MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CIV0418 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
Apostila de Resistência dos Materiais II 
 
Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach 
 
5. CAPÍTULO QUINTO – MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
5.1. Introdução 
O princípio da conservação da energia é um dos conceitos fundamentais na resolução de 
problemas da mecânica dos sólidos. 
Não havendo a dissipação da energia (sob forma de calor, por exemplo) a energia resulta 
igual ao trabalho realizado pelas cargas aplicadas, sendo o trabalho o produto vetorial da força em 
questão pelo deslocamento. 
Os métodos de energia constituem a base dos métodos das forças e dos deslocamentos utilizados 
no cálculo de estruturas hiperestáticas. 
É também através das expressões oriundas de métodos de energia que se formulam os métodos 
numéricos utilizados nos mais diversos campos da engenharia, tais como o método dos elementos 
finitos, o métodos das diferenças finitas energéticas, o método dos elementos de contorno e o método 
dos volumes finitos. 
Os métodos de energia são úteis ainda na determinação de equações diferenciais de equilíbrio 
para elementos estruturais e na determinação de parâmetros utilizados em certas teorias simplificadas. 
5.2. Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) 
Conseidere-se uma partícula ou corpo rígido em equilíbrio sobre a ação de um sistema de 
forças. Define-se, então: 
- deslocamento virtual 

 é um pequeno deslocamento hipotético, arbitrário, compatível 
com a vinculação existente, durante o qual as forças são supostas constantes em intesidade e direção; 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
2 
 
- trabalho virtual 
 W 
 é o trabalho hipotético realizado pelas forças sobre a partícula 
(ou corpo rígido) em equilíbrio quando esta sofre um deslocamento virtual. 
Para um ponto material em equilíbrio 
 0

R
, o trabalho realizado pelo sistema de forças 
reais que sobre ele atua, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário (durante o qual as forças 
são supostas connstantes) é nulo. 
0W
 
Generalizando para o caso de sólidos deformáveis: 
O campo de deslocamentos virtuais a ser especificado deve ser cinematicamente admissível 
(ou cinematicamente compatível), ou seja: deve ser contínuo e derivável e ser suficientemente 
pequeno para ser consistente com a hipótese de pequenas mudanças de configuração, além disso deve 
atender às condições de prescrição de deslocamentos. 
As forças internas e externas são supostas constantes durante a aplicação do deslocamento 
virtual. 
O P.T.V. para corpos deformáveis enuncia que se um sistema estrutural em equilíbrio for 
submetido a um campo de deslocamentos virtuais cinematicamente admissível (ou seja, compatível 
com as vinculações do sistema e mantendo a continuidade interna) o trabalho virtual das forças que 
sobre ele atuam (forças externas) é igual ao trabalho virtual das forças internas. 
 Assim tem-se: 
 Wi = We 
onde Wi designa o trabalho virtual das forças internas (ou trabalho virtual interno) e We o trabalho 
virtual das forças externas (ou trabalho virtual externo). 
 A partir de uma configuração 
iu
 de equilíbrio, atribui-se um campo de deslocamentos virtuais, 
que pode ser representado por uma variação admissível 
idu
 no campo de deslocamentos real. 
 Num caso completamente geral, considerando-se o caso de um sólido no espaço definido por 
coordenadas cartesianas x,y,z tem-se as seguintes expressões gerais para Wi e We: 
 
dV)(W yzyzxzxzxyxyzzyy
V
xxi  
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
3 
 
dV)wBvBuB(ds)wvu(W zy
V
xzy
S
xe
f
 
 
sendo: 
 x, y, z – componentes das forças de superfície que atuam na região Sf do contorno do sólido onde 
são prescritas forças; 
 Bx, By, Bz - componentes das forças de volume (peso próprio, por exemplo); 
 x, y, z, xy, xz, yz - componentes de tensão; 
 u, v, w – variações das componentes de deslocamento (u, v, w) segundo x, y, z; 
 x, y, z, xy, xz, yz - variações das componentes de deformação. 
5.2.1. Trabalho Virtual Interno em Estruturas Reticuladas 
Para os casos analisados no âmbito das resistências dos materiais, o trabalho virtual interno 
será tratado a partir dos esforços internos. Assim o trabalho virtual será dado pelo produto entre o 
esforço interno e a variação de deslocamento a ele associado. 
 A seguir serão descritas a contribuição no trabalho virtual 
 iWd 
 para um trecho 
infinitesimal de barra 
dx
. 
- esforço normal: 
dx
NN
du
 
  NduWd Ni 
 
du
 deslocamento virtual 
N
 esforço real 
- esforço cortante: 
Q
dx
yQy
dv
 
  dvQWd y
Q
i
y 
 
dv
 deslocamento virtual 
yQ
 esforço real 
- momento fletor: 
(
2.2) 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
4 
 
dx
Mz Mz
d
 
   dMWd z
M
i
z
 
d
 deslocamento virtual 
zM
 esforço real 
Obs: na equação da linha elástica o ângulo com tal 
curvatura entrando pela direita é negativo. 
 
