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Equações diferenciais-Revisão derivadas
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Equações Diferenciais Curso: Engenharia Equações Diferenciais Revisão Conceitos de Derivadas Principal ferramenta matemática utilizada para calcular e estudar taxas de variação Taxa de variação instantânea Geometricamente: declividade da reta tangente. Derivadas usando a definição de limites Equações Diferenciais Outras notações Se usarmos a notação tradicional y=f(x) para indicar que a variável independente é x enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são como se segue: 𝑓′ 𝑥 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) Os símbolos D e d/dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. Equações Diferenciais O símbolo dy/dx, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente (por ora); trata-se simplesmente de um sinônimo para f’(x). Todavia, essa notação é muito útil e proveitosa, especialmente quando usada em conjunto com a notação de incremento. Podemos reescrever a definição de derivada, 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim 𝑥2→𝑥1 𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1) Como: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 Equações Diferenciais Para indicar o valor de uma derivada dy/dx na notação de Leibniz em número específico a, usamos a notação, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑎 ou 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=𝑎 que é um sinônimo para f’(a). Equações Diferenciais Principais Regras de derivação Derivada de uma função constante 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥) = lim ℎ→0 𝑐 − 𝑐 = lim ℎ→0 0 = 0 Exemplos: f(y)=2 f(x)=35 f(y)=x f(x)=y f(n)=2 f(x)=n Equações Diferenciais A regra da potência (Versão geral) Se n for um número real qualquer, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 Exemplos: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔 𝒚 = 𝒙𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒚 = 𝒕𝟒 𝒅 𝒅𝒓 𝒓𝟑 = ⋯ Equações Diferenciais Regra do múltiplo constante Se c for uma constante e f uma função diferenciável, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) Exemplos: 𝒅 𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟒 = ⋯ 𝒅 𝒅𝒙 −𝒙 = ⋯ Equações Diferenciais Regra da Soma Se f e g forem ambas diferenciáveis, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Regra da Diferença: Se f e g forem ambas diferenciáveis, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Equações Diferenciais Derivada da função Exponencial Natural 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 Equações Diferenciais Regra do produto Se f e g forem diferenciáveis, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ] Exemplo: 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 , 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓′(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑒𝑥 = 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥. 1 = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 Equações Diferenciais Regra do Quociente Se f e g forem diferenciáveis, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ] 𝑔(𝑥) 2 Equações Diferenciais Tabela de regras de derivações 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 𝑐𝑓 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑓𝑔 ′ = 𝑓𝑔′ + 𝑔𝑓′ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 𝑓 + 𝑔 ′ = 𝑓′ + 𝑔′ 𝑓 𝑔 ′ = 𝑔𝑓′ − 𝑓𝑔′ 𝑔2 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 (𝑓 − 𝑔)′= 𝑓′ − 𝑔′ Equações Diferenciais Derivadas das funções trigonométricas 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 (sec 𝑥) = sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑔 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 Equações Diferenciais Regra da Cadeia Utilizada em função composta 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Se y=f(u) e u=g(x) forem funções diferenciáveis, então: Equações Diferenciais Regra da potência combinada com a regra da cadeia Se n for qualquer número e u=g(x) for diferenciável, então: 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Alternativamente, 𝑑 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ]𝑛= 𝑛 𝑔 𝑥 𝑛−1. 𝑔′(𝑥) Equações Diferenciais Derivadas de funções logarítmicas 𝑑 𝑑𝑥 log𝑎 𝑥 = 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥 = 1 𝑥 Obrigada!
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