SÉRIES E SEQUÊNCIAS II

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) xe)x(fy ======== ; 
Solução: 
Se na Série de Taylor de )x(f em potências de )ax( −−−− enunciada por: 
++++−−−−++++−−−−++++====−−−−∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
2
0n
n
)n(
)ax.(
!2
)a("f)ax).(a('f)a(f)ax.(
!n
)a(f
 
...)ax.(
!n
)a(f
...
n
)n(
++++−−−−++++++++ 
toma-se 0a ==== , tem-se a denominada Série de Maclaurin de )x(f em 
potências de x , ou seja: 
...
!3
x).0('''f
x.
!2
)0("f
x.
!1
)0('f
x.
!0
)0(f
x.
!n
)0(f)x(f
3
210n
0n
)n(
++++++++++++++++======== ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
. 
Portanto, calculando-se, então, as derivadas sucessivas de xe)x(f ==== , tem-
se que: x)n( e)x(f...)x('''f)x(''f)x('f)x(f ======================== . 
Mas, 1e)0(f...)0('''f)0(''f)0('f)0(f 0)n( ============================ . 
Logo, resulta que: 
====++++++++++++++++++++==== ...
!n
x).0(f
...x.
!2
)0("f
x.
!1
)0('f
x.
!0
)0(f)x(f
n)n(
210
 
...
!n
x
...
!4
x
!3
x
!2
x
x1
n432
++++++++++++++++++++++++++++==== . 
Assim, resulta afirmar que: 
∑∑∑∑∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
−−−−
+∞+∞+∞+∞
====
−−−−
========++++++++++++++++++++++++====
1n
1n
0n
n5432
x
)!1n(
x
!n
x
...
!5
x
!4
x
!3
x
!2
x
x1e , Rx ∈∈∈∈∀∀∀∀ . 
Resposta: 
...)!1n(
x
...
!4
x
!3
x
!2
x
x1e
1n432
x ++++
−−−−
++++++++++++++++++++++++====
−−−−
, com ...,3,2,1n ==== ; ou, 
∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
−−−−
−−−−
====
1n
1n
x
)!1n(
x
e ; ou, 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
...
!n
x
...
!4
x
!3
x
!2
x
x1e
n432
x ++++++++++++++++++++++++++++==== , com ...,2,1,0n ==== ; ou, 
∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
====
0n
n
x
!n
x
e . 
 
(b) )xsen()x(fy ======== ; 
Resposta: 
...)!1n.2(
x)1(
...
!5
x
!3
x
x)xsen(
1n21n53
++++
−−−−
−−−−
++++−−−−++++−−−−====
−−−−−−−−
, com ...,3,2,1n ==== ; ou 
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
++++
−−−−
====
0n
1n2n
)!1n.2(
x)1()xsen( ; 
 
 
(c) )xcos()x(fy ======== ; 
Resposta: ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
−−−−
====++++−−−−++++−−−−====
0n
n2n642
)!n2(
x)1(
...
!6
x
!4
x
!2
x1)xcos( ; 
 
(d) )x(tg)x(fy ======== ; 
Resposta: ...
315
x.17
15
x.2
3
x
x)x(tg
753
++++++++++++++++==== ; 
 
(e) )x1ln()x(fy ++++======== ; 
Resposta: ...
n
x.)1(
...
4
x
3
x
2
x
x)x1ln(
n1n432
++++
−−−−
++++++++−−−−++++−−−−====++++
−−−−
. 
 
(02) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) )x(gcot)x(fy ======== ; 
Resposta: ...
4725
x
945
x.2
45
x
3
x
x)x(gcot
753
1 ++++−−−−−−−−−−−−−−−−==== −−−− ; 
 
(b) )x(hseccos)x(fy ======== ; 
Resposta: ...
15120
x.31
360
x.7
6
x
x)x(hseccos
53
1 ++++−−−−++++−−−−==== −−−− ; 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
(c) 





++++
pipipipi
======== x
4
tg)x(fy ; 
Resposta: ...
8
x
x.2x.21x
4
tg
3
2 ++++++++++++++++====





++++
pipipipi
; 
 
(d) )xcos(.e)x(fy x−−−−======== ; 
Resposta: ...
6
x
3
x
x1)xcos(.e
43
x ++++−−−−++++−−−−====−−−− ; 
 
(e) )x(tg.e)x(fy x======== ; 
Resposta: ...
2
x
6
x.5
xx)x(tg.e
43
2x ++++++++++++++++==== . 
 
