Caderno de Exercícios Álgebra e Geometria Analítica

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CADERNO DE EXERCÍCIOS 
 
2ºsem/2018 
M002 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTRUÇÕES DE ESTUDO 
 
1ª) Faça uma primeira leitura da bibliografia básica indicada no plano 
de ensino (apostila e livros). 
 
2ª) Faça uma segunda leitura fazendo um resumo. 
 
3ª) Refaça os exercícos resolvidos da bibliografia e do(a) professor(a). 
 
4ª) Resolva os exercícios propostos neste caderno de exercícios. 
Anote as dúvidas. 
 
5ª) Procure um dos professores responsáveis pela disciplina nos seus 
respectivos horários de atendimento para sanar as dúvidas. 
 
 
BOM ESTUDO! 
 
2 
 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
Fazer os exercícios dos capítulos 1, 2 e 3 do livro: 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
 
 
1) Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 
 
2) O que são vetores iguais? E vetores opostos? Quais as condições para que o módulo do vetor 
resultante de dois vetores, não nulos, seja igual a zero? 
 
3) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas a seguir: 
 
( ) Se vu rr = , então |v||u| rr = 
( ) Se |v||u| rr = , então vu rr = 
( ) Se v//u rr , então vu rr = 
( ) Se vu rr = , então v//u rr 
( ) Se vuw rrr += , então |v||u||w| rrr += 
( ) Se |v||u||w| rrr += , então ur , vr e wr são paralelos 
( ) Se DCAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo 
( ) |v|5|v5||v5| rrr =−= 
( ) Os vetores v3r é v4r− são paralelos e de mesmo sentido 
( ) Se v//u rr , 2|u| =r e 4|v| =r , então u2v rr = ou u2v rr −= 
( ) Se 3|v| =r , o versor de v10r− é 
3
v
r
− 
 
4) Qual o módulo do vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 6 e 8 
unidades? 
 
5) Calcule o ângulo formando por dois vetores de módulos 5 e 6 unidades e cujo vetor resultante 
da soma deles tem módulo 61 unidades? 
 
6) Observando a figura abaixo, determine o módulo, a direção e o sentido do vetor Rr . 
 
a) baR
rrr
+= 
b) edR r
rr
+= 
c) daR
rrr
+= 
d) dcR
rrr
+= 
e) edcR r
rrr
++= 
f) adcR r
rrr
++= 
 
 
7) A figura a seguir é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Com 
base nessa figura, podemos determinar vários vetores expressando-os com origem no ponto 
A. 
 
 
3 
 
Por exemplo: ANCNAC =+ e AMEOAC =+ . 
Com base na figura e nos dois exemplos apresentados, 
determine os vetores dados a seguir, expressando-os com origem 
no ponto A: 
 
a) BDAB + b) DCAC + c) AKAC + 
d) BLAM + e) ANAK + f) OEAO − 
g) NPMO − h) CBBC − i) NFPNLP ++ 
j) PBBNBL ++ 
 
8) Uma pessoa caminha 100 metros para norte. Em seguida, orienta-se 
para o leste e caminha mais 50 metros. Se essa pessoa tivesse 
seguido uma linha reta entre o ponto de origem e o ponto de 
chegado, quantos metros ela teria andado? 
 
 
 
9) Dados os vetores ar , b
r
, c
r
, d
r
 e e
r
, 
representado na figura ao lado, obtenha 
graficamente: 
 
a) dbax
rrrr
++= 
b) edb2y r
rrr
+−= 
 
 
 
 
 
10) Representar graficamente os pontos )1,3,2(A − , )1,2,3(B − e )3,4,3(C −−− e identifique o 
octante. 
 
11) Determinar o valor de m para que seja de 60° o ângulo entre o vetor AB , determinado pelos 
pontos )2,1,3(A − e )m,0,4(B , e o vetor v , definido pelos ângulos diretores α , °=β 60 e 
°=γ 144 . 
 
12) Sejam os pontos )3,1,2(A , )1,0,1(B − e )1,2,1(C − : 
 
a) verificar se os pontos são colineares; 
b) determinar os ângulos internos do triângulo formado pelos três pontos; 
c) determinar a projeção do lado AB sobre o lado AC ; 
d) determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice B ; 
e) determinar a altura do triângulo relativa ao vértice B ; 
f) determinar os ângulos diretores do vetor AB . 
 
