Matrizes - Álgebra Linear

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Luziânia,
21/02/2019
Lista 01 - Matrizes - Álgebra Linear 2019/1.
Curso: Bacharelado em Sistema da Informação
Professor: Dr. Agenor Freitas de Andrade
Questões
1. Sejam
A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[ −2 0 1
3 0 1
]
,
C =
 −12
4
 , e D = [ 2 −1 ] .
Encontre:
(a) A+B (b) AC (c) BC
(d) CD (e) DA (f) DB
(g) −A (h) −D.
2. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Determine o valor
de x para que A = AT .
3. Se A é uma matriz simétrica, calcule A−AT .
4. Se A é uma matriz triangular superior, então
o que podemos dizer de AT ?
5. Se A é uma matriz diagonal, então o que po-
demos dizer de AT ?
6. Julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso.
Em cada caso, justifique sua resposta.
(a) (−A)T = −(A)T ?
(b) (A+B)T = BT +AT ?
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0?
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB?
(e) (−A)(−B) = −(AB)?
(f) Se A e B são matrizes simétricas, então
AB = BA?
(g) Se podemos efetuar o produto A2 = A.A,
então A é uma matriz quadrada?
7. Se A =
[ −2 1
3 2
]
, determine A2.
8. Determine valores para x, y, z e w tais que[
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
9. Dadas
A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
 , B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 ,
C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
 ,
mostre que AB = AC.
10. Suponha que A 6= 0 e que AB = AC, onde
A,B e C são matrizes tais que a multiplica-
ção esteja definida.
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y , tal que Y A = I,
onde I é a matriz identidade, então B = C?
11. Explique por que, em geral,
(A+B)2 6= A2 + 2AB +B2
e
(A+B)(A−B) 6= A2 −B2?
12. Se A =
[
3 −2
−4 3
]
, determine B, de modo
que B2 = A.
13. Dadas as matrizes
A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
 , B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5

e
C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

1
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e
CA = C.
b) Use os resultados de a) para mostrar que
ACB = CBA,A2 − B2 = (A − B)(A + B) e
(A±B)2 = A2 +B2.
2
Lista 01 - Matrizes - Álgebra Linear 2019/1.
Respostas
1. (a) A + B[
1 2 3
2 1 −1
]
+
[ −2 0 1
3 0 1
]
=
[ −1 2 4
5 1 0
]
(b)A.C
[
1 2 3
2 1 −1
]
.
 −12
4
 = [ 15−4
]
(c)B.C
[ −2 0 1
3 0 1
]
.
 −12
4
 = [ 6
1
]
(d)C.D
 −12
4
 . [ 2 −1 ] =
 −2 14 −2
8 −4

(e)D.A
[
2 −1 ] . [ 1 2 3
2 1 −1
]
=
[
0 3 7
]
(f)D.B
[
2 −1 ] . [ −2 0 1
3 0 1
]
=
[ −7 0 1 ]
(g)-A
−A =
[ −1 −2 −3
−2 −1 1
]
(h)-D
−D = [ −2 1 ]
2.
A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
= At
[
2 2x− 1
x2 0
]
x2 = 2x - 1 = 0
x2 - 2x+1 = 0
x = 1
3. Se A for simétrica, então A = At.
Logo A - At = 0.
4. R. Sendo A uma matriz triangular superior,
então AT será uma matriz triangular inferior.
5. A matriz diagonal A será igual a transposta,
pois de acordo com a propriedade da matriz
transposta os elementos onde i = j não mu-
dam de posição.
Sendo assim a tranposta de uma matriz dia-
gonal é igual a própria matriz, A = At
6. (a) (−A)T = −(A)T ?
Verdadeiro, pois
(b) (A+B)T = BT +AT ?
Verdadeiro, pois
(A+B)t = (aij + bij)t
= (aij + bij)
= Bt +At
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0?
Falso
Por exemplo, tome:
A =
[
1 0
0 0
]
e,B =
[
0 0
1 0
]
Então,
A.B =
[
0 0
0 0
]
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB?
Verdadeiro, pois
(k1A)(k2B)
= A(k1k2)B
= (k1k2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB)?
Falso, pela letra (d), tome:
k1 = k2 =-1. então
(-A)(-B) = (-1.1.1)AB = AB.
(f) Se A e B são matrizes simétricas, então
AB = BA?
R. Falso
Como contra exemplo tome
A =
[
2 0
0 1
]
B =
[
2 1
1 0
]
3
(g) Se podemos efetuar o produto A2 = A.A,
então A é uma matriz quadrada?
Verdadeiro
O produto de matrizes só é possivel se o nú-
mero de linhas da segunda for igual ao nú-
mero de colunas da primeira. Assim Amxn .
Amxn ocorra se, e somente se m = n, o que
implicaria no fato de A ser quadrada.
7.
A =
[ −2 1
3 2
]
.
[ −2 1
3 2
]
=
A2 =
[
7 0
0 7
]
8. solução:
[
x y
z w
]
.
[
2 3
3 4
]
=
[
2x+ 3y 3x+ 4y
2z + 3w 3z + 4w
]
[
2x+ 3y 3x+ 4y
2z + 3w 3z + 4w
]
=
[
1 0
0 1
]
[
x y
z w
]
=
[ −4 3
3 −2
]
9.
A.B =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
 .
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2

=
 −3 −3 0 11 15 0 −5
−3 15 0 −5

A.C =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
 .
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0

=
 −3 −3 0 11 15 0 −5
−3 15 0 −5

10. (A) Não, B é diferente de C, Veja o exemplo
na questão 9.
(B) Sim, pois,
AB = AC
Y(AB) = Y(AC)
(YA)B = (YA)C
IB = IC
B = C
11. R. ab=ba, e no caso dos produto notáveis,
tem (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2+ab+ab+b)
e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplica-
ção de matrizes ab e ba pode não ser 2ab, o
mesmo acontece no caso diferente de quadra-
dos: ab − ba = 0, mas ab − ba pode não ser
zero.
12. Solução:
B2 =
[
a b
c d
]
∗
[
a b
c d
]
=
[
3 −2
−4 3
]
B =
[ −1 1
2 −1
]
13. (A)
AB = BA = 0, AC = A E CA = C
AB =
 0 0 00 0 0
0 0 0
BA =
 0 0 00 0 0
0 0 0

AC =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
CA =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

(B)
ACB = CBA,A2 − B2 = (A − B)(A + B) e
(A±B)2 = A2 +B2.
A - Observando que ACB = AB (pois AC
= A) e AB = 0, da mesma forma que CBA
= CAB = Ab = 0
B - Como AB = BA, pode cancelá-los em
(A+B)(A-B) = A2+AB−BA−B2 = A2−B2
C − (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 como
AB = BA = 0, (A±B)2 = A2 +B2
4