Vamos analisar cada opção para verificar se são transformações lineares. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u, v e escalar c, valerem: 1) T(u + v) = T(u) + T(v) 2) T(cu) = cT(u) --- I - T(x,y) = (x², y²) - Não é linear, pois envolve quadrados, que não preservam adição nem multiplicação por escalar. --- II - T(x,y) = (2x + 1, x + y) - Não é linear, pois o termo "+1" é uma constante que quebra a propriedade de linearidade (não preserva a origem). --- III - T(x,y) = (2x + y, x - y) - Vamos testar: T((x1,y1) + (x2,y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (2x1 + 2x2 + y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2) T(x1,y1) + T(x2,y2) = (2x1 + y1, x1 - y1) + (2x2 + y2, x2 - y2) = (2x1 + y1 + 2x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) São iguais, então preserva adição. Para escalar c: T(c(x,y)) = T(cx, cy) = (2cx + cy, cx - cy) = c(2x + y, x - y) = cT(x,y) Portanto, é linear. --- IV - T(x,y) = (x, x - y) - Testando adição: T((x1,y1) + (x2,y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (x1 + x2, x1 - y1 + x2 - y2) T(x1,y1) + T(x2,y2) = (x1, x1 - y1) + (x2, x2 - y2) = (x1 + x2, x1 - y1 + x2 - y2) Igual, preserva adição. Para escalar c: T(c(x,y)) = T(cx, cy) = (cx, cx - cy) = c(x, x - y) = cT(x,y) Preserva multiplicação por escalar. --- Conclusão: - I e II não são lineares. - III e IV são transformações lineares. Alternativa correta: D) As opções III e IV estão corretas.