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UNIVERSIDADE ESTADO DE SANTA CATARINA
UDESC
CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof.:Fernando Tosini
Chapecó - SC
SUMÁRIO
1 Vetores no Plano e no Espaço 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definição de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Conceitos importantes de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Operações com Vetores Usando Componentes . . . . . . . . . 9
1.4.2 Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 Ângulo entre dois Vetores e Ortogonalidade . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . . . 16
1.6.4 Projeção Ortogonal de um Vetor sobre Outro . . . . . . . . . 17
1.6.5 Desigualdades de Schwarz e Triangular . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Área de um Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
1.8.1 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2 Volume de um Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Retas e Planos 23
2.1 Equações de uma Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Posições Relativas, Ângulos e Intersecção de retas
no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Distância entre Ponto e Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Área de um Triângulo Determinado por Três Pontos . . . . . . 27
2.2 Equações de uma Reta no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Ângulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.4 Condição de Paralelismo e Ortogonalidade de Duas Retas . . . 33
2.2.5 Condição de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . 33
2.2.6 Posições Relativas de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.7 Reta Ortogonal a Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Plano no Espaço 36
3.1 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Determinação de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Alguns Casos Particulares de Planos . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ângulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Ângulo entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Reta Contida em um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Intersecção: De Dois Planos e De Reta com Plano . . . . . . . . . . . 41
4 Distâncias 43
4.1 Distância entre dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . 43
ii
4.1.2 Distância Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.4 Distância entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.5 Distância de uma reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Circunferência e Cônicas 47
5.1 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Superfícies Quádricas 57
6.1 Superfícies Quádricas Centradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2 Hiperbolóide de Uma Folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.3 Hiperbolóide de Duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Superfícies Quádricas Não Centradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 Parabolóide Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2 Parabolóide Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Superfícies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Referências Bibliográficas 63
iii
Capítulo 1
Vetores no Plano e no Espaço
1.1 Introdução
Existem grandezas físicas que são chamadas de grandezas escalares que são bem
definidas apenas por uma representação numérica (e a unidade de medida corres-
pondente). Por exemplo, a altura de determinado prédio é de 23 m. Para outras
grandezas é necessário dar mais informações para que elas sejam bem definidas. Por
exemplo, se falarmos da aplicação de uma força sobre um corpo, além de sabermos
da intensidade da força aplicada, é indispensável conhecermos a direção e o sentido
nos quais essa força foi aplicada para podermos ter uma idéia do que acontecerá
com o corpo em questão. Tais grandezas são chamadas de grandezas vetoriais e são
representadas por vetores.
1.2 Definição de vetor
Vetor é um objeto matemático (ou ente geométrico) que possui como carac-
terísticas: direção, sentido e módulo (ou intensidade ou norma ou com-
primento). Geometricamente um vetor é representado por um segmento de reta
orientado de uma origem A, a uma extremidade B, onde o comprimento do segmento
representa o módulo do vetor, a reta suporte do segmento representa a direção
1
Geometria Analítica Vetorial Prof. Fernando Tosini e Prof. Vitor J. Petry
e a flexa de orientação representa o sentido positivo do vetor.
Figura 1.1: Vetor
Assim, se um vetor ~v tem origem num ponto A e extremidade num ponto B,
podemos escrever ~v =
\u2212\u2192
AB.
Figura 1.2: Translação
Observe na figura (1.2) que o segmento ori-
entado
\u2212\u2192
AB no plano tem as mesmas característi-
cas que o segmento orientado
\u2212\u2192
OP , onde A(x1, y1),
B(x2, y2) e P (x, y).
Isso nos permite dizer que se um vetor ~v é dado
por ~v =
\u2212\u2192
AB, então temos um vetor equivalente a
este dado por ~v =
\u2212\u2192
OP . Note que no segundo caso,
a origem do vetor corresponde à origem do plano
cartesiano e dessa forma, podemos representar o
vetor apenas pela sua extremidade no ponto P , o que facilita bastante a notação.
Por esse raciocínio, temos:
~v =
\u2212\u2192
AB = B \u2212 A = P \u2212O = P (1.1)
o que para o caso do plano fica, ~v = (x, y) isto é, o vetor pode ser representado pelas
coordenadas do ponto extremo após a translação do mesmo para a origem.
1.2.1 Conceitos importantes de vetores
i) Dois vetores ~u e ~v são paralelos se, e somente se, possuem a mesma direção.
Indicamos por ~u \u2016 ~v. Quando isso acontece, existe uma constante real \u3b1 tal
que:
~u = \u3b1 · ~v
2
Geometria Analítica Vetorial Prof. Fernando Tosini e Prof. Vitor J. Petry
Figura 1.3: Vetores paralelos
ii) Dois vetores ~u e ~v são iguais se, e somente se, possuem a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo módulo. Indicamos por ~u = ~v
Figura 1.4: Vetores iguais
iii) Dois vetores ~u e ~v são ortogonais (ou perpendiculares)