Integração-numérica-Weslley

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Integração numérica
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Primitiva
Se f(x) é uma função contínua em [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja existe F(x) tal que F’(x)=f(x).
Assim:
Não é sempre fácil achar uma primitiva, existe ainda o caso em que f(x) é conhecida em apenas alguns pontos: uma forma de obter a integral é através de métodos numéricos.
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Propriedades
Para determinar primitivas, certas propriedades ajudam:
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Pirmitivas conhecidas
Além disso, existem primitivas conhecidas de algumas funções:
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Propriedade
Existem também, métodos:
Integração por parte:
Troca de variável:
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Determinação de primitivas
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Fórmula de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes, em vez de integrar a função, integramos um polinômio interpolador.
Com uma partição do intervalo [a,b] em subintervalos de comprimento h: [xi,xi+1], i=0,...,n, podemos escrever:
Onde Ai, são coeficientes de acordo com o polinômio interpolador.
=
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Ideia básica. Para calcular numericamente
 vamos expressar como um polinômio no intervalo . Deduziremos expressões que têm a forma
 onde Quando escrevemos uma integral na forma (1), estamos implementando o formalismo de Newton-Cotes.
Fórmula de Newton-Cotes
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No procedimento de Newton-Cotes o polinômio aproxima em pontos de , igualmente espaçados. Se os subintervalos têm comprimento	, então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes para integração têm a forma
Fórmula de Newton-Cotes
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Comentário 1: Os coeficientes das formas fechadas 
 de Newton-Cotes são determinados de acordo como
 grau do polinômio aproximador de . 
Comentário 2: As formas abertas de Newton-Cotes, 
 construídas de forma análoga às fechadas, diferem 
 pelo fato que 
Fórmula de Newton-Cotes
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Regra dos trapézios
Usamos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio de grau 1, p1(x) que interpola f em x0 e x1.
Temos: 
=
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Regra dos trapézios
A regra dos trapézios consiste em aproximar a integral da função no intervalo [a,b] com a area do trapézio delimitado pelos pontos (a, f(a)), (b,f(b)).
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Utilizando a Forma de Lagrange para expressar ,
 que interpola em obtemos:
Regra dos trapézios
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Note que é a área do trapézio de altura
 e de base .
Regra dos trapézios
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Ao substituir a área sob a curva pela área do trapézio estamos realizando uma aproximação e cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado por
Regra dos trapézios
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Regra dos trapézios repetida
Para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial e aplicar a regra dos trapézios para cada subintervalo.
Temos:
=
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 Quando o intervalo é grande, devemos fazer várias subdivisões e aplicar a regra do trapézio repetidas vezes. Sendo
Regra dos trapézios repetida
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 O erro cometido em aplicar vezes a regra do trapézio é 
Graficamente
Regra dos trapézios repetida
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Regra 1/3 de Simpson
No caso da regra 1/3 de Simpson, o polinômio escolhido para aproximar a função é o polinômio de Lagrange de grau 2.
Temos:
=
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Regra 1/3 de Simpson
No caso da regra 1/3 de Simpson, a integral é aproximada pela integral da curva de segundo grau que interpola a função nos valores a, (a+b)/2 e b.
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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
REGRA 1/3 DE SIMPSON
Utilizando a Forma de Lagrange para expressar , que interpola nos pontos
 , segue que 
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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
REGRA 1/3 DE SIMPSON
ou ainda
 
Regra 1/3 de Simpson
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Erros cometidos
O calculo de erro apóia-se sobre o erro conhecido dos polinômios de interpolação:
Grau 1:
Grau 2:
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Erro cometido: caso grau 1
O erro cometido é a integral sobre o intervalo do erro cometido aproximando a função com o polinômio de grau 1:
Podemos mostrar que:
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Erro cometido: caso grau 1
No caso da regra dos trapézios repetida, temos:
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Erro cometido: caso grau 2
No caso da regra de Simpson, podemos mostrar que:
Que no caso repetido, da um erro:
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Regra 1/3 de Simpson repetida
Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial em n intervalos de mesmo comprimento. Para poder aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par.
Temos:
=
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Calcular uma aproximação de I usando a regra dos trapézios e a regra 1/3 de Simpson.
Avaliar os erros cometidos nos dois casos.
Determinar m para ter um erro inferior a 10-3
Exemplo
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Teorema geral do erro
Seja f um função n+2 continuamente derivável. A integração numérica usando a fórmula de Newton-Cotes é:
Se né impar:
Se n é par: