Função de densidade de probabilidade

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Disciplina: Probabilidade e Estatitística
Fidel Ernesto Castro Morales
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciência e Tecnologia
Variáveis aleatórias contínuas
Definição (Uma variável aleatória contínua)
Uma variável aleatória X é dita contínua se seu conjunto de valores
possíveis consistir do intervalo completo de todos os valores, isto é,
se, para cada A < B, qualquer valor x ∈ < entre A e B for possível.
Exemplos 1
I
Seja X uma v.a. que determina o pH de um determinado
composto químico.
I
Seja X uma v.a. que determina a profundidade de um lago.
I
Seja X uma v.a. que determina a estatura de uma população
de pessoas.
I
Seja X uma v.a. que determina o peso de uma população de
pessoas.
Função de densidade de probabilidade
Definição (Função de densidade de probabilidade (fdp))
A função f (x) é dita função de densidade de probabilidade se são
satisfeitas as seguintes propriedades:
1. f (x) ≥ 0 para todo x ∈ <,
2.
∫∞
−∞ f (x)dx = 1.
A probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo [a, b] é
a área contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de
densidade de probabilidade f (x). Isto é
P(a ≤ X ≤ b) =
∫
b
a
f (x)dx .
Exemplo 2
Seja X a tensão de vibração (psi). Em uma palheta de turbina com
certa velocidade de vento em um tunel aerodinâmico, com fdp
f (x ; θ) =
x
θ2
exp
{−x2
2θ2
}
, para x > 0.
1. Verifique se f (x ; θ) é uma fdp legítima.
2. Qual é a probabilidade de X < 200
3. Qual é a probabilidade de X estar entre 100 e 200.
4. Forneça uma expressão para P(X ≤ x).
Solução:
Exemplo 3
Um professor de facultade nunca finaliza sua aula antes do final do
horario e sempre termina dentro de dois minutos após o horario.
Seja X = tempo entre o fim do horario e o fim da aula e suponha
que a fdp de X seja
f (x) = kx2, se 0 ≤ X ≤ 2.
1. Determine o valor de k
2. Qual é a probabilidade da aula terminar dentro de um min. do
final do horario.
3. Qual é a probabilidade da aula continuar por 60 a 90 seg.
Solução:
Função de distribuição acumulada
Definição (Função de distribuição acumulada (fdc))
A função de distribuição acumulada F (x) de uma v.a. continua X
é definida por
F (x) = P(X ≤ x) =
∫
x
−∞
f (y)dy , para todo x ∈ <.
1. Se x → −∞ então F (x)→?
2. Se x →∞ então F (x)→?
Exemplo 4
Seja X , a espessura de uma determinada chapa de metal, com fdp
f (x) =
1
B − A ,A ≤ x ≤ B.
I
Determine a Função de distribuição acumulada de X .
I
Faça o gráfico da função f (x).
I
Faça o gráfico da função F (x).
Solução:
Uso de F (x) para calcular as probabilidades
Proposição 1
Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f (x) e F (x).
Então para qualquer a ∈ <,
P(X > a) = 1− F (a),
e, para quaisquer a, b ∈ <, tais que a < b,
P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b)− F (a).
Prova:
Obtendo f (x) a partir de F (x)
Proposição 2
Se X for uma v.a. contínua com fdp f (x) e fdc F (x) então, para
qualquer x em que a derivada F
′(x) existir, então F ′(x) = f (x).
Prova:
Definição (Percentil)
Seja p um número entre 0 e 1. O 100 % p-ésimo percentil da
distribuição de uma variável aleatória contínua X , representada por
η(p) (eta) é definido por