 
 
 
 
 
- momento de torção: 
TT d
dx
 
   TdWd Ti
 
d
 deslocamento virtual 
T
 esforço real 
Obs: O sentido por nós adotado como positivo para 
T, é oposto ao sentido do ângulo positivo do ângulo 
de torção. 
Juntando a contribuição de todos os desforços, tem-se para o prblema plano: 
    
l
zy
l
ii TddMdvQNduWdW
, sendo l o comprimento da barra em questão. 
5.2.2. Consideração sobre os termos presentes na expressão do P.T.V. 
Como já especificado anteriormente, o equilíbrio do solido já é intrínseco ao P.T.V.. Estando 
o equilíbrio automaticamente atendido, só devem ser utilizados na formulação do P.T.V. os esforços 
(ou tensões) ditos ativos (ou seja, aos quais encontram-se associadas deformações). 
Tomando o caso de uma viga, por exemplo. A análise é baseada na hipótese das seções 
planas. Segundo essa hipótese 
0 xy
. Além disso 
0 xzz
 e 
0 y
. A tensão 
xy
 é obitida 
através do equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga, e não associada a uma deformação. Desta 
forma o trabalho virtual interno para a viga, considerando a hipótese das seções planas, é dado por: 
 
l
z
V
xxi dMW
 
Exemplo: Considere a viga bi apoiada a seguir. 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
5 
 
y
l
q
x
 
 
l
e dxdvqW
0
 
 
l
zi dMW
0
 
 
A rotação virtual 
d
, se relaciona com o deslocamento virtual 
dv
 por: 
   
dx
dx
dvd
d
dx
dvd
dx
d
2
2
2
2


 
   
l l
zie dMdxdvqWW
0 0
0
, podemos escrever pela equação da linha elástica 
que 
2
2
dx
vd
EIM zz 
, sendo v o deslocamento vertical real da viga. Substituindo no P.T.V., obtém-se: 
     
l l
z dx
dx
dvd
dx
vd
EIdxdvq
0 0
2
2
2
2
0
. 
Integrando a segunda integral por partes: 
     
 






l
l
l
dx
dx
dvd
dx
vd
dx
dvd
dx
vd
dx
dx
dvd
dx
vd
0
3
3
0
2
2
0
2
2
2
2 
Mais uma vez aplicando a integração por partes: 
    






l
l
l
dxdv
dx
vd
dv
dx
vd
dx
dx
dvd
dx
vd
0
4
4
0
3
3
0
3
3 
O P.T.V. resulta então:      0
0 0
4
4
0
3
3
0
2
2












 
l l
z
l
z
l
z dxdv
dx
vd
EIdv
dx
vd
EI
dx
dvd
dx
vd
EIdxdvq
 
    0
0 0
3
3
0
2
2
4
4



















l
l
z
l
zz dv
dx
vd
EI
dx
dvd
dx
vd
EIdxdv
dx
vd
EIq
 
Sendo o deslocamento virtual 
dv
 arbitrário e compatível com as vinculações internas (o que 
implica em 
dv
 ser nulo nos pontos onde se preencrevem deslocamentos reais): 
z
z
EI
q
dx
vd
dx
vd
EIq 
4
4
4
4
0
 (equação da linha elástica de quarta ordem) 
 
0
0
2
2







l
z
dx
dvd
dx
vd
EI
, sendo 
 
dx
dvd
 arbitrário em 0 e l 
0
0
2
2







l
z
dx
vd
EI
 
  0
0

l
zM
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
6 
 
0
0
3
3







l
z dv
dx
vd
EI
, atendida pela condição de dv nulo nos apoios. 
Note-se que cada uma das parcelas referentes ao contorno contém uma condição de contorno 
geométrica e uma mecânica. 
5.3. Método da Carga Unitária para o Cálculo de Deslocamentos 
Considere uma estrutura reticulada qualquer submetida a um carregamento externo e na qual 
se deseja conhecer um certo deslocamento 

. 

A B
 
Campo de deslocamentos gerado pelo 
carregamento externo 
Pu
m

A B
 
Carga unitária na direção de 

e campo de 
deslocamentos virtuais sendo o campo de 
deslocamentos gerado pelo carregamento 
externo. 
 O campo de deslocamentos desta estrutura atende todas as exigências de um campo de 
deslocamentos virtuais: é pequeno, contínuo e derivável e atende às vinculações externas da estrutura. 
Assim, posso considerar como campo de deslocamentos virtuais este campo de 
deslocamentos para no qual desejo conhecer 

. 
Em seguida considero a mesma estrutura submetida a uma carga unitária na direção do 
carregamento incógnita 

