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UNIVERSIDADE ESTADO DE SANTA CATARINA
UDESC
CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof.:Fernando Tosini
Chapecó - SC
SUMÁRIO
1 Vetores no Plano e no Espaço 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definição de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Conceitos importantes de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Operações com Vetores Usando Componentes . . . . . . . . . 9
1.4.2 Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 Ângulo entre dois Vetores e Ortogonalidade . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . . . 16
1.6.4 Projeção Ortogonal de um Vetor sobre Outro . . . . . . . . . 17
1.6.5 Desigualdades de Schwarz e Triangular . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Área de um Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
1.8.1 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Volume de um Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Retas e Planos 23
2.1 Equações de uma Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Posições Relativas, Ângulos e Intersecção de retas
no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Distância entre Ponto e Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Área de um Triângulo Determinado por Três Pontos . . . . . . 27
2.2 Equações de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Ângulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.4 Condição de Paralelismo e Ortogonalidade de Duas Retas . . . 33
2.2.5 Condição de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . 33
2.2.6 Posições Relativas de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.7 Reta Ortogonal a Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Plano no Espaço 36
3.1 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Determinação de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Alguns Casos Particulares de Planos . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ângulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Ângulo entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Reta Contida em um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Intersecção: De Dois Planos e De Reta com Plano . . . . . . . . . . . 41
4 Distâncias 43
4.1 Distância entre dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . 43
ii
4.1.2 Distância Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.4 Distância entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.5 Distância de uma reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Circunferência e Cônicas 47
5.1 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Superfícies Quádricas 57
6.1 Superfícies Quádricas Centradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Hiperbolóide de Uma Folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Hiperbolóide de Duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Superfícies Quádricas Não Centradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 Parabolóide Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2 Parabolóide Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Superfícies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Referências Bibliográficas 63
iii
Capítulo 1
Vetores no Plano e no Espaço
1.1 Introdução
Existem grandezas físicas que são chamadas de grandezas escalares que são bem
definidas apenas por uma representação numérica (e a unidade de medida corres-
pondente). Por exemplo, a altura de determinado prédio é de 23 m. Para outras
grandezas é necessário dar mais informações para que elas sejam bem definidas. Por
exemplo, se falarmos da aplicação de uma força sobre um corpo, além de sabermos
da intensidade da força aplicada, é indispensável conhecermos a direção e o sentido
nos quais essa força foi aplicada para podermos ter uma idéia do que acontecerá
com o corpo em questão. Tais grandezas são chamadas de grandezas vetoriais e são
representadas por vetores.
1.2 Definição de vetor
Vetor é um objeto matemático (ou ente geométrico) que possui como carac-
terísticas: direção, sentido e módulo (ou intensidade ou norma ou com-
primento). Geometricamente um vetor é representado por um segmento de reta
orientado de uma origem A, a uma extremidade B, onde o comprimento do segmento
representa o módulo do vetor, a reta suporte do segmento representa a direção
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e a flexa de orientação representa o sentido positivo do vetor.
Figura 1.1: Vetor
Assim, se um vetor ~v tem origem num ponto A e extremidade num ponto B,
podemos escrever ~v =
−→
AB.
Figura 1.2: Translação
Observe na figura (1.2) que o segmento ori-
entado
−→
AB no plano tem as mesmas característi-
cas que o segmento orientado
−→
OP , onde A(x1, y1),
B(x2, y2) e P (x, y).
Isso nos permite dizer que se um vetor ~v é dado
por ~v =
−→
AB, então temos um vetor equivalente a
este dado por ~v =
−→
OP . Note que no segundo caso,
a origem do vetor corresponde à origem do plano
cartesiano e dessa forma, podemos representar o
vetor apenas pela sua extremidade no ponto P , o que facilita bastante a notação.
Por esse raciocínio, temos:
~v =
−→
AB = B − A = P −O = P (1.1)
o que para o caso do plano fica, ~v = (x, y) isto é, o vetor pode ser representado pelas
coordenadas do ponto extremo após a translação do mesmo para a origem.
1.2.1 Conceitos importantes de vetores
i) Dois vetores ~u e ~v são paralelos se, e somente se, possuem a mesma direção.
Indicamos por ~u ‖ ~v. Quando isso acontece, existe uma constante real α tal
que:
~u = α · ~v
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Figura 1.3: Vetores paralelos
ii) Dois vetores ~u e ~v são iguais se, e somente se, possuem a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo módulo. Indicamos por ~u = ~v
Figura 1.4: Vetores iguais
iii) Dois vetores ~u e ~v são ortogonais (ou perpendiculares)se eles tiverem
direções perpendiculares entre si, isto é, se as retas suportes dos dois vetores
formarem um ângulo reto entre si. Indicamos por ~u⊥~v.
Figura 1.5: Vetores ortogonais
iv) Se os vetores não nulos ~u, ~v e ~w são coplanares é sinal que pertencem ao
mesmo plano. Dois vetores ~u e ~v quaisquer são sempre coplanares.
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Figura 1.6: Vetores coplanares
v) Dois vetores ~u e ~v são colineares ou paralelos se tiverem a mesma direção
ou seja, pertencem a uma mesma reta ou a retas paralelas;
Figura 1.7: Vetores colineares
vi) Um vetor é dito oposto quando possui a mesma direção com sentido contrário,
ou seja, sendo ~v =
−→
AB, o vetor
−→
BA é oposto de
−→
AB e se indica por (−−→BA) ou
por (−~v);
Figura 1.8: Vetor oposto
vii) Um vetor é dito vetor nulo, quando não possui direção e sentido definidos,
sua representação é apenas um ponto. Indicamos por ~0 = (0, 0, ..., 0).
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viii) Um vetor ~u é unitário, quando seu módulo (ou norma ou comprimento) é
igual à unidade, isto é, se ‖~u‖ = 1;
ix) Versor de um vetor não nulo ~v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo
sentido de ~v, determinado por
~v
||~v|| .
Figura 1.9: Versor
Exemplo 1.1 A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Verifique se
cada uma das afirmações é verdadira ou falsa.
a)
−−→
DH =
−−→
BF
b)
−→
AB⊥−→CG
c) |−→AC| = |−−→HF |
d)
−−→
BG ‖ −−→ED
e)
−→
AB,
−−→
BC e
−→
CG são coplanares
f)
−→
AB,
−→
FG e
−−→
EG são coplanares
g)
−→
AE é ortogonal ao plano ABC
g)
−−→
DC é paralelo ao plano HEF
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1.3 Operações com Vetores
Nesta seção faremos uma rápida interpretação geométrica adição, subtração de
vetores e da multiplicação de um vetor por um escalar.
Adição de vetores
Figura 1.10: Adição
Sejam ~u e ~v dois vetores. A soma desses
vetores é um terceiro vetor ~u + ~v, sendo que o
módulo, a direção e o sentido desse vetor re-
sultante, pode ser obtido utilizamos a regra do
paralelogramo: primeiramente, desenhamos o
paralelogramo definido a partir dos vetores ~u e
~v e o vetor resultante é dado pela diagonal do
paralelogramo, como indicado na figura (1.10).
Assim, segue da Lei dos Cossenos que:
‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 + 2‖~u‖‖~v‖ cosα (1.2)
Diferença (subtração) de vetores
Figura 1.11: Subtração
Sejam ~u e ~v dois vetores. A subtração des-
ses vetores resulta em um terceiro vetor ~u − ~v
(chamado diferença), cujas propriedades são in-
feridas a partir da soma dos vetores ~u e (−~v).
A direção e o sentido desse vetor são iguais ao
do segmento orientado da extremidade de ~v até
a extremidade de ~u, conforme mostra a figura
(1.11).
Assim, segue da Lei dos Cossenos que:
‖~u− ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2‖~u‖‖~v‖ cosα (1.3)
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Multiplicação por escalar
Podemos multiplicar um vetor ~u por um número escalar a. Dessa operação resulta
um novo vetor a~u(vetor resultante) com as seguintes características: se ~v = a~u,
então:
a) O módulo de ~v é o que resulta da multiplicação do módulo de a pelo módulo
de ~u, ou seja, ‖~v‖ = ‖a‖‖~u‖
b) A direção de ~v é a mesma do vetor ~u.
c) O sentido de ~v é o mesmo de ~u se a > 0 e sentido oposto de ~u se a < 0.
Exemplo 1.2 Representados os vetores ~u, ~v e ~w, conforme a figura abaixo, obter
graficamente o vetor ~x de cada item tal que:
a) ~x− ~w − ~v − ~u = ~0 b) ~x = 2~u− 3~v + 1
2
~w
Exemplo 1.3 Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 120◦ e que ||~u|| = 4
e ||~v|| = 7. Calcule:
a) ||~u+ ~v|| b) ||~u− ~v||2
Exemplo 1.4 Considere uma força
−→
F1 de intensidade 64N aplicada horizontal-
mente (da esquerda para a direita) sobre um corpo. Uma segunda força
−→
F2 de
intensidade 80N é aplicada no mesmo ponto segundo um ângulo e 30o no sentido
anti-horário com a primeira. Calcule a intensidade da força resultante ||−→F1 + −→F2||,
bem como a diferença ||−→F1−−→F2||. Represente geometricamente os vetores resultantes.
Exemplo 1.5 Seja o vetor ~w 6= ~0. Determinar o vetor paralelo a ~w tal que:
a) Tenha o mesmo sentido de ~w e módulo 5;
b) Tenha o sentido contrário ao de ~w e módulo 10;
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1.4 Vetores no Plano
Quando representamos dois vetores −→u1 e −→u2 não paralelos num mesmo plano,
então qualquer vetor ~v desse mesmo plano pode ser decomposto segundo as direções
de −→u1 e −→u2, isto é, existem números reais a1 e a2 tais que
~v = a1
−→u1 + a2−→u2
Diz-se então que ~v foi escrito como uma combinação linear dos vetores −→u1 e −→u2.
Figura 1.12: Base canônica no R2
Assim, podemos dizer que os vetores −→u1
e −→u2 geram esse plano. Qualquer conjunto
de dois vetores que geram um plano são cha-
mados de base desse plano. Geralmente fica
mais fácil trabalharmos com bases ortogo-
nais, isto é, com bases compostas por veto-
res ortogonais entre si. Quando uma base é
formada por vetores unitários orto- gonais
então essa base é chamada de base ortonor-
mal.
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, a mais conhecida é a base que
determina o sistema cartesiano ortogonal xOy. Essa base é conhecida como base
canônica do R2 e é formada pelos vetores unitários ortogonais~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
Assim, se considerarmos um vetor do plano já transladado para a origem do
plano, digamos ~u = (x, y), então podemos escrever:
~u = x~i+ y~j (1.4)
Os números x e y também são ditos componentes do vetor ~u na base canônica.
Exemplo 1.6 Represente o vetor na base canônica: ~u = (3, 4)
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1.4.1 Operações com Vetores Usando Componentes