13) O vetor v é ortogonal aos vetores )3,1,2(u −= e )2,0,1(w −= e forma ângulo obtuso com o 
eixo OY. Calcular v , sabendo que 486v = . 
 
4 
 
14) Sabendo que 3a =r (cm) e que 25b =
r
(cm) e que o ângulo formado entre eles é de 45º, 
calcule o módulo do vetor resultante da soma entre os vetores ar e b
r
. 
 
15) Dado o conjunto de vetores, da figura abaixo, marque 
V para as questões verdadeiras e F para as falsas. 
 
( ) szy rrr =+ ; 
( ) )zy(wx rrrr +−=+ ; 
( ) xzwy rrrr −=++ ; 
( ) vuxs rrrr +=− ; 
( ) 0vuxs
rrrrr
=+++ ; 
( ) 0vzyxu
rrrrrr
=−+++− . 
 
 
16) Analisando a figura e sabendo que 4a =r (m) e que 
6b =
r
(m), calcule o módulo do vetor: b2a3
rr
− . 
 
17) Sendo )1,3,2(u =r e )5,4,1(v =r , calcular: 
 
a) vu rr ⋅ b) )vu()vu( rrrr −⋅− c) )vu()vu( rrrr +⋅+ 
d) )v2u3()v2u3( rrrr −⋅− e) )v2u()v3u2( rrrr +⋅− 
 
18) Determinar o valor de x para que os vetores )3,2,x(v1 −=
r
 e )2,1,2(v2 −=
r
, sejam 
ortogonais. 
 
19) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: 
 
20) Qual(ais) deve(m) ser o(s) valor(es) de m para que o vetor )2,1,1(v −−−= forme um ângulo 
de 600 com o vetor AB , onde )4,3,0(A = e )2,1,m(B −= ? 
 
21) Sabendo que o triângulo ABC tem vértices nos pontos: )2,0,1(A = , )3,1,3(B = e 
)3,2,1a(C −+= , Determine os valores possíveis de a, para que o ângulo Aˆ do triângulo 
ABC, seja 60º. 
22) A área de um triângulo ABC é igual a 6 unidades de área. Sabendo que )0,1,2(A = , 
)1,2,1(B −= e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as possíveis coordenadas do 
vértice C. 
 
OG e OBd) ODOAb)
OBOEc) OCOAa)
⋅
⋅⋅
 
5 
 
A 
23) Determinar os possíveis valores de x para que o volume do paralelepípedo, gerado pelos 
vetores kji2u rrrr +−= , jiv rrr −= e k3jixw rrrr −+= , seja unitário. 
 
24) Dado um tetraedro regular1 de volume 5 e de vértices 
)1,1,2(A −= , )1,0,3(B = e )3,1,2(C −= , calcular as possíveis 
coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se encontra sobre 
o eixo OY. 
 
1O tetraedro regular é um sólido formado por quatro triângulos equiláteros (triângulos que 
possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. Considerado como 
um caso particular de pirâmide regular de base triangular, o volume do tetraedro regular é um 
sexto do volume de um paralelepípedo regular. 
 
25) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: 
 
a) k2i3 ⋅×⋅ b) ( )kij +× 
 
26) Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores: ( )1,3,1mu += e 
( )1n2,2,4v −= . 
 
27) Uma pedra é lançada de cima de um prédio com velocidade inicial Vo = 25 m/s e um ângulo 
de 53,13° de acordo com a representação abaixo. 
 
a) Encontre as componentes x e y da velocidade 
inicial de lançamento. 
 
b) Sabe-se que no ponto A, a velocidade da 
pedra possui as seguintes componentes de 
velocidade: 15=xv m/s e 30−=yv m/s. 
Determine o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade resultante nesse ponto. 
 
