FENÔMENOS DE TRANSPORTE APLICADOS À METALURGIA

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE 
APLICADOS À 
METALURGIA 
 
Notas de aula 
 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE APLICADOS À METALURGIA 
 
 
 
ASSUNTOS 
Introdução. Equação da continuidade. Balanço de quantidade de movimento. 
Viscosidade de fluidos metalúrgicos. Fluxo turbulento. Leitos fixos e fluidizados. 
Modos de transferência de calor. Transferência de calor com mudança de fase. Difusão 
de massa. Transferência de massa em sistemas fluidos. Modelos reacionais para 
sistemas fluido - partícula e fluido – fluido e outros. Classificação e análise da 
performance de reatores. 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
1 - Transport Phenomena in Metallurgy; G. H. Geiger et al ; Addison- Wesley; 1980. 
2 - Engenharia das Reações Químicas; Vol.  e ; O. Levenspiel; Edgar Blucher; 1974. 
3 - The Mathematical and Physical Modeling of Primary Metals Processing Operations; 
J. Szekely et al; John Wiley & Sons; 1988. 
4- Fluidization Engineering; D. Kunii et al.; Krieger; 1987. 
5 -An Introduction to Transport Phenomena in Materials Engineering; D. R. Gaskell; 
McMillan; 1992 
6 - Engineering in Process Metallurgy; R. I. L. Guthrie; Oxford University Press, 1989. 
7 - Elements of chemical Reaction Engineering; H. S. Fogler; Prentice Hall; 1992. 
8 - Kinetics of Metallurgical Reactions; H. Shanker Ray; Int. Science Publisher, 1993 
9 - Transport and Chemical Rate Phenomena; N. J. Themelis; Gordon and Breach, 
1995. 
10 - Introduction to Mass and Heat Transfer; S. Midleman; John Wiley, 1997. 
11 - Principles of Metal Refining; A. Engh; Oxford University Press, 1992 
12 - Transport Phenomena in Materials Processing; G. H. Geiger; TMS, 1994. 
13- Smithells Metals Reference Book; 7
th
 edition; E.A. Brandes et al(editors); 
Buttterworth-Heinemann, 1992. 
14- Kinetics in Materials Science and Engineering; D.W.Readey ; CRC Press, 2017 
15- Materials Kinetics Fundamentals: Principles, Processes and Applications, 
R.O`Hayre; Wiley, 2015 
 
3 
 
1 - INTRODUÇÃO: 
 
Considere a fabricação de um determinado produto, a ser enfocada de acordo com as 
ênfases seguintes, Figura 1-1: 
 
1 - Aspecto ambiental, compreendendo a interação do processo produtivo com o meio 
ambiente e do produto com o meio ambiente ao longo da sua vida útil e após descarte; 
2 - Projeto, na qual se decide o que produzir, quais as características (propriedades)a 
serem atendidas, qual o nível de qualidade; 
3 - Caracterização do produto, a qual consiste na medição dos valores das propriedades 
e avaliação do comportamento (performance) do produto em serviço; 
4 - Processamento, a qual permite definir as rotas possíveis, as técnicas de controle de 
processo, de modo “a fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo 
competitivo e impacto ambiental mínimo (desenvolvimento sustentável).” 
 
O grau de importância ou a fração de tempo que um dado profissional dedica a cada 
uma destas ênfases pode variar ao longo de sua trajetória mas, muito raramente, se 
consegue ou se aconselha dedicação exclusiva a uma delas. No mínimo como fator de 
segurança profissional ante à competição entre materiais diversos como: 1- Metais e 
suas ligas (os “velhos” materiais); 2- Cerâmicos, vidros, plásticos, compósitos (os 
“novos” materiais). A preponderância de uma ou outra classe não é absoluta nem 
perene, sendo definida pela relação custo/benefício, a qual pode se alterar à luz de novos 
conhecimentos e tecnologias. 
 
Obviamente a divisão citada acima é de caráter arbitrário e pode ser, neste aspecto, 
amplamente criticada. Seu principal mérito seria o de apresentar a motivação para o 
estudo de Fenômenos de Transporte: “fabricar o produto, com as propriedades 
requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mínimo”, o que pode ser alcançada 
com a aplicação de suas ferramentas. 
 
Também se deve considerar que outras disciplinas como Termodinâmica e Cinética 
química devem ser envolvidas. 
 
 
 
Figura 1-1: Ênfases de atuação em Engenharia de Materiais 
 
Exemplo: A homogeneização térmica ou composicional de um “banho” de metal líquido 
através de insuflação de gás é uma operação comum em metalurgia, figura seguinte. As bolhas 
geradas na região do plugue poroso ao ascenderem – por força do empuxo – no seio do líquido 
provocam a movimentação do mesmo. A turbulência e as correntes de convecção geradas da 
interação entre as bolhas e o metal são os responsáveis principais pela dispersão de gradientes 
de temperatura e de composição. Alternativamente os fenômenos de transferência de 
4 
 
quantidade de movimento (movimentação do líquido), transferência de massa, transferência de 
energia estão todos interligados e a otimização e/ou o controle do processo envolve quantificar 
e/ou controlar estes fluxos. 
 
 
 
Figura: Insuflação de gás inerte em líquido metálico. 
 
Exemplo: Vários esquemas podem ser propostos para a reciclagem de lixo doméstico. Aquele 
apresentado na figura a seguir é devido ao United States Bureau of Mines e apresenta como 
principal característica incluir operações unitárias e equipamentos típicos de processamento 
de minerais: ciclones, peneiras, separador magnético, etc. Claramente os princípios científicos 
incluídos no projeto e operação destes equipamentos não mudam, quer se trate de minérios 
quer se trate de rejeitos domésticos; entretanto os valores dos parâmetros operacionais podem 
diferir. Muito dificilmente a descrição de cargos tradicional de um engenheiro de Minas ou 
Metalurgia incluiria a reciclagem de rejeitos domésticos mas, claramente, as bases estão 
lançadas. 
 
Figura: Esquema para reciclagem de lixo doméstico, de acordo com o USBM 
 
5 
 
Exemplo: Peças constituídas do composto intermetálico TiAl são do interesse da indústria 
aeronáutica por apresentarem: baixa densidade; boas propriedades mecânicas em 
temperaturas altas; resistência à oxidação. 
Um procedimento de fabricação poderia envolver as operações: reunir Ti e Al, na proporção 
1:1; fundir a mistura, obtendo líquido Ti - Al; vazar em molde apropriado; conformar 
mecanicamente (extrusão, laminação, forjamento, etc.). A última etapa deste procedimento 
estaria provavelmente fadada ao fracasso pois a liga Ti - Al se mostra extremamente frágil em 
temperaturas baixas, o que contra-indica qualquer trabalho mecânico. 
Outro procedimento compreenderia: reunir pós ou grânulos de Ti e Al obtidos separadamente, 
na proporção 1:1; conformar à forma desejada da peça a mistura mecânica dos metais Al e Ti, 
desde que, puros, são extremamente dúteis; provocar a interdifusão dos metais, a qual pode ser 
grandemente acelerada pelo emprego de temperaturas altas, neste caso ligeiramente superiores 
à temperatura de fusão do Al, de modo a formar o intermetálico. Este pode ser reconhecido 
como típico na produção de cerâmicos a partir de precursores de alta temperatura de fusão. 
 
Estes exemplos procuram ressaltar que os princípios que embasam disciplinas 
fundamentais como termodinâmica,cinética química, fenômenos de transporte (e muitas 
outras) são de aplicação generalizada e por tal merecem ser enfatizados. 
 
Fenômenos de Transporte pode ser, claramente, traduzido como estudos em Mecânica 
dos Fluidos, Transferência de Massa e Transferência de Calor, não necessariamente 
nesta ordem. O escopo de cada uma delas pode ser abordado de maneira bastante 
abrangente e profunda. A motivação para reuní-las em na disciplina Fenômenos de 
Transporte se deve a dois fatores principais. Primeiro, como exemplificado, transporte 
de calor, massa e quantidade de movimento podem ocorrer simultaneamente,um 
influindo sobre o outro. Segundo, existem similaridades físicas e matemáticas que 
podem abreviar um estudo conjunto. 
 
Por exemplo denotando por 𝜙 a concentração volumétrica de uma dada grandeza, seja 
ela massa, calor ou quantidade de movimento, se pode apontar ao menos duas 
contribuições comuns ao transporte. 
 
Convecção: Relacionada ao transporte da grandeza através de uma superfície de 
controle (real ou imaginária) pelo movimento do meio. No caso da espécie (elemento ou 
composto) A contida, em concentração 𝐶𝐴 [mol/m
3
] , em um meio que se move com 
velocidade 𝑉𝑦 [m/s] ,a quantidade da mesma que atravessa uma superfície de controle 
estática (imaginária ou real) de orientação perpendicular ao fluxo e área 𝑑𝑆 [m2] é dada, 
vide Figura 1-2, por 
 
𝑉𝑦 (𝑚 𝑠⁄ ) 𝑑𝑆(𝑚
2)𝐶𝐴 (𝑚𝑜𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑚
3)⁄ 
 
expressão que corresponde ao produto entre a vazão volumétrica do meio e a 
concentração da grandeza. 
 
Concentração volumétrica de calor e de quantidade de movimento podem ser definidas, 
respectivamente, como 𝜙 igual a 𝜌 𝐶𝑝𝑇 (𝐽 𝑚
3)⁄ e 𝜌𝑉𝑖 (𝑘𝑔.𝑚. 𝑠
−1 𝑚3)⁄ onde 
representam : 𝜌 [kg/m3], a massa específica do meio; 𝐶𝑝 [J/kg.K], o calor específico do 
meio; 𝑇 [K] a temperatura do meio; 𝑉𝑖 [m/s], a velocidade do meio na direção 𝑖. Deste 
modo as equações de transporte (na direção OU por exemplo) são 
𝑉𝑦 (𝑚 𝑠⁄ ) 𝑑𝑆(𝑚
2) 𝜙 
𝑉𝑦 𝑑𝑆 {𝐶𝐴} 
6 
 
𝑉𝑦 𝑑𝑆 {𝜌 𝐶𝑝𝑇} 
𝑉𝑦 𝑑𝑆 {𝜌𝑉𝑖 } 
 
 
 
Figura 1-2: Transporte convectivo e por difusão. 
 
Difusão: A força motriz de processos de transporte por difusão está relacionada à 
existência de gradientes de uma dada grandeza. Por exemplo observa-se transporte de 
uma dada espécie sob ação de gradientes de : Potencial gravitacional; Temperatura ; 
Pressão; Potencial Elétrico; Potencial Químico e outros. Campos elétricos ou gradientes 
de potencial elétrico são particularmente atuantes no caso de transporte de espécies 
carregadas, por exemplo ións durante eletrólise ou eletrorefino. Gradientes de potencial 
químico podem ser, numa dada fase, relacionados a gradientes de composição, e dão 
origem à difusão ordinária (por ser a mais comum). A lei de Fick pode ser utilizada para 
o cômputo da velocidade de transporte por difusão. A Termodinâmica requer que o 
transporte seja espontâneo desde o ponto de mais alto potencial químico (maior 
concentração) até o ponto de menor potencial químico(menor concentração), de modo 
que, Figura 1-2, 
𝑗𝐴 (𝑚𝑜𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑚
2 𝑠) = − 𝐷𝐴 (𝑚
2 𝑠) 
𝑑 {𝐶𝐴 (𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐴 𝑚
3⁄ )}
𝑑𝑦(𝑚)
⁄⁄ 
Lei de Fick 
 
onde 𝐷𝐴 representa o coeficiente de difusão (ou difusividade de espécie) da espécie A 
no meio, em geral determinado experimentalmente, como uma função de propriedades 
do meio e da espécie A (isto é, da temperatura, pressão, composição, estado físico, 
pressão, etc.). 
O termo 
𝑑 𝐶𝐴
𝑑𝑦
 representa o gradiente de grandeza ou força motriz do processo, medida 
indireta do gradiente de Potencial Quimico (verdadeira causa da difusão quimica, 
ordinária). 
 