(03) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) )x(arctg.x1)x(fy −−−−======== ; 
Resposta: ...
48
x.5
24
x.11
2
x
x)x(arctg.x1
432
++++++++−−−−−−−−====−−−− ; 
 
(b) )xsec()x(fy ======== ; 
Resposta: ...
720
x.61
24
x.5
2
x1)xsec(
642
++++++++++++++++==== ; 
 
(c) )xarcsen()x(fy ======== ; 
Resposta: 
...)1n2).(2n2.(....4.2
x).3n.2.(....3.1
...
5.4.2
x.3.1
3.2
x.1
x)xarcsen(
)1n2(53
++++
−−−−−−−−
−−−−
++++++++++++++++====
−−−−
; 
 
(d) )x/1(arctg)x(fy ======== ; 
Resposta: ...
5
x
3
x
x
2
)x/1(arctg
53
++++−−−−++++−−−−
pipipipi
==== ; 
 
(e) )x1(
e)x(fy
x
−−−−
======== ; 
Resposta: ...
24
x.65
3
x.8
2
x.5
x.21)x1(
e 432x
++++++++++++++++++++====
−−−−
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
 
(04) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) )xsec(.e)x(fy x−−−−======== ; 
Resposta: ...
2
x
3
x.2
xx1)xsec(.e
43
3x ++++++++−−−−++++−−−−====−−−− ; 
 
(b) )x(tg1)x(fy −−−−======== ; 
Resposta: ...
384
x.47
48
x.11
8
x
2
x1)x(tg1
432
++++−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−− ; 
 
(c) )xsenh()x(fy ======== ; 
Resposta: ...
!7
x
!5
x
!3
x
x)!1n2(
x)xsenh()x(fy
75
0n
31n2
++++++++++++++++====
++++
============ ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++
; 
 
(d) )x(arctg)x(fy ======== ; 
Resposta: ...)1n2(
x.)1(
...
5
x
3
x
x)x(arctg
)1n2(1n53
++++
−−−−
−−−−
++++−−−−++++−−−−====
−−−−−−−−
; 
 
(e) ))xln(cos()x(fy ======== ; 
Resposta: ...
45
x
12
x
2
x))xln(cos(
642
−−−−−−−−−−−−−−−−==== . 
 
(05) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) 
x1
)xcos()x(fy
++++
======== ; 
Resposta: ...
384
x.49
16
x
8
x
2
x1
x1
)xcos( 432
++++++++−−−−−−−−−−−−====
++++
; 
 
(b) )x.2sen(.e)x(fy 2/x−−−−======== ; 
Resposta: ...
8
x.5
12
x.13
xx.2)x.2sen(.e
43
22/x ++++++++−−−−−−−−====−−−− ; 
 
(c) )xsec()x(fy ======== ; 
Resposta: ...
5760
x.139
96
x7
4
x1)xsec(
542
++++++++++++++++==== ; 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
 
(d) )xcosh()x(fy ======== ; 
Resposta: ...
!7
x
!5
x
!3
x
x)!1n2(
x)xcosh()x(fy
75
0n
31n2
++++++++++++++++====
++++
============ ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++
 ; 
 
(e) 





++++
pipipipi
======== x
4
sen)x(fy ; 
Resposta: 






−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−++++====





++++
pipipipi
...
7
x
6
x
!5
x
.
4
x
!3
x
!2
x
x1.
2
1
x
4
sen
765432
. 
 