p = F (η(p)) =
∫ η(p)
−∞
f (y)dy .
Exemplo 5
A distribuição da quantidade de cascalho (em toneladas) vendidas
por uma empresa de materiais de construção em uma semana é
uma v.a. contínua X com fdp
f (x) =
3
2
(1− x2), 0 ≤ x ≤ 1.
1. Determinar a fdc.
2. Achar o percentil p = 0.5.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
x
x^
3 
− 
3 
* x
 +
 1
Média e variância
Definição (Média)
O valor médio ou esperado de uma v.a. contínua X com fdp f (x) é
E (X ) =
∫ ∞
−∞
xf (x)dx .
Definição (Variância)
A variância de uma v.a. contínua X com fdp f (x) e média µ é
σ2
X
= Var(X ) =
∫ ∞
−∞
(x − µ)2f (x)dx = E (X − µ)2.
Propriedade
Se X for uma v.a. contínua com fdp f (x) e h(X ) for qualquer
função de X , então
E (h(X )) =
∫ ∞
−∞
h(x)f (x)dx .
Propriedade
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2.
Exemplo 6
Duas espécies estão competindo em uma região pelo controle de
uma quantidade limitada de um determinado recurso. Seja X = a
proporção de recurso controlado pela espécie 1 e suponha que X
tem fdp
f (x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1.
A espécie que controla a maioria dos recursos controla a quantidade
h(X ) = max(X , 1− X ).
Determinar E [h(X )]
Definição (Distribuição uniforme)
Uma v.a. X é dita ter distribuição uniforme no intervalo [A,B] se a
fdp de X for
f (x) =
1
B − A , para A ≤ x ≤ B.
Notação: X ∼ U[A,B].
Média e variância
E(X ) =
B + A
2
,
Var(X ) =
(B − A)2
12
.
Exemplo 7
O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é
uniforme para 49, 75 < x < 50.25 libras.
I
Determine a média e a variância do peso dos pacotes.
I
Determine a função de densidade acumulada do peso dos
pacotes.
I
Determine P(X < 50.1).
A função densidade de probabilidade do tempo requerido para
completar uma operação de montagem é f (x) = 0.1, para
30 < x < 40 segundos.
I
Determine a proporção de montagens que requerem mais de
35 segundos para serem completadas.
I
Determine a média e a variância do tempo de montagem.
Distribuição Gama
Definição (Função gama)
Para α > 0, a função gama Γ(α)
Γ(α) =
∫ ∞
0
x
α−1
e
−x
dx .
As propriedades mais importantes da função gama são as seguintes:
I
para qualquer α > 1, Γ(α) = (α− 1)Γ(α− 1),
I
para qualquer inteiro positivo, n, Γ(n) = (n − 1)!,
I Γ(1/2) =
√
pi
Definição (Distribuição gama)
Diz-se que uma v.a. contínua X tem uma distribuição gama se a
fdp de X é
f (x ;α, β) =
1
βαΓ(α)
x
α−1
e
−x/β
para x ≥ 0,
onde os parâmetros α > 0 e β > 0. A distribuição gama padrão
tem β = 1.
Média
E (X ) = αβ.
Variância
Var(X ) = αβ2.
Definição (Distribuição exponencial)
Diz-se que uma v.a. contínua X tem uma distribuição exponencial
se a fdp de X é
f (x ;λ) = λe−λx para x ≥ 0,
onde o parâmetro λ > 0.
Média
E (X ) =
1
λ
.
Variância
Var(X ) =
1
λ2
.
Função acumulada
F (x) = 1− e−λx , para x ≥ 0.
A distribuição normal
Definição (Distribuição normal)
Uma v.a. X é dita ter distribuição normal com parâmetros µ e σ2,
onde −∞ < µ <∞ e σ2 > 0, se a fdp de X for
f (x ;µ, σ2) =
1√
2piσ
exp
{
− 1
2σ2
(x − µ)2
}
, para −∞ < x <∞.
Notação: X ∼ N[µ, σ2].
Média e variância
E(X ) = µ,
Var(X ) = σ2.
Figuras da distribuição normal para σ = 1, µ = 0 e µ = 3
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
 
