Prova de Cálculo Multivariável

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MAT 003 Prova 1 - Turma T1 30/04/2015
(Q1) (2.5 pontos) Considere o conjunto D = {(x, y) 2 R2 | 1  x  2, |y|  x/2}.
a) Esboce D.
b) Calcule a integral dupla
ZZ
D
1
(4x2 + y2)3/2
dxdy.
(Q2) (2.5 pontos) Seja B o so´lido descrito pelas inequac¸o˜es
x2 + y2 + z2 � a2 e x2 + y2 + z2  2az, onde a e´ uma constante positiva.
Escreva a integral tripla que representa o volume do so´lido:
a) em coordenadas esfe´ricas
b) em coordenadas cil´ındricas
Atenc¸a˜o: em nenhum dos casos e´ necessa´rio calcular as integrais.
(Q3) (3 pontos) A superf´ıcie de uma barraca de camping pode ser modelada de forma mais realista pela intersec¸a˜o
das superf´ıcies
S1 : z = 1.485� f(x), S2 : z = 1.485� f(y) e S3 : z = 0,
onde f(t) e´ uma func¸a˜o definida no intervalo [0, 1.2] por
f(t) =
(
1.1 t2 se t < 0.9
1.98 t� 0.891 se 0.9  t  1.2
A figura abaixo mostra a estrutura dessa barraca com base quadrada e quatro arcos de sustentac¸a˜o que ligam
o cha˜o ao topo.
a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para um dos quatro arcos que une o cha˜o ao topo da barraca.
b) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para o cha˜o da barraca.
c) Obtenha a integral que fornece o comprimento de um dos quatro arcos de sustentac¸a˜o da barraca.
Atenc¸a˜o: na˜o e´ necessa´rio calcular a integral obtida.
(Q4) (2 pontos) Mostre que se ~F e´ um campo vetorial constante e ~r(t) e´ uma func¸a˜o vetorial suave em a  t  b,
enta˜o Z
�
~F · d~r = ~F · ( ~r(b)� ~r(a) ).