SÉRIES E SEQUÊNCIAS I

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs3C3e03-X 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Utilizando séries de potências em 
x
 determinar a solução geral da equação 
diferencial 
0y
dx
dy

. 
Resposta: 
x
0 e.cy 
; 
 
Solução: 
Seja a série infinita de potências definida por 
...)ax.(c)ax.(c)ax.(cc)ax.(c)x(f
3
3
2
210
m
m
0m



 
e suas derivadas sucessivas 
...)ax.(c.4)ax.(c.3)ax.(c.2c)ax.(c.m)x('f
3
4
2
321
1m
m
1m
 



, 
...)ax.(c.4.3)ax.(c.3.2c.2)ax.(c.m).1m()x(''f
2
432
2m
m
2m
 



, 
...)ax.(c.4.3.2c.3.2)ax.(c.m).1m).(2m()x('''f 43
3m
m
3m
 



, ... . 
 
Nas séries de potências (infinitas) de x – a em questão tem-se que 
0c
, 
1c
, 
2c
, 
3c
, 
4c
, 
5c
, ... são constantes denominadas coeficientes da série, a constante 
a
 diz-se 
o centro da série e 
x
 é uma variável (podendo ser real ou complexa). 
 
Se nas séries em referência 
0a 
, tem-se as séries de potências em 
x
: 
...x.cx.cx.cx.cx.ccx.c)x(f
5
5
4
4
3
3
2
210
m
m
0m



; 
...x.c.5x.c.4x.c.3x.c.2cx.c.m)x('f
4
5
3
4
2
321
1m
m
1m
 



; 
...x.c.5.4x.c.4.3x.c.3.2c.2x.c.m).1m()x(''f
3
5
2
432
2m
m
2m
 



; 
...x.c.4.3.2c.3.2x.c.m).1m).(2m()x('''f 43
3m
m
3m
 



, ... . 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs3C3e03-X 
 
CDCI/CMCD 
O Método de Resolução de Equações Diferenciais por Séries de Potências consis-
te em se admitir (inicialmente) que as séries de potências em questão verificam a 
dada equação diferencial em estudo. Após as devidas manipulações algébricas 
estabelece-se uma série de potências resultante que de acordo com os desenvolvi-
mentos de Taylor ou de Maclaurin evidenciarão a função solução da equação dife-
rencial em análise. 
 
Assim sendo, admita-se que 
...x.cx.cx.cx.ccx.c)x(f
4
4
3
3
2
210
m
m
0m



 e 
...x.c.4x.c.3x.c.2cx.c.m)x('f
3
4
2
321
1m
m
1m
 



 
verificam a equação diferencial 
0y
dx
dy

; isto é: 
0x.cx.c.m
m
m
0m
1m
m
1m






. 
 
Em conseqüência: 
0...)x.cx.cx.cc(...)x.c.4x.c.3x.c.2c(
3
3
2
210
3
4
2
321 
. 
 
Portanto, resulta que: 
 ...)x.cx.cx.cc(...)x.c.4x.c.3x.c.2c( 33
2
210
3
4
2
321
 ...)x.cx.cx.cc...)x.c.4x.c.3x.c.2c( 33
2
210
3
4
2
321
 
 0...x).cc.4(x).cc.3(x).cc.2()cc( 334
2
231201
 


















...
!4
c
2.3.4
c
4
c
c0cc.4
!3
c
2.3
c
3
c
c0cc.3
!2
c
2
c
c0cc.2
cc0cc
003
434
002
323
01
212
0101
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs3C3e03-X 
 
CDCI/CMCD 
Mas, como suposto, 
...x.cx.cx.cx.ccx.c)x(f
4
4
3
3
2
210
m
m
0m



. 
Então, tem-se que: 
 ...x.
!4
c
x.
!3
c
x.
!2
c
x.cc)x(f
403020
00
 
 ...)x.
!6
1
x.
!5
1
x.
!4
1
x.
!3
1
x.
!2
1
x1.(c
65432
0
 
...)
!6
x
!5
x
!4
x
!3
x
!2
x
x1.(c
65432
0 
. 
 
Observe, entretanto, que a série de potências em potências de 
x
 dada por 
...
!6
x
!5
x
!4
x
!3
x
!2
x
x1
65432

 
corresponde ao desenvolvimento da função 
x
e)x(f 
 em séries de potências de 
Maclaurin. 
 
Logo, resulta afirmar que 
x
0 e.c)x(f 
 é a solução da equação diferencial em es-
tudo. 
 
Observação: Verificar a resposta apresentada. 
 
 
 
(02) Utilizando séries de potências em 
x
 determinar a solução geral da equação 
diferencial 
0y
dx
yd
2
2

. 
Resposta: 
)xsen(.c)xcos(.cy 10 
; 
 
Solução: 
Sejam as séries de potências em potências de 
x
 dadas por: 
...x.cx.cx.cx.cx.ccx.c)x(f
5
5
4
4
3
3
2
210
m
m
0m



 e 
...x.c.5.4x.c.4.3x.c.3.2c.2x.c.m).1m()x(''f
3
5
2
432
2m
m
2m
 



. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs3C3e03-X 
 
CDCI/CMCD 
Supondo que 
)x(f
 e 
)x(''f
 verificam a equação diferencial em questão, tem-se 
que: 
 





m
m
0m
2m
m
2m
x.c.mx.c.m).1m()x(f)x(''f
 
 ...)x.cx.cx.cc(...)x.c.5.4x.c.4.3x.c.3.2c.2( 33
2
210
3
5
2
432
 
 0...x).cc.5.4(x).cc.3.4(x).cc.3.2()cc.2( 335
2
241302
 
 











































...
!7
c
c
!6
c
c
!5
c
20
)6/c(
2
c
c0cc.20
!4
c
12
)2/c(
12
c
c0cc.12
!3
c
6
c
c0cc.6
!2
c
2
c
c0cc.2
1
7
0
6
113
535
002
424
11
313
00
202
 
 
Portanto, resulta que: 
 ...x.cx.cx.cx.cx.cc)x(f 55
4
4
3
3
2
210
 
 ...x.
!7
c
x.
!6
c
x.
!5
c
x.
!4
c
x.
!3
c
x.
!2
c
x.cc
716051403120
10
 
 ...)x.
!7
c
x.
!5
c
x.
!3
c
x.c(...)x.
!6
c
x.
!4
c
x.
!2
c
c(
715131
1
604020
0
 
...)
!7
x
!5
x
!3
x
x.(c...)
!6
x
!4
x
!2
x
1.(c
763
1
642
0 
. 
 
Mas, é sabido que: 
...
!6
x
!4
x
!2
x
1
)!m.2(
x.)1(
)xcos(
642m.2m
0m





 e 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
...
!7
x
!5
x
!3
x
x
)!1m.2(
x.)1(
)xsen(
753)1m.2(m
0m







. 
 
Logo, a solução da equação diferencial 
0y
dx
yd
2
2

 é dada por: 
)xsen(.c)xcos(.c)x(f 10 
. 
 
Observação: Verificar a resposta apresentada.