0 1 2 3 4 5 6
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
 
Figuras da distribuição normal para µ = 0, σ = 0.3 e σ = 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.
0
0.
4
0.
8
1.
2
x
 
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.
0
0.
4
0.
8
1.
2
x
 
Definição (Distribuição normal padrão)
A distribuição normal com parâmetros µ = 0 e σ = 1 é denominada
distribuição normal padrão, denotada por Z . A fdp de Z é
f (z) =
1√
2pi
exp
{
−1
2
z
2
}
, para −∞ < z <∞.
Notação: X ∼ N[0, 1].
I
zα representará o percentil α da distribuição normal padrão.
I Φ(z) = P(Z ≤ z).
Exemplo 8
I
P(Z < 0) =?
I
P(−1.64 < Z < 0) =?
I
P(Z ≥ 0) =?
I
P(Z ≥ 3) =?
I
P(Z ≥ 1.5) =?
I
P(0 < Z ≤ 1.5) =?
I
P(Z < −1.64 ou Z > 1.64) =?
I
achar o percentil 0.05
I
achar o percentil 0.95
I
achar o percentil 0.975
I
achar o percentil 0.025
Cálculo de probabilidades para v.a com distribuição normal
não-padrão
Proposição
Se X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ,
então
Z=
X − µ
σ
,
tem distribuição normal padrão. Assim,
P(a ≤ X ≤ b) = Φ
(
b − µ
σ
)
− Φ
(
a − µ
σ
)
Exemplo 9
O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um
veículo em desaceleração é crucial é vital para evitar colisões
traseiras. O tempo de reação de uma resposta no trânsito a um
sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser
modelado com uma distribuição normal de média 1,25 segundos e
desvio padrão 0,46 segundos. Qual é a probabilidade de que o
tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos?
Solução:
Proposição
Seja xα o percentil α de X ∼ N(µ, σ2). Assim,
xα = µ+ zασ,
onde zα é o percentil α da distribuição normal padrão.
A distribuição Normal para distribuição binomial
Proposição
Seja X uma v.a. binomial com base em n tentativas com
probabilidade de sucesso p. Então, se o histograma de
probabilidade binomial não tiver muita inclinação, X terá uma
distribuição aproximadamente normal com µ = np e σ =
√
npq.
Em particular, para x
P(X ≤ x) = Φ
(
x + 0.5− np√
npq
)
.
Na prática, a aproximação é adequada desde que np ≥ 10 e
np ≥ 10.
Exemplo 10
Assuma X como uma distribuição binomial de parâmetros n = 25 e
p. Calcule cada uma das probabilidades a seguir, usando a
aproximação normal para os casos p = 0.5, 0.6, 0.8 e compare com
as probabilidades exatas calculadas.
I
P(15 ≤ X ≤ 20).
I
P(X ≤ 15).
I
P(20 ≤ X ).
Solução:
Exemplo 11
Suponha que apenas 40% de todos os motoristas de um estado
específico usem o cinto de segurança regularmente. É selecionada
uma amostra de 500 motoristas. Qual é a probabilidade de:
I
entre 180 e 230 (inclusive) motoristas usarem o cinto de
segurança regularmente?
I
menos de 175 dos motoristas da amostra usarem o cinto
regularmente?
Solução:
Exemplo 12
Encontre os percentis a seguir para a distribuição normal padrão.
I
91
I
9
I
75
I
25
I
6
Exemplo 13
Se X é uma v.a. normal com média 80 e desvio padrão 10, calcule
as probabilidades a seguir:
I
P(X ≤ 100).
I
P(X ≤ 80).
I
P(65 ≤ X ≤ 100).
I
P(| X − 80 |≤ 10).
Exemplo 14
A leitura de temperatura de um par termoelétrico colocado em um
meio de temperatura constante tem distribuição normal com média
µ e desvio padrão σ. Que valor de σ precisaria existir para asegurar
que 95% de todas as leituras estão dentro de 1o de µ?
Exemplo 15
Suponha que o diâmetro de certo tipo de árvores na altura do
tronco tenha distribuição normal com µ = 8.8 e σ = 2.8.
I
Qual valor de c faz com que o intervalo (8.8− c , 8.8+ c)
inclua 98% de todos os valores de diâmetro?
Se uma distribuição normal tem µ = 30 e σ = 5
I
qual é o percentil 91 da distribuição?
I
qual é o percentil 6 da distribuição?