Figura 1.13: Geometricamente
Sejam ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) dois
vetores do plano e α um número real. então
temos:
i) ~u = ~v ⇐⇒ x1 = x2 e y1 = y2;
ii) ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);
iii) ~u− ~v = (x1 − x2, y1 − y2);
iv) α~u = (αx1, αy1);
Propriedades
Sejam ~u, ~v e ~w vetores e α, β ∈ R. En-
tão temos as seguintes propriedades:
i) ~u+ ~v = ~v + ~u;
ii) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);
iii) ~u−~0 = ~u;
iv) ~u+ (−~u) = ~0;
v) α(β~u) = (αβ)~u;
vi) (α + β)~u = α~u+ β~u;
vii) α(~u+ ~v) = α~u+ α~v;
viii) 1~u = ~u.
Exemplo 1.7 Determinar o vetor ~w na igualdade 3~w+ 2~u =
1
2
~v + ~w, sendo dados
~u = (3,−1) e ~v = (−2, 4).
Exemplo 1.8 Encontrar os números a1 e a2 tais que ~w = a1~u + a2~v, Sabendo que
~u = (1, 2), ~v = (4,−2) e ~w = (−1, 8).
Exemplo 1.9 Sejam os pontos A(0, 1), B(−1,−2) e C(2, 2). Determine os vetores
~u =
−→
AB +
−→
AC e ~v =
1
2
−→
AB − 1
3
−−→
BC.
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1.4.2 Ponto Médio
Figura 1.14: Ponto médio
Seja A(x1, y1) e B(x2, y2) dois pontos do
plano que definem um segmento. Então po-
demos definir o ponto médio M(x, y) do seg-
mento A e B fazendo:
−−→
AM =
−−→
MB
o que resulta em:
M(x, y) =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
(1.5)
De forma análoga, podemos definir também pontos que dividem um segmento
em outras razões de proporção.
Exemplo 1.10 Sejam os pontos A(−5,−3) e B(3, 2). Determine o ponto C sobre
o segmento AB tal que a distância de A até C seja o triplo da distância de C até
B.
1.4.3 Paralelismo
Sejam ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) dois vetores no plano. Se ~u e ~v são paralelos,
então existe α ∈ R tal que ~u = α~v, ou seja:
(x1, y1) = α(x2, y2)⇒ (x1, y1) = (αx2, αy2)
Isso resulta em:
x1
x2=
y1
y2
= α (1.6)
isto é, dois vetores são paralelos, se suas coordenadas forem proporcionais.
Observações:
i) Quando dois vetores são paralelos são ditos vetores linearmente dependentes
(LD), caso contrário são linearmente independentes (LI);
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ii) Três pontos são colineares quandos os vetores formados por esses pontos são
paralelos;
Exemplo 1.11 Verifique se os vetores ~u = (−2, 3) e ~v = (−4, 6) são paralelos.
Exemplo 1.12 Deteminar o valor de x se modo que: a) ~u = (2, 3) e ~v = (x,−4)
sejam LI. b) ~u = (1, 4) e ~v = (4, y) sejam LD.
1.4.4 Norma de um Vetor
Lembremos inicialmente que a norma ou o módulo de um vetor, representa o seu
comprimento.
Figura 1.15: Norma de um vetor
Assim, considere o vetor ~u = (x, y), apre-
sentado na figura (1.15). Aplicando o Teorema
de Pitágoras, segue que:
‖~u‖ =√x2 + y2 (1.7)
Em muitas situações necessitamos saber
apenas a direção e o sentido de um vetor. Nes-
tes casos, muitas vezes convém trabalharmos com um vetor unitário que tenha
mesma direção e sentido. Dado um vetor ~u = (x, y), então um vetor unitário que
tenha a mesma direção e o mesmo sentido de ~u é dado por
~u
‖~u‖ .
Demonstração:
Seja o vetor ~u = (x, y). Aplicando a norma em
~u
‖~u‖ , temos:
~u
‖~u‖ =
∣∣∣∣∣∣∣∣ ~u‖~u‖
∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣(x, y)‖~u‖
∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( x‖~u‖ , y‖~u‖
)∣∣∣∣∣∣∣∣ =
√
x2
‖~u‖2 +
y2
‖~u‖2 =
√
x2 + y2
‖~u‖ = 1
Exemplo 1.13 Encontre um vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido
do segmento orientado
−→
AB, onde A(−2,−1) e B(1, 3).
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1.5 Vetores no Espaço
A exemplo do caso de vetores no plano, quando trabalhamos com vetores no
espaço em três dimensões, também podemos fazer a translação para a origem. Seja
P (x, y, z) um ponto no espaço e ~u o vetor com origem em O(0, 0, 0) e extremidade
em P , isto é: ~u =
−→
OP . Então podemos representar esse vetor apenas pela sua
extremidade, ou seja: ~u = (x, y, z).
Figura 1.16: Base canônica do R3
Quando representamos três vetores −→u1,
−→u2 e −→u3 não coplanares num mesmo sitema
de coordenadas tridimensional, então qual-
quer vetor ~v desse mesmo espaço pode ser
escrito como combinação linear de −→u1, −→u2 e
−→u3 isto é, existem números reais a1, a2 e a3
tais que
~v = a1
−→u1 + a2−→u2 + a3−→u3.
Podemos dizer então que esses três ve-
tores geram o espaço, isto é, formam uma
base desse espaço. A base canônica do R3 é formada pelos vetores unitários orto-
gonais ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).
Assim, se considerarmos um vetor do espaço ~u = (x, y, z) podemos escrever:
~u = x~i+ y~j + z~k (1.8)
onde números x, y e z são ditos as componentes do vetor ~u na base canônica.
As definições e conclusões relativas igualdade, operações, ponto médio, para-
lelismo e norma de um vetor do R3 são análogas ao caso de vetores no plano,
necessitando-se apenas a inclusão da terceira coordenada.
Exemplo 1.14 Represente graficamente os vetores ~u = 2~i+3~j+3~k, ~v =~i+4~j+~k
e ~u+ ~v.
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Exemplo 1.15 Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores ~u = (−2,−1, 1),
~v = (3, 0,−1) e ~w = (−2, 2, 2), verificar se existe os números a1, a2 e a3 tais que
~w = a1
−→
AB + a2~u+ a3~v.
Exemplo 1.16 Seja o triângulo ABC cuja os vértices A(4,−1,−2), B(2, 5,−6) e
C(1,−1,−2).(a)Determine o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado
AB. (b) Determine a área desse triângulo.
Exemplo 1.17 Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores
~u = (m+ 1, 3, 1) e ~v = (4, 2, 2n− 1)
1.6 Produto Escalar
Considere os vetores ~u = x1~i+y1~j+z1~k e ~v = x2~i+y2~j+z2~k. Define-se o produto
escalar (ou produto interno usual) ~u · ~v (ou < ~u,~v >) como sendo o número real
dado por:
~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2 (1.9)
Exemplo 1.18 Sendo ~u = 3~i− 5~j + 8~k e ~v = 4~i− 2~j − ~k. Determine (< ~u,~v >) e
(< ~v, ~u >).
Exemplo 1.19 Dados os vetores ~u = (4, α,−1) e ~v = (α, 2, 3) e os pontos A(4,−1, 2),
B(3, 2,−1), determinar a valor de α tal que ~u · (~v +−→BA) = 5.
1.6.1 Propriedades do Produto Escalar
Sejam ~u, ~v e ~w vetores e α ∈ R. Então são válidas as seguintes propriedades:
i) ~u · ~v = ~v · ~u;
ii) (~u+ ~v) · ~w = ~u · ~w + ~v · ~w;
iii) α(~u · ~v) = (α~u) · ~v = ~u · (α~v);
13
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iv) ~u · ~u > 0 se ~u 6= ~0 e ~u · ~u = 0 se ~u = ~0 ;
v) ~u · ~u = ‖~u‖2
Exemplo 1.20 Sendo ‖~u‖ = 4, ‖~v‖ = 2 e ~u · ~v = 3, calcule (3~u− 2~v) · (−~u+ 4~v).
Como consequência dessas propriedades temos alguns resultados importantes,
conforme segue: Provar as três identidades.
‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + 2~u · ~v + ‖~v‖2 (1.10)
‖~u− ~v‖2 = ‖~u‖2 − 2~u · ~v + ‖~v‖2 (1.11)
(~u+ ~v) · (~u− ~v) = ‖~u‖2 − ‖~v‖2 (1.12)
1.6.2 Ângulo entre dois Vetores e Ortogonalidade
Figura 1.17: Ângulo
Comparando as equações:
‖~u− ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2‖~u‖‖~v‖ cos θ
e
‖~u− ~v‖2 = ‖~u‖2 − 2~u · ~v + ‖~v‖2
podemos escrever o produto escalar de dois ve-
tores não nulos em função de suas normas e do
ângulo θ formado entre esses vetores. Assim sur-
gue:
~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ (1.13)
onde 0 ≤ θ ≤ pi. Note que a equação (1.13) nos permite calcular o ângulo entre dois
vetores a partir de suas coordenadas. Assim temos:
cos θ =
~u · ~v
‖~u‖‖~v‖ (1.14)
Note que:
14
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a) Se ~u · ~v > 0, o cosseno de θ é um número positivo, isso implica que θ é um
ângulo agudo ou nulo. (00 ≤ θ < 900);
b) Se ~u · ~v < 0, o cosseno de θ é um número negativo, isso implica que θ é um
ângulo obtuso ou raso. (900 < θ ≤ 1800);
Exemplo 1.21 Sendo ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3 e 1200 o ângulo entre ~u e ~v. Determine
~u · ~v, ‖~u+ ~v‖ e ‖~u− ~v‖.
Exemplo 1.22 Calcular o ângulo entre os vetores ~u = (1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2).
Exemplo 1.23 Sabendo que o vetor ~v = (2, 1,−1) forma um ângulo de 600 com o
vetor
−→
AB determinado pelos pontos A(3, 1,−2), B(4, 0,m), calcule m.
Exemplo 1.24 Determinar a medida dos ângulos internos do triângulo ABC, cujos
vértices são A(3,−3, 3), B(2,−1, 2) e C(1, 0, 2).
Ortogonalidade de dois vetores
Figura 1.18: Ortogonalidade
Como conseqüência da equação (1.14) pode-
mos afirmar que dois vetores são ortogonais,
se e somente se seu produto escalar for nulo,
isto é, se:
~u · ~v = 0 (1.15)
Exemplo 1.25 Seja ~u = (4,−5,−1) e ~v = (a, 10, 2).
(a) Determine o valor de a para que esses vetores sejam paralelos.
(b) Determine o valor de a para que esses vetores sejam ortogonais.
Exemplo 1.26 Determinar um vetor ortogonal aos vetores ~u1 = (1,−1, 0) e
~u2 = (1, 0, 1).
Exemplo 1.27 Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares
entre si.
15
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1.6.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor
Figura 1.19: Ângulos diretores
Dado um vetor ~v = x~i+y~j+z~k =
(x, y, z) não-nulo. Os ângulos α, β e γ
que o vetor ~v forma com os vetores~i,
~j e ~k, respectivamente, são chamados
de ângulos diretores do vetor ~v.
Aplicando o cosseno em cada um
dos ângulos diretores α, β e γ, encon-
tramos respectivamente os cossenos
diretores do vetor ~v, isto é:
cos(α) =
~v ·~i
‖~v‖‖~i‖ =
x
‖~v‖
cos(β) =
~v ·~j
‖~v‖‖~j‖ =
y
‖~v‖
cos(γ) =
~v · ~k
‖~v‖‖~k‖ =
z
‖~v‖
Note que as coordenadas de um vetor unitário ~u com a mesma direção e sentido
do vetor ~v podem ser calculadas pelos cossenos dos ângulos diretores de ~v, isto é:
~u =
~v
‖~v‖ =
(
x
‖~v‖ ,y
‖~v‖ ,
z
‖~v‖
)
= (cos(α), cos(β), cos(γ)) (1.16)
Como o vetor ~v é unitário, segue que:
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1 (1.17)
Exemplo 1.28 Dados os pontos A(2, 2,−3), B(3, 1,−3), calcular os ângulos dire-
tores de
−→
AB.
Exemplo 1.29 Sabendo que os ângulos diretores de um vetor são α, 450 e 600.Deter-
minar a medida do ângulo α.
16
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1.6.4 Projeção Ortogonal de um Vetor sobre Outro
Figura 1.20: Projeção Ortogonal
Considere dois vetores ~u e ~v, conforme figura.
A projeção ortogonal ("sombra") do vetor ~u so-
bre o vetor ~v é o vetor ~w (w é um vetor paralelo
ao vetor v). Seja l o comprimento desse vetor.
Como ~w tem a mesma direção de ~v, temos que
~w = l
~v
‖~v‖ . Mas cos θ =
l
||~u|| então, l = ‖~u‖ cos θ
substituindo cos θ por cos θ =
~u · ~v
‖~u‖‖~v‖ temos
l =
~u · ~v
‖~v‖ , substitindo em ~w implica em:
~w = proj~v~u =
~u · ~v
‖~v‖2~v (1.18)
Exemplo 1.30 Determinar o vetor projeção de ~u = (2, 3, 4) sobre ~v = (1,−1, 0).
1.6.5 Desigualdades de Schwarz e Triangular
A partir da equação (1.13) e das propriedades acima podemos mostrar duas de-
sigualdades bastante úteis no estudo de vetores:
Desigualdade de Schwarz
| ~u · ~v | ≤ ‖~u‖‖~v‖ (1.19)
Desigualdade Triangular
‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖ (1.20)
1.7 Produto Vetorial
Sejam dois vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k. Define-se por
produto vetorial desse dois vetores nesta ordem ao vetor ~u× ~v ou ~u ∧ ~v dado por:
17
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~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣~i−
∣∣∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣~k (1.21)
Usando o Teorema de Laplace para determinantes, essa equação é equivalente à:
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.22)
1.7.1 Propriedades do Produto Vetorial
Algumas propriedades do produto vetorial seguem diretamete das propriedades
dos determinantes.
Sejam ~u, ~v e ~w vetores e α ∈ R. Então são válidas as seguintes propriedades:
i) ~u× ~v = −~v × ~u;
ii) ~u× ~v = ~0, se e somente se ~u ‖ ~v
iii) ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w;
iv) (α~u)× (~v) = α(~u× ~v);
v) ~u× ~v é simultaneamente ortogonal aos vetores ~u e ~v.
Figura 1.21: "Regra da mão direita"
Para verificar o sentido do vetor ~u × ~v
pode-se usar a "regra da mão direita" que
funciona da seguinte forma: se os quatro
dedos da mão direita indicarem na direção
do vetor ~u para o vetor ~v, então o polegar
dessa mão indica o sentido do vetor ~u× ~v.
18
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Exemplo 1.31 Sendo ~u = ~i + 2~j − ~k e ~v = 3~i + ~j + 2~k. Determine ~u × ~v, ~v × ~u,
~2u× ~3v e ~u× ~2u .
Uma identidade importante no estudo do produto vetorial é a identidade de
Lagrange:
‖~u× ~v‖2 = ‖~u‖2‖~v‖2 − (~u · ~v)2 (1.23)
Para demonstrar essa identidade, basta desenvolver os termos:
‖~u× ~v‖2 = (y1z2 − z1y2)2 + (−x1z2 + z1x2)2 + (x1y2 − y1x2)2
que é obtida aplicando a norma na equação (1.21),
‖~u‖2‖~v‖2 = (x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22)
e
(~u · ~v)2 = (x1x1 + y1y2 + z1z2)2
As equações (1.23) e (1.13) nos permitem encontrar o comprimento do vetor
~u× ~v, conforme segue:
‖~u× ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ sin θ (1.24)
1.7.2 Área de um Paralelogramo
Figura 1.22: Paralelogramo
Observe o paralelogramo ABCD da figura ao
lado, onde ~u =
−→
AB, ~v =
−−→
AD e θ é o ângulo for-
mado entre esses dois vetores. Sendo h = ‖~v‖ sin θ,
segue que a área do paralelogramo é dada por:
A = ‖~u‖‖~v‖ sin θ. Comparando essa expressão com
a equação (1.24) segue que:
A = ‖~u× ~v‖ (1.25)
19
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Se quisermos a área do triângulo ABD, temos:
A =
1
2
‖~u× ~v‖ (1.26)
Exemplo 1.32 Sejam os pontos A(2, 1, 1), B(3,−1, 0) e C(4, 2,−2). Determine:
a) O ponto D de forma a obter um paralelogramo ABCD (com D sendo vértice
oposto ao vértice A).
b) A área do paralelogramo ABCD
c) A área do triângulo ABC
d) A altura do triângulo ABC relativa ao vértice C.
1.8 Produto Misto
Sejam os vetores ~u = x1~i+ y1~j + z1~k, ~v = x2~i+ y2~j + z2~k e ~w = x3~i+ y3~j + z3~k.
Define-se por produto misto de ~u, ~v e ~w, nesta ordem, ao número real obtido por:
~u · (~v × ~w), que pode ser denotado também por (~u,~v, ~w).
Da equação (1.21) temos que: ~v × ~w =
∣∣∣∣∣∣ y2 z2y3 z3
∣∣∣∣∣∣~i−
∣∣∣∣∣∣ x2 z2x3 z3
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣ x2 y2x3 y3
∣∣∣∣∣∣~k
Assim,
~u · (~v × ~w) = x1
∣∣∣∣∣∣ y2 z2y3 z3
∣∣∣∣∣∣− y1
∣∣∣∣∣∣ x2 z2x3 z3
∣∣∣∣∣∣+ z1
∣∣∣∣∣∣ x2 y2x3 y3
∣∣∣∣∣∣
e aplicando a regra de Laplace para determinantes, segue que:
~u · (~v × ~w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.27)
20
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1.8.1 Propriedades do Produto Misto
As propriedade do produto misto apresentadas na seqüência seguem diretamete
das propriedades dos determinantes.
Sejam ~u, ~v, ~w e ~t vetores e α ∈ R. Então são válidas as seguintes propriedades:
i) O produto misto (~u,~v, ~w) muda de sinal se trocarmos a posição de dois vetores
(uma permuta). Se fizermos duas permutas, ele volta ao sinal original.
ii) (~u+ ~t, ~v, ~w) = (~u,~v, ~w) + (~t, ~v, ~w)
(~u,~v + ~t, ~w) = (~u,~v, ~w) + (~u,~t, ~w)
(~u,~v, ~w + ~t) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v,~t)
iii) (α~u,~v, ~w) = (~u, α~v, ~w) = (~u,~v, α~w) = α(~u,~v, ~w)
iv) (~u,~v,~t) = 0 se e somente se os três vetores forem coplanares.
Exemplo 1.33 Qual deve ser o valor de m para que os vetores ~a = (m, 2,−1),
~b = (1,−1, 3) e ~c = (0,−2, 4) são coplanares.
Exemplo 1.34 Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(−1, 0,−2), C(0, 2, 2) e D(−2, 1,−3)
estão no mesmo plano.
1.8.2 Volume de um Paralelepípedo
Figura 1.23: Paralelepipedo
Uma das aplicações do produto misto de
vetores ocorre no cálculo do volume de um
paralelepípedo, quando são conhecidas as co-
ordenadas de seus vértices, conforme mostra
a figura ao lado. Note que a área da base é
dada pela norma do produto vetorial ~u × ~v,
enquanto que h = ‖~w‖ cos θ. Aplicando a
equação (1.13) e a fórmula do volume de um
paralelepípedo, segue que seu volume é:
21
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V = |(~u,~v, ~w)| (1.28)
Figura 1.24: Tetraedro
Como todo paralelepípedo pode ser
repartido em dois prismas triangulares
iguais, portanto o volume do prisma é a
metade do volume do paralelepípedo, ou
seja:
Vp =
1
2
|(~u,~v, ~w)|
Por outro lado sabemos que todo
prisma de base triangular pode ser repar-
tido em três pirâmides de mesmo volume,
sendo cada uma delas chamadas de tetraedros.
Assim, o volume de um tetraedro equivale a um terço do volume do prisma, isto
é: V =
1
3
Vp, o que resulta em:
V =
1
6
|(~u,~v, ~w)| (1.29)
Exemplo 1.35 Seja A(1, 2,−1) um dos vértices de um paralelepípedo. Se os vérti-
ces adjacentes a este são B(5, 1, 0), C(2,−1, 1) e D(6, 1,−3), determine:
a) O volume do paralelepípedo.
b) A distância do ponto C até o plano traçado pelos outros três pontos.
c) O volume do tetraedro ABCD.
22
Capítulo 2
Retas e Planos
2.1 Equações de uma Reta no Plano
Figura 2.1: Reta no plano R2
Considere uma reta r no plano que
passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2),
conforme mostra a figura. Seja P (x, y) um
ponto qualquer dessa reta. Assim os tri-
ângulos ABB1 e APP1 são semelhantes.
Pelas razões de semelhança podemos então
escrever:
PP1
BB1
=
AP1
AB1
de onde segue que:
y − y1
y2 − y1 =
x− x1
x2 − x1
y − y1 = y2 − y1
x2 − x1 (x− x1) (2.1)
Observe na figura que o triângulo ABB1 é retângulo em B1 e que o ângulode
inclinação α da reta r com o eixo x corresponde ao ângulo Aˆ desse triângulo. Temos
dessa forma que
23
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tanα =
y2 − y1
x2 − x1 = m (2.2)
Substituindo m na equação (2.1), teremos a equação fundamental da reta:
y − y1 = m(x− x1) (2.3)
Fazendo y1 −mx1 = n temos:
y = mx+ n (2.4)
que é a equação reduzida da reta.
Por este motivo, m recebe o nome de coeficiente angular ou declividade da reta.
Já o valor de b é conhecido por coeficiente linear, representa o valor de y no qual a
reta corta o eixo y, uma vez que fazendo x = 0, temos y = n. Observe que se uma
reta é paralela ao eixo y, não podemos obter sua forma reduzida, uma vez que seu
coeficiente angular não está definido (tan 90◦ não existe).
Se na equação (2.1) passarmos todos os termos para o primeiro membro, temos
a equação geral da reta na forma:
ax+ by + c = 0 (2.5)
Figura 2.2: Reta que corta os eixos
Considere agora uma reta que corta
os eixos coordenados nos pontos A(a, 0) e
B(0, b), conforme figura. Assim o coefici-
ente angular é m =
b− 0
0− a = −
b
a
e o co-
eficiente linear é n = b. Substituindo isso
na equação reduzida da reta podemos es-
crever:
x
a
+
y
b
= 1 (2.6)
Essa forma de representação de uma
reta é conhecida como equação segmen-
tária.
24
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Exemplo 2.1 Obtenha as equções geral, reduzida e segmentária da reta que passa
pelos pontos A(−3, 5) e B(1, 0). Represente-a no plano.
Exemplo 2.2 Sejam os pontos A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2) os vértices de um tri-
ângulo. Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo e da
mediana relativa ao lado BC.
2.1.1 Posições Relativas, Ângulos e Intersecção de retas
no R2
Figura 2.3: Retas paralelas
Observe na figura ao lado que quando
duas retas r1 e r2 são paralelas, elas pos-
suem a mesma inclinação em relação ao
eixo x. Seja m1 e m2 seus respectivos co-
eficientes angulares. Então temos que se
duas retas são paralelas, elas satisfazem a
condição:
m1 = m2 (2.7)
Note que duas retas paralelas nunca se
cruzam, isto é, não possuem ponto de intersecção, ou todos seus pontos são comuns
(no caso de retas coincidentes).
Figura 2.4: Retas perpendiculares
Quando duas retas se cruzam num
único ponto (possuem um único ponto de
intersecção) elas são ditas retas concorren-
tes. Um caso particular de retas concor-
rentes são as retas que se cruzam formando
um ângulo de 90◦, conforme mostrado na
figura. essa retas são chamadas de retas
perpendiculares. Observe na figura que
25
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α2 = α1+90
◦, o que implica em tan(α2) = tan(α1+90◦). Fazendo algumas transfor-
mações trigonométricas, temos que duas retas r1 e r2 são perpendiculares entre si, se
e somente se seus respectivos coeficientes angulares m1 e m2 satisfazem a condição:
m2 = − 1
m1
(2.8)
Figura 2.5: Ângulos entre duas retas
Para obter o menor ângulo formado en-
tre duas retas, considere duas retas não
paralelas ao eido y, conforme mostra a fi-
guara. Note que θ = α2 − α1. Fazendo al-
gumas transformações trigonométricas, te-
mos que o menor ângulo θ entre duas retas
r1 e r2 com respectivos coeficientes angula-
res m1 e m2 é dado por:
tan θ =
∣∣∣∣ m2 −m11 +m1m2
∣∣∣∣ (2.9)
Quando uma das retas r2 é paralela ao eixo y e a reta r1 tem coeficiente angular
m1 podemos mostrar que θ = 90◦ − α1 o que implica em:
tan θ =
∣∣∣∣ 1m1
∣∣∣∣ (2.10)
Para calcular o ponto de intersecção entre duas retas concorrentes, basta resolver
um sistema linear com as respectivas equações dessas duas retas.
Exemplo 2.3 Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(−3, 5) e que é
paralela à reta de equação 3x− 2y + 4 = 0.
Exemplo 2.4 Obtenha a equação da reta que corta o eixo y no ponto A(0, 2) e que
é perpendicular à reta de equação 3x+ 5y + 4 = 0.
Exemplo 2.5 Considere o triângulo ABC, com A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2). Deter-
mine a medida dos ângulos internos desse triângulo.
26
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Exemplo 2.6 Obtenha os vértices do triângulo determinado pelas retas 3x−2y−6 =
0, y = −2x+ 5 e o eixo x.
Exemplo 2.7 Determine o valor de m de modo que o ponto P (m − 2, 5) pertence
a reta −3x+ 6y − 2 = 0.
2.1.2 Distância entre Ponto e Reta no Plano
Figura 2.6: Ponto e reta no plano
Considere um ponto no plano P (x1, y1) e uma
reta r de equação geral ax+by+c = 0, conforme
mostra a figura ao lado. Então a distância do
ponto P até a reta r é dada por:
d =
|ax1 + by1 + c|√
a2 + b2
(2.11)
cuja demosntração deixamos como exercício.
Exemplo 2.8 Calcular a distância do ponto
P (2, 1) a reta 3x− 4y + 8 = 0.
Exemplo 2.9 Obtenha a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC, com A(2, 0),
B(0, 4) e C(4, 2).
2.1.3 Área de um Triângulo Determinado por Três Pontos
A área de um triângulo cujos os vértices são os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e
C(x3, y3) é dada por:
A =
1
2
|D| (2.12)
onde
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
27
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Exemplo 2.10 Determinar a área do triângulo cujos vértices são A(2, 5), B(0, 1)
e C(3, 6).
Exemplo 2.11 Determinar a área do triângulo limitado pelas retas: r : y = 2x,
s : y = 4x− 8 e t : y = −2x+ 4.
2.2 Equações de uma Reta no Espaço
Figura 2.7: Reta no espaço R3
Seja r uma reta que passa por um ponto
A(x1, y1, z1) paralela a um vetor não nulo
~u = (a, b, c), conforme mostra a figura. Se
P (x, y, z) é um ponto qualquer da reta, te-
mos que
−→
AP ‖ ~u, o que implica que existe
um t real tal que:
−→
AP = t~u
ou consequentemente:
P − A = t~u
Substituindo as coordenadas, temos:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (2.13)
A equação (2.13) é chamada de equação vetorial da reta r, sendo ~u chamado
de vetor diretor e t de parâmetro. Note que para cada valor distinto de t, teremos
um ponto distinto P sobre a reta.
Pela igualdade de vetores, podemos obter as equações paramétricas da reta r
conforme segue:

x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
(2.14)
28
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Isolando o parâmetro t na equação (2.14) podemos escrever as equações simé-
tricas da reta conforme segue:
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(2.15)
desde que a, b e c 6= 0.
A partir da equação (2.15) podemos escrever y e z em função de x, obtendo as
equações reduzidas :
 y = mx+ nz = px+ q (2.16)
onde m =
b
a
, n = − b
a
x1 + y1, p =
c
a
, q = − c
a
x1 + z1.
Exemplo 2.12 Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3,−4, 2) e é
paralela ao vetor ~v = (2, 1,−3). Coloque na forma paramétrica, simétrica e reduzida
e represente graficamente.
Exemplo 2.13 Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(1,−2,−3) e
B(3, 1,−4) e represente-a graficamente.
Exemplo 2.14 Obtenha a equação paramétrica e semétrica da equação reduzida, e
determine o vetor e um ponto:
 y = −3x+ 2z = 2x− 5
Exemplo 2.15 Dado o pontos A(2, 3,−4) e B(1, 5,−7), pergunta-se:
a) As equações paramétricas da reta determinada por esses pontos;
b) Encontrar dois pontos da reta, quando os parâmetros t = 1 e t = 4;
c) Determinar o ponto da reta cuja abscissa é igual a 4;
d) Verificar se os pontos D(4,−1, 2) e E(5,−4, 3) pertencem a reta;
e) Determinar m e n para que o ponto F (m, 5, n) pertencem a reta.
29
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2.2.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Quando uma dascoordenadas do vetor diretor for nula, este vetor pertence a um
dos planos coordenados, de forma que a reta em questão é paralela a este plano. Por
exemplo:
Figura 2.8: Reta // plano yz
a) Se a = 0, então temos ~v = (0, b, c)⊥Ox.
Assim, ~v pertence ao plano yz. Se a reta r passa
pelo ponto A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v,
conforme a figura (2.8) temos:
r :
 x = x1y − y1
b
=
z − z1
c
Figura 2.9: Reta // plano xz
b) Se b = 0, então temos ~v = (a, 0, c)⊥Oy.
Assim, ~v pertence ao plano xz. Se a reta r passa
pelo ponto A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v,
conforme a figura (2.9) temos:
r :
 y = y1x− x1
a
=
z − z1
c
Figura 2.10: Reta // plano xy
c) Se c = 0, então temos ~v = (a, b, 0)⊥Oz.
Assim, ~v pertence ao plano xy. Se a reta r passa
pelo ponto A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v,
conforme a figura (2.10) temos:
r :
 z = z1x− x1
a
=
y − y1
b
30
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2.2.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados
Quando duas coordenadas do vetor são nulas, temos que a reta é paralela a um
dos eixos coordenados, no caso do eixo cuja coordenada não é nula. Por exemplo:
Figura 2.11: Reta // ao eixo x
a) A reta r que passa pelo ponto
A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v =
(a, 0, 0) é paralela ao eixo x. Conforme a fi-
gura (2.11) tem-se equações paramétricas:
r :

x = x1 + at
y = y1
z = z1
Figura 2.12: Reta // ao eixo y
b) A reta r que passa pelo ponto
A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v = (0, b, 0)
é paralela ao eixo y. Conforme a figura
(2.12) tem-se equações paramétricas:
r :

x = x1
y = y1 + bt
z = z1
Figura 2.13: Reta // ao eixo z
c) A reta r que passa pelo ponto
A(x1, y1, z1) e tem vetor diretor ~v = (0, 0, c)
é paralela ao eixo z. Conforme a figura
(2.13) tem-se equações paramétricas:
r :

x = x1
y = y1
z = z1 + ct
31
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Exemplo 2.16 Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(−2, 3,−2)
e tem a direção do vetor ~v = 3~i+ 2~k. Represente graficamente.
Exemplo 2.17 Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e
B(4, 8, 9). Represente graficamente.
Exemplo 2.18 Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3,−2) e
tem a direção do vetor ~v = 2~i. Represente graficamente.
2.2.3 Ângulo entre Duas Retas
Figura 2.14: Ângulo entre duas retas no R3
Sejam as retas r1 que passa pelo
ponto A1(x1, y1, z1) e tem a direção
de um vetor ~v1 = (a1, b1, c1), e r2,
que passa pelo ponto A2(x2, y2, z2)
e tem a direção de um vetor ~v2 =
(a2, b2, c2). Conforme a figura,
chama-se ângulo de duas retas r1 r2 o
menor ângulo de um vetor diretor de
r1 e de um vetor diretor de r2. Logo,
sendo θ este ângulo, tem-se:
cos θ =
|~v1 · ~v2|
‖~v1‖‖~v2‖ com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(2.17)
Na figura, o ângulo α é o complementar de θ, Portanto α é formado por −~v1 e
~v2 ou v~1 e −~v2.
Exemplo 2.19 Calcular o ângulo entre as retas:
r1 :

x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
e r2 :
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
32
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2.2.4 Condição de Paralelismo e Ortogonalidade de Duas Re-
tas
Lembre que a direção de uma reta é dada pelo seu vetor diretor. Assim, as
condições de paralelismo e ortogonalidade entre duas retas está diretamente ligada
às condições de paralelismo e ortogonalidade entre os vetores diretores. Assim, duas
retas r1 e r2 com seus repectivos vetores diretores ~v1 = (a1, b1, c1) e ~v2 = (a2, b2, c2)
definem as seguintes posições:
i) Retas paralelas, se somente se: ~v1 = α~v2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
= α.
ii) Retas ortogonais, se somente se: ~v1 · ~v2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
Exemplo 2.20 Verifique se as retas são paralelas ou ortogonais.
r :
 y = −2x+ 1z = 4x e s :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
Exemplo 2.21 Calcular o valor de m para que as retas:
r :
 y = mx− 3z = −2x e s :

x = −1 + 2t
y = 3− t
z = 5t
sejam ortogonais.
2.2.5 Condição de Coplanaridade de Duas Retas
Sejam duas retas, r1 e r2 tais que r1 passa pelo ponto A1(x1, y1, z1) e tem vetor
diretor ~v1 = (a1, b1, c1) e r2 passa pelo ponto A2(x2, y2, z2) e tem vetor diretor ~v2 =
(a2, b2, c2). Então r1 e r2 estão sobre um mesmo plano se os vetores ~v1, ~v2 e
−−−→
A1A2
estiverem num mesmo plano, isto é, se seu produto misto for nulo. Isso implica na
seguinte condição:
33
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(~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) = 0 ou
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Exemplo 2.22 Calcular o valor de m para que as retas:
r1 :
 y = mx+ 2z = 3x− 1 e r2 :

x = t
y = 1 + 2t
z = −2t
sejam coplanares.
2.2.6 Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas coplanares podem ser concorrentes se elas se cruzam num único
ponto (chamado de ponto de intersecção) ou paralelas. No caso de retas paralelas,
temos que não existe ponto de intersecção ou todos os pontos são comuns às duas
retas. Neste último caso podemos dizer que as retas são coincidentes. Quando
duas retas não são coplanares, dizemos que são retas reversas. Neste caso também
não existe ponto de intersecção entre elas.
A partir da igualdade (~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) = 0, podemos concluir:
a) Se r1 e r2 forem paralelas, então serão coplanares, isto é: (~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) = 0.
b) Se r1 e r2 não forem paralelas, então a igualdade (~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) = 0 exprime
a condição de concorrência entre as retas. Logo, o ponto de encontro é encontrado
resolvendo o sistema montado pelas equações das retas.
c) Se o produto misto for diferente de zero, ou seja (~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) 6= 0, então r1
e r2 são reversas.
Exemplo 2.23 Estudar a posição relativa das retas, em caso de concorrentes ache
o ponto de intersecção.
34
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a) r1 :
 y = 2x− 3z = −x e r2 :

x = 1− 3t
y = 4− 6t
z = 3t
b) s1 :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
e s2 :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
c) t1 :
 y = 3z = 2x e t2 : x = y = z
Exemplo 2.24 Obtenha as equações da reta que corta o eixo z na altura z = 3 e
que seja paralela à reta de equações:
x− 2
3
=
y + 3
2
= −3z
2
.
2.2.7 Reta Ortogonal a Duas Retas
Figura 2.15: Reta ortogonal a duas retas
Sejam duas retas, r1 e r2, não pa- ra-
lelas, com as direções dos vetores ~v1 =
(a1, b1, c1) e ~v2 = (a2, b2, c2), respecti-
vamente. Qualquer reta r, simultanea-
mente ortogonal as retas r1 e r2, terá um
vetor diretor paralelo ou igual ao vetor
~v1 × ~v2.
Exemplo 2.25 Determinar a equação
da reta s que passa pelo ponto A(−2, 1, 3)
e é ortogonal as retas:
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, 4) e r2 :

x = 5
y = t
z = 1− t
35
Capítulo 3
Plano no Espaço
3.1 Equação Geral do Plano
Figura 3.1: Plano no espaço
Considere um plano pi no espaço,
conforme a figura, passando pelo ponto
A(x1, y1, z1) e que seja ortogonal ao vetor
~n = (a, b, c) 6= ~0, conhecido por vetor nor-
mal. Seja P (x, y, z) um ponto qualquer do
plano pi. Como ~n ⊥ pi e o vetor −→AP per-
tence ao plano pi, segue que ~n ⊥ −→AP . Isso
implica em:
~n · −→AP = 0
ou
(a, b, c) · (x− x1, y − y1, z − z1) = 0
de onde segue que:
ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0
e denotando d = −ax1 − by1 − cz1, chegamos à equação geral do plano que tem
a forma:
ax+ by + cz + d = 0 (3.1)
36
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Exemplo 3.1 Obtenhaa equação do plano pi que passa pelo ponto A(2,−1, 3), e
tem ~n = (3, 2,−4). Faça sua representação gráfica.
Exemplo 3.2 Escrever a equação do plano pi que passa pelo ponto A(3, 1,−4) e é
paralelo ao plano: pi1 : 2x− 3y + z − 6 = 0
Exemplo 3.3 Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1,−2)
e é perpendicular a reta r :

x = −4 + 3t
y = 1 + 2t
z = t
3.2 Determinação de um plano
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal
a ele. Existem outras formas de determinar um plano, nas quais são apresentadas.
Assim, existe apenas um plano que:
I) Passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores ~v1 e ~v2 não colineares. Neste
caso: ~n = ~v1 × ~v2.
II) Passa por dois pontos A e B e é paralelo ao vetor ~v não colinear ao vetor
−→
AB.
Neste caso: ~n = ~v ×−→AB.
III) Passa por três pontos A,B e C não colineares. Neste caso: ~n =
−→
AB ×−→AC.
IV) Com duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: ~n = ~v1 × ~v2, sendo ~v1 e ~v2
os vetores diretores das retas.
V) Com duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso: ~n = ~v1 × −−−→A1A2, sendo ~v1 o
vetor diretor de r1 ou r2.
VI) Contém uma reta r e um ponto B não pertence a r. Neste caso: ~n = ~v×−→AB.
sendo ~v o vetor diretor de r e A ∈ r.
Exemplo 3.4 Obtenha a equação do plano que passa pelos pontos A(−1, 2, 3), B(0, 2, 4)
e C(3, 1, 0). Faça sua representação gráfica.
37
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Exemplo 3.5 Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta r :
 x = 4y = 3
e o ponto B(−3, 2, 1).
Observação 3.1 Existe outra maneira de se obter a equação geral de um plano.
Considerando que P (x, y, z) representa um ponto genérico de qualquer plano, os
vetores
−→
AP , ~u e ~v são coplanares, se somente se,o produto misto deles for nulo, ou
seja:
(
−→
AP, ~u,~v) = 0
3.2.1 Alguns Casos Particulares de Planos
Figura 3.2: Plano // ao eixo z
Quando uma das coordenadas do ve-
tor normal é nula, teremos um plano pa-
ralelo ao eixo representante dessa coorde-
nado. Por exemplo, se ~n = (a, b, 0), esse
vetor pertence ao plano coordenado xy.
Conseqüentemente ele é normal ao eixo z.
Isto implica que qualquer plano que tiver
~n como vetor normal é paralelo ao eixo z.
Essa situação está ilustrada na figura ao
lado. A equação geral desse plano é dada
por:
ax+ by + d = 0
Quando duas das coordenadas do vetor normal são nulas, teremos um plano
paralelo a um dos planos coordenados, pois o vetor normal estará sobre um dos
eixos. Neste caso este vetor será normal ao plano gerado pelos outros dois eixos,
sendo o plano correspondente paralelo a esse plano coordenado.
38
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Figura 3.3: Plano // ao plano yz
Por exemplo, se ~n = (a, 0, 0), temos que
~n está sobre o eixo x de forma que n é orto-
gonal ao plano yz. Assim, qualquer plano
que tem n como vetor normal será paralelo
ao plano coordenado yz e sua equação fica:
x = k, onde k é o valor de x onde o plano
corta esse eixo.
Exemplo 3.6 Determinar a equação car-
tesiana do plano que contém o ponto
A(2, 2,−1) e a reta r :
 x = 4y = 3 . Re-
presentar gráficamente.
Exemplo 3.7 Determinar a equação geral do plano que passa por A(2, 3, 4) e é
paralelo aos vetores ~v1 = ~j + ~k e ~v2 = ~j − ~k. Representar graficamente.
3.3 Ângulo entre Dois Planos
Figura 3.4: Âng. entre 2 planos
sejam dois planos pi1 : a1x+ b1y+ c1z+d = 0
e pi2 : a2x+ b2y+ c2z+d = 0 com respectivos ve-
tores normais ~n1 = (a1, b1, c1) e ~n2 = (a2, b2, c2).
O menor ângulo formado por esses planos é en-
tão o menor ângulo entre seus vetores normais,
isto é:
cos(θ) =
|−→n1 · −→n2|
‖−→n1‖‖−→n2‖ com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(3.2)
Dessa forma temos que:
I) Dois planos são paralelos, se e somente se seus vetores normais são para-
lelos, isto é: ~n1 = α ~n2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
= α.
39
Geometria Analítica Vetorial Prof. Fernando Tosini e Prof. Vitor J. Petry
II) Dois planos são perpendiculares, se e somente se seus vetores normais
são ortogonais, isto é: ~n1 · ~n2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.
Exemplo 3.8 Determinar o ângulo entre os planos pi1 : 2x + y − z + 3 = 0 e
pi2 : x+ y − 4 = 0.
Exemplo 3.9 Calcular os valores de m e n para que o plano pi1 : (2m− 1)x− 2y+
nz − 3 = 0 seja paralelo ao plano pi2 : 4x+ 4y − z = 0.
Exemplo 3.10 Verificar a posição relativa entre os planos: pi1 : 3x+y−4z+2 = 0
e pi2 : 2x+ 6y + 3z = 0.
3.3.1 Ângulo entre uma Reta e um Plano
Figura 3.5: Ângulo entre Reta e
Plano
Seja uma reta r com direção do vetor ~v e
um plano pi, sendo ~n um vetor normal ao plano
pi. Conforme a figura, o ângulo φ da reta com o
plano pi é o complemento do ângulo θ que a reta
r forma com um reta normal ao plano. Tendo
em vista que θ + φ = pi
2
, assim, cos θ = senφ,
Substituindo na fórmula (3.2) temos:
sin(φ) =
|−→v · −→n |
‖−→v ‖‖−→n ‖ com 0 ≤ φ ≤
pi
2
(3.3)
Dessa forma temos que:
I) Uma reta r é paralela a um plano pi, se e somente se, o vetor diretor da
reta r for perpendicular ao vetor normal do plano pi, isto é: ~v · ~n = 0.
II) Uma reta r é perpendicular a um plano pi,se e somente se, o vetor
diretor da reta r for paralelo ao vetor normal do plano pi, isto é: ~v = α~n.
40
Geometria Analítica Vetorial Prof. Fernando Tosini e Prof. Vitor J. Petry
Exemplo 3.11 Determinar o ângulo que a reta r :

x = 1− 2t
y = −t
z = 3 + t
forma com o
plano pi : x+ y − 5 = 0.
Exemplo 3.12 Verifique a posição relativa da reta r :
x+ 2
3
=
y + 1
−2 =
z
−1 com
o plano pi : 9x− 6y − 3z + 5 = 0.
3.3.2 Reta Contida em um Plano
Uma reta r está contida em um plano pi se:
i) Dois pontos A e B da reta r pertencem a esse plano.
ou
ii) O vetor diretor ~v da reta r for ortogonal ao vetor normal ~n do plano pi, isto
é: ~v · ~n = 0
Exemplo 3.13 Determinar os valores de m e n para que a reta r :

x = 3 + t
y = −1− t
z = −2− t
esteja contida no plano pi : 2x+my + nz − 5 = 0.
3.4 Intersecção: De Dois Planos e De Reta com
Plano
Para obter a intersecção entre dois planos não paralelos ou entre uma reta e
um plano, basta resolver um sistema linear com as suas respectivas equações. Note
que intersécção entre dois planos não paralelos dá uma reta, enquanto que a
intersecção entre uma reta e um plano que não sejam paralelos dá um ponto.
Exemplo 3.14 Encontre a reta de intersecção entre os planos de equações
pi1 : 5x− y + z − 5 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 7 = 0
41
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Exemplo 3.15 Encontre o ponto de intersecção entre o plano e a reta dados pelas
equações
r :

x = −1 + 2t
y = 5 + 3t
z = 3− t
e pi : 2x− y + 3z − 4 = 0
42
Capítulo 4
Distâncias
4.1 Distância entre dois Pontos
A distância d entre os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) é o módulo do vetor
−−→
P1P2, isto é: d(P1, P2) = ‖−−→P1P2‖, assim resulta em:
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 (4.1)
Exemplo 4.1 Calcule a distância entre os pontos A(
√
2,−2, 4) e B(−1,−2,√3).
4.1.1 Distância de um Ponto a uma Reta
Figura 4.1:
Seja r uma reta que passa por um
ponto P1(x1, y1, z1) e pelo vetor diretor
~v = (a, b, c) e seja P0(x0, y0, z0) é um ponto
qualquer do espaço. Conforme a figura,
podemos formar um paralelogramo, cuja a
área é dada pelo produto da base pela al-
tura, ou seja:
A = ‖~v‖d (I)
43
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Também sabemos que área de um paralelogramo pode ser dada pelo módulo do
produto vetorial, ou seja:
A = ‖~v ×−−→P1P0‖ (II)
Assim, comparando (I) e (II), vem:
d(P0,r) =
‖~v ×−−→P1P0‖
‖~v‖ (4.2)
Exemplo 4.2 Calcular a distância do ponto P (2, 0, 7) a reta r : x
2
=
y − 2
2
=
z + 3
1
4.1.2 Distância Entre Duas Retas
Para calcular a distância entre duas retas devemos analisar as seguintes situações:
a) As retas r1 e r2 são concorrentes. Neste caso:
d(r1, r2) = 0 (4.3)
b) As retas r1 e r2 são paralelas. Neste caso:
d(r1, r2) = d(P1, r2), P1 ∈ r1 (4.4)
ou
d(r1, r2) = d(P2, r1), P2 ∈ r2 (4.5)
c) As retas r e s são reversas. Conforme a figura temos:
Figura 4.2:
Neste caso:
d(r, s) =
| (~u,~v,−−→P1P2) |
‖~u× ~v‖ (4.6)
44
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Exemplo 4.3 Calcular a distância entre as retas:
a) r :
 y = −2x+ 3z = 2x e s :

x = −1− 2t
y = 1 + 4t
z = −3− 4t
b) r1 :
 y = x− 3z = −x+ 1 e r2 :

x = −1 + t
y = 3− 2t
z = −1− t
4.1.3 Distância de um Ponto a um Plano
Dado um ponto P0(x0, y0, z0) e um plano pi : ax + by + cz + d = 0. Seja
P (x, y, z) um ponto qualquer do plano e A o pé da perpendicular conduzida por P0
sobre o plano pi. Conforme a figura, podemos estabelecer que a distância do ponto
ao plano é dado pelo módulo da projeção de vetor
−−→
PP0 na direção de ~n, ou seja:
d(P0, pi) = |proj~n−−→PP0| =
∣∣∣∣−−→PP0 · ~n‖~n‖
∣∣∣∣, substituindo os vetores resulta em:
d(P0, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(4.7)
Exemplo 4.4 Calcular a distância do ponto P (4, 2,−3) ao plano
pi : 2x+ 3y − 6z + 3 = 0.
4.1.4 Distância entre Dois Planos
A distância entre dois planos só é definida se os planos forem paralelos. Assim,
temos:
d(pi1, pi2) = d(P0, pi2), P0 ∈ pi1 (4.8)
ou
d(pi1, pi2) = d(P0, pi1), P0 ∈ pi2 (4.9)
Exemplo 4.5 Calcular a distância entre os planos: pi1 : 2x − 2y + z − 5 = 0 e
pi2 : 4x− 4y + 2z + 14 = 0.
45
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4.1.5 Distância de uma reta a um Plano
A distância de uma reta a um plano só é definida se a reta é paralela ao plano.
Assim, temos:
d(r, pi) = d(P0, pi), P0 ∈ r (4.10)
Exemplo 4.6 Calcular a distância da reta r :
 y = 2x+ 3z = 2x+ 1 ao plano
pi : 4x− 4y + 2z − 7 = 0.
46
Capítulo 5
Circunferência e Cônicas
5.1 Circunferência
Figura 5.1: Circunferência
Define-se uma circunferência como
sendo o conjunto de todos os pontos do
plano eqüidistantes de um ponto fixo cha-
mado de centro da circunferência. A dis-
tância entre o centro e um ponto qualquer
da circunferência é chamada de raio. A fi-
gura mostra uma circunferência de centro
C(a, b) e raio R. Seja P (x, y) um ponto
qualquer dessa circumferência. Aplicando
o Teorema de Pitágoras no triângulo CPQ,
chegamos à equação da circunferência na
forma reduzida:
(x− a)2 + (y − b)2 = R2 (5.1)
Para o caso particular em que o centro da circunferência é a origem do plano,
temos C(0, 0) e a equação (5.1) se reduz a:
x2 + y2 = R2 (5.2)
47
Geometria Analítica Vetorial Prof. Fernando Tosini e Prof. Vitor J. Petry
Se desenvolvermos a expressão (5.1) podemos encontrar a equação geral de uma
circunferência que tem a forma:
Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (5.3)
com A = B.
Exemplo 5.1 Obtenha o centro, o raio e represente graficamente a circunferência
de equação x2 + y2 − 6x− 2y + 8 = 0.
Exemplo 5.2 Obtenha a equação geral da circunferência de raio 5 unidades e cujo
centro é o ponto C(−1, 2). Represente graficamente essa circunferência.
Para determinar a posição relativa entre um ponto A e uma circunferência γ,
basta encontrar o centro C da circunferência e em seguida calcular a distância d
entre A e C. Se d > R, então A é um ponto externo à circunferência. Se d < R,
então A é um ponto interno à circunferência e se d = R, então A é um ponto sobre
a circunferência.
De forma análoga podemos determinar as posições relativas entre uma reta r e
uma circunferência γ, calculando a distância d entre o centro da circunferência C e
a reta r. Se d > R, então r é uma reta exterior à circunferência. Se d < R, então
a reta r intercepta a circunferência em dois pontos distintos e dizemos que r é uma
reta secante à circunferência γ e se d = R, então a reta r toca a circunferência γ em
apenas um ponto e dizemos que r é uma reta tangente à circunferência γ.
Podemos ainda verificar as posições relativas entre duas circunferências γ1 e
γ2. Essa análise é feita a partir da comparação da distância de seus centros e a
soma ou diferença dos seus raios. Duas circunferências podem ter dois, um ou
nenhum pontos de interseção. Quando têm dois pontos de intersecção são chamadas
de circunferências secantes. Quando existe apenas um ponto de intersecção, temos
circunferências tangentes (tangentes inferiormente se uma estiver no interior da outra
e tangentes exteriormente, caso contrário). Quando não existe ponto de intersecção,
podemos ter uma circunferência interna a outra ou então circunferências externas.
48
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Exemplo 5.3 Verifique a posição relativa entre o ponto P (5,−1) e a circunferência
de equação x2 + y2 − 6x− 2y + 8 = 0.
Exemplo 5.4 Encontre os pontos de intersecção (caso existam) entre as circunfe-
rências de equações x2 + y2 = 30 e (x − 3)2 + y2 = 9. Discuta também a posição
relativa entre essas circunferências.
5.2 Elipse
Figura 5.2:
Considere dois pon-
tos fixos F1 e F2 de um
mesmo plano. Define-se
como elipse ao conjunto
de todos os pontos P do
mesmo plano tal a que
soma das distâncias de P
em ralação a esses dois
pontos F1 e F2 seja sem-
pre constante. Esses dois
pontos F1 e F2 são cha-
mados de focos da elipse.
Para simplificar a obten-
ção das equações, consideremos inicialmente os focos sobre o eixo x, simétricos em
relação à origem. Assim, podemos definir F1(−c, 0) e F2(c, 0), conforme a figura
ao lado. Note que a distância entre F1 e F2, chamada de distância focal é igual a
2c. Denotamos de A1(−a, 0) e A2(a, 0) os pontos em que a elipse corta o eixo x e
B1(−b, 0) e B2(b, 0) os pontos em que a elipse corta o eixo y. O segmento A1A2 é
chamado de eixo maior e o segmento B1B2 de eixo menor. Assim, sendo P (x, y) um
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ponto qualquer da elipse, temos que
‖−−→PF1‖+ ‖−−−→P, F2| = 2a (5.4)
Observe ainda na figura que pelo teorema de pitágoras temos que
a2 = b2 + c2.
Da equação (5.4) temos que
√
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a
Desenvolvendo esta expressão e fazendo as devidas simplificações, chegamos a
equação reduzida da elipse que tem a forma:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (5.5)
Figura 5.3:
Para a situação em que os focos estão
localizados sobre o eixo y, simétricos à ori-
gem, temos que o eixo maior estará tam-
bém sobre esse mesmo eixo, isto é, os vér-
tices A1(0,−a) e A2(0, a) estarão sobre o
eixo y, enquanto que eixo menor cujos ex-
tremos são os vértices B1(−b, 0) e B2(b, 0)
estará sobre o eixo x, conforme mostra a
figura. Um raciocínio análogo ao anterior
nos leva a equação reduzida da elipse na
forma:
x2
b2
+
y2
a2
= 1 (5.6)
Observe que em toda elipse temos que
a > b. Assim, para saber em que eixo a
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elipse tem seus focos, basta olhar para os denominadores dos termos x2 e y2 quando
a equação está na sua forma reduzida.
A razão entre c e a, e =
c
a
é chamada de excentricidade da elipse.
Exemplo 5.5 Dada a equação da elipse, determine os focos, os vértices e esboce
gráfico:
a) 9x2 + 25y2 = 225
b) 4x2 + y2 − 16 = 0
A exemplo do que ocorreu no estudo da circunferência, podemos ter o centro da
elipse deslocado da origem. Esse processo é chamadode translação de eixos.
Dessa forma,
(x− α)2
a2
+
(y − β)2
b2
= 1 (5.7)
Figura 5.4:
é a equação reduzida de uma elipse
centrada no ponto C(α, β) com eixo
maior paralelo ao eixo x. Note que
para fazer a representação gráfica
dessa elipse, basta traçar um novo sis-
tema ortogonal de eixos x′Cy′ pas-
sando pelo ponto C(α, β) ao invés
da origem do plano cartesiano con-
vencional e então proceder da mesma
forma como anteriormente. Note que
as novas cordenada obedecem a rela-
ções:
x′ = x− α
y′ = y − β.
51
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De forma análoga e a equação
(x− α)2
b2
+
(y − β)2
a2
= 1 (5.8)
é a equação reduzida de uma elipse centrada no ponto C(α, β) com eixo maior
paralelo ao eixo y
Desenvolvendo as expressões (5.7) ou (5.8) obtemos a a equação da elipse na
forma geral:
Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (5.9)
onde A e B tem o mesmo sinal porem valores distintos. Para o caso em que A = B
temos uma circunferência ao invés da elipse.
Exemplo 5.6 Dada a equação da elipse, determine o centro, os focos, os vértices
e esboce gráfico:
a) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
b) 4x2 + 3y2 − 32x+ 12y + 40 = 0
5.3 Hipérbole
Figura 5.5:
Consideremos inicialmente os
focos sobre o eixo x, simétricos
em relação à origem, F1(−c, 0) e
F2(c, 0), conforme a figura. No-
vamente a distância entre F1 e
F2 é chamada de distância fo-
cal é igual a 2c. Denotamos
por A1(−a, 0) e A2(a, 0) os pon-
tos em que a hipérbole corta
o eixo x definimos os pontos
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B1(−b, 0) e B2(b, 0) sobre o eixo
y de forma a obter o triângulo retângulo indicado na figura. O segmento A1A2 é
chamado de eixo real ou tranverso e o segmento B1B2 de eixo imaginário ou não-
transverso. Note que para o ponto A1 temos que
‖−−−→A1F1‖ = c− a
‖−−−→A1F2‖ = a+ c
Assim, sendo P (x, y) um ponto qualquer da hipérbole, e sendo a diferença entre
essas distâncias sempre constante, temos que
|‖−−→PF1‖ − ‖−−−→P, F2‖| = 2a (5.10)
Figura 5.6:
Desenvolvendo a expressão
(5.10) e considerando que c2 =
a2 + b2 (aplicação do Teorema
de Pitágoras no triângulo re-
tângulo da figura), temos que a
equação reduzida da hipérbole
centrada na origem e com focos
sobre o eixo x é dada por:
x2
a2
− y
2
b2
= 1 (5.11)
Uma forma prática para desenhar uma hipérbole é represntar um retângulo que
passe pelos pontos A1, A2, B1 e B2. Traçando duas retas sobre suas diagonais,
teremos as assíntotas da hipérbole, conforme mostra a figura. Quando os focos
estão sobre o eixo y, os vértices A1(0,−a) e A2(0, a) também estarão sobre este
eixo.
53
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Figura 5.7:
Neste caso, a hipérbole será como mostrado
na figura. Procedendo de forma análoga ao caso
anterior, teremos neste caso a equação da hipér-
bole na forma:
−x
2
b2
+
y2
a2
= 1 (5.12)
A razão entre c e a, e =
c
a
é chamada de
excentricidade da hipérbole.
Exemplo 5.7 Dada a equação da hipérbole, de-
termine os focos, os vértices e esboce gráfico:
a) 9x2 − 25y2 = 225
b) 4x2 − y2 + 16 = 0
Figura 5.8:
Quando uma hipérbole está cen-
trada em um ponto C(α, β) também
podemos fazer a translação de eixos,
como no caso da elipse. Dessa forma,
a equação reduzida de uma hipérbole
centrada no ponto C(α, β) com eixo
real paralelo ao eixo x (conforme fi-
gura) tem a equação reduzida con-
forme segue:
(x− α)2
a2
− (y − β)
2
b2
= 1 (5.13)
enquanto que a equação reduzida de uma hipérbole centrada no ponto C(α, β) com
eixo real paralelo ao eixo y tem a forma
−(x− α)
2
b2
+
(y − β)2
a2
= 1 (5.14)
54
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Desenvolvendo as expressões (5.13) e (5.13)chegamos à equação geral da hipér-
bole na forma:
Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (5.15)
onde A e B tem sinais opostos. Note que a equação geral é a mesma para circunfe-
rência, elipse e hipérbole. O que diferencia um das outras são os coeficientes A e B.
Resumindo, temos:
• Se A = B, temos uma circunferência
• Se A 6= B, com A e B de mesmo sinal, temos uma elipse
• Se A 6= B, com A e B de sinal oposto, temos uma hipérbole
Exemplo 5.8 Dada a equação da hipérbole, determine o centro, os focos, os vértices
e esboce gráfico:
a) 4x2 − 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0 b) −4x2 + 3y2 − 32x+ 12y + 40 = 0
Exemplo 5.9 Encontre a equação geral da hipérbole centrada no ponto C(1, 2),
cuja distância focal mede 6 unidades e cuja excentrecidade é 2. Represente-a grafi-
camente.
5.4 Parábola
Figura 5.9:
Considere uma reta r fixa e um
ponto fixo F sobre um plano tal que
F não pertença à reta r. Define-se
por parábola ao conjunto de todos os
pontos desse plano que estejam eqüi-
distantes da reta r e do ponto F . O
ponto F recebe o nome de foco, en-
quanto que r é a reta diretriz da pa-
rábola. Note pela figura que a parábola é uma curva simétrica em relação a uma reta
55
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perpendicular à r traçada pelo ponto F Essa reta é chamada de eixo de simetria.
Denomina-se de vértice V ao ponto em que a parábola passa pelo eixo de simetria.
Note que sendo V ponto da parábola, este será o ponto médio entre o foco e o ponto
em que o eixo de simetria cruza a reta diretriz.
Inicialmente, consideremos r paralela ao eixo x, com o vértice da parábola sobre
a origem do plano e o foco sobre o semi-eixo positivo de y, em F (0, p
2
). Se P (x, y) é
um ponto qualquer da parábola então P ′(x−, p
2
), é a projeção ortogonal de P sobre
a reta diretriz r, Assim temos:
‖−→FP‖ = ‖−−→PP ′‖
de onde segue que a equação da parábola é dada por:
x2 = 2py (5.16)
Note que consideramos o valor de p positivo e obtivemos uma parábola com
concavidade para cima. No caso de p < 0, teremos o foco sobre o semi-eixo negativo
de y e então a concavidade da parábola será para baixo.
Figura 5.10:
Se o foco estiver sobre o eixo x e a reta di-
retriz paralela ao eixo y, a equação da parábola
com vértice na origem terá equação na forma:
y2 = 2px (5.17)
de modo análogo aos casos da circunferên-
cia, elipse e hipérbole, também podemos fazer a
translação de eixos para a parábola, quando o
vértice estiver fora da origem.
Exemplo 5.10 Dada a parábola x2 = 8y, cons-
trua o gráfico e obtenha as coordenadas do foco
e a equação da reta diretriz.
Exemplo 5.11 Determine a equação geral da parábola de vértice V (4, 2) e foco em
F (1, 2). Faça o gráfico.
56
Capítulo 6
Superfícies Quádricas
A equação geral de segundo grau nas três variáveis x, y e z:
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz +mx+ ny + pz + q = 0 (6.1)
com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e e f não nulo, representa uma
superfície denominada de quádrica.
Inicialmente trabalharemos com as quádricas que tem centro na origem. As
demais formas poderão ser trabalhadas a partir da translação e/ou rotação de eixos.
6.1 Superfícies Quádricas Centradas
São superfícies que têm a forma (quando transladadas para a origem):
Ax2 +By2 + Cz2 +D = 0 (6.2)
Note que fazendo a forma reduzida dessa equação temos:
±x
2
a2
± y
2
b2
± z
2
c2
= 1 (6.3)
Diferentes combinações dos sinais na equação acima permitem concluir a existência
de trê tipos de superfícies.
57
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6.1.1 Elipsóide
Figura 6.1:
Se todos os sinais na equação (6.3)
são positivos, isto é:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
temos um elipsóide. Note que no
plano xy (z = 0) temos a elipse
x2a2
+
y2
b2
= 1
Nos demais planos coordenados,
também temos elipses. Daí o nome
de elpsóide.
Exemplo 6.1 Construa o gráfico do elipsóide
x2
4
+
y2
16
+
z2
4
= 1
6.1.2 Hiperbolóide de Uma Folha
Figura 6.2:
Se um dos sinais na equação (6.3) é negativo
e os outros dois são positivos, temos uma superfí-
cie chamada de hiperbolóide de duas folhas. Por
exemplo, considere o coeficiente do termo em z
negativo. Assim temos a equação de um hiper-
bolóide de uma folha ao longo do eixo z:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
Note que no plano xy (z = 0) temos a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Nos demais planos coordenados, temos res-
pectivamente as hipérboles
x2
a2
− z
2
c2
= 1 e
y2
b2
− z
2
c2
= 1
58
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De forma análoga podemos representar os hiperbolóides ao longo dos eixos x e
y.
Exemplo 6.2 Construa o gráfico do hiperbolóide x2 − 4y2 + 2z2 = 8
6.1.3 Hiperbolóide de Duas Folhas
Figura 6.3:
Se dois dos sinais na equação (6.3)
forem negativos e um é positivo, te-
mos uma superfície chamada de hi-
perbolóide de duas folhas. Por exem-
plo, considere o coeficiente do termo
em y positivo eos outros dois negati-
vos. Assim temos a equação de um
hiperbolóide de duas folha ao longo
do eixo y:
−x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
Nos planos xy (z = 0) e yz (x = 0) temos respectivamente as hipérboles
−x
2
a2
+
y2
b2
= 1 e
y2
b2
− z
2
c2
= 1
Note que a superfície em questão não intercepta o plano y = 0, porém em
qualquer plano y = k com |k| > b teremos uma elipse.
Observação 6.1 Quando todos os sinais da equação (6.3) são negativos, não temos
a representação de lugar geométrico.
Exemplo 6.3 Construa o gráfico do hiperbolóide −4x2 − 4y2 + z2 = 4
59
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6.2 Superfícies Quádricas Não Centradas
São superfícies que têm a forma de uma das equações abaixo (quando transla-
dadas para a origem): 
Ax2 +By2 +Rz = 0
Ax2 +Ry + Cz2 = 0
Rx+By2 + Cz2 = 0
(6.4)
As equações acima podem ser escritas na forma:

