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CÁLCULO III AULA 3 – Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Conteúdo Programático 1. Vetor tangente 2. Reta tangente 3. Vetor tangente unitário 4. Vetor Normal principal 5. Curvatura Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III VETOR TANGENTE Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLOS 1. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado. Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = -1. 2. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Agora podemos calcular a derivada da g(t) no ponto t0 = 1. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III 3. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = π. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III RETA TANGENTE Vamos considerar P(x,y,z) um ponto de C e to um parâmetro. Conforme estudamos na aula 1 o vetor é tangente à curva no ponto P. Seja C uma curva representada por Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III O vetor σ’(to ) determina a reta tangente em cada ponto da curva. Considerando σ(to ) = P e σ’(to ) = o vetor tangente a curva em P. A reta passa por um ponto P com direção Tem como equação r(t) = σ(to ) + t. σ’(to ) , t é um parâmetro real. Podemos escrever: Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado. Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Vamos considerar t0 = 1. Derivamos a função vetorial dada. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Esta função nos leva ao vetor diretor ou seja, o vetor v = (3,2,1). A reta tangente será: Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO P Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado. Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da curva. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III A equação da reta tangente será dada por Podemos também escrever Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III VETOR TANGENTE UNITÁRIO Dada a curva C, desejamos encontrar, em cada ponto dessa curva, um vetor tangente à curva, que seja unitário. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III C é uma curva representada por r (t) = (x(t),y(t), z(t)) e vimos que o vetor r’(t) é tangente à curva C. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III DEFINIÇÃO O vetor é chamado de vetor tangente unitário à curva C. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Observação: Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção, conforme pode ser visto na figura abaixo. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Encontre o vetor T(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0 Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Encontre o vetor T(t) a curva (t) = (et + 1, e-t – 1,t) no ponto P(2,0,0). Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da curva. x(t) = et + 1 → et + 1 = 2 → et = 1 → t = 0 y(t) = e-t - 1 → e-t - 1 = 0 → e-t = 1 → t = 0 z(t) = t→ t = 0 Portanto t0 = 0. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III (t) = (et + 1, e-t – 1,t) ’(t) = (et, -e-t,1) ’(0) = (e0, -e0,1) = (1,-1,1) T0 = 0 Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Portanto, Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III VETOR NORMAL PRINCIPAL ...quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção. A variação desta direção é medida pela derivada. Podemos concluir que T(t) é perpendicular a T’(t). Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III DEFINIÇÃO Considerando T’(t) ≠ 0, o vetor unitário na direção de T’(t) é chamado normal principal à curva C. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Geometricamente o vetor Normal unitário é perpendicular a ’(t) apontando para parte interna da curva, onde a curva muda de direção. Veja. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Vamos encontrar o vetor N(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0 EXEMPLO 1 ’(t) = (-sent, cos t) ’’(t)= (-cos t, -sent) Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Vamos escrever o vetor normal principal da curva Calculando as derivadas: Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Agora precisamos escrever o vetor normal principal no ponto dado inicialmente, isto é, precisamos determinar N(t0). Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Determinando t0: Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III APLICAÇÕES Teorema Considere uma partícula se movendo com vetor posição σ(t). Se v(t) = ||σ’(t)||≠ 0 é a velocidade da partícula , então o vetor aceleração A(t) é dado pelo modelo Componentes tangencial e normal da aceleração No teorema abaixo veremos que o vetor aceleração é formado pela soma de dois vetores. A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t) Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t) Considerando: Podemos escrever A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t) SubstituindoAgora temos Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO SOBRE O TEOREMA A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t) O teorema apresentado mostra através do modelo abaixo o vetor aceleração A(t) está sempre no plano definido pelos vetores T(t) e N(t). T(t) é chamado de componente tangencial da aceleração Notação: A T N(t) é chamado de componente normal da aceleração Notação: A N Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Uma partícula se move ao longo da involuta de equações paramétricas Vamos determinar as componentes tangencial e normal da aceleração. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Vamos recordar algumas definições da aula 2. Vetor velocidade → Velocidade escalar → v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)|| Vetor aceleração → Vetor velocidade → Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Vetor aceleração Velocidade escalar → v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)|| Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Componente Tangencial Componente Normal Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO 2 Uma partícula se move ao longo da curva C dada por Determinar: Os vetores velocidade e aceleração; b) A velocidade escalar; c) As componentes tangencial e normal da aceleração. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Os vetores velocidade e aceleração; A velocidade escalar; RESPOSTA Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III c) As componentes tangencial e normal da aceleração. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III CURVATURA Definição A curvatura de uma curva é a taxa de variação de sua direção, ou seja, a velocidade com que a tangente à curva muda de direção por unidade de comprimento. A expressão acima nos diz que a curvatura é a taxa de variação do vetor tangente unitário em relação ao comprimento de arco. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Cálculo da curvatura Exemplo 1 Determine a curvatura da circunferência de raio a e centro na origem. A parametrização de tal curva será: () = ( a cos , a sen ), 0 ≤ ≤ 2 Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III RESOLUÇÃO () = ( a cos , a sen ), 0 ≤ ≤ 2 ’() = (-a sen , a cos ) Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III TEOREMA Se uma partícula em movimento possui vetor velocidade V(t), velocidade escalar v(t), vetor aceleração a(t) e curvatura k(t), então Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III RAIO DE CURVATURA DA TRAJETÓRIA EM UM DADO PONTO P Seja C uma curva e P um ponto em C tal que k(t) existe e k(t) ≠ 0. O inverso da curvatura (k(t) é o raio de curvatura. Vamos chamá-lo de ρ(t) = 1/k(t) O círculo passando por P de raio ρ(t) e cujo centro está na semi-reta normal que contém N(t) é chamando de círculo de curvatura ou círculo osculador. Ele é tangente a C em P. Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III EXEMPLO Determinar o raio de curvatura da parábola r(t) = (t,t2). A curvatura da parábola é dada por Considerando r(t) na origem, t = 0. Assim, o raio de curvatura é ρ(t) = 1/k(t) → ρ(0) = 1/k(0) = 1/2 Tema da Apresentação Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3 CÁLCULO III RESUMINDO Vetor tangente 2. Reta tangente 3. Vetor tangente unitário 4. Normal principal 5. Curvatura Tema da Apresentação FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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