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Disciplina: Probabilidade e Estatitística Fidel Ernesto Castro Morales Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciência e Tecnologia Variáveis aleatórias contínuas Definição (Uma variável aleatória contínua) Uma variável aleatória X é dita contínua se seu conjunto de valores possíveis consistir do intervalo completo de todos os valores, isto é, se, para cada A < B, qualquer valor x ∈ < entre A e B for possível. Exemplos 1 I Seja X uma v.a. que determina o pH de um determinado composto químico. I Seja X uma v.a. que determina a profundidade de um lago. I Seja X uma v.a. que determina a estatura de uma população de pessoas. I Seja X uma v.a. que determina o peso de uma população de pessoas. Função de densidade de probabilidade Definição (Função de densidade de probabilidade (fdp)) A função f (x) é dita função de densidade de probabilidade se são satisfeitas as seguintes propriedades: 1. f (x) ≥ 0 para todo x ∈ <, 2. ∫∞ −∞ f (x)dx = 1. A probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo [a, b] é a área contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de densidade de probabilidade f (x). Isto é P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a f (x)dx . Exemplo 2 Seja X a tensão de vibração (psi). Em uma palheta de turbina com certa velocidade de vento em um tunel aerodinâmico, com fdp f (x ; θ) = x θ2 exp {−x2 2θ2 } , para x > 0. 1. Verifique se f (x ; θ) é uma fdp legítima. 2. Qual é a probabilidade de X < 200 3. Qual é a probabilidade de X estar entre 100 e 200. 4. Forneça uma expressão para P(X ≤ x). Solução: Exemplo 3 Um professor de facultade nunca finaliza sua aula antes do final do horario e sempre termina dentro de dois minutos após o horario. Seja X = tempo entre o fim do horario e o fim da aula e suponha que a fdp de X seja f (x) = kx2, se 0 ≤ X ≤ 2. 1. Determine o valor de k 2. Qual é a probabilidade da aula terminar dentro de um min. do final do horario. 3. Qual é a probabilidade da aula continuar por 60 a 90 seg. Solução: Função de distribuição acumulada Definição (Função de distribuição acumulada (fdc)) A função de distribuição acumulada F (x) de uma v.a. continua X é definida por F (x) = P(X ≤ x) = ∫ x −∞ f (y)dy , para todo x ∈ <. 1. Se x → −∞ então F (x)→? 2. Se x →∞ então F (x)→? Exemplo 4 Seja X , a espessura de uma determinada chapa de metal, com fdp f (x) = 1 B − A ,A ≤ x ≤ B. I Determine a Função de distribuição acumulada de X . I Faça o gráfico da função f (x). I Faça o gráfico da função F (x). Solução: Uso de F (x) para calcular as probabilidades Proposição 1 Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f (x) e F (x). Então para qualquer a ∈ <, P(X > a) = 1− F (a), e, para quaisquer a, b ∈ <, tais que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b)− F (a). Prova: Obtendo f (x) a partir de F (x) Proposição 2 Se X for uma v.a. contínua com fdp f (x) e fdc F (x) então, para qualquer x em que a derivada F ′(x) existir, então F ′(x) = f (x). Prova: Definição (Percentil) Seja p um número entre 0 e 1. O 100 % p-ésimo percentil da distribuição de uma variável aleatória contínua X , representada por η(p) (eta) é definido por p = F (η(p)) = ∫ η(p) −∞ f (y)dy . Exemplo 5 A distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendidas por uma empresa de materiais de construção em uma semana é uma v.a. contínua X com fdp f (x) = 3 2 (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1. 1. Determinar a fdc. 2. Achar o percentil p = 0.5. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 − 1. 0 − 0. 5 0. 0 0. 5 1. 0 x x^ 3 − 3 * x + 1 Média e variância Definição (Média) O valor médio ou esperado de uma v.a. contínua X com fdp f (x) é E (X ) = ∫ ∞ −∞ xf (x)dx . Definição (Variância) A variância de uma v.a. contínua X com fdp f (x) e média µ é σ2 X = Var(X ) = ∫ ∞ −∞ (x − µ)2f (x)dx = E (X − µ)2. Propriedade Se X for uma v.a. contínua com fdp f (x) e h(X ) for qualquer função de X , então E (h(X )) = ∫ ∞ −∞ h(x)f (x)dx . Propriedade Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2. Exemplo 6 Duas espécies estão competindo em uma região pelo controle de uma quantidade limitada de um determinado recurso. Seja X = a proporção de recurso controlado pela espécie 1 e suponha que X tem fdp f (x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1. A espécie que controla a maioria dos recursos controla a quantidade h(X ) = max(X , 1− X ). Determinar E [h(X )] Definição (Distribuição uniforme) Uma v.a. X é dita ter distribuição uniforme no intervalo [A,B] se a fdp de X for f (x) = 1 B − A , para A ≤ x ≤ B. Notação: X ∼ U[A,B]. Média e variância E(X ) = B + A 2 , Var(X ) = (B − A)2 12 . Exemplo 7 O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme para 49, 75 < x < 50.25 libras. I Determine a média e a variância do peso dos pacotes. I Determine a função de densidade acumulada do peso dos pacotes. I Determine P(X < 50.1). A função