 
Expressões correspondentes para o transporte difusivo de calor e quantidade de 
movimento são do tipo 
𝑞𝑥 (𝐽 𝑚
2 𝑠) = − 
𝑘
𝜌 𝐶𝑝
 (𝑚2 𝑠) 
𝑑 {𝜌 𝐶𝑝 𝑇 (𝐽 𝑚
3⁄ )}
𝑑𝑦(𝑚)
⁄⁄ 
 
7 
 
Lei de Fourier 
𝜏𝑦𝑥 (𝑁 𝑚
2) = − 
𝜂
𝜌 
 (𝑚2 𝑠) 
𝑑 {𝜌 𝑉𝑥 (𝑘𝑔 𝑚
2𝑠⁄ )}
𝑑𝑦(𝑚)
⁄⁄ 
 
Lei de Newton 
 
onde representam: 𝜂 (kg.m-1.s-1), a viscosidade dinâmica; 𝑘 (J/m.s.K), a condutibilidade 
térmica do meio. A razão 𝑘 𝜌 𝐶𝑝⁄ é denominada difusividade térmica do meio, enquanto 
𝜂 𝜌⁄ é conhecida como viscosidade cinemática ou difusividade de quantidade de 
movimento. As expressões anteriores representam, claramente, as Leis de Fourier (de 
difusão ou condução de calor) e de Newton (de definição de viscosidade), Figura 1-3. 
 
 
Figura 1-3: Fluxos difusivos de calor, espécie e quantidade de movimento 
 
Em resumo, considerando os valores das contribuições difusiva e convectiva, por 
unidade de área, se pode apontar as similaridades expostas na Tabela 1-I. 
8 
 
 
Tabela 1-I : Similaridades entre expressões para cálculo de contribuições difusiva e 
convectiva. 
Grandeza 𝜙 Convecção Difusão 
Espécie A 𝑉𝑦 {𝐶𝐴} 𝑗𝐴 = − 𝐷𝐴 
𝑑 {𝐶𝐴 }
𝑑𝑦
 
Lei de Fick 
Calor 𝑉𝑦 {𝜌 𝐶𝑝𝑇} 
𝑞𝑥 = − 
𝑘
𝜌 𝐶𝑝
 
𝑑 {𝜌 𝐶𝑝 𝑇 }
𝑑𝑦
 
 
Lei de Fourier 
Quantidade de movimento 𝑉𝑦 {𝜌𝑉𝑖 } 
 
𝜏𝑦𝑥 = − 
𝜂
𝜌 
 
𝑑 {𝜌 𝑉𝑥 }
𝑑𝑦
 
 
Lei de Newton 
 
Em qualquer das disciplinas, Mecânica dos Fluidos, Transferência de Calor, 
Transferência de Massa, Balanços de Conservação são rotineiramente utilizados para a 
análise dos problemas. Em termos de uma Grandeza genérica 𝜙, igual a 𝐶𝐴, , ou 𝜌 𝐶𝑝 𝑇, 
ou 𝜌 𝑉𝑖 , um Balanço de Conservação pode ser escrito como, vide Figura 1-4: 
 
Taxa (ou 
velocidade) de 
acumulação da 
Grandeza no 
interior do 
Volume de 
Controle (VC) 
 
 
 
 
= 
Taxa (ou velocidade) 
líquida de entrada 
(taxa de entrada 
menos taxa de saída) 
da Grandeza no V.C., 
através da Superfície 
de Controle (S.C.) por 
meio do mecanismo 
de Convecção 
 
 
 
 
+ 
Taxa líquida de 
entrada da 
Grandeza no 
V.C., através da 
S.C., por meio 
do mecanismo 
de Difusão 
 
 
 
 
+ 
 
 
 
Outras 
Contribuições 
 
 
 
 
Figura 1-4: Região de escolha para construção do Balanço de Conservação de 𝜙. 
 
Deste modo se pode antever que as equações dos balanços de 𝜙, independente da 
natureza da Grandeza em foco, serão estruturalmente e formalmente idênticas, de modo 
que procedimentos analíticos e numéricos de solução apresentarão características 
comuns. Este seria um atrativo extra do enfoque Fenômenos de Transporte, em 
comparação com um estudo em separado de Mecânica dos Fluidos, Transferência de 
Calor, Transferência de Massa. 
 
 
9 
 
2- TRANSPORTE DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
Inicialmente se considera a dedução da Equação da Continuidade, que reflete o 
princípio de conservação de massa. Esta equação em geral se emprega associada à 
equação do balanço de Conservação de Quantidade de Movimento (QM) e a outras, de 
acordo com as especificidades da situação em análise. O procedimento analítico de 
construção da equação da continuidade – tanto a nível macroscópico quanto a nível 
microscópico – pode ser empregado na dedução das equações dos balanços de 
conservação. Então uma breve revisão pode ser útil. 
 
Seja por exemplo um Volume de Controle (VC) na forma de um paralelepípedo 
infinitesimal, estático, de faces paralelas aos planos coordenados de um sistema tri-
ortogonal OXYZ e apresentando arestas de comprimento ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧, vide Figura 2-1. 
Um meio em movimento relativo a este volume de controle atravessa suas superfícies 
de controle (SC), as faces do paralelepípedo, obliquamente de modo que podem ser 
identificadas componentes locais do vetor velocidade, 𝑉𝑖=𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧). Modo 
geral, como indicado, a velocidade é função da posição e do tempo. Deste modo o 
balanço de conservação de massa apresenta os termos seguintes: 
 
a) Termo em acumulação, de massa no volume de controle: 
 
𝑑
𝑑𝑡
{ ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 . }  ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧. 
𝑑𝜌
𝑑𝑡
 
onde ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 (m3) representa o volume do V.C. e  (kg / m3) a massa específica. 
 
b) Termo em contribuição ao acúmulo de massa no interior do VC, por meio de 
convecção; este deve ser calculado levando-se em consideração as seis faces do VC e, 
matematicamente, seriamequivalentes ao produto da vazão volumétrica e da massa 
específica em cada face, portanto: 
 
- relativa à face perpendicular ao eixo oy, paralela ao plano coordenado OX/OZ 
{𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧}. 𝜌]𝑦=𝑦 − {𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧}. 𝜌]𝑦=𝑦+ ∆𝑦 
 
onde representam : 𝑉𝑦 (m/s), a componente OY do vetor velocidade; ∆𝑥. ∆𝑧 (m
2
), a área 
da superfície de fluxo; 𝜌 (kg/m3), a massa específica do meio. 
 
 
 
Figura 2-1: Volume de controle para construção, a nível microscópico, de um balanço 
de conservação de massa. 
10 
 
 
Claramente o produto {𝑉𝑦 . ∆𝑥. ∆𝑧 } denota a vazão volumétrica e a expressão anterior 
implica que os valores das varíáveis devem ser avaliados nos pontos específicos, por 
serem função do tempo e da posição. 
 
- relativa à face perpendicular ao eixo OX, paralela ao plano coordenado OZ/OY. 
{𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧}. ]𝑥=𝑥 − {𝑉𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧}. ]𝑥=𝑥+ ∆𝑥 
 
- relativa à face perpendicular ao eixo OZ, paralela ao plano coordenado OX/OY. 
 
{𝑉𝑧 . ∆𝑦. ∆𝑥}.]𝑧=𝑧 − {𝑉𝑧 . ∆𝑦. ∆𝑥}. ]𝑧=𝑧+ ∆𝑧 
 
Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por ∆𝑥 . ∆𝑦. ∆𝑧, 
 
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 
𝑉𝑥.]𝑥=𝑥 − 𝑉𝑥. ]𝑥=𝑥+ ∆𝑥
∆𝑥
+ 
𝑉𝑦. 𝜌]𝑦=𝑦 − 𝑉𝑦. 𝜌]𝑦=𝑦+ ∆𝑦
∆𝑦
+ 
𝑉𝑧. ]𝑧=𝑧 − 𝑉𝑧.]𝑧=𝑧+ ∆𝑧
∆𝑧
 
 
e tomando os limites, quando, simultaneamente, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 tendem a zero, resulta a 
forma infinitesimal da equação da continuidade ou forma microscópica do balanço, 
− 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 
𝜕 
𝜕𝑥
 𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝜌 𝑉𝑦 +
𝜕 
𝜕𝑧
 𝜌 𝑉𝑧 
 
Procedimento análogo pode ser empregado para se expressar o princípio de conservação 
de massa, para volumes de controle macroscópicos e/ou em outros sistemas de 
coordenadas. 
 
Conservação de Quantidade de Movimento 
 
A expressão de conservação de quantidade de movimento pode ser escrita como: 
 
Taxa de 
acumulação de 
Q.M. no V.C 
 
= 
Taxa líquida de 
entrada de Q.M. no 
VC, através das SC, 
via Convecção 
 
+ 
Taxa líquida de 
entrada de Q.M. 
no VC, através 
das SC, via 
Difusão 
 
+ 
Outras 
Contribuições 
 
Matematicamente a Taxa de acumulação de Q.M. no V.C. pode ser descrita como a 
derivada em relação ao tempo do produto 𝑚 �⃗� ; portanto representa a força atuante sobre 
o VC, o que permite que o Balanço de Conservação de Q.M possa ser lido como uma 
aplicação da Segunda lei de Newton: 
 
Resultante das forças 
que agem sobre o V.C 
 
= 
Forças de natureza 
Convectiva 
 
+ 
Forças de 
natureza 
Difusiva 
 
+ 
Outras 
forças 
 
Esta grafia pode ser mais conveniente porque, em geral, os engenheiros mantém mais 
familiaridade com o conceito de força, em comparação com o conceito de fluxo de 
11 
 
quantidade de movimento. Observe-se, por exemplo, que a lei de Newton, de definição 
de viscosidade envolve tensão de cisalhamento, força por unidade de área.. 
 
Note-se também que, sendo a Q.M. uma grandeza vetorial (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧) o balanço de 
conservação também apresentará esta característica. 
 
Seguindo o tratamento, que interpreta fluxos de QM como forças atuantes sobre o 
volume de controle, é importante identificar estas forças. 
 
A força de natureza convectiva pode ser caracterizada considererando o movimento de 
um fluido em um tubo, em regime permanente e laminar, tal como esquematizado na 
Figura 2-2. O tubo apresenta seção reta variável e sua forma é qualquer. Deste modo a 
velocidade do fluido pode variar ao longo de uma dada seção reta e ao longo do tubo. 
De modo a permitir o cálculo das forças de natureza convectiva, pode ser isolado, no 
interior do tubo, um outro tubo – desta feita imaginário – cujas paredes são linhas de 
fluxo. Como por definição os vetores velocidades são tangentes às linhas de fluxo então, 
por consequencia, não existe fluxo de matéria através das paredes deste tubo imaginário, 
apenas através de sua seção reta. O tubo imaginário pode ser feito tão estreito que, 
virtualmente, não se observam variações significativas de velocidade ao longo de uma 
certa seção reta, de área 𝛿𝐴. Deste modo o vetor velocidade é também perpendicular a 
esta área infinitesimal de fluxo, mas pode comportar variações em módulo e orientação 
ao longo do tubo imaginário. A seguir escolhe-se um VC ainda mais restrito, 
compreendido entre duas seções retas infintesimais, muito próximas; tal permite 
desprezar as variações citadas. 
 
