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AULA 02
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CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL REGIME 
PERMANENTE
INTRODUÇÃO
A transferência de calor por condução em meio está relacionado 
com o gradiente de temperatura dado pela Lei de Fourier. Em 
muitos problemas unidimensionais pode-se escrever o gradiente 
de temperatura por inspeção. Porém casos mais complexos 
exigem a formação de uma equação de energia que governa a 
distribuição de temperatura de uma forma mais geral.
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EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO
Aplicando-se a primeira lei da Termodinâmica
Onde q’’’ corresponde a geração de calor por unidade de volume 
e t corresponde ao tempo
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CASOS ESPECIAIS
Equação de Fourier (sem geração de energia)
Equação de Poisson (geração de energia permanente)
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CASOS ESPECIAIS
Equação de Laplace (sem geração de energia e regime 
permanente)
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
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COORDENADAS ESFÉRICAS
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PAREDE PLANA
Consideremos uma parede plana de espessura L e constituida de 
um material com condutividade térmica k constante. As 
superfícies são mantidas a temperaturas To e TL constantes, 
sendo To > TL. Considerando que a parede tem grandes 
dimensões no plano yz e que a espessura L é pequena, tem-se 
um problema unidimensional com gradiente de temperatura na 
direção perpendicular às superfícies da parede (x), de forma que 
a equação de Fourier pode ser escrita como
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PAREDE PLANA (CONT)
Onde 
Qx = fluxo de calor na direção x
A = área da seção normal ao 
fluxo de calor
Para x = 0 → T(o) = To
Para x = L → T(L) = TL
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PAREDE PLANA (CONT)
Integrando
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PAREDE PLANA (CONT)
Distribuição de temperatura T(x) (para x = x)
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PAREDE PLANA (CONT)
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PAREDE PLANA (CONT)
Uma abordagem alternativa para determinação da distribuição 
de temperatura é a integração da equação da difusão de calor 
(proposto como exercício)
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EXEMPLO
A figura mostra um esquema de uma placa de mármore de 
espessura L = 2 cm e condutividade térmica k = 2,5 W/mºC. A 
superfície esquerda da placa é mantida a Temperatura T(o) = 
30ºC, enquanto a superfície direita permanece com temperatura 
T(L) = 20ºC. Determine:
a) o fluxo de calor
b) a distribuição de temperatura T(x)
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PAREDE CILÍNDRICA
Consideremos um duto cilíndrico longo, de comprimento L, com 
raio interno ri e raio externo ro, com um material de 
condutividade k constante. Superfície interna mantida a Ti, e 
superfície externa To, sendo Ti > To. O duto é longo, de forma que 
o gradiente de temperatura é radial, ou seja, na direção r. Assim 
a lei de Fourier pode ser escrita como
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PAREDE CILÍNDRICA (CONT)
Para r = ri → T(ri) = Ti
Para r = re → T(re) = Te
A = 2πrL
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PAREDE CILÍNDRICA (CONT)
Desenvolvendo
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PAREDE CILÍNDRICA (CONT)
Distribuição de temperatura T(r) (para r = r → T = T(r), r = ri → T = 
Ti)
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EXEMPLO
Um duto cilíndrico de aço, longo, de comprimento L, possui raio 
interno ri = 2,5 cm e raio externo re = 3 cm. As superfícies interna 
e externa são mantidas às temperaturas Ti = 120°C e Te = 80°C. 
Sendo a condutividade do aço k = 40 W/m°C, determine o fluxo 
de calor por comprimento unitário do duto.
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PAREDE PLANA COMPOSTA
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de 
calor – paredes compostas.
O fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes
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PAREDE PLANA COMPOSTA (CONT)
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PAREDE PLANA COMPOSTA (CONT)
Ou simplesmente 
Onde ΔT refere-se à diferença total de temperaturas das duas 
faces externas e R é a resistência térmica da parede composta, 
dada por 
 
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PAREDE PLANA COMPOSTA (CONT)
Analogia elétrica
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PAREDE PLANA COMPOSTA (CONT)
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas 
(em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.
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EXEMPLO 1
Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de 
tijolo refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 
kcal/h.m.oC). A temperatura da superfície interna do refratário é 1675 
oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 145 oC. 
Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule :
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede;
b) a temperatura da interface refratário/isolante.
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EXEMPLO 2
Calcular o fluxo de calor
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CONDIÇÃO DE CONTORNO CONVECTIVA
Mais uma resistência
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A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi 
construída com um material de k = 1,31 W/mK. Em dia de inverno 
as seguintes temperaturas foram medidas: temperatura do ar 
interior = 21,1ºC; temperatura do ar exterior = -9,4ºC; 
temperatura da face interna da parede = 13,3ºC; temperatura da 
face externa da parede = -6,9ºC. Calcular os coeficientes de 
película interno e externo à parede. A = 1 m2.
EXERCÍCIO
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EXEMPLO
Uma parede plana composta de um forno 
industrial, constituida por uma camada de 
cerâmica com espessura Lc = 0,15 m e 
condutibilidade térmica Kc = 1,2 W/mK e 
uma camada de aço com espessura La = 
0,003 m e condutibilidade térmica Ka = 40 
W/mK. Considerando que o ar no interior do 
forno é mantido à temperatura Ti = 500°C, 
constante, com coeficiente de transferência 
de calor por convecção hi = 80 W/m2K, 
enquanto o ar externo (ambiente) mantém-
se à temperatura constante Te = 30°C, com 
coeficiente de transferência de calor por 
convecção he = 10 W/m2K, determine o 
fluxo de calor por unidade de área que 
passa do forno para o ambiente e calcule 
as temperaturas nas superfícies interna e 
externa (T1 e T3).
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