. Considerando o campo de deslocamentos da primeira estrutura como o 
campo de deslocamentos virtuais, o trabalho virtual externo realizado pela carga Pu será dado por: 
 1ue PW
 
 Como pelo P.T.V. 
ie WW 
, o deslocamento que se quer conhecer é o trabalho virtual 
interno relativo à carga unitária e ao campo de deslocamentos (virtuais) gerado pelo carregamento 
externo. 
 Podemos relacionar as componentes do campo de deslocamentos virtuais com os esforços 
oriundos do carregamento externo: 
- deslocamento axial: 
dx
EA
N
du
EA
N
dx
du ee

 
- deslocamento vertical: 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
7 
 
 
dx
GA
Q
dv
GA
Q
dx
dv
e
y
e
y 
 (deduzido posteriormente) 
- ângulo de flexão: 
 
dx
EI
M
d
EI
M
dx
dvd
dx
d
z
e
z
z
e
z 

2
2 
- ângulo de torção: 
dx
GJ
T
d
GJ
T
dx
d
p
e
p
e


 
O trabalho virtual interno é dado por: 
  
l
uu
z
u
y
u
i dTdMdvQduNW
 
dx
GJ
T
T
EI
M
M
GA
Q
Q
EA
N
NW
l p
e
u
z
e
zu
z
e
yu
y
e
u
i  









 
dx
GJ
TT
EI
MM
GA
QQ
EA
NN
l p
eu
z
e
z
u
z
e
y
u
y
eu
 









 
Exemplo: Calcular o deslocamento vertical no meio do vão e a rotação no apoio A para viga a seguir: 
q
l
 l /2) x
y
A B
 
EIz= constante 
Obs.: Considerar válida a hipótese das seções 
planas 
- Cálculo do deslocamento vertical no meio do vão: 
Primeiramente aplicamos uma carga concentrada vertical e unitária no meio do vão: 
u
y
l
x
P =1
 













22
1
ll
We
 
dxMM
EI
W
l
u
z
e
z
z
i 
0
1
 
 
l/4+
 
u
zDM
  
 
















lx
l
,xl
l
xx
l
x,x
xM uz
22
1
22
1
2
0
2
1
 
 
 
ql²/8+
 
e
zDM
 
   22
222
xlx
q
x
q
x
ql
xM ez 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
8 
 
     
zz
l
l
l
z
l
l
l
z
i
EI
qlllllllll
EI
q
xlxlxxlqxlxq
EI
dxxlx
q
xldxxlx
q
x
EI
W
384
5
644123
2
8264244
43324434
1
22
1
22
11
444444444
2
433222
0
43
2
2
2
0
2






















































 
 
 
 Sendo 
 ie WW
zEI
qll
384
5
2
4







 
- Cálculo da rotação no apoio A: 
Neste caso aplicamos uma carga momento unitária na seção do apoio A: 
y
l
x
M =1u
 
AAeW  1
 
dxMM
EI
W
l
u
z
e
z
z
i 
0
1
 
 
+1
 
u
zDM
 
x
l
M uz
1
1
 
ql²/8+
 
e
zDM
 
   22
222
xlx
q
x
q
x
ql
xM ez 
 
 
z
l
z
l
z
i
EI
ql
l
xxxlx
EI
q
dxxlx
q
x
lEI
W
24433222
1
1
1 3
0
4332
0
2 

















  
 
 Sendo 
 ie WW
z
A
EI
ql
24
3

 
- Utilização de tabelas de integração no cálculo de deslocamentos pelo método da carga unitária. 
 As integrais resolvidas analiticamente do exemplo anterior poderiam ser resolvidas através do 
uso de tabelas de integração elaboradas com base nos diagramas de momentos mais comuns. 
 Para utilizar a tabela, primeiramente deve-se analisar a forma de cada diagrama envolvido no 
cálculo do deslocamento em questão. É importante destacar que as tabelas podem ser utilizadas na 
integração de qualquer produto de duas funções polinomiais que constem na tabela utilizada (sejam 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
9 
 
estas funções a representação matemática de momentos fletores, esforços cortantes, esforços normais 
ou qualquer outro parâmetro). 
 A seguir apresenta-se um exemplo de tabela de integração contida em Sussekind [1]. 
Utilizando a tabela no exemplo anterior, devemos observar a forma das funções polinomiais 
que representam os momentos fletores 
e
zM
 e 
u
zM
. 
 Para o cálculo de 







2
l
, tem-se: 
    
l
0
dxxMxM ue
 
ql ²/8
par. 2° grau
+ 
X 
l/2 l/2
l/4
+
 
384
5
484
1
1
3
1 4qllql
l 






2
 
 
   
z
l
ue
z EI
ql
dxxMxM
EI
l
384
51
2
4
0






 
. 
 