Então, considerando o volume de controle destacado, que contém massa na quantidade 
𝛿𝑚 = 𝑉. 𝛿𝐴. 𝛿𝑡 . 𝜌 , onde representam: 𝛿𝐴 (m2), a área de seção reta de fluxo; 𝑉 (m/s), a 
velocidade do fluido; 𝛿𝑡(s), o intervalo de tempo necessário para preencher o VC; 𝜌 
(kg/m
3
), a massa específica do fluido, se pode estimar a componente OY (por exemplo) 
da força que age sobre o V.C. como se segue : 
 
 
 
Figura 2-2: Esquema para cálculo de força de natureza convectiva. 
12 
 
 
𝛿𝐹𝑦 = 𝛿𝑚 .
𝛿 𝑉𝑦
𝛿𝑡
= {𝑉. 𝛿𝐴. 𝛿𝑡 . 𝜌 }.
𝛿 𝑉𝑦
𝛿𝑡
 
Desde que o valor de 𝛿𝑡 pode ser escolhido arbitrariamente vem 
𝛿𝐹𝑦 = 𝑉. 𝛿𝐴. 𝜌 . 𝛿 𝑉𝑦 = 𝛿𝑄. 𝜌 . 𝛿 𝑉𝑦 
 
onde 𝛿𝑄 (𝑚3 𝑠⁄ ) representa a vazão volumétrica atraves do volume de controle. 
 
Finalmente, a componente 𝐹𝑦, que age sobre todo o tubo imaginário resulta da 
integração: 
 
𝐹𝑦 = ∫ 𝛿𝐹𝑦 = 
𝑠𝑒çã𝑜 2
𝑠𝑒çã𝑜 1
∫ 𝛿𝑄. 𝜌 . 𝛿 𝑉𝑦 
𝑠𝑒çã𝑜 2
𝑠𝑒çã𝑜 1
 
 
onde se considera o princípio de conservação de massa, isto é a constância do produto 
𝛿𝑄. 𝜌 ao longo do tubo (em regime permanente), isto é: 
𝐹𝑦 = 𝛿𝑄. 𝜌 ∫ 𝛿 𝑉𝑦 = 𝛿𝑄. 𝜌 𝑉𝑦]𝑠𝑒çã𝑜 1
𝑠𝑒çã𝑜 2
𝑠𝑒çã𝑜 2
𝑠𝑒çã𝑜 1
 
 
Portanto, de modo geral, para 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 
 
𝐹𝑖 = 𝛿𝑄. 𝜌 𝑉𝑖]𝑠𝑒çã𝑜 1
𝑠𝑒çã𝑜 2
 
 
expressão da forma “Força na direção i igual ao produto entre vazão volumétrica e 
concentração de quantidade de movimento na direção i”, como antecipado. 
 
A contribuição difusiva pode ser auferida a partir do análogo mecânico que permitiu a 
Newton conceituar a propriedade Viscosidade Dinâmica de um fluido, vide Figura 2-3. 
Neste caso considera-se o movimento unidirecional de um fluido, sobre uma placa 
estática. O perfil esquematizado se desenvolve devido à ”condição de não 
deslizamento”, a qual implica em que, no ponto de contato fluido/superfície, as 
velocidades dos meios são iguais. Newton propôs visualizar o fluido como um conjunto 
de placas imaginárias, superpostas e se movendo, todas, na direção oy, porém com 
velocidades diferentes. 
 
 
 
Figura 2-3: Fluxo uniderecional de um fluido sobre uma placa imaginária, estática. 
 
13 
 
Então, devido ao movimento relativo entre duas placas contíguas se desenvolve uma 
força de atrito, tal que: 
𝜏𝑧𝑦 = − 𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
 
 
onde representam : 𝜏𝑧𝑦, a tensão de cisalhamento, força por unidade de área; 𝑧 (índice), 
direção da superfície de atuação do esforço; 𝑦 (índice), direção da força; 𝜂, coeficiente 
de viscosidade dinâmica; 𝑉𝑦 , componente de velocidade na direção OY. 
O termo 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
 representa o gradiente de velocidade, causa da existência da força de atrito 
entre as camadas imaginárias de fluido. 
 
Nos casos mais simples estas relações são suficientes para a montagem de um balanço 
de conservação de QM e para a determinação de parâmetros de engenharia como, valor 
médio de velocidade, equação do perfil de velocidade, força de arraste, etc . 
 
As equações completas serão abordadas posteriormente. 
 
Exemplo: Considere o fluxo de um líquido (viscosidade igual a 1 cP ; massa específica igual a 
1𝑔/𝑐𝑚3)em uma tubulação com 40 mm de diâmetro. A vazão é de 3 litros/min. Um trecho da 
tubulação (toda horizontal), medindo 2m de comprimento, inclui, no meio deste, uma curva que 
possibilita um desvio de 30𝑜. Estime a componente OX da força de natureza convectiva que age 
sobre todo o tubo. 
 
Figura: descrição esquemática para cálculo de força convectiva em tubo, com mudança de 
direção. 
 
Admtindo um perfil plano de velocidades, tal como esquematixado na figura, se pode calcular a 
velocidade média como 
𝑉 = 
4 𝑄
𝜋 𝑑2
 
Onde Q é a vazão volumétrica e d o diametro da tubulação. 
 
Na primeira seção do tubo a componente OX de velocidade é igual à velocidade média; na 
segunda seção a componente OX da velocidade é igual a 𝑉 𝑐𝑜𝑠𝜃. Daí a força a ser calculada, 
𝐹𝑥 = 𝑄. 𝜌 𝑉𝑥]𝑠𝑒çã𝑜 1
𝑠𝑒çã𝑜 2
 
14 
 
𝐹𝑥 = 𝑄. 𝜌 {𝑉 cos 𝜃 − 𝑉} = 𝑄. 𝜌 𝑉 {cos 𝜃 − 1} = 𝑄. 𝜌 [
4 𝑄
𝜋 𝑑2
] {cos𝜃 − 1} 
𝐹𝑥 = 𝑄
2. [
4 𝜌
𝜋 𝑑2
] {cos 𝜃 − 1} = {5 𝑥 10−5 (𝑚3 𝑠⁄ )}2 𝑥 
1000(𝑘𝑔 𝑚3)⁄
𝜋 {0,04(𝑚)}2
{cos 30 − 1} 
𝐹𝑥 = − 6,66 𝑥 10
−5 𝑁 
 
 
Como exemplo ilustrativo, da construção de um balanço de conservação de Quantidade 
de Movimento, considere-se o fluxo de um fluido incompressível, Newtoniano, em 
regime permanente, laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como 
esquematizado na Figura 2-4. Como indicado a abertura da ranhura é igual a 2𝛿, valor 
muito inferior à largura da mesma, 𝑊; deste modo os efeitos devidos ao atrito entre o 
fluido e as paredes laterais da ranhura – que naturalmente devem existir como 
contenção ao fluido – podem ser desprezados. A condição de não deslizamento, isto é a 
consideração que “as velocidades de fluido e superfícies nos pontos de contato são 
iguais”, sugere o perfil de velocidades esquematizado, desde que se possa admitir 
simetria em relação a um plano paralelo às superfícies, situado à meia distância. As 
causas, forças motrizes, para tal movimento podem ser várias, tais como gravidade, 
diferença de pressão. Admita-se que, neste caso, para efeito de simplificação, apenas 
esta última seja relevante. Por exemplo admita-se a orientação do vetor gravidade tal 
como indicada (isto é, gravidade não influi no fluxo) e que a força motriz do fluxo seja 
um diferencial de pressão representado por [𝑃𝐿 − 𝑃𝑜] 𝐿⁄ . 
 
 
 
Figura 2-4: Diagrama esquemático para tratamento do fluxo em uma ranhura. 
 
Embora qualquer sistema de coordenadas, orientado a bel-prazer, possa ser utilizado 
para a descrição matemática do fluxo a escolha natural reside em definir um sistema tri-
ortogonal de referência, com um dos planos coordenados, por exemplo OXY, 
coincidente com o plano de simetria de fluxo, localizado a meia distância entre as duas 
placas fixas. A conseqüência mais visível (e frutífera) desta escolha -- que faz a direção 
coordenada OY coincidir com a direção do fluxo – consiste em se obter componentes 
15 
 
𝑉𝑥 𝑒 𝑉𝑧 nulas, em qualquer posição. Esta conseqüência se mantém para qualquer outro 
sistema de coordenadas que resulte de uma operação de translação aplicada sobre o 
anterior. 
 
Com estes dados em mente e a partir da equação da continuidade se encontra 
− 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 
𝜕 
𝜕𝑥
 𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝜌 𝑉𝑦 +
𝜕 
𝜕𝑧
 𝜌 𝑉𝑧 
 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 = 0 
pois o fluido é incompressível (𝜌 não varia) e o fluxo é unidirecional (𝑉𝑥 𝑒 𝑉𝑧 são nulos). 
A equação anterior informa que para um valor fixo de z, portanto de distância a uma das 
placas, o valor da velocidade 𝑉𝑦 se mantém inalterado, independente do valor de 𝑦. É a 
expressão matemática da condição de “fluxo completamente desenvolvido”, indicando 
que o perfil de velocidades não se altera na direção do fluxo. Naturalmente implica, 
também, 𝑉𝑦 (𝑧) ; isto é equações diferenciais ordinárias devem ser capazes de descrever 
o fluxo. 
 
De modo a realizar o balanço de conservação de Q.M. considera-se um V.C. 
correspondente a uma fatia imaginária de fluido, situado entre as coordenadas 𝑦 = 0 e 
𝑦 = 𝐿 , e entre dois planos, paralelos ao plano coordenado OXY e distantes entre si de 
∆𝑧, ver Figura 2-4. Esta escolha de forma e orientação do V.C. reduz o número de 
termos (contribuições) a serem considerados no balanço. Por exemplo os vetores 
velocidade 𝑉𝑦 são paralelos (tangentes) às faces superior e inferior do VC; através destas 
faces não existe fluxo de matéria e portanto nelas não atuam forças de natureza 
convectivas. 
 
Logo, na expressão do balanço de conservação de quantidade de movimento na direção 
coordenada 𝑂𝑌 se identificam os termos: 
 
 
Resultante das forças 
que agem sobre o V.C 
 
= 
Forças de natureza 
convectiva 
 
+ 
Forças de 
natureza 
difusiva 
 
+ 
Outras 
forças 
 
isto é , como Taxa de Acumulação , 
𝑑
𝑑𝑡
 [∆𝑧 . 𝐿 . 𝑤. 𝜌 𝑉𝑦] 
onde : ∆𝑧 . 𝐿 . 𝑤 [m3], o volume do V.C.; 𝜌 [kg/m3], a massa específica do fluido; 𝑉𝑦 
[m/s], a componente de velocidade na direção OY. 
 
Além desta, termos em convecção do tipo 𝛿𝐹𝑖 = 𝛿𝑄 𝜌 𝑉𝑖 , que se calculam como: 
𝜌 (∆𝑧 . 𝑤. 𝑉𝑦) 𝑉𝑦]𝑦=0 − 𝜌 (∆𝑧 . 𝑤. 𝑉𝑦) 𝑉𝑦]𝑦=𝐿 
 
mas que se anulam em função das restrições: fluido incompressível e fluxo 
completamente desenvolvido. Note-se que o valor de 𝑉𝑦 em 𝑦 = 0 é igual ao valor de 
 𝑉𝑦 em 𝑦 = 𝐿, e que o mesmo se aplica em relação a 𝜌. 
 
