Simulação da PROVA 1

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Transformações Lineares 
 
 
1) A imagem do vetor (1, 3, 2) pela transformação linear T: R3→R2, T(x,y, z) = (x+z,y) é? 
 
 
2) A imagem dos vetores (0,0) e (1,2) pela transformação linear T: R2→R2, T(x,y) = (2x, 2y) é? 
 
 
3) Um retângulo ABCD, com coordenadas A(0,0); B(2,0); C(2,3) e D(0,3), e a transformação linear 
T: R2→R2, T(x,y) = (x+1, y-1) terá a imagem dada por? 
 
 
4) A imagem do vetor (2, -1) pela transformação linear T: R2→R3, T(x, y) = (x + y, y - x, 2x + 3y) é: 
 
 
5) A imagem do vetor (-3, 5, 1) pela transformação linear T: R3 → R3, T (x, y, z) = (x + y, 2x -z, z -2y) é: 
 
 
6) Se T: R3 →R2 definida por T(x,y, z) = (x+z,y) é uma transformação linear, então a imagem do vetor 
(1,2,3) através desta é? 
 
 
7) Se T: R2→R3 definida por T(x,y) = (x+y,y+2x, x-y) é uma transformação linear, então a imagem do 
vetor (1,2) através desta é: 
 
 
8) Se T: R2→R4 , T(x, y) = (x - 2y, 2x + 5y; -x + 3y; x + 6y) é uma transformação linear, então, a imagem 
do vetor (5, 1) através dessa é: 
 
 
9) A expressão geral de um operador linear T: R2→R2 é T(x,y) = (ax + by, cx + dy). Determine as 
constantes a, b, c e d de modo que T transforme os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) nos vetores 
Tu = (1, 1) e Tv = (2, 2). 
 
10) A expressão geral de uma transformação linear T: R3 → R, T (x, y, z) = ax +by +cz. 
Dados os vetores u = (1, 2, 3), v = (-1, 2, 3) e w = (1, -2, 3), determine a, b e c de tal modo que 
T(u) = 1, T(v) = 0 e T(w) = 0. 
 
11) Se T: R2→R2 é um operador linear tal que T(1,0) = (3,-2) e T(0,1) = (1,4), então T(x,y) é? 
 
12) Se T(x,y) é uma transformação linear tal que T(0,1)=(2,3) e T(1,0)=(1,2), qual será a imagem das 
transformações T(1,1) e T(1,-1)? 
 
 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professora: Regina 
Lista de Exercícios 2 
 
13) Se T é uma transformação linear tal que T(1,0)=(2,3) e T(0,1)=(-5,1), quanto vale T(2,2)? 
14) Se T: R2 → R2 é um operador linear tal que T(1, 0) = (4, 1) e T(0, 1) = (2,3), quanto vale T(1,1)? 
15) Se T: R3 → R3 é um operador linear tal que 
T(1, 0, 0) = (2, 3, 1), T(0, 1, 0) = (4, 0, 5) e T(0, 0, 1) = (3, 1, -1), quanto vale T(1, 1, 1) ? 
16) Se T: R2 → R3 é um operador linear tal que T(1, 0) = (4, 1, 0) e T(0, 1) = (3, 9, -4), quanto vale T(1,1)? 
 
 
 
Operações com Transformações Lineares 
 
17) Se T1: R
2 →R3 e T2: R
2 →R3 são transformações lineares definidas por 
T1 (x, y) = (x + 2y, 2x -y, x) e T2 (x, y) = (-x, y, x + y), então: 
a) T1 + T2 = 
b) 3 T1 -2 T2 = 
 
18) Se S e T são operadores lineares no R2, definidos por S(x,y) = (2x,y) e T(x,y) = (x,x-y), então: 
a) SoT(x,y) = 
b) ToS(x,y) = 
 
19) Sendo F e G: R3→ R2 funções lineares definidas por 
F(x,y,z) = (x+2y-3z, 5x+z) e G(x,y,z) = (3y-2z, x-y+5z), então: 
a) 3F + 2G= 
b) 2F - 5G= (2x-11y+4z, 5x+5y-23z) 
 
20) Sendo T1 e T2 transformações lineares definidas por 
T1 (x, y, z) = (x + y; x + y - z; 2x - z) e T2 (x, y, z) = (y - 2z; x - 3y; - x + y - z). Então: 
a) T1 o T2 = 
b) T2 o T1 = 
 
 
 
 
 
Matriz Associada a uma Transformação Linear 
21) Se T é uma transformação linear de R2 em R3, qual será a ordem da matriz associada? 
22) Encontrar a matriz T para T(x, y) = (-y, 3x-2y, 5x) onde A e B são as bases canônicas de R2 e R3. 
 
23) Encontrar a matriz T para T(x, y,z) = (y+3z, -x+4y-z, 2x-2y) onde A e B são as bases canônicas de R2 e 
R3. 
24) A matriz T: R3→R2 dada por T(x,y,z) = (x+y, x+z) em relação às bases A = {(1,0,0), (0,1,1), (1,0,1)} e 
B = {(1,0), (0,1)} será? 
 
25) A matriz T: R3→R3 dada por T(x,y,z) = (x, x-y, 2z) em relação às bases A = {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)} e 
B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} será? 
 
Transformações Lineares Planas 
26) Qual será a transformação linear de R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo dos y, 
f(x, y) = (-x, y), seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal, f(x, y) = (x + ay, y)? 
 
27) Qual será a transformação linear de R2 em R2 que representa uma reflexão em torno do eixo dos y, 
f(x, y) = (-x, y), seguida de uma dilatação de fator 2 na direção do vetor, f(x, y) = (ax, ay) e, por último, 
um cisalhamento de fator 3 na direção do eixo dos y, f(x, y) = (x, ax + y), é: 
 
28) A primeira imagem pode ser transformada na segunda a partir de qual transformação linear? 
 
 
29) A primeira imagem pode ser transformada na segunda a partir de qual transformação linear? 
 
 
 
 
 
30) A primeira imagem pode ser transformada na segunda a partir de qual transformação linear? 
 
 
 Respostas 
 
1) (3, 3) 
2) (0, 0); (2, 4) 
3) A’(1,-1); B’(3,-1); C’(3,2); D’(1,2) 
4) (1, -3, 1) 
5) (2, -7, 7) 
6) (4, 2) 
7) (3, 4, -1) 
8) (3, 15, -2, 11) 
9) a=-2; b=3/2; c=-2; d=3/2 
10) a=1/2; b=1/4; c=0 
11) T(x,y)=(3x+y, -2x+4y) 
12) T(1,1)=(3,5); T(1,-1)=(-1,-1) 
13) T(2,2)=(-6,8) 
14) T(1, 1) = (6, 4) 
15) T(1, 1, 1) = (9, 4, 5) 
16) T(1, 1) = (7, 10, -4) 
17) a. (2y, 2x, 2x+y) 
 b. (5x+6y, 6x-5y, x-2y) 
18) a. (2x, x-y) 
 b. (2x, 2x-y)19) a. (3x+12y-13z, 17x-2y+13z) 
 b. (2x-11y+4z, 5x+5y-23z) 
20) a. (x - 2y - 2z; 2x - 3y - z; x + y - 3z) 
 b. (- 3x + y + z; - 2x - 2y + 3z; - 2x) 
21) 3x2 
22) 












05
23
10
 
23) 












022
141
310
 
24) 






211
111
 
25) 











220
010
001
 
26) (-x + 5y, y) 
27) (-2x, -6x + 2y) 
28) rotação de 180° 
29) reflexão sobre o eixo y T(x,y) = (-x, y) 
30) dilatação fator 2