Exercícios - Cálculo II - Volumes, força variável, trabalho e pressão hidrostática e séries infinitas

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1) A água será bombeada de um poço de 300 ft de profundidade por um cano vertical de 4 in de diâmetro para 
um tanque cilíndrico de 20 ft de diâmetro e 25 ft de altura. A base do tanque está a 60 ft acima do solo. Se a 
bomba a ser usada é de 3 HP, determine o tempo necessário para encher o tanque pela primeira vez. 
 
2) Prove que 1+ 2 
2 
+ 3
4 
+.... + n 
2
n−1 
+....= 4. 
3) Sua empresa deve construir um túnel como o mostrado na figura abaixo. Ele tem 300 m de comprimento 
por 50 m de largura na base. Sua seção transversal tem a forma de um arco da curva y = 25 cos (x/50). Ao fim 
da obra, a superfície interna do túnel (exceto a rodovia) será tratada com um selante à prova d’água, cuja 
aplicação custa R$ 1,75 / m2. Quanto custará a aplicação do selante? 
 
 
 
4) A água em uma tigela aberta evapora a uma taxa proporcional à área da superfície da água. Mostre que 
a profundidade da água diminui a uma taxa constante, independentemente do formato da tigela. 
 
 
5) Uma placa retangular vertical com a unidades de comprimento e b unidades de largura é submersa em 
um fluido com peso específico w com suas bordas mais longas paralelas à superfície do fluido. a) determine o 
valor médio da pressão (força por unidade de área) ao longo das dimensões verticais da placa. b) mostre que a 
força exercida pelo fluido em um lado da placa é o valor médio da pressão vezes a área da placa. 
 
6) Como um engenheiro aplicando controle estatístico de qualidade em uma operação industrial, você 
inspeciona itens tomados ao acaso da linha de montagem. Os itens são classificados como “bom” ou “ruim”. Se 
a probabilidade de um item ser bom for p e de um item ser ruim for q = 1-p, a probabilidade de que o primeiro 
item ruim encontrado seja o enésimo inspecionado será pn-1q. O número médio inspecionado incluindo o 
primeiro item ruim encontrado é npn−1q . Calcule esta soma considerando 0<p<1. 
n=1 
 
7) Sejam V1 e V2 os volumes dos sólidos formados quando a região do plano limitada por y = 1/x, y = 0, x = ¼ e x 
= c (c > ¼) gira em torno dos eixos X e Y, respectivamente. Determine o valor de c para que V1 = V2. 
 
8) Calcule o comprimento da curva y 2 = x 3 da origem até o ponto onde a reta tangente forma um ângulo 
de 45° com o eixo X. 
9) Determine a área da parte de uma esfera de raio R que pode ser vista por um observador situado a uma 
altura H acima do seu pólo norte. 
 
 
 
 
 
10) Dois elétrons longe um do outro r metros repelem-se com uma força de 𝐹 = 
23𝑥10−29
𝑟2
 newtons. a) 
suponha que um elétron seja mantido fixo no ponto (1,0) no eixo X (unidades em metros). Quanto trabalho 
será necessário para deslocar um segundo elétron ao longo do eixo X do ponto (-1,0) para a origem? b) 
Suponha que um elétron seja mantido fixo em cada um dos pontos (-1,0) e (1,0). Quanto trabalho será 
necessário para deslocar um terceiro elétron ao longo do eixo X de (5,0) a (3,0)?
 
 
 
DADOS: 
 
1 HP = 550 lb ft s-1; 1 ft = 12 in ; peso específico da água = 62,4 lb / ft3;  xi 
i=1 
 
= 
1 
−1 
1− x 