16 
 
Finalmente a geometria do problema permite a aplicação direta da analogia de Newton, 
a qual permite identificar esforços cizalhantes aplicados sobre as faces inferior e 
superior do VC na forma 
𝜏𝑧𝑦 = − 𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
 
Observe-se que o índice 𝑦 denota direção de atuação da força enquanto o índice 𝑧 
denota a direção da superfície de atuação. Portanto, contabilizado sobre as duas 
superfícies, inferior e superior, 
𝜏𝑧𝑦 𝑤𝐿]𝑧=𝑧 − 𝜏𝑧𝑦 𝑤𝐿]𝑧=𝑧+ Δ𝑧 
 
Finalmente, em outras contribuições ou forças, se considera a queda de pressão na 
ranhura, 
𝑃 𝑤. Δ𝑧]𝑦=0 − 𝑃 𝑤. Δ𝑧]𝑦=𝐿 
 
 de modo que, coletando e reordenando os termos resulta 
𝑑
𝑑𝑡
 [∆𝑧 . 𝐿 . 𝑤. 𝜌 𝑉𝑦] = 𝜌 (∆𝑧 . 𝑤. 𝑉𝑦) 𝑉𝑦]𝑦=0 − 𝜌 (∆𝑧 . 𝑤. 𝑉𝑦) 𝑉𝑦]𝑦=𝐿 + 
+ 𝜏𝑧𝑦 𝑤𝐿]𝑧=𝑧 − 𝜏𝑧𝑦 𝑤𝐿]𝑧=𝑧+ Δ𝑧 + 𝑃 𝑤. Δ𝑧
]𝑦=0 − 𝑃 𝑤. Δ𝑧]𝑦=𝐿 
 
 
0 = − 
𝜏𝑧𝑦 ]𝑧=𝑧+Δ𝑧 − 𝜏𝑧𝑦 ]𝑧=𝑧
Δ𝑧
+ 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
 
 
 
desde que a Taxa de Acumulação e a Contribuição convectiva são nulas. Tomnado o 
linite da expressão anterior quando Δ𝑧 tende a zero se encontra a equação diferencial 
que descreve o fluxo 
0 = − 
𝑑 𝜏𝑧𝑦
d𝑧
+ 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
 
Ou, alternativamente, desde que o fluido é newtoniano 
0 = − 
𝑑 
d𝑧
 [− 𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
] + 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
 
0 = 𝜂 
𝑑2 𝑉𝑦
𝑑𝑧2
+ 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
 
 
a ser integrada com as condições de contorno 
 
C.C.1: 𝑧 = ± 𝛿 ; 𝑉𝑦 = 0 ; Expressão matemática da condição de não 
deslizamento 
C.C.2: 𝑧 = 0; 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
= 0; Plano coordenado OXY é plano de simetria. 
 
Resulta após separação de variáveis, duas seqüências de integração e aplicação das 
condições de contorno, 
𝑉𝑦 = 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝜂𝐿
 (𝛿2 − 𝑧2) 
 
a qual representa a equação relativa ao perfil de velocidades. 
 
17 
 
A vazão de fluido na ranhura se calcula considerando uma seção de fluxo infinitesimal, 
de área 𝑤. 𝑑𝑧, localizada na posição z, Figura 2-5, isto é 
𝑑𝑄 = 𝑉𝑦 𝑤 𝑑𝑧 
 
𝑄 = 
𝑤 [𝑃𝑜 − 𝑃𝐿]
2𝜂𝐿
 ∫ (𝛿2 − 𝑧2)𝑑𝑧
𝑧= 𝛿
𝑧= − 𝛿
 
 
 
Figura 2-5: Volume de controle para cálculo de vazão na ranhura 
 
 
Por outro lado a forçacisalhante sobre um plano paralelo ao plano coordenado oxy, 
situado na posição 𝑧 
𝐹]𝑧=𝑧 = 𝜏𝑥𝑦 𝑤𝐿]𝑧=𝑧 = − 𝑤 𝐿 𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
]
𝑧=𝑧
 
 
onde 𝑦 representa a direção do esforço, 𝑧 representa a direção da superfície de atuação, 
e 𝑤. 𝐿 a área de atuação. Para um plano qualquer 
𝐹]𝑧=𝑧 = − 𝑤 𝐿 𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
]
𝑧=𝑧
= 𝑤 𝐿 𝜂 
 [𝑃𝑜 − 𝑃𝐿] 𝑧
𝜂𝐿
 
 
𝐹]𝑧=𝑧 = 𝑤𝑧 [𝑃𝑜 − 𝑃𝐿] 
 
e, especificamente, para o plano superior, em 𝑧 = 𝛿 
𝐹]𝑧=𝛿 = 𝑤𝛿 [𝑃𝑜 − 𝑃𝐿] 
 
Desde que o regime é permanente então a resultante das forças que age sobre todo o 
fluido contido entre as placas deve ser nula. Esta forças são duas: 1- a força devida à 
diferença de pressão aplicada entre os extremos , causa do movimento; 2- o atrito do 
fluido contra as superfícies da ranhura, resistência que se contrapõe ao movimento. 
Como mostrado estas duas força se anulam. 
 
Embora seja possível repetir este procedimento para outras situações e geometrias é 
mais comum se partir das equações gerais de conservação de quantidade de movimento 
e realizar as simplificações possíveis, com base em argumentos físicos, de modo a se 
obter uma descrição matemática do caso particular. Esta abordagem será utilizada a 
seguir. 
18 
 
 
Equação Geral de Conservação de Quantidade de Movimento: 
 
Problemas relativos ao movimento de fluidos podem ser estudados através da 
metodologia proposta de construção de balanço de QM, específico da situação. 
 
Esta tarefa se complica nos casos em que o fluxo é oblíquo em relação aos eixos 
coordenados, o que implica na necessidade de se construir balanços para cada direção 
coordenada. Resulta também que as variáveis de interesse, por exemplo velocidade, 
sejam funções de mais de uma coordenada espacial; logo as equações descritivas 
seriam, potencialmente, em derivadas parciais. A descrição matemática da situação 
física tratada anteriormente – fluxo em regime permanente e laminar, unidirecional, de 
um fluido incompressível e Newtoniano em uma ranhura – seria significativamente 
complicada pela escolha de um sistema de coordenadas tri-ortogonal com eixos 
orientados aleatoriamente em relação à ranhura. Neste caso se nota, prontamente, que 
apesar da unidirecionalidade do fluxo, todas as componentes da velocidade seriam não 
nulas e dependentes das três coordenadas espaciais, 𝑉𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧). Perdem-se também 
todas as facilidades matemáticas que poderiam advir da condição de simetria em relação 
ao plano médio da ranhura. 
 
Nem sempre é possível escolher um sistema de coordenadas e sua orientação tal que a 
descrição matemática de um dado fluxo resulte em equações que apresentem soluções 
analíticas; entretanto é sempre possível, através de uma escolha inconveniente, 
complicar. 
 
Em qualquer dos casos outra possibilidade é lançar mão de equações gerais de 
conservação, cujas expressões são facilmente encontráveis na literatura, que podem ser 
devidamente simplificadas, com base em argumentos físicos, para retratar uma dada 
situação. O processo de construção da equação geral, válida para o sistema triortogonal, 
se apresenta a seguir. 
 
Considere-se, vide Figura 2-6, um volume de controle estático, na forma de um 
paralelepípedo, de faces paralelas aos planos coordenados e apresentando arestas de 
comprimento ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧. Um meio contínuo atravessa este volume de controle em 
direção oblíqua ao mesmo, de modo que todas suas faces estão sujeitas a esforços, a 
serem descritos por meio do Tensor de Esforços, 𝜏𝑖𝑗 , Figura 2-7. Este tensor resulta da 
decomposição, nas três direções coordenadas, do esforço que atua sobre uma dada face 
do volume de controle. Por convenção o primeiro sub-índice i representa a direção da 
superfície de atuação do esforço enquanto o segundo sub-índice j representa a direção 
do esforço. Por exemplo 𝜏𝑧𝑦 indica uma tensão de cizalhamento que atua na direção 
OY, sobre uma superfície perpendicular ao eixo coordenado OZ; 𝜏𝑦𝑦 representa um 
esforço de compressão/tração de direção OY, aplicado sobre superfície perpendicular ao 
eixo coordenado OY. O tensor de esforços é simétrico, de modo que 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖 e então 
nem todas as nove componentes do tensor são independentes. 
 
A título de exemplo as forças atuantes na direção coordenada OY são: 1 – convectivas, 
na forma 𝛿𝐹𝑦 = 𝜌 𝛿𝑄 𝑉𝑦 sendo que a vazão deve ser calculada sobre as seis faces do 
VC; 2- difusivas, ou esforços computados por meio das componentes 𝜏𝑧𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑦𝑦 do 
tensor, também com contribuições em todas as seis faces do VC; a componente OY 
19 
 
devida à pressão, 𝑃𝑦, desde que é praxe considerar (subtrair) pressão em separado das 
componentes compressivas do tensor de esforços; a componente OY do peso do volume 
de controle. Deste modo os termos do Balanço de Conservação de QM são: 
 
a) Termo em acumulação de quantidade de movimento no VC, direção OY: 
𝑑
𝑑𝑡
 {∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 𝜌 𝑉𝑦} = ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 
𝑑
𝑑𝑡
 {𝜌 𝑉𝑦} 
 
 
Figura 2-6: Volume de controle estático empregado para balanço de conservação de 
QM. 
 
b) Termos em contribuição ao acúmulo de quantidade de movimento no interior do VC, 
por meio de convecção; este deve ser calculado levando-se em consideração as seis 
faces do VC e, matematicamente, seriam equivalentes a 𝛿𝐹𝑦 = 𝜌 𝛿𝑄 𝑉𝑦 . Uma das 
contribuições compreende 
{𝜌 ∆𝑦 ∆𝑧 𝑉𝑥} 𝑉𝑦 ]𝑥=𝑥 − 
{𝜌 ∆𝑦 ∆𝑧 𝑉𝑥} 𝑉𝑦 ]𝑥=𝑥+∆𝑥 
 
o que engloba o efeito do fluxo de matéria que atravessa as duas faces do VC que são 
perpendiculares ao eixo coordenado OX. Outras, de significado análogo são 
 
{𝜌 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑉𝑧} 𝑉𝑦 ]𝑧=𝑧 − 
{𝜌 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑉𝑧} 𝑉𝑦 ]𝑧=𝑧+∆𝑧 
 
{𝜌 ∆𝑥 ∆𝑧 𝑉𝑦} 𝑉𝑦 ]𝑦=𝑦 − {𝜌 ∆𝑥 ∆𝑧 𝑉𝑦} 𝑉𝑦 ]𝑦=𝑦+∆𝑦 
 
c) termos difusivos, relativos às componentes 𝜏𝑧𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑦𝑦 , por exemplo 
∆𝑥 ∆𝑦 𝜏𝑧𝑦]𝑧=𝑧 − ∆𝑥 ∆𝑦 𝜏𝑧𝑦]𝑧=𝑧+∆𝑧 
 
o qual representa esforços de cizalhamento atuantes sobre as faces do VC 
perpendiculares à direção coordenada OZ. Com interpretação semelhante, 
 