 Para o cálculo de 
A
, tem-se: 
    
l
0
dxxMxM ue
 
ql ²/8
par. 2° grau
+ 
X 
1 +
 24183
1 3qlql
l 
2
 
 
   
z
l
ue
z
A
EI
ql
dxxMxM
EI 24
1 3
0
 
. 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
10 
 
 
Tabela para o cálculo de 
   
l
0
dxxMxM ue
 
 
M
u
 
M
u
B 
M
u
B
A
u
M
 
M
u
m
par. 2° grau 
u
M
B
tg.horiz.
par. 2° grau
 
M
u
B
tg. horiz.
par. 2° grau
 
l l
M
u
 
e
M
 
ueMM l
 
u
B
eMM
2
 l
 
 u
B
u
A
e MMM 
2
 l
 
u
m
eMM l
3
2
 
u
B
eMM l
3
2
 
u
B
eMM l
3
1
 
ueMM l
2
1
 
B
M
e
 ueBMM2 l
 
u
B
e
B
MM
3
 l
 
 u
B
u
A
e
B
MMM 2
6

 l
 
u
m
e
B
MM l
3
1
 
u
B
e
B
MM l
12
5
 
u
B
e
B
MM l
4
1
 
  ue
B
MMα1
6
1
 l
 
A
M
e
 ueAMM2
 l
 
u
B
e
A
MM
6
 l
 
 u
B
u
A
e
A
MMM 2
6
 l
 
u
m
e
A
MM l
3
1
 
u
B
e
A
MM l
4
1
 
u
B
e
A
MM l
12
1
 
  ue
A
MM1
6
1
 l
 
A
M
e B
e
M
   ueBeA MMM 2
 l
 
  u
B
e
B
e
A
MMM 2
6

 l
 
    u
B
e
B
e
A
u
A
e
B
e
A
MMMMMM 22
6

 l
 
  u
m
e
B
e
A
MMM  l
3
1
 
  u
B
e
B
e
A
MMM 53
12
1
 l
 
  u
B
e
B
e
A
MMM 3
12
1
 l
 
     ue
B
e
A
MMM  11
6
1
 l
 
M
e
m
par. 2° grau
 
ue
m
MM l
3
2
 
u
B
e
m
MM l
3
1
 
 u
B
u
A
e
m
MMM 
3
 l
 
u
m
e
m
MM l
15
8
 
u
B
e
m
MM l
15
7
 
u
B
e
m
MM l
5
1
 
  ue
m MM1
3
1
 l
 
tg. horiz.
M
e
B
par. 2° grau 
ue
B
MM l
3
2
 
u
B
e
B
MM l
12
5
 
 u
B
u
A
e
B
MMM 53
12

 l
 
u
m
e
B
MM l
15
7
 
u
B
e
B
MM l
15
8
 
u
B
e
B
MM l
10
3
 
  ue
B
MM25
12
1
 l
 
A
M
e
tg. horiz.
par. 2° grau 
ue
A
MM l
3
2
 
u
B
e
A
MM l
4
1
 
 u
B
u
A
e
A
MMM 35
12

 l
 
u
m
e
A
MM l
15
7
 
u
B
e
A
MM l
30
11
 
u
B
e
A
MM l
15
2
 
  ue
A
MM25
12
1
 l
 
B
M
e
tg. horiz.
par. 2° grau
 
ue
B
MM l
3
1
 
u
B
e
B
MM l
4
1
 
 u
B
u
A
e
B
MMM 3
12

 l
 
u
m
e
B
MM l
5
1
 
u
B
e
B
MM l
10
3
 
u
B
e
B
MM l
5
1
 
  ue
B
MM21
12
1
 l
 
M
A
e
tg. horiz.
par. 2° grau
 
ue
A
MM l
3
1
 
u
B
e
A
MM l
12
1
 
 u
B
u
A
e
A
MMM 3
12
 l
 
u
m
e
A
MM l
5
1
 
u
B
e
A
MM l
15
2
 
u
B
e
A
MM l
30
1
 
  ue
A
MM21
12
1
 l
 
l l
M
e
 
ueMM l
2
1
 
  u
B
eMM1 l
6
1
 
    u
B
u
A
e MMM  11 l
6
1
 
  u
m
eMM1
3
1
 l
 
  u
B
eMM25
12
1
 l
 
  u
B
eMM21
12
1
 l
 
ueMM l
3
1
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
11 
 
O método da carga unitária, juntamente com o método da superposição para problemas 
hiperestáticos, origina o denominado Método da Flexibilidade, extremamente difundido como método 
de resolução de estruturas hiperestáticas. 
Dependendo do tipo de deslocamento a se determinar, escolhe-se a carga unitária adequada a 
se aplicar. A tabela a seguir, também retirada de Sussekind [1], exemplifica alguns dos possíveis 
casos. 
Deslocamento 

 a calcular Carga unitária a aplicar 
Deslocamento linear de um ponto m numa direção 

 
~
Pu = 1

m
 
Rotação da tangente à elástica numa seção S 
~
S
Mu = 1
 
Rotação relativa das tangentes à elástica numa rótula, de 
duas barras i e j 
S
Mu = 1
~
Mu = 1
j
i
 
Rotação absoluta de uma corda AB 
B
A
~
Pu = 1
l
(AB = l)
Pu = 1
l
 
Rotação relativa entre duas cordas AB e CD 
~
Pu1 = 1
l1
(AB = l1)
Pu1 = 1
l1
Pu2 = 1
l2
Pu2 = 1
l2
A
(CD = l2)
B
C
D
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
12 
 
Rotação relativa das tangentes à elástica em duas seções S e 
S’ de uma barra 
S
Mu = 1
~
S '
Mu = 1
 
Variação de comprimento de corda que une dois pontos A e 
B 
B
A
~
Pu = 1
Pu = 1
 
 
5.4. Deformabilidade por Cortante em Vigas 
Considerando uma viga para a qual não é mais válida a hipótese das seções planas. No caso a 
hipótese de deformação a ser agora considerada pode se escrever como: 
Seções retas e planas, normais ao plano médio da viga antes da deformação, permanecem 
retas, planas, inalteradas em seu comprimento, porém não mais normais ao plano médio da viga após a 
deformação. 
Neste caso a componente de deformação de distorção é considerada e o esforço cortante 
aparece então como um esforço ativo na expressão do P.T.V.. 
 O trabalho virtual interno para um elemento infinitesimal de viga resulta e levando em conta 
o método da carga unitária: 
          dxdydzdxdydzdvdydzdudydzWd uxyuxyuxuxeuxyeuxi 
 
Substituindo as expressões de resistência dos materiais para 
x
e 
xy
 e considerando a Lei 
de Hooke



 

E
x
x
e 





G
xy
xy
: 
  dxdydz
tGI
SQ
tI
SQ
dxdydzy
EI
M
y
I
M
Wd
z
*
z
e
y
z
*
z
u
y
z
e
z
z
u
z
i 



















, 
sendo 

2
h
y
*
z ydAS
 o momento estático, em relação à LN, da área situada entre o ponto onde 
se quer obter a tensão de cisalhamento e a extremidade referente ao valor máximo de y. 
     







 






















l
A
*
z
z
e
y
u
y
Az
e
z
u
z
l
A
*
z
z
e
y
u
y
z
e
z
u
z
i dxdA
t
S
GI
QQ
dAy
EI
MM
dxdAS
tGI
QQ
y
EI
MM
W
0
2
2
2
2
2
0
2
22
2
2
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
13 
 
Comparando com a expressão geral anterior, definimos o fator de forma  

A
*
z
z
dA
t
S
I
A
2
2
2
, e 
novamente escrevemos: 
dx
GA
QQ
EI
MM
W
l
e
y
u
y
z
e
z
u
z
i  





 

 
- Exemplo: Considerando que viga do exemplo anterior tenha seção transversal reta 
retangular, pede-se calcular o deslocamento vertical no meio do vão considerando o efeito da 
deformabilidade por cortante. 
Primeiramente defini-se o fator de forma para a seção retangular: 
z
y
y
h/2-y
b
h
 
 
   
   
 
2
2
532
4
5
2
2
4224
5
4224
2
2
622
2
2
4224
2
2
22
5
16
3
8
4
9
168
64
144
168
64
144
168
64
4
822
1
2
h
h
h
h
AA
*
z
z
*
z
*
z
yyh
yh
h
dyyyhhb
bh
dAyyhh
b
b
hb
bh
dA
t
S
I
A
yyhh
b
S
yh
b
y
h
yy
h
bS






































 
5
6
5
1
3
2
1
4
9 5
5












 h
hUtilizando a tabela, devemos observar a forma das funções polinomiais que representam os 
esforços cortantes 
e
yQ
e 
u
yQ
 e os momentos fletores 
e
zM
 e 
u
zM
. 
l/4+
 
u
zDM
 ql²/8+
 
e
zDM
 
1/2 +
- 1/2
 
u
yDQ
 
+
-
ql/2
ql/2
 
e
yDQ
 
 
 
    
l
0
dxxMxM ue
 
ql ²/8
par. 2° grau
+ 
X 
l/2 l/2
l/4
+
 
384
5
484
1
1
3
1 4qllql
l 






2
 
 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
14 
 
    
l
0
dxxQxQ ue
2x ql /2
+ 
X 
1/2
+
 82
1
22
22
2qlql
l

 
 
       
GA
ql
EI
ql
dxxQxQ
GA
dxxMxM
EI
l
z
l
ue
l
ue
z 40
6
384
51
2
24
00








 
. 
Sendo 
ml 3
, 
cmh 20
, 
cmb 10
, 
m/kNq 10
, 
GPaE 200
e 
GPa,G 9276
: 
 m,,lll
QM
64 10776810917
222
 


