 
 
 
 
28) Na figura abaixo, o motor de um automóvel com peso 3000 
N está suspenso por uma corrente ligada no ponto O a duas 
outras correntes, ambas amarradas ao teto. Os ângulos estão 
indicados na figura. Ache as tensões nas três correntes, 
desprezando os pesos das correntes e considerando g = 10 
m/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60o 
T1 
T3 
45o 
T2 
6 
 
29) Os vetores abaixo representam dois deslocamentos de uma pessoa em um campo de futebol. 
Considere a superfície do campo sendo o plano xy e a posição inicial da pessoa, a origem do 
sistema de coordenadas. Determine qual deverá ser o módulo, a direção e o sentido deum 
terceiro deslocamento para que a pessoa volte a posição inicial (origem do plano xy). 
 
1D
r
 (deslocamento 1)  70 m ; 40º do norte para o leste. 
2D
r
 (deslocamento 2)  50 m ; 20º do oeste para o sul. 
 
 
30) Três forças horizontais atuam sobre uma caixa conforme 
indicado na figura. Ache os componentes x e y da força 
resultante. Determine o módulo, a direção e o sentido da 
força resultante. 
 
 
 
 
31) Campo de um dipolo elétrico: A distância entre duas cargas puntiformes nC12q1 += e 
nC12q2 −= é igual a 0,10 m conforme figura a seguir: 
Denomina-se dipolo elétrico um conjunto de duas 
cargas iguais, porém de sinais contrários. 
Determine o campo elétrico resultante no ponto c 
sabendo-se que C/N 104,6EE 321 ×==
rr
, onde, 
1E
r é o módulo do campo elétrico produzido por 
q1 no ponto c e 2E
r é o módulo do campo elétrico 
produzido por q2 no ponto c. 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
-
a
c
13 cm13 cm
4 cm6 cm4 cm
b 1q 2q
+
α
α C
E
r
bE
r
aE
r
1E
r
2E
r
7 
 
RETAS E PLANOS 
 
Fazer os exercícios dos capítulos 4 e 5 do livro: 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
 
 
1) Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto )5,0,3(A − e tem a direção do 
vetor kj2i2v rrrr −+= . 
 
2) Determine as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto )2,1,3(A − e é paralela ao 
vetor )1,2,3( −−=vr . Determine também um ponto qualquer desta reta diferente do ponto A. 
 
3) Dados os pontos )1,2,1(A − , )3,1,2(B − e )1,2,4(C − , determine a equação vetorial e as 
equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor BC . 
 
4) A reta r é determinada pelos pontos )3,2,1(A −− e )4,1,3(B − e é paralela ao vetor AB 
definido, também, pelos pontos A e B. Determine as equações paramétricas da reta r. 
 
5) Dados os pontos )1,3,2(A − e )1,2,0(B , faça o que se pede: 
 
a) determinar os pontos colineares aos pontos A e B ; 
b) verificar se os pontos )1,2,4(C e )5,0,4(D − são colineares aos pontos A e B , ou seja, 
verificar se os pontos C e D pertencem à reta que passa pelos pontos A e B ; 
c) achar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos A e B ; 
d) determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e )2,5,2(E ; 
e) determinar as equações da reta que passa pelos pontos A e )0,3,2(F . 
 
6) Determinar as equações da reta t que passa pelos pontos )0,3,2(H e tem a direção do vetor 
k2jiv −+= . 
 
7) Determinar as equações da reta w que passa pelo ponto )3,0,2(I − e tem a direção definida 
pelos ângulos diretores de °=α 30 , °=β 90 e γ . 
 
8) Determinar o ângulo entre as retas: 
 
a) 





α+−=
α−=
α−=
21z
3y
22x
:r e 
2
4z3y2x:t
−
−
=+=− 
b) 





α+−=
α+=
=
31z
23y
2x
:s e 



=
+=
0y
155,4x577,0z
:w 
c) 



=
=
3y
2x
:l e 





α+−=
α−=
α−=
21z
3y
22x
:p 
8 
 
9) Verificar se as retas 





α+−=
α−=
α−=
21z
3y
22x
:r e 
2
4z3y2x:t
−
−
=+=− são coplanares. 
 
10) Verificar se as retas 





α+−=
α−=
α−=
21z
3y
22x
:r e 
2
5z5y4x:m
−
+
=−=− são coplanares. Em caso 
afirmativo, determinar o ponto de interseção entre as retas. 
 
11) Vimos no exercício 5 que os pontos )1,3,2(A − , )1,2,0(B e )1,2,4(C − não são colineares. 
Neste caso, determine as equações do plano que passa por estes pontos. 
 