∆𝑧 ∆𝑦 𝜏𝑥𝑦]𝑥=𝑥 − ∆𝑧 ∆𝑦 𝜏𝑥𝑦]𝑥=𝑥+∆𝑥 
 
20 
 
∆𝑥 ∆𝑧 𝜏𝑦𝑦]𝑦=𝑦 − ∆𝑥 ∆𝑧 𝜏𝑦𝑦]𝑦=𝑦+∆𝑦 
 
d) as contribuições devidas à pressão, com atuação sobre as faces do VC 
perpendiculares ao eixo coordenado OY, 
 
∆𝑥 ∆𝑧 𝑃𝑦]𝑦=𝑦 − ∆𝑥 ∆𝑧 𝑃𝑦]𝑦=𝑦+∆𝑦 
 
e) a força peso, resolvida na direção OY, isto é 
∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 𝜌 𝑔𝑦 
 
 
Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧, e 
tomando o limite quando as dimensões do VC se reduzem a zero se encontra 
 
𝜕 
𝜕𝑡
𝜌𝑉𝑦 = −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 𝑉𝑥 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 𝑉𝑦 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 𝑉𝑧 𝑉𝑦}
− {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
Note-se que o termo 
{
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 𝑉𝑥 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 𝑉𝑦 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 𝑉𝑧 𝑉𝑦} 
 
após diferenciação se resume a 
 
{
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 𝑉𝑥 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 𝑉𝑦 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 𝑉𝑧 𝑉𝑦}
= {𝜌 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
+ 𝑉𝑦 {
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 𝑉𝑧 } 
 
Enuanto que o termo em acumulção se escreve 
 
𝜕 
𝜕𝑡
𝜌𝑉𝑦 = 𝑉𝑦 
𝜕 
𝜕𝑡
𝜌 + 𝜌 
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 
 
Desta forma a equação do balanço de conservação de quantidade de movimento na 
direção OY, previamente deduzida, pode ser combinada com a equação da 
Continuidade, resultando em: 
 
𝑉𝑦 
𝜕 
𝜕𝑡
𝜌 + 𝜌 
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 − {𝜌 𝑉𝑥𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
− 𝑉𝑦 {
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 𝑉𝑧 } − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦}
+ 𝜌 𝑔𝑦 
21 
 
Isto é, 
𝜌 
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 = −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 − 𝜌 { 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦} 
− {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
Este procedimento pode ser repetido, para as outras direções e em outros sistemas de 
coordenadas. A Tabela 2-II apresenta um conjunto de equações de conservação de QM, 
válidas para o sistema triortogonal: (A), (B) e (C) representam a forma mais geral; (C), 
(D) e (E) o caso particular para o qual 𝜂 𝑒 𝜌 são constantes, isto é fluido Newtoniano e 
imcompressível; as três últimas são também conhecidas como equações de Navier-
Stokes. As fórmulas de cálculo do tensor de esforços, necessárias quando a forma geral 
precisa se empregada, estão expostas na tabela. As equações correspondentes aos 
sistemas cilindríco e esférico estão apresentados nas Tabelas 2-III e 2-IV, 
respectivamente. Finalmente a equação de continuidade nos três sistemas, na Tabela 2-
V. 
 
Figura 2-7: Orientação relativa de alguns dos componentes do tensor de esforços. 
 
Exemplo: Considere o fluxo de um fluido incompressível, Newtoniano, em regime permanente, 
laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como esquematizado na Figura 2-5. 
Considere fluxo completamente desenvolvido. 
 
A única equação relevante do Balanço de Conservação de QM é aquela referente ao eixo 
coordenadoOY; particularmente aquela para a qual se considera 𝜂 𝑒 𝜌 constantes. Então 
analisando termo a termo a equação E, Tabela 2-II (Navier Stokes): 
 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 é nulo; regime permanente; 
 
𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 é nulo; 𝑉𝑥 é nulo, fluxo é unidirecional; 𝑉𝑦 independe de x; 
22 
 
 
𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 é nulo; fluxo é completamemnte desenvolvido; 
 
𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦 é nulo; 𝑉𝑧 é nulo, fluxo unidirecional; 
 
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 , a se aproximar como 
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 = 
𝑃𝐿− 𝑃𝑜
𝐿−0
; 
 
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 é nulo; 𝑉𝑦 independe de x; 
 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 é nulo; fluxo completamente desenvolvido, 𝑉𝑦 não depende de y; 
 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦 contém a informação desejada, ao permitir determinar a variação de velocidade ao 
longo da altura da ranhura, de uma placa a outra. 
 
𝑔𝑦 = 𝑔 cos𝜑, onde 𝜑 = 90 é o ângulo entre a direção do vetor gravidade e a direção OU. 
 
Coletando os termos resulta a equação diferencial que descreve o fluxo: 
 
0 = 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
+ 𝜂 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦 
 
Exemplo: Considere o fluxo em regime laminar, permanente, de um fluido Newtoniano e 
incompressível, no interior da ranhura, tal como esquematizado na figura seguinte. Observe-se 
que a placa inferior é estática enquanto a placa superior se move à velocidade constante 𝑉𝑠. 
Assumindo vetor gravidade perpendicular à ranhura duas possíveis causas se destacam com 
causa do movimento: o arraste que a placa superior em movimento exerce sobre o fluido; a 
diferença de pressão entre entrada e saída da ranhura. É fácil notar que, para este sistema e 
para esta escolha de eixos coordenados, a equação diferencial que descreve o fluxo é a mesma 
do exemplo anterior : 
0 = 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
+ 𝜂 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦 
 
Esta equação deve ser integrada com as condiçoes de contorno: 
C. C. 1: 𝑧 = 0 ( placa inferior ); 𝑉𝑦 = 0, devido à condição de não deslizamento. 
C. C. 2: 𝑧 = 2𝛿 (placa superior ); 𝑉𝑦 = 𝑉𝑆 , devido à condição de não deslizamento. 
 
23 
 
 
Figura: Fluxo em ranhura definida por placa fixa e placa móvel. 
 
Deste modo o perfil de velocidades traçado na figura é apenas esquemático. Este perfil pode 
assumir uma das várias formas mostradas na figuraseguinte, a depender da influência relativa 
entre arraste e queda de pressão. Observe-se ainda que a função 𝑉𝑦(𝑧) não necessariamente 
apresenta um máximo matemático na posição 𝑧 = 2𝛿 . De fato em 𝑧 = 2𝛿 a força de 
interação entre fluido e superfície vale: 
𝑤𝐿 𝜏𝑧𝑦 = 𝑤𝐿 [−𝜂 
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
]
𝑧=2𝛿
 
 
isto é a força de arraste seria nula se houvesse um máximo matemático. 
 
Figura : Possíveis perfis de velocidade para o caso do fluxo em ranhura delimitada por placa 
móvel e placa estática. 
 
 
 
24 
 
Tabela 2-II: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema tri-
ortogonal. 
 
Em termos do tensor de esforços 
A) componente x: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑥 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑥} = −
𝜕 
𝜕𝑥
𝑃𝑥 − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑥} + 𝜌 𝑔𝑥 
 
B) componente y: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
C) componente z: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑧 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧} = −
𝜕 
𝜕𝑧
𝑃𝑧 − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑧 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑧 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑧} + 𝜌 𝑔𝑧 
 
Em termos dos gradientes de velocidade, para um fluido Newtoniano, de densidade e 
viscosidade constantes; Equações de Navier - Stokes 
D)componente x: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑥 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑥}
= −
𝜕 
𝜕𝑥
𝑃𝑥 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑥 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑥 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑥} + 𝜌 𝑔𝑥 
 
E)componente y: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
F)componente z: 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑧 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧}
= −
𝜕 
𝜕𝑧
𝑃𝑧 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑧 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑧 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑧} + 𝜌 𝑔𝑧 
 
Expressões para cálculo dos tensores: 
𝜏𝑥𝑥 = −2𝜂 
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑥 +
2
3
 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑧) 𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑥𝑦 = − 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑦) 
𝜏𝑦𝑦 = −2𝜂 
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑦 +
2
3
 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑧) 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = − 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑧 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑦) 
𝜏𝑧𝑧 = −2𝜂 
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑧 +
2
3
 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝑉𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑧) 𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧 = − 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑧
𝑉𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑥
𝑉𝑧) 
Tabela 2-III: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema 
cilíndrico. 
. 
Em termos do tensor de esforços: 
A) componente r: 
25 
 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝑟 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑟 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝑟 − 
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑟)
= − (
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟 𝜏𝑟𝑟 + 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝜏𝜃𝑟 −
𝜏𝜃𝜃
𝑟
+ 
𝜕
𝜕𝑧
 𝜏𝑧𝑟) − 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝑟 
B)componente 𝜃: 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝜃 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝜃 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝜃 + 
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝜃)
= −(
1
𝑟2
 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟2 𝜏𝑟𝜃 + 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝜏𝜃𝜃 + 
𝜕
𝜕𝑧
 𝜏𝑧𝜃) − 
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝜃 
C)componente z: 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝑧 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑧 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝑧 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧)
= − (
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟 𝜏𝑟𝑧 + 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝜏𝜃𝑧 + 
𝜕
𝜕𝑧
 𝜏𝑧𝑧) − 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝑧 
Em termos dos gradientes de velocidade, para um fluido Newtoniano, de densidade e 
viscosidade constantes; Equações de Navier - Stokes 
D) componente r 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝑟 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑟 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝑟 − 
𝑉𝜃
2
𝑟
+ 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑟)
= 𝜂 ( 
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟 𝑉𝑟) + 
1
𝑟2
 
𝜕2
𝜕𝜃2
 𝑉𝑟 −
2
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝜃 + 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑟) − 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝑟 
E) componente θ: 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝜃 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝜃 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝜃 + 
𝑉𝜃 𝑉𝑟
𝑟
+ 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝜃)
= 𝜂 (
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟 𝑉𝜃) + 
1
𝑟2
 
𝜕2
𝜕𝜃2
 𝑉𝜃 +
2
𝑟2
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝑟 + 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝜃) −
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝜃 
F)componente z: 
𝜌 (
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝑧 + 𝑉𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑧 + 
𝑉𝜃
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
𝑉𝑧 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧)
= 𝜂 (
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
𝑉𝑧) + 
1
𝑟2
 
𝜕2
𝜕𝜃2
 𝑉𝑧 + 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑧) − 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑃 + 𝜌 𝑔𝑧 
Expressões para cálculo dos tensores: 
𝜏𝑟𝑟 = −𝜂 [2 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑟 −
2
3
(∇ ∙ 𝑉)] 𝜏𝑟𝑧 = 𝜏𝑧𝑟 = −𝜂 [
𝜕
𝜕𝑟
 𝑉𝑧 + 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑟] 
26 
 
𝜏𝜃𝜃 = −𝜂 [2 (
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝜃 +
𝑉𝑟
𝑟
) −
2
3
(∇ ∙ 𝑉)] 𝜏𝑧𝜃 = 𝜏𝜃𝑧 = −𝜂 [
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝜃 +
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝑧] 
𝜏𝑧𝑧 = −𝜂 [2 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧 −
2
3
(∇ ∙ 𝑉)] 𝜏𝑟𝜃 = 𝜏𝜃𝑟 = −𝜂 [𝑟 
𝜕
𝜕𝑟
 
𝑉𝜃
𝑟
+
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝑟] 
(∇ ∙ 𝑉) = 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟 𝑉𝑟 + 
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝜃
 𝑉𝜃 + 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧 
Tabela 2-IV: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema esférico. 
 