, tendo-se 90
2
2















Q
M
l
l
 
Se 
5250 ,
h
l
m,l 
 e 
 m,,lll
QM
77 1044210106
222
 


















, tendo-se 52
2
2
,
l
l
Q
M















. 
Se 
51 
h
l
ml
 e 
 m,,lll
QM
76 1075910769
222
 


















, tendo-se 10
2
2















Q
M
l
l
. 
Se 
255 
h
l
ml
 e 
 m,,lll
QM
53 1044210106
222
 


















, tendo-se 250
2
2















Q
M
l
l
. 
Se 
357 
h
l
ml
 e 
 m,,lll
QM
51078402350
222



















, tendo-se 490
2
2















Q
M
l
l
. 
 Conclui-se que quanto mais delgada é a viga (maior razão entre o comprimento e a altura da 
seção transversal) maior é a validade da hipótese das seções planas. 
5.5. Energia de Deformação 
Um material é dito elástico se no processo de carga e descarga de um corpo de prova não 
aparecer uma deformação permanente e não ocorrer dissipação de energia (sistema conservativo). 
Sendo o sistema conservativo, todo o trabalho realizado pelas cargas externas é convertido em energia 
potencial (energia de deformação). 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
15 
 
No presente caso, considera-se que as cargas externas são aplicadas de forma lenta e 
gradativa durante o crescimento do deslocamento, de forma a evitar qualquer efeito dinâmico no 
sistema. 
 No caso de estruturas reticuladas compostas de material linearmente elástico: 
xM,N 
 e 
E
x
x


; 
tM,Q
 e 
G


. 
5.5.1. Energia de deformação relacionada à componente de tensão normal 
Considera-se aqui o caso de materiais elásticos, o que resulta no trabalho de deformação ser 
igual à energia de deformação. 
A densidade de energia de deformação u (energia de deformação por unidade de volume) 
pode ser calculada como a área abaixo da curva do diagrama tensão deformação: 


u
 
Caso linearmente elástico 


u
 
Para o caso linearmente elástico: 
E
E
dEdu
222
22
00





 
 . 
A energia de deformação total é dada por: 



VV
dV
E
udVU
2
2
 
Ou, em função de uma carga concentrada: 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
16 
 

U
P
 
áreaWU 
 sob a curva = 
P
2
1
 
 
 
- Energia de deformação na solicitação axial: 
 
l
 

V
dV
EA
N
U
EA
N
u
A
N
2
2
2
2
22
 
Exemplo: considere uma barra prismática, de comprimento l, primeiramente submetida ao 
peso próprio (peso específico 

) e, em seguida a uma carga concentrada P (dirigida para baixo) em 
sua extremidade: 
l
 
Peso próprio: 
     
2
222
2222
2
2
2
EA
xlxlq
uxlxlqNxlqNAq


 
 
E
Al
EA
lq
dx
EA
xlxlq
AUAdxdV
l
662
2 3232
0
2
222
1



 
 
Carga P aplicada posteriormente: 
Parcela referente à carga P: 
l
EA
P
dx
EA
P
AU
EA
P
uPNPN
l
222
2
0
2
2
22
2
22  
 
Parcela referente à carga q: 
EA
P
PN 
, 
 
A
xlq 

 sendo 
u
, pois a 
carga q já estava aplicada quando a deformação por P ocorreu: 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
17 
 
 
E
lP
dx
EA
xlPq
AU
l
2
2
0
23



 
. 
A energia de deformação total resulta: 
E
lP
EA
lP
E
Al
UUUU
226
2232
321




 
 
 
 
- Energia de deformação na flexão: 
 Considerando uma flexão simples reta: 
2
2
2
2
y
EI
M
uy
I
M
z
z
z
z
x 
, tendo-se: 
dx
EI
M
dAdxy
EI
M
dAdxy
EI
M
U
l
z
z
A
l
A
l
z
z
z
z
   
0
2
2
0 0
2
2
2
2
2
222
 
Observação importante: 
Para uma flexão composta reta: 






 2
2
2
2
2
2
2
1
y
I
M
y
I
M
A
N
A
N
E
uy
I
M
A
N
z
z
z
z
z
z
x
 
   












l
Az
z
Az
z
A
l
A z
z
z
z dxdAy
I
M
ydA
I
M
A
N
dA
A
N
E
dAdxy
I
M
y
I
M
A
N
A
N
E
U
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
 
Sendo z um eixo central 
0
A
ydA
 e 
 






l
z
z dx
I
M
A
N
E
U
0
22
2
1
 
Para uma flexão obliqua em relação a eixos principais: 








 2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
I
M
y
I
M
z
I
M
z
I
M
E
uy
I
M
z
I
M
z
z
z
z
y
y
y
y
z
z
y
y
x
 
dxdAy
I
M
yzdA
I
M
I
M
dAz
I
M
E
dAdxy
I
M
y
I
M
z
I
M
z
I
M
E
U
l
Az
z
Az
z
y
y
Ay
y
l
A z
z
z
z
y
y
y
y
  


