densidade de probabilidade do tempo requerido para completar uma operação de montagem é f (x) = 0.1, para 30 < x < 40 segundos. I Determine a proporção de montagens que requerem mais de 35 segundos para serem completadas. I Determine a média e a variância do tempo de montagem. Distribuição Gama Definição (Função gama) Para α > 0, a função gama Γ(α) Γ(α) = ∫ ∞ 0 x α−1 e −x dx . As propriedades mais importantes da função gama são as seguintes: I para qualquer α > 1, Γ(α) = (α− 1)Γ(α− 1), I para qualquer inteiro positivo, n, Γ(n) = (n − 1)!, I Γ(1/2) = √ pi Definição (Distribuição gama) Diz-se que uma v.a. contínua X tem uma distribuição gama se a fdp de X é f (x ;α, β) = 1 βαΓ(α) x α−1 e −x/β para x ≥ 0, onde os parâmetros α > 0 e β > 0. A distribuição gama padrão tem β = 1. Média E (X ) = αβ. Variância Var(X ) = αβ2. Definição (Distribuição exponencial) Diz-se que uma v.a. contínua X tem uma distribuição exponencial se a fdp de X é f (x ;λ) = λe−λx para x ≥ 0, onde o parâmetro λ > 0. Média E (X ) = 1 λ . Variância Var(X ) = 1 λ2 . Função acumulada F (x) = 1− e−λx , para x ≥ 0. A distribuição normal Definição (Distribuição normal) Uma v.a. X é dita ter distribuição normal com parâmetros µ e σ2, onde −∞ < µ <∞ e σ2 > 0, se a fdp de X for f (x ;µ, σ2) = 1√ 2piσ exp { − 1 2σ2 (x − µ)2 } , para −∞ < x <∞. Notação: X ∼ N[µ, σ2]. Média e variância E(X ) = µ, Var(X ) = σ2. Figuras da distribuição normal para σ = 1, µ = 0 e µ = 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 x 0 1 2 3 4 5 6 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 x Figuras da distribuição normal para µ = 0, σ = 0.3 e σ = 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 0. 0 0. 4 0. 8 1. 2 x −3 −2 −1 0 1 2 3 0. 0 0. 4 0. 8 1. 2 x Definição (Distribuição normal padrão) A distribuição normal com parâmetros µ = 0 e σ = 1 é denominada distribuição normal padrão, denotada por Z . A fdp de Z é f (z) = 1√ 2pi exp { −1 2 z 2 } , para −∞ < z <∞. Notação: X ∼ N[0, 1]. I zα representará o percentil α da distribuição normal padrão. I Φ(z) = P(Z ≤ z). Exemplo 8 I P(Z < 0) =? I P(−1.64 < Z < 0) =? I P(Z ≥ 0) =? I P(Z ≥ 3) =? I P(Z ≥ 1.5) =? I P(0 < Z ≤ 1.5) =? I P(Z < −1.64 ou Z > 1.64) =? I achar o percentil 0.05 I achar o percentil 0.95 I achar o percentil 0.975 I achar o percentil 0.025 Cálculo de probabilidades para v.a com distribuição normal não-padrão Proposição Se X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ, então Z= X − µ σ , tem distribuição normal padrão. Assim, P(a ≤ X ≤ b) = Φ ( b − µ σ ) − Φ ( a − µ σ ) Exemplo 9 O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial é vital para evitar colisões traseiras. O tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 1,25 segundos e desvio padrão 0,46 segundos. Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos? Solução: Proposição Seja xα o percentil α de X ∼ N(µ, σ2). Assim, xα = µ+ zασ, onde zα é o percentil α da distribuição normal padrão. A distribuição Normal para distribuição binomial Proposição Seja X uma v.a. binomial com base em n tentativas com probabilidade de sucesso p. Então, se o histograma de probabilidade binomial não tiver muita inclinação, X terá uma distribuição aproximadamente normal com µ = np e σ = √ npq. Em particular, para x P(X ≤ x) = Φ ( x + 0.5− np√ npq ) . Na prática, a aproximação é adequada desde que np ≥ 10 e np ≥ 10. Exemplo 10 Assuma X como uma distribuição binomial de parâmetros n = 25 e p. Calcule cada uma das probabilidades a seguir, usando a aproximação normal para os casos p = 0.5, 0.6, 0.8 e compare com as probabilidades exatas calculadas. I P(15 ≤ X ≤ 20). I P(X ≤ 15). I P(20 ≤ X ). Solução: Exemplo 11 Suponha que apenas 40% de todos os motoristas de um estado específico usem o cinto de segurança regularmente. É selecionada uma amostra de 500 motoristas. Qual é a probabilidade de: I entre 180 e 230 (inclusive) motoristas usarem o cinto de segurança regularmente? I menos de 175 dos motoristas da amostra usarem o cinto regularmente? Solução: Exemplo 12 Encontre os percentis a seguir para a distribuição normal padrão. I 91 I 9 I 75 I 25 I 6 Exemplo 13 Se X é uma v.a. normal com média 80 e desvio padrão 10, calcule as probabilidades a seguir: I P(X ≤ 100). I P(X ≤ 80). I P(65 ≤ X ≤ 100). I P(| X − 80 |≤ 10). Exemplo 14 A leitura de temperatura de um par termoelétrico colocado em um meio de temperatura constante tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Que valor de σ precisaria existir para asegurar que 95% de todas as leituras estão dentro de 1o de µ? Exemplo 15 Suponha que o diâmetro de certo tipo de árvores na altura do tronco tenha distribuição normal com µ = 8.8 e σ = 2.8. I Qual valor de c faz com que o intervalo (8.8− c , 8.8+ c) inclua 98% de todos os valores de diâmetro? Se uma distribuição normal tem µ = 30 e σ = 5 I qual é o percentil 91 da distribuição? I qual é o percentil 6 da distribuição?
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