Em termos do tensor de esforços 
A)componente r 
g + 
r
P
 - 
r
 + 
 - 
 senr
1
 + )sen( 
 senr
1
 +) r( 
r
 
r
1
 -
 
= 
V
 
 senr
V
 + 
r
V + V
 - 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
r
r
rrr
2
2
r
22
rr
r
r











































 
B)componente θ: 
g + 
P
 
r
1
 - 
r
 
 - 
r
 + 
 senr
1
 + ) sen( 
 senr
1
 +) r( 
r
 
r
1
 -
 
= 
r
V V
 + 
V
 
 senr
V
 + 
r
 V
 - 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
r
r
2
2
r
2
r










































cot
cot
 
C)componente φ 
g + 
P
 
 senr
1
 - 
r
 2
 + 
r
 + 
 senr
1
 + 
r
1
 + ) r(
r
 
r
1
 - 
 
= 
r
V V
 + 
r
V V
 + 
V
 
 senr
V
 + 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
r
r
2
2
r
r








































cot
cot
: 
Em termos dos gradientes de velocidade, para um fluido Newtoniano, de densidade e 
viscosidade constantes; Equações de Navier – Stokes 
 
D)componente r: 
27 
 
g + 
r
P
 - 
V
 senr
2
 - V 
r
2
 - 
V
 
r
2
 - V 
r
2
 - V -
 
= 
V
 
 senr
V
 + 
r
V + V
 - 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
r222r2r
2
r
22
rr
r
r








































cot
 
E)componente θ: 
g + 
P
 
r
1
 - 
V
 sen
 
 
r
2
 - 
 sen r
V
 - 
V
 
r
2
 + V -
 
= 
r
V V
 + 
V
 
 senr
V
 + 
r
 V
 - 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
2222
r
2
2
r
2
r










































cos
cot
 
F)componente φ: 
g + 
P
 
 senr
1
 - 
V
 
 sen
 
 
r
2
 + 
V
 senr
2
 + 
 sen r
V
 - V - 
 
= 
r
V V
 + 
r
V V
 + 
V
 
 senr
V
 + 
V
 
r
V
 + 
r
V
 V + 
t
V
 
22
r
222
2
r
r







































cos
cot
 
Sendo 






























  2
2
222
2
2
 
 sen r
1
 + sen
 senr
1
 + 
r
 r 
r
 
r
1
 = 2
 
Expressões para cálculo dos tensores 









V)( 
3
2
 - 
r
V
 2 - = rrr 
 















V)( 
3
2
 - 
r
VV
r
1
 2 - = r


 














V)( 
3
2
 - 
r
 V
 + 
r
V
 + 
V
 senr
1
 2 - = r



cot
 



















V
 
r
1
 + 
r
V
 
r
 r - = = rrr
 
28 
 
















r
V
r
 r + 
V
 
 senr
1
 - = = rrr

 
 

















  V
 senr
1
 + 
 sen
V
 
r
 sen
 - = = 
 
Sendo 
  






v
 senr
1
 + ) senv( 
 rsen
1
 + )v r(
rr
1
 = V)( r
2
2
 
 
Tabela 2-V: Equações de continuidade nos vários sistemas de coordenadas. 
 
Tri-ortogonal 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 + 
𝜕 
𝜕𝑥
 𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝜌 𝑉𝑦 +
𝜕 
𝜕𝑧
 𝜌 𝑉𝑧 = 0 
 
Cilíndrico 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 + 
1
𝑟
𝜕 
𝜕𝑟
 𝜌 𝑟 𝑉𝑟 + 
1
𝑟
𝜕 
𝜕𝜃
 𝜌 𝑉𝜃 +
𝜕 
𝜕𝑧
 𝜌 𝑉𝑧 = 0 
 
Esférico 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 + 
1
𝑟2
𝜕 
𝜕𝑟
( 𝜌 𝑟2 𝑉𝑟) + 
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝜕 
𝜕𝜃
 (𝜌 𝑉𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃) +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝜕 
𝜕𝜑
 𝜌 𝑉𝜑 = 0 
 
Exemplo: Considere o fluxo laminar, em regime permanente, unidirecional, de uma camada de 
escória( de viscosidade e massa específica constantes), em uma rampa inclinada, sob efeito 
apenas do campo gravitacional, ver figura seguinte. Encontre a equação que fornece o perfil de 
velocidades e estime a vazão. 
 
 
De forma a realisticamente analisar uma região do fluido onde o fluxo é unidirecional é 
necessário isolar uma porção afastada das extremidades de saída e entrada da rampa, por 
exemplo a região identificadacom o comprimento L. A escolha apresentada de sistema de 
29 
 
coordenadas triortogonal, com plano coordenado OXY coincidente com a interface escória-
atmosfera e direção de fluxo coincidente com a direção do eixo 𝑂𝑌 permite algumas 
simplificações: 
𝑉𝑧 = 0 
𝑉𝑥 = 0 
 
Esta condição associada àquela de fluido com viscosidade e densidade constantes permite 
inferir que o fluxo é completamente desenvolvido 
− 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 
𝜕 
𝜕𝑥
 𝜌 𝑉𝑥 + 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝜌 𝑉𝑦 +
𝜕 
𝜕𝑧
 𝜌 𝑉𝑧 
 
𝜕 
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 = 0 
Daí a componente 𝑂𝑌 de velocidade se torna função apenas de z. Por outro lado análise termo 
a termo da equação de conservação de quantidade de movimento, componente 𝑂𝑌, 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
Permite identificar a 𝐸𝐷𝑂 que descreve o fluxo 
0 = 𝜂 
𝑑2
𝑑𝑧2
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
 
Esta equação pode ser integrada com as condições de contorno seguintes. Na interface com a 
fase gasosa o atrito é desprezível, o que faz com que, neste ponto a velocidade seja máxima 
(CC1): 
𝑧 = 0 ; 
𝑑 𝑉𝑌
𝑑𝑧
= 0 
Esta condição precisa ser verificada a posteriori. Se para um dado conjunto de dados a 
velocidade superficial resultar de alto valor com certeza o atrito não será negligenciável e os 
cálculos precisarão ser refeitos. Na interface com a rampa a velocidade da escória é nula 
(CC2), como resultado da aplicação da condição de não deslizamento: 
 
𝑧 = 𝛿 ; 𝑉𝑦 = 0 
Portanto 
 
𝑑2
𝑑𝑧2
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 𝑧 + 𝐶1 
 
O valor desta constante de integração é nulo, em função da primeira condição de contorno. 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 𝑧 
𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂
 𝑧2 + 𝐶2 
 
E de acordo com a segunda condição de contorno 
𝐶2 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂
 𝛿2 
 
Portanto o perfil de velocidades é dado por 
30 
 
𝑉𝑦 = 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂
 (𝛿2 − 𝑧2) 
 
Agora considerando que a largura da lâmina de escória é 𝑤 , a força de cisalhamento em um 
plano paralelo ao plano coordenado 𝑂𝑋𝑌 é 
𝐹 = 𝑤𝐿 𝜏𝑧𝑦 = 𝑤𝐿 {−𝜂
𝑑 𝑉𝑦
𝑑𝑧
} = 𝑤𝐿 {− 𝜂 (− 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 𝑧)} 
 
𝐹 = 𝑤𝐿 𝑧 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
Particularmente na interface com a rampa , 𝑧 = 𝛿, o esforço de cisalhamento vale 
 
𝐹 = (𝑤𝐿 𝛿) 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
 
É facil notar que este esforço é exatamente a componente do peso da camada de escória na 
direção de movimento, 𝑂𝑌 . Isto é, força motriz de movimentoe força de reação imposta pelo 
atrito contra a rampa se anulam, como condição de regime permanente. 
 
Finalmente, a vazão de escória se calcula considerando uma seção de fluxo infinitesimal, de 
área 𝑤. 𝑑𝑧, localizada na posição z , isto é 
𝑑𝑄 = 𝑉𝑦 𝑤 𝑑𝑧 
 
𝑄 = 
𝑤 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂
 ∫ (𝛿2 − 𝑧2)𝑑𝑧
𝑧= 𝛿
𝑧= 0
 
 
 
Exemplo: Os valores de viscosidade de uma escória de composição 40% 𝐶𝑎𝑂, 40 % 𝑆𝑖𝑂2, 8% 
𝑀𝑔𝑂, 12 % 𝐴𝑙2𝑂3 correspondem a 2,1 𝑃 (1600 
o
C) e 3,6 𝑃 (1500 oC). Encontre uma expressão 
numérica que retrate a dependência entre viscosidade e temperatura. Considere que tal escória 
flui sobre um plano inclinado a 15 graus da horizontal, sob ação da gravidade e perfazendo 
uma camada de 1,2 m de largura e 0,04 m de altura. Perdas térmicas por radiação ao meio 
ambiente implicam que no interior da camada de escória se desenvolva um gradiente de 
temperatura linear (1530 a 1580 
o
C). Encontre a expressão relativa ao perfil de velocidade na 
camada de escória, assumindo como massa específica o valor 3000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ . 
 
A dependência entre viscosidade e temperatura é comumente retrata pela equação de Arrhenius 
𝜂 = 𝜂𝑜 𝑒 Δ𝐸 𝑅𝑇⁄ 
 
A energia de ativação pode ser obtida pela comparação de valores de viscosidade em duas 
temperaturas diferentes, 
 
𝜂2
𝜂1
= 𝑒 
𝛥𝐸
𝑅 [
1
𝑇2− 
1
𝑇1] 
 
3,6
2,1
= 𝑒 
𝛥𝐸
8,314 [
1
1773− 
1
1873] 
 
𝛥𝐸 = 148814 𝐽 𝑚𝑜𝑙⁄ 
 
Desta forma o valor do fator pre-exponencial pode ser avaliado 
𝜂 = 𝜂𝑜 𝑒 𝛥𝐸 𝑅𝑇⁄ 
 
0,21 (𝑃𝑎. 𝑠) = 𝜂𝑜 𝑒 148814 8,314 𝑥 1873⁄ 
31 
 
𝜂𝑜 = 1,485 𝑥 10−5 𝑃𝑎. 𝑠 
 
O perfil de velocidades pode ser obtido ao se fazer as mesmas considerações do exemplo 
anterior, exceto de constância de viscosidade; de fato a temperatura varia dentro da camada de 
escória líquida de forma linear, isto é 
𝑇 = 𝑇𝑜 −
𝑧
𝛿
 [𝑇𝑜 − 𝑇𝛿] = 1773 + 
𝑧
0,04
 𝑥 100 
 
A equação pertinente é 
𝜌 
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 = −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 − 𝜌 { 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦} − {
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑦𝑦 + 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
Que se simplifica, como antes, em 
0 = − 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦 + 𝜌 𝑔𝑦 
 
0 = − 
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑧𝑦 + 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
 
Integrada com a condição de contorno que estabelece atrito desprezível na interface escória – 
atmosfera, isto é 𝜏𝑧𝑦 = 0 em 𝑧 = 0 , vem 
𝜏𝑧𝑦 = (𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑) 𝑧 
Implica, como 
𝜏𝑧𝑦 = − 𝜂 
𝑑𝑉𝑦
𝑑𝑧
 
em 
𝑑𝑉𝑦
𝑑𝑧
= − (
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
) 𝑧 
O que requer, neste caso, uma solução numérica, considerando a condição de contorno que 
estabelece que na interface com a rampa a velocidade é nula, 𝑉𝑦 = 0, em 𝑧 = 𝛿. 
 