0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
 
Sendo y e z eixos principais 
0
A
yzdA
 e 










l
z
z
y
y
dx
I
M
I
M
E
U
0
22
2
1
 
5.5.2. Energia de deformação relacionada à componente de tensão cisalhante 
Analogamente ao que foi desenvolvido para a componente normal de tensão: 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
18 
 


u
 
Caso linearmente elástico 


u
 
Para o caso linearmente elástico: 
G
GdGdu
222
22
00





 
 
A energia de deformação resulta 



V
dV
G
U
2
2
 
 
- Energia de deformação na solicitação transversal: 
 

22
222
22 tGI
SQ
G
u
z
*
zyxy




    
dx
A
Q
G
dAdx
t
S
I
Q
G
dAdx
tGI
SQ
U
A
l
y
*
z
l
A
l
z
y
z
*
zy
   





0
2
2
2
0 0
2
2
22
22
2
1
2
1
2
, 
sendo  

A
z
z
dA
t
S
I
A
2
2*
2

 
- Energia de deformação na torção: 
    





 
l
p
t
l
A
l
Ap
t
p
t
p
tx dx
GJ
M
dxdAr
GJ
M
dAdx
GJ
rM
U
GJ
rM
G
u
0
2
0 0
2
2
2
2
22
2
222
22222
 
 
5.6. Teoremas Recíprocos 
5.6.1. Teorema dos deslocamentos recíprocos 
Considere uma estrutura com comportamento linear submetida a dois estados de 
carregamento. Lembrando que os carregamentos são aplicados de forma lenta e gradativa. 
 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
19 
 
1  Estado de carregamento 
a
l
x
y
A B
P
b
 aa  ba
 
2  Estado de carregamento 
a
l
x
y
A B
P
b
 ab  bb
 
ij
 deslocamento na seção i devido a uma carga aplicada na seção j. 
Sendo o comportamento linear, os deslocamentos finais devem resultar os mesmos se as 
cargas forem aplicadas simultaneamente 
A flecha total em a 
abaaa 
 e a flecha total em b 
babbb 
. Sendo a energia de 
deformação igual ao trabalho e trabalho definido como força x deslocamento, tem-se 
   
babbabaa PPU 
2
1
2
1
. 
A ordem da aplicação das carga não deve influenciar o valor da energia de deformação: 
1  Estado de carregamento 

 2  Estado de carregamento 
abbbaa PPPU 
2
1
2
1
 (o último termo não se encontra dividido por dois, pois o 
deslocamento 
ab
 ocorreu quando a carga em a já havia atingido seu valor final P). 
2  Estado de carregamento 

 1  Estado de carregamento 
baaabb PPPU 
2
1
2
1
 (o último termo não se encontra dividido por dois, pois o 
deslocamento 
ab
 ocorreu quando a carga em b já havia atingido seu valor final P). 
Tem-se então que: 
    babbabaa PPU
2
1
2
1
abbbaa PPP 
2
1
2
1
baaabb PPP 
2
1
2
1
baab 
 
 
 “A deflexão em a, causada por uma carga exercida em b é igual à deflexão provocada em b 
por uma carga de igual valor exercida em a”. 
Este teorema é válido também no caso de uma força e um momento. 
1  Estado de carregamento 
a
l
x
y
A B
b
 aa
 ba
M
 
2  Estado de carregamento 
a
l
x
y
A B
P
b
 ab
 bb
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
20 
 
Aplicação simultênea de M e P: 
   
babbabaa PMU 
2
1
2
1
. 
1  Estado de carregamento 

 2  Estado de carregamento 
abbbaa MPMU 
2
1
2
1
 
2  Estado de carregamento 

 1  Estado de carregamento 
baaabb PMPU 
2
1
2
1
 
   
babbabaa PMU 
2
1
2
1
abbbaa MPM 
2
1
2
1
baaabb PMP 
2
1
2
1
baab PM 
 
Se M e P forem numericamente iguais, 
ab
 e 
ba
 serão numericamente iguais (apresentando, 
obviamente, unidades e significados físicos diferentes). 
5.6.2. Teorema dos trabalhos recíprocos 
Considere qualquer corpo com comportamento linear elástico para o qual o princípio da 
superposição é válido, submetido a dois estados de carregamento. 
1  Estado de carregamento 
P1
P1
P2 Pn
P2
Pn
Q1 Q2
Qm
1
 