12) Determinar as equações do plano que contém os pontos )1,3,2(A − e )1,2,0(B e o vetor 
ji2v −= . 
 
13) Determinar as equações do plano normal à reta r e que passa pelos pontos de interseção das 
retas 





α+−=
α−=
α−=
21z
3y
22x
:r e 
2
5z5y4x:m
−
+
=−=− . 
 
14) Determinar as equações do plano pi que contenha as retas 



−
+
=−=
3
2z1yx:r1 e 



+−=
+=
1x3z
3xy
:r2 . 
 
15) Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor ( ),3,2,1v −= pede-se: 
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção do vetor v . 
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t =4, respectivamente. 
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. 
d) Verificar se os pontos D(4, -1 , 2) e E(5, -4, 3) pertencem a r. 
e) Determinar para que os valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r. 
f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, -4) e é paralela a r. 
g) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y. 
 
16) Determinar as equações paramétricas da reta t que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às 
retas r e s. 
 
( ) ( )





−=
=
=
−+=
t1z
ty
5x
:se)4,3,2(t1,0,0z,y,x:r 
17) Verificar se as retas r e s são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção: 
9 
 
 





+=
−−=
+=





−=
+=
+=
t4z
t23y
t35x
:se
h2z
h21y
h3x
:r)a 





+=
−=
−=



−=
−=
t22z
t4y
tx
:se
xz
3x2y
:r)b 
 
18) Dada a reta 





+−=
−=
+=
t24z
t3y
t2x
:r determinar o ponto de r tal que apresente a seguinte característica: 
 
a) A ordenada seja 6; 
b) A abscissa seja igual à ordenada; 
c) A cota seja o quádrupla da abscissa. 
 
19) Com base na figura e partindo da equação vetorial da 
reta escrever as equações paramétricas da reta que 
passa por: 
 
a) A e B 
b) D e E 
c) B e D 
 
 
20) Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, 1). 
 
21) Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta 





+=
−=
+=
t24z
t2y
t1x
:r 
a) Determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r. 
b) Calcular a distância de A a r. 
c) Determinar o ponto simétrico de A em relação a r. 
 
22) Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano π1: 
3x – 4y – 2z +5 = 0. 
 
23) A reta 





+=
+−=
+=
t1z
t24y
t35x
:r é ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A(2 ,1, -2). Determinar uma 
equação geral do plano π. 
 
24) Dado o plano π determinado pelos pontos A(1, -1, 2), B(2, 1, -3) e C(-1, -2, 6), obter um sistema 
de equações paramétrica e uma solução geral de π. 
 
25) Determinar uma equação geral do plano π que contenha as retas r e s. 
 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
E 
O 
4 
3 
2 
10 
 
 





+−=
+=
=



−−=
+=
1t6z
3t2y
t2x
:se
2x3z
1xy
:r 
 
26) Determinar o ângulo entre os planos π1 : 2x + y – z + 3 = 0 e π2 : x + y – 4 = 0. 
 
27) Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde: 
 
 04-3zy-2x :e
t3z
t35y
t21x
:r =+pi





−=
+=
+−=
 
 
28) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2 ,3 , 4) e é paralelo aos vetores 
kjvekjv 21 −=+= 
 
29) Determinar os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π. 
 
 01z2nymx:e
t23z
t1y
t2x
:r =−++pi





−−=
+=
+=
 
 
30) Determinar o ângulo que a reta r forma com o plano π. 
 
 05yx:e
t3z
ty
t21x
:r =−+pi





+=
−=
−=
 
 
31) Seja o plano π: 2x – y +3z + 1 = 0, calcular: 
 
a) O ponto de π que tem abscissa 4 e ordenada 3 
b) O ponto de π que tem abscissa 1 e cota 2 
c) O valor de k para que o ponto P(2, k+1,k) pertença a π 
d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota 
 
32) Determinar a e b, de modo que os planos π1 e π2 sejam paralelos. 
 
 05z2y5x3:e01z4byax: 21 =+−−pi=−++pi 
 
33) Determinar o ângulo formado pela reta 



+=
−=
1x2z
x2y
:r e o plano 05yx: =+−pi . 
 
