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Teorema de 
Castigliano 
Engenharia Mecânica 2016/2 
Segundo Teorema de Castigliano 
Descrito por Alberto Castigliano em livro 
publicado em 1879. 
 
Método para determinar o deslocamento e a 
inclinação em um ponto em um corpo. 
 
Aplica-se somente a corpos que tenham: 
• Temperatura constante 
• Material com comportamento linear elástico. 
O deslocamento em um ponto é igual à 
derivada parcial de primeira ordem da energia 
de deformação no corpo em relação a uma força 
que age no ponto e na direção do 
deslocamento. 
 
A inclinação da tangente em um ponto em um 
corpo é igual à derivada parcial de primeira 
ordem da energia de deformação no corpo com 
relação a um momento que age no ponto e na 
direção do ângulo da inclinação. 
Considere um corpo de forma arbitrária, submetido a uma série de n forças. 
O trabalho externo realizado por essas forças equivale 
à energia de deformação interna armazenada 
𝑈𝑖 = 𝑈𝑒 
O trabalho externo é função das cargas externas 
𝑈𝑒 = 𝑓 𝑃𝑑𝑥 
Como 𝑈𝑒 = 𝑈𝑖, o trabalho interno também é função das 
cargas externas. 
𝑈𝑖 = 𝑈𝑒 = 𝑓(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛) 
E, se qualquer uma das forças externas, por exemplo 𝑃𝑗, aumentar 
de uma quantidade diferencial 𝑑𝑃𝑗 , então o trabalho interno também 
aumentará 
𝑈𝑖 + 𝑑𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 +
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑈𝑃𝑗
𝑑𝑃𝑗 
Mas esse valor não deve depender da sequência na qual as n forças são 
aplicadas ao corpo. 
Se a carga fosse aplicada ao corpo na sequência: 
𝑑𝑃𝑗 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 
𝑑𝑃𝑗 provocaria um deslocamento do corpo 𝑑Δi na direção 𝑑𝑃𝑗 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈𝑒 =
1
2
𝑃𝑗 Δ𝑗 
Então o incremento na energia de deformação 𝑑𝑈𝑒 =
1
2
𝑑𝑃𝑗 𝑑Δ𝑗 
Mas, essa quantidade é uma diferencial de segunda ordem e 
pode ser desprezada. 
Quando as cargas 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 são aplicadas, 𝑑𝑃𝑗 se 
deslocará Δj 
 
Então, a energia de deformação será: 
Assim sendo, 
𝑈𝑖 + 𝑑𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 +
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑈𝑃𝑗
𝑑𝑃𝑗 = 𝑈𝑖 + 𝑑𝑃𝑗Δ𝑗 
Δ𝑗 =
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑈𝑃𝑗
 
𝑈𝑖 + 𝑑𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 + 𝑑𝑃𝑗Δ𝑗 
Ou seja: o deslocamento Δ𝑗 na direção 
de 𝑃𝑗 é igual à derivada parcial de 
primeira ordem da energia de 
deformação em relação a 𝑃𝑗 
Teorema de Castigliano aplicado a treliças 
Como os elementos de uma treliça estão sujeitos a 
esforços axiais: 
𝑈𝑖 =
𝑁2𝐿
2𝐴𝐸
 
Δ = 𝑁
𝜕𝑁
𝜕𝑃
𝐿
𝐴𝐸
 
Δ =
𝜕
𝜕𝑃
 
𝑁2𝐿
2𝐴𝐸
 
Δ - deslocamento da articulação da treliça 
P - força externa de intensidade variável aplicada 
a uma articulação de treliça na direção de Δ. 
N - força axial interna em um elemento 
provocada por ambas, a força P e as cargas 
sobre a treliça 
L - comprimento de um elemento 
A - área da seção transversal de um elemento 
E - módulo de elasticidade do material 
Para determinar a derivada parcial 
𝜕𝑁
𝜕𝑃
, será 
necessário tratar P como uma variável, e 
não como uma quantidade numérica 
específica. Em outras palavras, cada força 
axial interna N deve ser expressa em função 
de P. 
Obs: 
Determine o deslocamento vertical da articulação C da treliça de aço 
mostrada na abaixo. A área da seção transversal de cada elemento é de 
400𝑚𝑚2. Considere E=210GPa. 
Solução 
1. Aplicar uma carga P ao ponto onde se deseja calcular o deslocamento 
2. As reações nos suportes da treliça em A e D são então calculadas 
Solução 
3. Usando o método dos nós, as forças N em cada membro são 
calculadas. 
Os resultados e suas derivadas parciais são listados na tabela: 
Solução 
Teorema de Castigliano aplicado a vigas 
A energia de deformação interna para uma viga é provocada por ambas, 
flexão e cisalhamento. 
Porém, se a viga for longa e esbelta, a energia de deformação decorrente 
do cisalhamento pode ser desprezada em comparação com a de flexão. 
Aplicando o segundo teorema de Castigliano: 
𝑈𝑖 = 
𝑀2
2𝐸𝐼
𝑑𝑥 
Teorema de Castigliano aplicado a vigas 
Δ = 𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑃
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝐿
0
 
Em vez de elevar a expressão ao quadrado para o 
momento interno M, integrar e então calcular a 
derivada parcial, em geral é mais fácil derivar antes 
da integração. 
Δ - deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que agem sobre a viga 
P - força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de Δ. 
M - momento interno na viga, expresso em função de x e provocado por ambas, a 
força P e as cargas sobre a viga 
E - módulo de elasticidade do material 
I - momento de inércia da área da seção transversal, calculado em torno do eixo 
neutro 
Caso seja necessário determinar a inclinação da tangente em um ponto 
sobre a linha elástica, temos que determinar a derivada parcial do momento 
interno M em relação a um momento externo M' que age no ponto. 
Finalmente, para um carregamento múltiplo, devem ser combinadas 
todas as componentes de energia dos esforços 
Determine o deslocamento no ponto B sobre a viga mostrada na Figura 
14.42a. E é constante. 
A força vertical P é colocada sobre a viga 
em B 
A equação do momento interno em função de P e sua derivada 
parcial são calculados: 
Igualando P a zero, temos: 
e 
Aplicando o segundo teorema de Castigliano: 
e 
Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na 
Figura. Considere E = 200 Gpa , 𝐼 = 125 ∙ 10−6𝑚4 
Uma força vertical P é aplicada no ponto C. Mais adiante, essa força 
será igualada ao valor fixo de 5 kN. 
O momento interno é calculado: 
Para 𝑥1 
Para 𝑥2 
Segundo Teorema de Castigliano 
Obrigado 
 
Leitura Recomendada: Hibbeler cap. 14 
 
Exercícios 
14.122 
14.125 
14.131 
14.133 
14.151 
14.154