(06) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
(a) )x1xln()x(fy 2++++++++======== ; 
Resposta: ...
112
x.5
40
x.3
6
x
x)x1xln(
753
2 ++++−−−−++++−−−−====++++++++ ; 
 
(b) )2/x1(
)2/xsen()x(fy
−−−−
======== ; 
Resposta: ...
96
x.5
48
x.5
4
x
2
x
)2/x1(
)2/xsen( 432
++++++++++++++++====
−−−−
; 
 
(c) xcos).x1()x(fy ++++======== ; 
Resposta: ...
8064
x.11
720
x.29
24
x.11
2
x1xcos).x1(
432
++++−−−−++++−−−−++++====++++ ; 
 
(d) ))xsen(1(
)x1ln()x(fy
++++
++++
======== ; 
Resposta: ...
12
x.23
6
x.11
2
x.3
x))xsen(1(
)x1ln( 432
++++−−−−++++−−−−====
++++
++++
; 
 
(e) )x1ln()x(fy −−−−======== . 
Resposta: ...
n
x
...
4
x
3
x
2
x
x)x1ln(
n432
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−− . 
 
(07) Desenvolver as seguintes funções em Séries de Maclaurin; quais sejam: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
(a) xe)x(fy −−−−======== . 
Resposta: ...
!7
x
!x
x
!5
x
!4
x
!3
x
2
x
x1e
765432
x ++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−− ; 
 
(b) x2e)x(fy ======== ; 
Resposta: ...
315
x.8
45
x.4
15
x.4
3
x.2
3
x.4
x.2x.21e76543
2x.2 ++++++++++++++++++++++++++++++++==== ; 
 
(c) x3e)x(fy ======== ; 
Resposta: 
...
560
x.243
80
x.81
40
x.81
8
x.27
2
x.9
2
x.9
x.31e
765432
x.3 ++++++++++++++++++++++++++++++++==== ; 
 
(d) x2e)x(fy −−−−======== ; 
Resposta: ...
315
x.8
45
x.4
15
x.4
3
x.2
3
x.4
x.2x.21e
76543
2x.2 ++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−− ; 
 
(e) x3e)x(fy −−−−======== ; 
Resposta: 
...
560
x.243
80
x.81
40
x.81
8
x.27
2
x.9
2
x.9
x.31e
765432
x.3 ++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−==== . 
 
 
(08) Decompor o polinômio 2xx5x5x)x(f 234 ++++++++++++−−−−==== em potências de 
)2x( −−−− . 
Solução: 
Sejam as derivadas de 2xx5x5x)x(f 234 +++−= , isto é: 
1x10x15x4)x('f 23 ++−= , 
10x30x12)x(''f 2 +−= , 
30x24)x('''f −= , 
24
dx
)x(fd
4
4
= e 
0...
dx
)x(fd
dx
)x(fd
6
6
5
5
=== . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01 
 
CDCI/CMCD 
Logo, segundo o enunciado e de acordo com o desenvolvimento de Taylor, 
resulta que: 
...
!3
)2x().2('''f
!2
)2x().2(''f)2x).(2('f)2(f)x(f
32
+
−
+
−
+−+= . 
Mas como: 022204016)2(f =+++−= , 71206032)2('f −=++−= , 
2106048)2(''f −=+−= , 183048)2('''f =−= , 24)2(
dx
yd
4
4
= e 
0...)2(
dx
yd)2(
dx
yd
6
6
5
5
=== , tem-se que: 
=+
−
+
−
+−+= ...
!3
)2x().2('''f
!2
)2x().2(''f)2x).(2('f)2(f)x(f
32
 
=+
−
+
−
+
−
−−−= 0
!4
)2x(
.24
!3
)2x(
.18
!2
)2x(
.2)2x.(70
432
 
432 )2x()2x.(3)2x()2x.(7 −+−+−−−−= . 
 
Resposta: 
432 )2x()2x(3)2x()2x(7)x(f −−−−++++−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−==== . 
 
(09) Decompor o polinômio 2xx5x5x)x(f 234 ++++++++++++−−−−==== em potências de x. 
Resposta: 
f(x) = 2 + x + 5x2 – 5x3 + x4. 
 
(10) Decompor o polinômio 1xxx2x)x(f 245 ++++++++−−−−++++==== em potências de 
)1x( ++++ . 
Resposta: 
5432 )1x()1x(3)1x(2)1x()x(f ++++++++++++−−−−++++++++++++==== ;