 
11 
 
COORDENADAS CURVILÍNEAS 
 
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
 
 
Polar => Retangular Retangular => Polar 
θ=
θ=
sen ry
cos rx
 
x
y
arctgθ
yxr 22
=
+=
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 
 
Cilíndrica => Retangular Retangular => Cilindrica 
zz
sen ry
cos rx
=
θ=
θ=
 
22 yxr += 
x
y
arctg=θ 
zz = 
 
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS 
 
Esférica => Retangular Retangular => Esférica 
φρ=
θφρ=
θφρ=
cos z
sen sen y
cos sen x
 
222
zyx ++=ρ 
x
y
arctg=θ 
ρ
=φ zarccos 
 
1) Marque cada um dos seguintes pontos com o conjunto de coordenadas polares dado: 
 
a) 




 pi
4
,2 b) 




 pi
2
,5 c) 




 pi
3
2
,1 d) 




 pi
6
7
,3 e) 




 pi
−
3
,4 f) 





pi−,
2
5
 
 
2) Dado o ponto cujas coordenadas polares são ( )pi− 47,6P . Encontre suas coordenadas 
cartesianas retangulares. 
 
3) Dado que a equação polar de um gráfico é θ= 2sen4r2 ache a equação cartesiana. 
 
4) Ache (r, θ) se r > 0 e pi<θ≤ 20 para o ponto cuja representação cartesiana é ( )1,3 −− . 
 
5) Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é 0x4yx 22 =−+ . 
 
6) Ache as coordenadas cartesianas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são: 
 
a) ),3( pi b) ),2( 43 pi− c) ),4( 32 pi− d) ),1( 67 pi−− 
0º 
90º 
180º 
270º 
θ
r 
y 
x 
)θ,r(p
P(x,y) 
x 
y 
z 
)z,,r(p θ
P(x,y,z) 
θ r 
x 
y 
z 
),,(p φθρ
P(x,y,z) 
θ 
r 
ρ φ 
12 
 
7) Ache o conjunto de coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas 
retangulares são dadas. Faça r > 0 e pi<θ≤ 20 . 
 
a) )1,1( − b) )1,3(− c) )2,2( d) )0,5(− 
 
8) Ache uma equação em coordenadas cartesianas das seguintes superfícies, cujas equações estão 
expressas em coordenadas cilíndricas e identifique a superfície: 
 
a) r = 6 sen θ b) 0z6)sen2cos3(r =+θ+θ⋅ 
 
9) Ache uma equação em coordenadas cilíndricas para cada uma das seguintes superfícies, cujas 
equações são dadas em coordenadas cartesianas (retangulares) e identifique a superfície: 
 
a) zyx 22 =+ b) zyx 22 =− 
 
10) Ache as coordenadas cartesianas de um ponto com as coordenadas cilíndricas dadas: 
 
a) )5,,3( 21 pi b) )4,,7( 32 −pi c) )1,1,1( o 
 
11) Ache as coordenadas cilíndricas do ponto com as coordenadas cartesianas dadas: 
 
a) (4, 4, -2) b) ( )6,3,33− c) (1, 1, 1) 
 
12) Ache as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são: 
 
a) ),,4( 4161 pipi b) ),,4( 3121 pipi c) ),,6( 4331 pipi 
 
13) Ache um conjunto de coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são: 
 
a) )2,1,1( −− b) )2,3,1(− c) )2,2,2( 
 
14) Ache um conjunto de coordenada cilíndricas do ponto cujas coordenadas esféricas são: 
 
a) 




 pipi
6
5
,
3
2
,4 b) 





pi
pi
,
4
3
,2 c) 




 pipi
4
,
3
,32 
 
15) Ache um conjunto de coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cilíndricas são: 
 
a) 




 pi 3,
6
,3 b) 




 pi 2,
2
,3 c) 





−
pi 4,
6
5
,2 
 
16) Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada. 
 
a) 16z4yx 222 =++ b) z3yx 22 =+ c) 222 z3yx =− 
 
17) Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada. 
 
a) 0z9zyx 222 =−++ b) 9yx 22 =+ c) 0x8zyx 222 =−++ 
 
 
13 
 
CÔNICAS 
 
Fazer os exercícios do capítulo 7 do livro: 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
 
 
F: foco. 
d: diretriz. 
V: vértice. 
p: parâmetro que representa a distância do foco à diretriz. 
Eixo (ou eixo de simetria): é a reta que une o vértice ao foco. 
Corda focal (ou lactus rectum ou corda focal mínima): é o 
segmento AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo 
de simetria ( p2=l ). 
 