A tabela e a figura seguintes apresentam alguns dados desta integração 
 
Figura: resultados da integração numérica. 
32 
 
 
Tabela: valores parciais para a integração numérica 
𝑧(𝑚) 𝑇(𝐾) 𝜂 (𝑃𝑎. 𝑠) 𝜏𝑧𝑦 𝑑𝑉𝑦 𝑑𝑧⁄ 𝑉(𝑚 𝑠⁄ ) 
0,04 1773 0,36 0,00 0,00 0,00 
0,035 1785,5 0,34 38,09 -113,60 0,11 
0,03 1798 0,31 76,17 -243,60 0,24 
0,025 1810,5 0,29 114,26 -391,40 0,39 
0,02 1823 0,27 152,34 -558,47 0,56 
0,015 1835,5 0,26 190,43 -746,36 0,75 
0,01 1848 0,24 228,51 -956,70 0,96 
0,005 1860,5 0,22 266,60 -1191,20 1,19 
0 1873 0,21 304,68 -1451,65 1,45 
 
 
Exemplo: A figura seguinte apresenta um esquema do molde de lingotamento contínuo. Utiliza-
se uma escória líquida provinda da fusão de um pó, denominado pó fluxante e composto de 
vários minerais em proporções definidas, para garantir a lubrificação entre a casca de aço 
solidificado e a parede oscilante do molde. Outra função do pó (ou da escória formada a partir 
do mesmo) é a de servir como meio de trocas térmicas pois a casca deve exibir espessura pré-
determinada na saída do molde, de modo a resistir à pressão ferrostática. Na literatura podem 
ser encontrados vários critérios operacionais relacionados ao consumo específico de pó 
fluxante mas, em geral, deve-se assegurar um consumo mínimo para se manter a estabilidade 
da operação. 
 
Calcule o consumo teórico de pó fluxante, considerando que o perfil de velocidades no gap seja 
determinado pela ação da gravidade, pelo arraste proporcionado pela pele. Considere: 𝑉 =
 1,5 𝑚 𝑚𝑖𝑛⁄ ; 𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 3000 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ ; 𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 0,3 Pa.s; 𝛿 = 0,2 mm. 
 
 
 
Figura: Corte longitudinal em molde de lingotamento contínu; perfil esquemático de velocidade 
no gap. 
33 
 
 
De acordo com este esquema e com esta escolha de disposição de eixos coordenados se pode 
escrever que 
𝑉𝑥 = 0 
𝑉𝑦 = 0 
Adicionalmente se for considerado regime permanente, fluxo unidirecional e fluido 
incompressível(isto é fluxo completamente desenvolvido) se conclui que a velocidade no gap 
depende apenas dadistância coordenada Y. 
 
𝑉𝑧 = 𝑓(𝑦) 
 
É fácil mostrar que, sob estas condições, a equação diferencial referente à conservação de 
quantidade de movimento na direção 𝑂𝑍 
 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑧 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑧 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑧}
= −
𝜕 
𝜕𝑧
𝑃𝑧 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑧 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑧 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑧} + 𝜌 𝑔𝑧 
se resume a 
0 = 𝜂
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑧 + 𝜌 𝑔 
 
Após integração se tem 
𝑑2
𝑑𝑦2
 𝑉𝑧 = − 
𝜌 𝑔
𝜂
 
𝑑
𝑑𝑦
 𝑉𝑧 = − 
𝜌 𝑔
𝜂
 𝑦 + 𝐶1 
𝑉𝑧 = − 
𝜌 𝑔
2𝜂
 𝑦2 + 𝑦 𝐶1 + 𝐶2 
 
E considerando as condições de contorno CC1 : molde estacionário, 𝑦 = 0 ; 𝑉𝑧 = 0 
e CC2 : 𝑦 = 𝛿 ; 𝑉𝑧 = 𝑉𝑐 , resulta em 
𝐶2 = 0 
𝐶1 = [𝑉𝑐 + 
𝜌 𝑔
2𝜂
 𝛿2] 𝛿⁄ 
𝑉𝑧 = − 
𝜌 𝑔
2𝜂
 𝑦2 + [
𝑉𝑐
𝛿
+ 
𝜌 𝑔
2𝜂
𝛿] 𝑦 
 
A vazão de escória no gap pode ser encontrada considerando-se uma seção de fluxo 
infinitesimal, de largura L(L pode ser a largura da placa, L pode ser a espessura da placa), por 
exemplo 
𝑄 = ∫(𝐿 𝑑𝑦) 𝑉𝑧
𝛿
0
 
𝑀 (𝑘𝑔 𝑠) = ⁄ 𝑄(𝑚3 𝑠⁄ )𝜌(𝑘𝑔 𝑚3⁄ ) = 𝜌∫(𝐿 𝑑𝑦) 𝑉𝑧
𝛿
0
 
𝑀 (𝑘𝑔 𝑠) = ⁄ 𝜌∫(𝐿 𝑑𝑦) {− 
𝜌 𝑔
2𝜂
 𝑦2 + [
𝑉𝑐
𝛿
+ 
𝜌 𝑔
2𝜂
𝛿] 𝑦}
𝛿
0
 
34 
 
𝑀 = 𝜌 𝐿∫ {− 
𝜌 𝑔
2𝜂
 𝑦2 + [
𝑉𝑐
𝛿
+ 
𝜌 𝑔
2𝜂
𝛿] 𝑦}
𝛿
0
 𝑑𝑦 
 
𝑀 = 𝜌 𝐿 {− 
𝜌 𝑔
6𝜂
 𝛿3 + [
𝑉𝑐
𝛿
+ 
𝜌 𝑔
2 𝜂 
 𝛿]
𝛿2
2
} 
𝑀 = 𝜌 𝐿 { 
𝜌 𝑔
12 𝜂
 𝛿3 + 
𝛿𝑉𝑐
2
} 
 
 
A este consumo de escória corresponde uma área superficial gerada igual a 𝐿 𝑉𝑐, e portanto o 
consumo específico por unidade de área superficial de metal poder ser calculado como 
 
 
𝑄𝑠 = 
𝑀 (𝑘𝑔 𝑠)⁄
𝐿 𝑉𝑐 (𝑚2 𝑠⁄ )
= 𝜌 { 
𝜌 𝑔
12 𝜂 𝑉𝑐
 𝛿3 +
𝛿
2
} 𝑘𝑔 𝑚2⁄ 
 
Para os dados citados, 𝑉𝑐 = 0,025𝑚 𝑠⁄ ; 𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 3000 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ ; 𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 0,3 Pa.s; 𝛿 = 
2 𝑥 10 −4 𝑚, se tem que 
𝑄𝑠 = 3000 { 
3000 𝑥 9,81
12 𝑥 0,3 𝑥 0,025
( 2 𝑥 10−4)3 + 
 2 𝑥 10−4
2
} 
𝑄𝑠 = 3000 { 2,616 𝑥 10
−6 + 10−4} = 0,308 𝑘𝑔 𝑚2⁄ 
 
Nota-se que, na pratica a expressão de cálculo se resume a 
𝑄𝑠 = 𝜌 
𝛿
2
 
 
Para uma placa de dimensões w= 2,0m ; t =0,2m,ver figura seguinte, se calcula razão entre 
área superficial e volume de lingotado como 𝑅 = 2(𝑤 + 𝑡) 𝑤𝑡⁄ =11, se deve encontrar 𝑄𝑠 = 
0,33𝑘𝑔 𝑚2⁄ . 
 
 
 
Figura: consumo específico de pó fluxante (w é a largura do molde; t a espessura do molde); R 
ée a area superficial por unidade de volume (Mills et al; ISIJ International,vol43(2003), no 10, 
1479-1486) 
35 
 
 
 
Uma outra maneira de se relatar o consumo é especificando a quantidade do mesmo por 
tonelada de lingotado produzido. Neste caso 
 
𝑄 = 
𝑀 (𝑘𝑔 𝑠⁄ )
𝑤𝑡 (𝑚2)𝑉𝑐 (𝑚 𝑠⁄ )𝜌𝑎ç𝑜(𝑘𝑔 𝑚3)⁄
= 
𝜌 2(𝑤 + 𝑡) 
𝑤𝑡 𝑉𝑐 𝜌𝑎ç𝑜
{ 
𝜌 𝑔
12 𝜂
 𝛿3 + 
𝛿𝑉𝑐
2
} 
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜
 
 
𝑄 = 
3000 𝑥 2(2 + 0,2) 
2 𝑥 0,2 𝑥 0,025 𝑥 7000
{ 
3000 𝑥 9,81 
12 𝑥 0,3
(2 𝑥 10−4)3 + 
2 𝑥 10−4 𝑥 0,025
2
} 
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜
 
𝑄 = 188,57{6,54 𝑥 10−8 + 2,5 𝑥 10−6} = 4,838 𝑥 10−4 
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜
 
Novamente o termo de arraste é dominante, o que permite estimar o consumo como 
𝑄 = 
𝜌 (𝑤 + 𝑡)𝛿
𝑤𝑡 𝜌𝑎ç𝑜
 (
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜
) 
 
Exercício: Admite-se que, no interior do gap entre placa e molde de lingotamento contínuo o 
perfil de velocidades seja linear. Estime o consumo específico de pó fluxante. 
 
Se o perfil de velocidades é linear então, para 0 ≤ 𝑉𝑧 ≤ 𝑉𝑐, a velocidade média no gap será 
igual a 𝑉𝑐 2⁄ . Desta forma a vazão pelo gap é dada por 
 
𝑀 (𝑘𝑔 𝑠)⁄ = 𝜌 (𝐿𝛿)
𝑉𝑐
2
 
 
E, se no mesmo intervalo de tempo a área superficial gerada no lingotamento é 𝐿 𝑉𝑐 (𝑚
2 𝑠⁄ ) 
então o consumo específico é 
𝑄𝑠 = 
𝑀 
𝐿 𝑉𝑐 
= 
𝜌 𝐿𝛿 
𝑉𝑐
2
𝐿 𝑉𝑐
= 
𝜌 𝛿
2
 
 
Exemplo: Beam blank (ou dog bone) é uma das pré-formas utilizadas em lingotamento 
contínuo de aços. As vantagens de se lingotar numa forma próxima da final, near net shape 
(beam blank é uma pré-forma próxima da aparência e dimensões de trilhos ou vigas 
estruturais) incluem menor custo de capital (menores necessidades de laminadores ou de 
estação de soldagem, de fornos de reaquecimento) e de energia, mão de obra reduzida, menor 
comprometimento ambiental. 
 
A figura mostra um corte transversal de um beam blank e do molde empregado. A espessura do 
gap, ocupado pela escória gerada pela fusão do pó fluxante é, em geral, pequena comparada 
com as dimensões médias do produto (largura e espessura). Assuma que a razão de aspecto 
seja favorável (𝛿 (𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑝) ≪ 𝐿1 ~𝐿2) e que o fluxo possa ser considerado como 
fluxo de um fluido entre duas paredes planas e paralelas, definindo uma ranhura de espessura 
𝛿 (~0,2𝑚𝑚). 
36 
 
 
Assuma que o perfil de velocidade no gap seja linear, esquematize o mesmo deixando claras as 
condições de contorno que aplicam sobre a superfície do beam blank e do molde. Determine a 
velocidade média da escória que flui no gap, quando a velocidade de lingotamento é igual a 
𝑉𝐶 (correspondente a 0,8 m/min). Encontre a vazão em massa de escória pelo gap, assumindo 
que o perímetro do beam blank é dado por p e que a densidade da escória é dada por 𝜌 (cerca 
de 3000 kg/m
3
). Estime o consumo de pó fluxante, por área superficial de material lingotado. 
 
Dadas as condições propostas, independente da forma do lingotado, sendo a força motriz de 
arraste pela pele do lingotado muito mais significativa que a contribuição de gravidade (o que 
justifica o perfil linear), o consumo é dado por 
𝑄𝑠 = 
𝜌 𝛿
2
= 
3000 𝑥 2 𝑥 104
2
= 0,3 
𝑘𝑔
𝑚2
 
 
 
Exemplo: Escória e aço fluem, em camadas superpostas, em uma rampa inclinada, tal como 
indicado na figura. Os fluidos podem ser considerados Newtonianos e incompressíveis; o fluxo, 
laminar e em regime permanente. Encontre as equações diferenciais que descrevem os fluxos. 
Estabeleça as condições de contorno. Encontre a equação do perfil de velocidades na camada 
de escória e de aço. Considere 𝜑 = 5𝑜 , 𝜀 = 0,10 𝑚 ; 𝛿 = 0,03𝑚 
 
 
Figura: Aço e escória escorrem em camadas sobrepostas. 
 
