Exercícios Resolvidos: Partícula em 1D, 2D e 3D, oscilações forçadas e amortecidas e problemas de força central

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Campus Piripiri 
Mecânica Clássica (2019/1) 
Licenciatura em Física – Bloco VII 
Lista de Exercícios Complementar Parte 1 do Curso 
 
1. Uma massa de 2 Kg, ligada a um fio de um metro de comprimento, com outro 
extremo fixo, é deslocada a um ângulo de 30° com a vertical e abandonada. 
Determine a velocidade da massa quando o fio forma um ângulo de 10° com a 
vertical, do mesmo lado e do lado oposto. 
 
2. Uma partícula P move-se numa circunferência de centro O e raio b. Em 
determinado instante de tempo a velocidade de P é v e o vetor aceleração faz um 
ângulo 𝛼 com o segmento OP. Determine o módulo da aceleração neste instante. 
 
3. Quando um corpo se move através de um fluído viscoso com velocidade �⃗⃗� e 
coeficiente de viscosidade 𝜂 sob a ação de uma força �⃗⃗� a resultante é �⃗⃗� − 𝐾𝜂�⃗⃗� 
onde 𝐾 é uma constante positiva. Obtenha a velocidade como função do tempo, 
supondo que o corpo execute movimento retilíneo e que a força aplicada seja 
constante. 
 
4. Uma abelha voa numa trajetória tal suas coordenadas polares no instante t são 
dadas por: 
𝑟 =
𝑏𝑡
𝜏
(2𝜏 − 𝑡) 𝜃 =
𝑡
𝜏
 (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜏) 
 
 Onde 𝜏 e b são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da 
abelha no instante t. Mostre que a velocidade mínima alcançada pela abelha é 
𝑏
𝜏
. 
Encontre a aceleração da abelha neste instante. 
 
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5. O Jorge (J) azarado é jogado dentro de uma arena circular de raio a contendo um 
leão (L). Inicialmente o leão está no centro O da arena enquanto Jorge está no 
perímetro da mesma. A estratégia de Jorge é correr com sua máxima velocidade 
u entorno do perímetro. O leão responde correndo em sua velocidade máxima U 
de maneira que ele permanece se movendo ao longo da direção radial OJ. 
Mostre que r, a distância do leão L até O, satisfaz a equação diferencial: 
 
�̇� =
𝑢2
𝑎2
(
𝑈2𝑎2
𝑢2
− 𝑟2) 
 Encontre r em função de t. Se U ≥ u, mostre que Jorge será pego, e 
determine quanto tempo irá isso levar. Mostre que o caminho feito pelo leão é 
uma circunferência. Para o caso especial no qual U = u, esboce o caminho feito 
pelo leão e encontre o ponto de captura. 
 
6. Certo oscilador satisfaz a equação 
�̈� + 4𝑥 = 0 
 Inicialmente a partícula está na posição 𝑥 = √3 quando é projetada na 
direção da origem com velocidade v=2. Mostre que a solução do movimento da 
partícula é: 
𝑥 = √3 cos(2𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
 Encontre também a amplitude das oscilações. Em quanto tempo a 
partícula passará pela origem pela primeira vez? 
 
7. Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo-x e está submetida a uma 
força restauradora –m(n2 + k2)x e uma força amortecedora -2mk�̇�, onde n, k, são 
constantes positivas. Se a partícula é solta do repouso em x=a, mostre que o 
movimento dela será expresso por: 
𝑥 =
𝑎
𝑛
𝑒−𝑘𝑡(𝑛 cos(𝑛𝑡) + 𝑘 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)) 
 
 Encontre também a distância percorrida pela partícula até ela retornar ao 
repouso. 
 
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8. As oscilações de um galvanômetro satisfazem a equação: 
�̈� + 2𝐾�̇� + Ω2𝑥 = 0 
 
 O galvanômetro parte do repouso com x = a e desejamos trazer a leitura 
do instrumento permanentemente dentro do intervalo −𝜖𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝜖𝑎 o mais 
rápido possível, onde 𝜖 é constante positiva pequena. Qual o valor de K deverá 
ser escolhido? Uma possibilidade para esse projeto consiste em escolher um 
valor sub-crítico de K, tal que o primeiro ponto de mínimo de x( t ) ocorre 
quando x=-𝜖a. Esboce o gráfico de x(t). Mostre que isso pode ser alcançado 
definindo o valor K como sendo: 
 
𝐾 = Ω [1 + (
𝜋
ln (
1
𝜖)
)
2
]
1/2
 
 
 Se K for esse valor, mostre que o tempo gasto para x alcançar o seu 
primeiro mínimo é aproximadamente Ω−1ln (1/𝜖). 
 