2  Estado de carregamento 
P'1
Q1
Q2
Qm
P'2
P'n
Q'1 Q'2
Q'm
2
 
As deflexões correspondentes a cada uma das cargas são medidas na direção dessas cargas. 
Para a aplicação simultânea das cargas: 
     
     
mn m
nn
QQmQQQQ
PPnPPPP
QQQ
PPPU


2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2211
2211
21
21


 
1  Estado de carregamento 

 2  Estado de carregamento 
n
mn
PnPP
QmQQPnPP
PPP
QQQPPPU




21
2121
21
211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
21 
 
2  Estado de carregamento 

 1  Estado de carregamento 
nm
nm
QmQ
PnPPQmQQ
QQQ
PPPQQQU




2
2121
21
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 
 Para que as energias de deformações sejam iguais deve-se ter 



m
j
Qj
n
i
Pi
ii
QP
11
 
5.7. Energia de Deformação e Energia de deformação complementar 
Considere uma barra prismática de material elástico, submetida a uma força axial P. 
l
 


u*
u
 
P

U
U*
 
A densidade de energia complementar é dada por: 



0
du*
, sendo a energia complementar 

V
** dVuU
. 
No caso linearmente elástico: 


u
u*
 
P

U
U*
 
u
E
d
E
du* 



 

2
2
00
 
WUU* 
 
Para n cargas concentradas: 







 

n
i
ii* PUU
1 2
, sendo 
i
 o deslocamento total no ponto de aplicação de Pi, na direção 
de Pi. 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
22 
 
5.7.1. Método da Energia de deformação 
A energia de deformação de uma estrutura elástica é igual ao trabalho realizado pelas cargas 
durante a sua aplicação. 
Sendo o comportamento linear, as cargas podem ser expressas como combinações lineares 
dos deslocamentos (pela mesma idéia da Lei de Hooke generalizada): 
nnnnnn
nn
nn
aaaP
aaaP
aaaP







2211
22221212
12121111
 
ija
 constantes que dependem das propriedades da estrutura. 
O aumento na energia de deformação quando um deslocamento 
i
 sofre um acréscimo de 
id
, enquanto todos os outros deslocamentos são mantidos constantes é dado por: 
i
i
ii
i
i
P
U
dPdU
d
U
dU








 (1 Teorema de Castigliano) 
Esse desenvolvimento serve de base para o desenvolvimento do método dos deslocamentos. 
Se as cargas podem ser escritas como uma combinação linear dos deslocamentos, os 
deslocamentos também podem ser escritos como uma combinação linear das cargas aplicadas. Assim, 
tem-se: 
nnnnnn
nn
nn
PbPbPb
PbPbPb
PbPbPb







2211
22221212
12121111
 
ijb
 constantes que dependem das propriedades da estrutura. 
O aumento na energia de deformação complementar quando uma carga 
iP
 sofre um 
acréscimo de 
idP
, enquanto todas as outras cargas são mantidas constantes é dado por: 
i
i
*
ii
*
i
i
*
*
P
U
dPdU
dP
P
U
dU







 (Teorema de de Crotti-Engesser) 
Como 
UU* 
, no caso linearmente elástico: 
i
iP
U



 (2 Teorema de Castigliano) 
Esse desenvolvimento serve de base para o desenvolvimento do método das forças. 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
23 
 
Exemplo: Para a viga a seguir, determine a rotação na seção do apoio A utilizando o 2 
Teorema de Castigliano: 
q
2q
A B x
y
M0
l
 
rigidez à flexão =constante = EIz 
Obs: desprezar o efeito do esforço cortante. 
 Para utilizar o 2 Teorema de Castigliano aplica-se ummomento 
AM
 (carga na direção do 
deslocamento que se quer calcular) e, após a dedução da expressão para 
iP
U


, iguala-se este momento 
a zero. 
q
2q
A B x
y
M0
l
MA
 
 
Equações de equilíbrio estático: 




l
M
l
Mql
VMM
qlql
lVM
ql
VVF
A
AAoAB
BAy
0
22
6
5
32
0
2
3
0
 
 
l
qx
qxx
l
M
x
l
M
x
ql
MxM A
Az
66
5 320 
 
 
 
A
l
z
z
A
l
z
z
M
dx
EI
xM
M
U
dx
EI
xM
U
















0
2
0
2 2
2
 
A regra de Leibnitz para diferenciação de integrais fornece: 
 
 
   
 
 
   









 




d
d
,F
d
d
,Fdx
,xF
dx,xF
d
d 2
1
1
2
2
1
2
1
. 
 No presente caso 
01 
 e 
l2
, ambos independentes de 
AM
 (que seria 

 em questão). 
          
















l
A
z
z
z
l
A
z
z
z
l
z
z
AA
A dx
M
xM
EI
xM
dx
M
xM
xM
EI
dx
EI
xM
MM
U
000
2
2
2
1
2
 
CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE ENERGIA EM ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 
24 
 
 
l
x
M
xM
A
z 


1
. 
Uma vez realizada a derivação, pode-se tomar 
0AM
, na expressão de 
 xM z
. 
 


















l
zz
A
lMql
EI
dx
l
x
l
qxqx
x
l
M
x
ql
EI 0
0
332
0
6360
231
1
626
51