Aula Integral Dupla coordenadas retangulares

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Integral Dupla
Cálculo de Volume
Aula 01
 
Índice
Conceito;
Interpretação Geométrica;
Cálculo de Integral Dupla;
Integrais Iteradas.
 
Conceito
 
Com integral Dupla trabalharemos com funções de duas variáveis.
Ƒ(x,y) definida em uma região:
Numa integral simples, trabalhamos com função de uma variável.
ƒ definida em um intervalo fechado [a, b].
Conceito
 
 
Consideramos uma função ƒ(x, y) definida em uma região retangular R:
Conceito
 
 
Para formar uma soma de Riemann sobre R, escolhemos um ponto (xk, yk) no k-ésimo pequeno retângulo, multiplicamos o valor de ƒ nesse ponto pela área de ΔAk e somamos os produtos:
Interpretação Geométrica
 
 
Conforme n aumenta, as aproximações das somas de Riemann chegam mais próximas do volume total do sólido mostrado na figura anterior.
Conceito
 
 
	Quando um limite da soma Sn existe, dando sempre o mesmo valor, independentemente das escolhas feitas, a função ƒ é considerada integrável e o limite é denominado integral dupla de ƒ sobre R, escrito como:
	À medida que diminuímos as dimensões dos retângulos, seu número n aumenta, o que nos permite escrever esse limite como:
Interpretação Geométrica
 
 
	Como o gráfico de z é uma superfície situada acima do plano XY, então 
corresponde ao volume do sólido.
Se o gráfico de z é uma superfície situada abaixo do plano XY, então o volume é o módulo da integral dupla.
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
PROPRIEDADES
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
	Veremos como é possível calcular integrais duplas reduzindo o seu cálculo ao de duas integrais simples.
Teorema de Fubini para o cálculo de integrais duplas – Regiões retangulares.
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
Para obtermos a área da seção transversal A(x), mantemos x fixo e integramos com relação a y.
O volume será 
Cálculo Thomas – Cap. 12
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
Cálculo Thomas – Cap. 12
Para obter a área da seção transversal A(y), mantemos y fixo e integramos em relação a x.
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
Cálculo Thomas – Cap. 12
Calcule a integral dupla 
em que 
EXEMPLO
Visualização sólido
15
Observar que a integral não representa o volume, pois não existe volume negativo. O sinal negativo foi por conta da função em parte ser negativa.
Solução
16
Pelo Teorema de Fubini, como a função é contínua tanto faz integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Solução
17
Pelo Teorema de Fubini, como a função é contínua tanto faz integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Encontre o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos x = 2 e y = 1.
2
1
Aplicação
18
Observar que a base é um retângulo. Dá um tempo para o aluno desenvolver a questão.
Visualização sólido
19
Nesse caso a função é toda positiva, sobre o retângulo.
Solução
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Pelo Teorema de Fubini, como a função é contínua tanto faz integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Solução
21
Pelo Teorema de Fubini, como a função é contínua tanto faz integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Bibliografia
 
Thomas, George B.- Cálculo, Vol. 2 – Pearson
Gonçalves, Buss Mirian e Flemming, Diva Marília – Cálculo B – Pearson;
Freire, Ilka Rebouças – Integrais Múltiplas – Texto 1 
 
OBRIGADO!