9. Um oscilador forçado satisfaz a equação 
�̈� + ω2𝑥 = 𝐹𝑜 cos[𝜔(1 + 𝜖)𝑡] 
Onde 𝜖 é uma constante positiva. Mostre que a solução que satisfaz as condições 
iniciais x=0 e �̇�=0 quando t=0 é: 
 
𝑥 =
𝐹𝑜
𝜖 (1 +
𝜖
2)𝜔
2
𝑠𝑒𝑛 (
𝜖𝜔
2
𝑡) 𝑠𝑒𝑛 [𝜔 (1 +
𝜖
2
) 𝑡] 
 
 Esboce o gráfico dessa solução para o caso no qual 𝜖 é pequeno. 
 
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10. Um oscilador parcialmente amortecido satisfaz a equação 
�̈� + 2𝜅�̇� + 𝜔2𝑥 = 0 
 
Onde 𝜔 é uma constante positiva e 𝜅 é dado por: 
𝜅 = {
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝐾, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
 
 
Onde 𝐾 é uma constante positiva tal que 𝐾 < 𝜔. Encontre o período do 
oscilador 
 
11. Uma partícula P de massa m, que se encontra no lado negativo do eixo-x, está se 
movendo em direção à origem com velocidade constante u. Quando P passa pela 
origem, ela “sente” uma força F = - K x2, onde K é uma constante positiva. O 
quão longe a partícula consegue se deslocar no lado positivo do eixo-x? 
 
12. Um fio apresenta a forma de um ciclóide, forma geométrica que pode ser 
desenhada à partir das equações paramétricas em 𝜃: x = 𝑐(𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)), y = 0, z 
= 𝑐(1 − cos (𝜃)), onde c é uma constante positiva e o parâmetro 𝜃 está definido 
no intervalo −𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. O fio é fixo com o eixo-z apontando para cima. Uma 
partícula pode deslizar livremente no fio. Mostre que a equação de conservação 
da energia é: 
(1 + cos (𝜃))�̇�2 +
𝑔
𝑐
(1 − cos (𝜃)) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 Um novo parâmetro u é definido por u= 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2
). Mostre que, em termos 
de u, a equação de movimento da partícula é: 
�̈� + (
𝑔
4𝑐
)𝑢 
 
 Sendo assim, a partícula oscilará com período 4𝜋 (
𝑐
𝑔
)
1/2
, que é 
independente da amplitude. 
 
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13. Uma partícula P de massa m sob um campo de força harmônico �⃗⃗� = −𝑚𝜔2𝑟 �̂�, 
onde 𝜔 é uma constante positiva. Obtenha a equação radial do movimento e 
mostre que todas as órbitas de P são ligadas. 
Inicialmente P está no ponto C, distante c da origem O, quando é 
projetado com velocidade 𝜔𝑐 numa direção que faz um ângulo agudo 𝛼 com 
OC. Encontre a equação que satisfaça as distâncias apsidais. Dado que a órbita 
de P é uma elipse de centro O, encontre o semi-eixo maior e o semi-eixo menor 
dessa elipse. 
 
14. Uma partícula P se move sob um campo de força atrativa proporcional ao 
inverso do quadrado da distância �⃗⃗� = −
𝑚𝐾
𝑟2
�̂�. Inicialmente P está no ponto C, a 
uma distância c do centro da força O, e é projetada com velocidade (
3𝐾
𝑐
)
1/2
 
perpendicular a OC. Encontre a equação polar do caminho e faça o esboço. 
Deduza o ângulo entre OC e a direção final de partida de P. 
 
 
15. Um cometa move-se por meio da atração gravitacional do Sol. Inicialmente o 
cometa está distante do Sol e movendo-se em direção a ele com velocidade v ao 
longo de uma linha reta cuja distância perpendicular do Sol é b. Usando a 
equação do caminho, encontre o ângulo por meio do qual o cometa é defletido e 
a distância de maior aproximação. (DA LISTA 1D) 
 
 
16. Uma partícula P de massa m é sujeita a uma força proporcional ao inverso do 
cubo da distância dada por 𝐅⃗ =−m𝑘2r3𝐫̂ onde k é uma constante positiva. 
Inicialmente P está a uma grande distância da origem O e é projetada em direção 
à O com velocidade v ao longo de uma reta, cuja distância perpendicular até O é 
a. Obtenha a equação do caminho para a partícula P. Para o caso no qual v = 
15𝑘√209𝑎.encontre a equação polar do caminho e faça um esboço do mesmo. 
Deduza a distância de maior aproximação entre a partícula e O. (DA LISTA 1D) 
 
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17. Considere o potencial unidimensional 
𝑉(𝑥) = −
𝑊𝑑2(𝑥2 + 𝑑2)
𝑥4 + 8𝑑4
 
 
Faça um gráfico do potencial e discuta o movimento nos vários valoresde x. Onde estão as posições de equilíbrio? Elas são estáveis ou são instáveis? W 
é uma constante positiva. 
 
18. Discuta o movimento de um projétil em duas dimensões, desprezando a 
resistência do ar. Considere como 𝑣𝑜 o módulo da velocidade inicial e 𝜃 o 
ângulo com que o projétil é lançado. Determine o deslocamento r, a velocidade v 
e o alcance do projétil.