Tal como esquematizado se escolhe um sistema triortogonal de referência, tal que o plano 𝑂𝑋𝑌 
coincide com a interface entre os líquidos escória e aço; a direção 𝑂𝑌 coincide com a direção 
do fluxo. Desta forma se tem, para qualquer dos fluidos 
𝑉𝑥 = 0 
37 
 
𝑉𝑧 = 0 
 
Além do mais os domínios de fluxo são definidos tais que, para a aço 
− 𝜀 ≤ 𝑧 ≤ 0 
enquanto que, para a escória 
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝛿 
 
A equação diferencial que descreve o fluxo, em cada camada, pode ser encontrada a partir da 
simplificação da componente 𝑂𝑌 da equação de conservação de quantidade de movimento 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
 
Sendo gravidade a força motriz e considerando as condições propostas 
0 = 𝜂 
𝑑2
𝑑𝑧2
 𝑉𝑦 + 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
Que integrada resulta em 
 
𝑑2
𝑑𝑧2
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂
 𝑧 + 𝐶1 
 
 𝑉𝑦 = − 
𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1 + 𝐶2 
Estaexpressão tem que ser considerada para cada camada e para as respectivas condições de 
contorno. De forma que, para a camada de aço, 
 
− 𝜀 ≤ 𝑧 ≤ 0 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦
𝑎ç𝑜
= − 
𝜌𝑎ç𝑜 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑎ç𝑜
 𝑧 + 𝐶1
𝑎ç𝑜
 
 
𝑉𝑦
𝑎ç𝑜
= − 
𝜌𝑎ç𝑜 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂𝑎ç𝑜
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑎ç𝑜
 + 𝐶2
𝑎ç𝑜
 
 
A condição de não deslizamento permite identificar uma condição de contorno válida para a 
camada de aço: para 𝑧 = −𝜀 ; 𝑉𝑦
𝑎ç𝑜
= 0. 
 
0 = − 
𝜌𝑎ç𝑜 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂𝑎ç𝑜
 𝜀2 − 𝜀 𝐶1
𝑎ç𝑜
 + 𝐶2
𝑎ç𝑜
 
0 = − 4274,99 − 0,1 𝐶1
𝑎ç𝑜
 + 𝐶2
𝑎ç𝑜
 
 
Para a camada de escória, 
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝛿 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = − 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝑧 + 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 
 
𝑉𝑦
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = − 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 + 𝐶2
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 
 
38 
 
Pode ser assumido que o atrito entre a camada de escória e a atmosfera é desprezível; nesta 
interface a velocidade é máxima. Portanto, para 𝑧 = 𝛿 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = − 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝑧 + 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 0 
 
𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝛿 
 
𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 641,25 
 
Duas outras condições de contorno se aplicam na interface entre a camada de aço e de escória, 
para 𝑧 = 0. A velocidade de aço e escória precisam ser iguais(não deslizamento) 
𝑉]𝑧=0 = − 
𝜌𝑎ç𝑜 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂𝑎ç𝑜
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑎ç𝑜
 + 𝐶2
𝑎ç𝑜
= − 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
2𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 + 𝐶2
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 
 O que implica em 
𝐶2
𝑎ç𝑜
= 𝐶2
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 
 
Finalmente a tensão de cisalhamento na interface precisa ter valor único, seja medida do lado 
da escória seja medida do lado do aço, para 𝑧 = 0 
 
𝜏𝑧𝑦 = − 𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 [− 
𝜌𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎
 𝑧 + 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎] = − 𝜂𝑎ç𝑜 [− 
𝜌𝑎ç𝑜 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜂𝑎ç𝑜
 𝑧 + 𝐶1
𝑎ç𝑜
] 
 
 𝜂𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 𝜂𝑎ç𝑜 𝐶1
𝑎ç𝑜
 
17,14 𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 𝐶1
𝑎ç𝑜
 
 
Portanto os valores das constantes de integração podem ser facilmente encontrados 
𝐶1
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 641,25 ; 𝐶1
𝑎ç𝑜
= 10992,86 ; 𝐶2
𝑎ç𝑜
= 5374,28 ; 𝐶2
𝑒𝑠𝑐ó𝑟𝑖𝑎 = 5374,28 
 
Exemplo: Três placas paralelas são separadas por dois fluidos, como mostrado na figura. Qual 
deve ser o valor de Y2, para que placa central permaneça estacionária? Esquematize o perfil de 
velocidades e especifique com clareza as condições de contorno. 
 
 
Figura: Dois fluidos se movimentam em direção oposta, separados por uma divisória. 
 
Admite-se que as placas sejam horizontais e que a força motriz para o movimento dos fluidos 
seja o arraste propiciado pelas placas em movimento. O sistema de coordenadas foi escolhido 
de forma a coincidir a placa central com o plano 𝑂𝑋𝑍 . Considera-se também fluxo laminar, 
39 
 
em regime permanente e unidirecional; portanto fluxo completamente desenvolvido. Assim a 
componente 𝑂𝑋 da equação de Navier Stokes 
 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑥 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑥 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑥}
= −
𝜕 
𝜕𝑥
𝑃𝑥 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑥 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑥 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑥} + 𝜌 𝑔𝑥 
fica 
0 = 𝜂 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑥 
O que implica em 
𝑑
𝑑𝑦
 𝑉𝑥 = 𝐶1 
𝑉𝑥 = 𝑦 𝐶1 + 𝐶2 
 
Esta equação deve ser aplicada a ambas as camadas de líquido, ressaltando que, como 
condição de contorno imposta se deve ter, em 𝑦 = 0 , 𝑉𝑥 = 0, isto é 𝐶2 = 0. 
Portanto 
𝑉𝑥 = 𝑦 𝐶1 
 
E, para o liquido superior (fluido B) a condição de contorno 𝑦 = 𝑦2, 𝑉𝑥 = −1 𝑚 𝑠⁄ , implica 
em 
𝑉𝑥 = − 
𝑦
𝑦2
 
 
De forma semelhante para o líquido inferior (fluido A) a condição de contorno 𝑦 = 𝑦1 =
 −0,05𝑚, 𝑉𝑥 = 2 𝑚 𝑠⁄ resulta em 
𝑉𝑥 = − 
2 𝑦
0,05
 
Como a tensão de cisalhamento medida na placa central deve ser a mesma, medida no fluido 
superior ou no fluido inferior, em 𝑦 = 0 
𝜏𝑥𝑦 = − 𝜂
𝐵 
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
]
𝐵
= − 𝜂𝐴 
𝑑𝑉𝑥
𝑑𝑦
]
𝐴
 
𝜏𝑥𝑦 = − 𝜂
𝐵 
−1
𝑦2
= − 𝜂𝐴 
−2
0,05
 
0,8 
1
𝑦2
= 1 
2
0,05
 
𝑦2 = 0,02 𝑚 
 
Exercício: A figura a seguir apresenta um esquema de um precipitador eletrostático de poeira. 
Consiste de duas placas horizontais eletricamente carregadas e colocadas a uma distancia 𝐻. 
Entre elas, o campo elétrico é igual a 𝐸. Considere um gás contendo partículas de massa 𝑚 e 
carga 𝑒 fluindo no espaço entre as placas, de tal sorte que 𝑚 𝑎 = 𝐸 𝑞. Qual a equação da 
trajetória na direção 𝑂𝑍? Se a pressão de entrada for igual a 𝑃𝑜 e a pressão de saída 𝑃𝑇, e 
sendo Δ𝑃 a força motriz para o fluxo do gás, qual a equação do perfil de velocidade do mesmo? 
Assuma que a partícula se mova na direção horizontal com a mesma velocidade do gás e, na 
direção vertical tal como ditado pelo campo elétrico: qual a distância horizontal percorrida, 
quando a partícula estiver no plano central entre as placas? 
40 
 
 
 
Figura: Esquema de um precipitador elestrotático. 
 
Exemplo: Dois fluidos imiscíveis, a e b, estão fluindo no interior de uma ranhura, tal como 
esquematizado na figura. Encontre a equação do perfil de velocidade em cada camada de 
fluido. 
 
Figura: Dois fluidos imiscíveis fluindo em uma ranhura. 
 
A figura mostra um possível perfil de velocidade; o qual não é simétrico em relação ao plano 
central, em função das diferentes características dos fluidos. Mostra também o sistema 
referencial adotado, triortogonal com plano central coincidente com plano coordenado 𝑂𝑌𝑋. 
Admite-se que o fluxo seja laminar, em regime permanente, unidirecional. Como a densidade é 
constante e 𝑉𝑧 = 0 , 𝑉𝑥 = 0 a equação de Continuidade fornece a restrição matemática que 
confirma que o fluxo é completamente desenvolvido. Daí a equação de conservação de 
quantidade de movimento, componente 𝑂𝑌 
 
𝜌 {
𝜕 
𝜕𝑡
𝑉𝑦 + 𝑉𝑥
𝜕
𝜕𝑥
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑦
𝜕
𝜕𝑦
 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 
𝜕
𝜕𝑧
 𝑉𝑦}
= −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 {
𝜕2
𝜕𝑥2
 𝑉𝑦 + 
𝜕2
𝜕𝑦2
 𝑉𝑦 +
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦} + 𝜌 𝑔𝑦 
Se resume a 
0 = −
𝜕 
𝜕𝑦
𝑃𝑦 + 𝜂 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦 
 
0 = 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝐿
+ 𝜂 
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑉𝑦 
Esta equação pode ser integrada 
𝑑2
𝑑𝑧2
 𝑉𝑦 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝜂𝐿
 
 
41 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦 = −
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝜂𝐿
 𝑧 + 𝐶1 
 
 𝑉𝑦 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝜂𝐿
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1 + 𝐶2 
 
Esta equação se aplica a ambos os fluidos, mas com valores específicos de propriedades e de 
constantes de integração. 
 
Para a camada superior, fluido 𝑎, 
 
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑑 2⁄ 
 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦
𝑎 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝜂𝑎 𝐿
 𝑧 + 𝐶1
𝑎 
 
𝑉𝑦
𝑎 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝜂𝑎𝐿
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑎 + 𝐶2
𝑎 
 
A condição de não deslizamento permite identificar uma condição de contorno válida para a 
camada de fluido superior: para 𝑧 = 𝑑/2 ; 𝑉𝑦
𝑎 = 0. 
0 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
8𝜂𝑎𝐿
 𝑑2 +
𝑑
2
 𝐶1
𝑎 + 𝐶2
𝑎 
 
Por outro lado, para a camada inferior, fluido b, 
−𝑑 2⁄ ≤ 𝑧 ≤ 0 
𝑑
𝑑𝑧
 𝑉𝑦
𝑏 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
𝜂𝑏 𝐿
 𝑧 + 𝐶1
𝑏 
 
𝑉𝑦
𝑏 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝜂𝑏𝐿
 𝑧2 + 𝑧 𝐶1
𝑏 + 𝐶2
𝑏 
 
De modo semelhante condição de não deslizamento permite identificar uma condição de 
contorno válida para a camada de fluido inferior : para 𝑧 = − 𝑑/2 ; 𝑉𝑦
𝑏 = 0. 
0 = − 
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
8𝜂𝑏𝐿