AULA 3-CALCULO 3-FUNÇOES TANGENTE,NORMAL

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CÁLCULO III
AULA 3 – Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal 	 e Curvatura
Conteúdo Programático
1. Vetor tangente
2. Reta tangente
3. Vetor tangente unitário
4. Vetor Normal principal
5. Curvatura
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
VETOR TANGENTE
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EXEMPLOS
1. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = -1.
2. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
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Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
Agora podemos calcular a derivada da g(t) no ponto t0 = 1.
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3. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = π.
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RETA TANGENTE
Vamos considerar P(x,y,z) um ponto de C e to um parâmetro. 
Conforme estudamos na aula 1 o vetor é tangente à curva no ponto P.
Seja C uma curva representada por
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O vetor σ’(to ) determina a reta tangente em cada ponto da curva. 
Considerando σ(to ) = P e σ’(to ) = o vetor tangente a
curva em P. A reta passa por um ponto P com direção 
Tem como equação r(t) = σ(to ) + t. σ’(to ) , t é um parâmetro real. 
Podemos escrever: 
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EXEMPLO 1
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Vamos considerar t0 = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
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Esta função nos leva ao vetor diretor ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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OBSERVAÇÃO
P
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EXEMPLO 2
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado.
Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da curva. 
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A equação da reta tangente será dada por
Podemos também escrever
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VETOR TANGENTE UNITÁRIO
Dada a curva C, desejamos encontrar, 
em cada ponto dessa curva, um vetor 
tangente à curva, que seja unitário.
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C é uma curva representada por 
r (t) = (x(t),y(t), z(t)) e vimos que o vetor r’(t) é tangente à curva C.
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DEFINIÇÃO
O vetor 
é chamado de vetor tangente unitário à curva C.
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Observação:
Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção, conforme pode ser visto na figura abaixo.
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EXEMPLO 1
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
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EXEMPLO 2
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = (et + 1, e-t – 1,t) no ponto P(2,0,0).
Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da curva. 
x(t) = et + 1 → et + 1 = 2 → et = 1 → t = 0
y(t) = e-t - 1 → e-t - 1 = 0 → e-t = 1 → t = 0
z(t) = t→ t = 0
Portanto t0 = 0.
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(t) = (et + 1, e-t – 1,t)
’(t) = (et, -e-t,1)
’(0) = (e0, -e0,1) = (1,-1,1)
T0 = 0
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Portanto,
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VETOR NORMAL PRINCIPAL
...quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção.
A variação desta direção é medida pela derivada. Podemos concluir que T(t) é perpendicular a T’(t).
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DEFINIÇÃO
Considerando T’(t) ≠ 0, o vetor unitário na direção de T’(t) é chamado normal principal à curva C. 
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Geometricamente o vetor Normal unitário é perpendicular a ’(t) apontando para parte interna da curva, onde a curva muda de direção. Veja.
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Vamos encontrar o vetor N(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
EXEMPLO 1
’(t) = (-sent, cos t)
’’(t)= (-cos t, -sent)
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EXEMPLO 2
Vamos escrever o vetor normal principal da curva
Calculando as derivadas:
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Agora precisamos escrever o vetor normal principal no ponto dado inicialmente, isto é, precisamos determinar N(t0).
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Determinando t0:
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APLICAÇÕES 
Teorema
Considere uma partícula se movendo com vetor posição σ(t). Se v(t) = ||σ’(t)||≠ 0 é a velocidade da partícula , então o vetor aceleração A(t) é dado pelo modelo
Componentes tangencial e normal da aceleração
No teorema abaixo veremos que o vetor aceleração é formado pela soma de dois vetores.
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t)
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A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t)
Considerando: 
Podemos escrever 
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t)
Substituindo
Agora temos
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OBSERVAÇÃO SOBRE O TEOREMA
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t)
O teorema apresentado mostra através do modelo abaixo o vetor aceleração A(t) está sempre no plano definido pelos vetores T(t) e N(t).
T(t) é chamado de componente tangencial da aceleração
Notação: A T
N(t) é chamado de componente normal da aceleração
Notação: A N
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EXEMPLO 1
Uma partícula se move ao longo da involuta de equações paramétricas
Vamos determinar as componentes tangencial e normal da aceleração.
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Vamos recordar algumas definições da aula 2. 
Vetor velocidade →
Velocidade escalar →
v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)||
Vetor aceleração →
Vetor velocidade →
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Vetor aceleração
Velocidade escalar →
v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)||
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Componente Tangencial
Componente Normal
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EXEMPLO 2
Uma partícula se move ao longo da curva C dada por
Determinar:
Os vetores velocidade e aceleração;
b) A velocidade escalar;
c) As componentes tangencial e normal da aceleração.
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Os vetores velocidade e aceleração;
A velocidade escalar;
RESPOSTA
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c) As componentes tangencial e normal da aceleração.
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CURVATURA
Definição
A curvatura de uma curva é a taxa de variação de sua direção, ou seja, a velocidade com que a tangente à curva muda de direção por unidade de comprimento. 
A expressão acima nos diz que a curvatura é a taxa de variação do vetor tangente unitário em relação ao comprimento de arco.
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Cálculo da curvatura
Exemplo 1
Determine a curvatura da circunferência de raio a e centro na origem.
A parametrização de tal curva será:
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
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RESOLUÇÃO
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
’() = (-a sen , a cos )
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TEOREMA
Se uma partícula em movimento possui vetor velocidade V(t), velocidade escalar v(t), vetor aceleração a(t) e curvatura k(t), então
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RAIO DE CURVATURA DA TRAJETÓRIA EM UM DADO PONTO P 
Seja C uma curva e P um ponto em C tal que k(t) existe e k(t) ≠ 0. O inverso da curvatura (k(t) é o raio de curvatura.
Vamos chamá-lo de ρ(t) = 1/k(t)
O círculo passando por P de raio ρ(t) e cujo centro está na semi-reta normal que contém N(t) é chamando de círculo de curvatura ou círculo osculador. Ele é tangente a C em P. 
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EXEMPLO
Determinar o raio de curvatura da parábola r(t) = (t,t2).
A curvatura da parábola é dada por 
Considerando r(t) na origem, t = 0. Assim, o raio de curvatura é 
ρ(t) = 1/k(t) → ρ(0) = 1/k(0) = 1/2 
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RESUMINDO
Vetor tangente
2. Reta tangente
3. Vetor tangente unitário
4. Normal principal
5. Curvatura
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