² Norma inglesa BS-5500.
² Normas alem~as A.D. Merkblatt.
² Outras
Na pr¶atica, a homologa»c~ao de um projeto de vaso de press~ao em geral requer o cumprimento
de uma destas normas ou de alguma norma equivalente. Recomenda-se fortemente a utiliza»c~ao
de normas para vasos de press~ao sujeitos a press~oes extremas, grandes temperaturas ou contendo
materiais t¶oxicos.
Refere^ncias
[1] ASME Pressure Vessel Code, Sec»c~ao VIII, Divis~ao 2, ASME, 1983
21
[2] E.H. Baker, L. Kovalevsky e F.K. Rish: Structural Analysis of Shells, McGraw-Hill, 1972.
[3] W. FlÄugge: Stresses in Shells, Springer-Verlag, 1967.
[4] R.C. Juvinall e K.M. Marshek: Fundamentals of Machine Component Design, John Wiley
& Sons, 1991.
[5] G.S. Pissarenko, A.P. Iakovlev e V.V. Matveiev: Prontu¶ario de Resiste^ncia dos Materiais,
Mir Moscovo, 1985.
[6] E.P. Popov: Introdu»c~ao µa Meca^nica dos S¶olidos, Edgard BlÄucher, 1978.
[7] R.J. Roark: Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, 1968.
[8] J.C.S. Telles: Vasos de Press~ao, 2a edi»c~ao, LTC, 1996.
[9] Standards of the Tubular Exchanger Manufacturers Association, 7a edi»c~ao, Tubular Ex-
changer Manufacturers Association, 1988.
[10] C¶alculo e Projeto de Vasos de Press~ao, Associa»c~ao Brasileira de Soldagem, 19??
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