Lista 1

Prévia do material em texto

28 Geometria Analítica \ 
No caso geral, qualquer que seja o vetor não-nulo v, 
é unitário, pois 
= M = i . 
Assim, para se obter um vetor unitário é suficiente tomar um vetor não-nulo e multiplicá-lo pelo 
inverso de seu módulo. 
Exercícios 
2.3. Para justificar a construção feita na Figura 2.10, mostre que OABCé um paralelogramo, ou seja, que 
ÃB = ÔC e OA — CB • 
2.4. Determine x para que se tenha AB = CD, sendo A(x. 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) c D(2x, x + 6). 
2.5. Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3, -7), sabendo que sua origem é o ponto 
A(2, 1). 
2.6. Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o módulo do vetor AB seja "J5 . 
2.7. Dado B(3, 4) e sendo | A s | | = 2 , qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode assu-
mir? E o mínimo? 
2.8. Sejam A(x,, y{) e B(x2, y2) pontos do plano. Demonstre que 
d(A, S)=||Ãfi||. 
2.9. Determine vetores u e v tais que 
Ml2 + IMI2 = II" - Hl2-
2.10. Represente graficamente os vetores 
a) u + 2v; 
b) -u; 
c) u - v; 
d) 3u - 2v + w; 
e) -u - v + 2w; 
sendo u = (2, 3), v = (-1, 4) e w = (-2, -1). 
2.11. Dados os vetores u - (2,-1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que 
a) 3(u + w) - 2(v - w) = 0; 
1 
b) — [3(M + w) - 4(v - w)\ = 5 [u - 3w + 4(3v - 2w)]. 
2.12. Dados os vetores u e v , determine os vetores z e w tais que 
2(u + z) - 3(v + w) = u 
5(u - z) + 2(v -w) = v. 
- O Plano 29 
2.13. Mostre que se os vetores u e v têm a mesma direção, então existe um número k tal que v = 
ku. 
2.14. Encontre um vetor 
a) com mesma direção e sentido do vetor (3, 4) e módulo igual a 6; 
b) com mesma direção e sentido contrário ao do vetor (-1, 2) e módulo igual a 5. 
2.15. Encontre números k, e k2 tais que 
v = k\U + k2w, 
sendo v = (2, 3), u = (-1, 2) e w = (1, 2). 
2.16. Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que AC seja paralelo ao vetor u = (2, 1) 
e ||ÃC||=||ÃB||. 
2.17. Dados A(-l, -1) e B(3, 5), determine C tal que 
a )ÃC = -ÃB; 
2 
b)ÃC = -ÃB; 
4 
c )ÃC = -ÁB; 
3 
d ) Ã C = | B A . 
2.18. Dados os pontos A, B e C, exprima o vetor CM em função dos vetores CA e CB, sendo M 
a) o ponto médio de AB; 
b) um ponto de AB tal que 3 AM = AB . 
2.19. Dados B(0, 4) e C(8, 2), determine o vértice A do triângulo ABC, sabendo que o ponto médio de AB 
é Aí(3, 2). 
2.20. Escreva o vetor (7, -1) como soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1, -1) e o outro paralelo ao 
vetor (1,1). 
2.21. Represente graficamente os vetores da forma 
(2, 4) + í(3, -1), 
onde t é um número real. 
2.22. Dados A(l , 3) eB(2, 2), determine z para que a reta definida pelo ponto médio deAB e o ponto X(x, 
0) seja paralela ao vetor v = (1, 2). 
2.23. Demonstre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao 
terceiro lado e igual à sua metade. 
2.24. Se ABCD é um quadrilátero eP, Q, ReS são os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respec-
tivamente, prove que PQRS é um paralelogramo. 
2.25. Os pontos A(l, -5), B(5, 2) e C(3, 9) são três vértices de um paralelogramo. Ache três pontos, cada 
um dos quais podendo ser o seu quarto vértice. 
2.26. Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da Figura 2.17a, sabendo que HF,! =3 , 
2.27. Determine como deve variar o módulo e o sentido de F, e F2 (isto é, por quais constantes se deve mul-
tiplicar F, e F2) para que a resultante destas forças seja F, sendo ||F|| = V3, = 2 e ||F2|| = 1. Veja a 
Figura 2.17b. 
2.28. Num ponto atuam três forças F, = (-3, -4), F2 = (-1, 2) e F, = (2, 1). 
a) Elas estão em equilíbrio? 
b) Mantendo a direção e o sentido de F2 e F3, como podemos modificá-las de modo que o sistema 
fique em equilíbrio?