±x
2
a2
± y
2
b2
= cz
±x
2
a2
± z
2
c2
= by
±y
2
b2
± z
2
c2
= ax
(6.5)
Fazendo todas as combinações possíveis dos sinais nas equações (6.5) podemos
encontrar dois tipos de superfícies, conforme segue:
6.2.1 Parabolóide Elíptico
Figura 6.4:
Quando os coeficientes dos termos quadráti-
cos das equações (6.5) possuem o mesmo sinal
temos um parabolóide elíptico. Por exemplo, a
equação
x2
a2
+
y2
b2
= cz
representa um parabolóide elíptico em torno do
eixo z. Se c > 0 esse parabolóide tem concavi-
dade para cima e se c < 0 sua concavidade é para
baixo. Note que nos planos xz (y=0) e yz (x=0)
temos parábolas. Já no plano z = 0 a superfície
passa apenas pela origem, mas para um plano
z = k com k de mesmo sinal do c temos uma elipse. Daí o nome de parabolóide
eliptico.
60
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Uma interpretação análoga pode ser feita para parabolóides elípticos em torno
dos outros eixos coordenados.
Exemplo 6.4 Construa o gráfico do parabolóide z = x2 + y2
6.2.2 Parabolóide Hiperbólico
Figura 6.5:
Quando os coeficientes dos termos quadrá-
ticos das equações (6.5) possuem sinais opos-
tos temos um parabolóide hiperbólico. Por
exemplo, a equação
−x
2
a2
+
y2
b2
= cz
representa um parabolóide hiperbólico ao
longo do eixo z.
Exemplo 6.5 Construa o gráfico do parabo-
lóide z = x2 − y2
6.3 Superfícies Cônicas
Figura 6.6:
Superfície cônica é uma superfície gerada por
uma reta que se move apoiada numa curva plana
qualquer e passando sempre por um ponto fixo
chamado de vértice e não situado no plano da
curva. A reta é chamada de geratriz e a curva
de diretriz. Para o caso onde a diretriz é uma
elipse (ou circunferência) e o vértice é a origem a
superfície cônica em torno do eixo z tem a forma
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0.
61
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Exemplo 6.6 Desenhe a superfície cônica dada
pela equação z2 =
x2
4
+
y2
4
.
6.4 Superfícies Cilíndricas
Figura 6.7:
Superfície cilíndrica é uma superfície ge-
rada por uma reta que se move por uma curva,
mantendo-se sempre paralela à uma reta fixa. A
reta que se move é chamada de reta geratriz e
a curva traçada é chamada de curva diretriz da
superfície cilíndrica.
Se a curva diretriz da superfície for uma curva
conhecida, a superfície cilíndrica recebe o nome
apropriado. Por exemplo, temos uma superfície
cilíndrica circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica se as respectivas curvas dire-
trizes forem circunferência, elipse, hipérbole ou parábola.
Exemplo 6.7 Desenhe a superfície cilíndrica, cuja curva diretriz é a parábola
x2 = y e a reta a reta geratriz é paralela ao eixo z.
62
Referências Bibliográficas
[1] BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: Um tratamento
vetorial. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1987.
[2] RIGHETTO, Armando. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo, Ivan Rossi
Editora, 1976.
[3] STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São
Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1987.
[4] WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo, Makron Books,
2000.
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