funções vetoriais Divergente rotacional

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Funções Vetoriais
Campos Escalares
 
 
	
Exemplo:
Campos Vetoriais
 
	
Exemplo:
EXEMPLO: 
EXEMPLO: 
Campo Gradiente
Definição: Se f é uma função escalar de duas variáveis, então o gradiente f é definido por 
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Vamos enfatizar mais o cálculo das derivadas parciais através do gradiente. Assim, primeiramente definiremos Campos Gradientes. 
Campo Gradiente
Caso seja uma função de três variáveis o gradiente é:
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Em ambos os casos o vetor gradiente é denominado campo do vetor gradiente.
Comentar que vale as mesmas considerações para funções de várias variáveis. Como por exemplo a taxa de variação máxima está na direção do vetor gradiente.
Interpretação Geométrica
Proposição: Seja f uma função escalar 
é normal a S em P .
Se
, então
tal que, através de um ponto P do espaço, passa uma superfície de nível S de f. 
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Observe que se a função for de duas variáveis as superfícies de níveis são as curvas de níveis já vistas. Nesse caso, os vetores gradientes são perpendiculares às curvas de níveis e, além disso, os vetores gradientes são mais longos onde as curvas de níveis estão mais próximas umas das outras e mais curtos quando elas estão mais distantes entre si. Isso acontece porque o comprimento do vetor gradiente é o valor da derivada direcional e também pelo fato da proximidade das curvas de níveis indicarem uma grande inclinação do gráfico.
 Se o vetor gradiente não é nulo então ele é perpendicular a curva de nível.
 
Interpretação Geométrica
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O vetor gradiente está situado no plano XOY, que é o domínio de definição da função dada, e é sempre perpendicular as curvas de níveis.
Resumindo:
 
 
Calcular o campo do vetor gradiente do campo escalar 
EXEMPLO
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Solução
Solução
Operações de campos vetoriais: Divergência e Rotacional
 
 
Rotacional e divergente são duas operações essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas. I Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a derivada mas produzem, respectivamente, um campo vetorial e um campo escalar. I Ambas operações são descritas em termos do operador diferencial ∇.
Operações de campos vetoriais: Divergência e Rotacional
 
 
Se
é um campo vetorial
em 
e existem 
então a divergência de F é a função de três variáveis definida por
Divergente
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Observe que o rotacional é um campo vetorial e a divergência é um campo escalar.
Operações de campos vetoriais
 
Divergência Negativa: Aumenta a densidade do fluido.
Divergência Positiva: Diminui a densidade do fluido.
Divergência Zero: O fluxo de entrada é igual ao de saída.
Determine a divergência do campo vetorial 
Exemplo:
Rotacional
 
 
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 , então o rotacional de F, denotado por rot F, é o campo vetorial dado pelo produto vetorial do operador diferencial com F, ou seja, rot F = ∇ × F.
Se determine o rotacional de F.
Exemplo:
Se determine o rotacional de F.
Propriedades
 
 
Campos Conservativos
 
 
No caso bidimensional temos que:
Se f(x,y) e g(x,y) tem derivadas contínuas em uma região D, então F(x,y) = f(x,y) i + g(x,y) j é um campo conservativo, se somente se . 
Campos Conservativos
 
 
Como determinar a função potencial?
Verifique se o campo abaixo é conservativo em algum domínio.
Exemplo
F é um campo conservativo.
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1) Escolhe uma das duas funções:
2) Integrando (I) em relação a x, temos:
é uma constante em relação a x.
Como determinar a função potencial de ?
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3) Agora vamos derivar em relação a y, obtemos: 
Comparando esse resultado com o da equação (II)
e
Sobra:
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 Inicialmente vamos verificar, através do resultado apresentado acima se F é um campo vetorial conservativo. Observe que a função F está definida em , que é um conjunto aberto e simplesmente conexo. 
Como as funções P(x,y) e Q(x,y) são polinomiais, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas. 
Determine se o campo vetorial abaixo é conservativo ou não. Se for conservativo, determine a função potencial.
E se for no R³?
Solução
Inicialmente vamos encontrar as derivadas parciais.
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 Inicialmente vamos verificar, através do resultado apresentado acima se F é um campo vetorial conservativo. Observe que a função F está definida em , que é um conjunto aberto e simplesmente conexo. 
Como as funções P(x,y) e Q(x,y) são polinomiais, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas. 
Solução
Agora vamos calcular o rotacional:
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 Inicialmente vamos verificar, através do resultado apresentado acima se F é um campo vetorial conservativo. Observe que a função F está definida em , que é um conjunto aberto e simplesmente conexo. 
Como as funções P(x,y) e Q(x,y) são polinomiais, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas. 
Solução
Agora vamos calcular o rotacional:
É um campo vetorial conservativo.
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 Inicialmente vamos verificar, através do resultado apresentado acima se F é um campo vetorial conservativo. Observe que a função F está definida em , que é um conjunto aberto e simplesmente conexo. 
Como as funções P(x,y) e Q(x,y) são polinomiais, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas. 
Solução
Encontrar a função potencial: Se o campo é conservativo, então existe a função potencial f (x,y,z), tal que:
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Solução
Integrando (1) em relação a x temos:
é uma constante em relação a x. 
36
 
Solução
Integrando (1) em relação a x temos:
é uma constante em relação a x. 
37
 
Solução
Integrando (1) em relação a x temos:
é uma constante em relação a x. 
38
 
Solução
Agora vamos diferenciar (4) em relação a y relação a y, obtendo: 
39
 
Solução
Comparando esse resultado com (2), temos:
, obtendo: 
40
 
Solução
Comparando esse resultado com (2), temos:
, obtendo: 
41
 
Solução
Integrando em relação à y, obtemos: 
Então podemos reescrever a equação (4) como:
42
 
Solução
Integrando em relação à y, obtemos: 
Então podemos reescrever a equação (4) como:
43
 
Solução
Finalmente, diferenciando (6) em z relação a z 
44
 
Solução
Finalmente, diferenciando (6) em z
 relação a z 
45
 
Solução
Comparando esse resultado com a (3)
Substituindo em (6), temos função postencial:
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Bibliografia
 
Thomas, George B.- Cálculo, Vol. 2 – Pearson
Gonçalves, Buss Mirian e Flemming, Diva Marília – Cálculo B – Pearson;
Freire, Ilka Rebouças – Integrais Múltiplas – Texto 1
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/divergence-and-curl-articles/a/divergence 
 
OBRIGADO!