 
F1 e F2: focos da elipse. A distância entre os focos, igual a 2c, 
denomina-se distância focal. 
O: centro da elipse; é o ponto médio do segmento que une os 
dois pelos focos. 
A1, A2, B1 e B2: vértices da elipse. 
Eixo maior: é o segmento A1A2 cujo comprimento é 2a. 
Eixo menor: é o segmento B1B2 cujo comprimento é 2b. 
corda focal (ou latus rectum ou corda focal mínima): é uma 
das duas cordas focais da elipse e perpendiculares ao eixo 
maior (
a
b22
=l ). 
Relação importante: 222 cba += Excentricidade: 
a
c
=ε 
 
 
 
F1 e F2: focos da elipse. A distância entre os focos, igual a 2c, 
denomina-se distância focal. 
O: centro da elipse; é o ponto médio do segmento que une os 
dois pelos focos. 
A1 e A2: vértices da elipse. 
Eixo real ou transversal: é o segmento A1A2 cujo 
comprimento é 2a. 
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 cujo 
comprimento é 2b. 
corda focal (ou latus rectum ou corda focal mínima): é a 
corda tirada por um foco perpendicularmente ao eixo real 
(
a
b22
=l ). 
Relação importante: 222 bac += Excentricidade: 
a
c
=ε 
 
 
14 
 
1) Determinar a equação da parábola: 
 
a) de foco )3,3(F e diretriz 01y =− ; 
b) de vértice )3,0(V e diretriz 05x =+ ; 
c) de vértice )6,3(V − , eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas e que passa pelo ponto 
)10,3( −− . 
 
2) Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal e que passa pelos pontos 
)5,5(A − , )3,3(B − e )1,3(C . 
 
3) Achar a(s) equação(ões) da(s) parábola(s), cuja corda focal liga os pontos )5,3( e )3,3( − . 
 
4) Encontre na parábola: 0x8y2 =− um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 4. 
 
5) Determinar as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz das seguintes parábolas: 
 
a) 0x6y 2 =− b) 0y5x 2 =− c) 08x4y 2 =+− d) 040x8y8y 2 =+−− 
 
6) Identifique a cônica das equações seguintes, seus elementos e faça um esboço de seu gráfico. 
 
a) 08x12y4y 2 =−−− ; b) 011y4x6x 2 =−+− . 
 
7) Calcular o valor de k para que a parábola 2kyx = tenha foco no ponto )0,3( . 
 
8) A parábola cbxxy 2 ++= passa pelo ponto )3,1( e a abscissa do foco é igual a 2. Calcular c. 
 
9) Obter os pontos de interseção das parábolas 1xy 2 += e 3xy 2 +−= . 
 
10) Determinar a corda focal da parábola y16x2 −= . 
 
11) Obter a equação da parábola cujo gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Um esguicho (posicionado na origem) lança água e esta 
descreve uma parábola de vértice )5,1(V . Calcular a altura 
(h) do filete de água, a uma distância de 1,5(m) da origem, 
sobre uma horizontal Ox. 
 
 
15 
 
13) A água que esguicha de um bocal, mantido horizontalmente a 4(m) acima do solo, descreve 
uma curva parabólica com vértice no bocal e, medida na vertical, desce 1(m) nos primeiros 
10(m) de movimento horizontal. Calcule a distância horizontal do bocal em que a água atinge 
o solo. 
 
14) Os cabos de um lado de uma ponte pênsil com carga uniformemente distribuída tomam a 
forma aproximada de um arco de parábola. As torres de suporte dos cabos têm 65(m) de altura 
e o intervalo entre as torres é de 500(m). O ponto mais baixo fica a 15m do nível da estrada. 
 
 
Achar a equação da parábola considerandoo sistema cartesiano ilustrado na figura acima e 
determine também o comprimento de um fio de sustentação situado a 100(m) do centro da 
ponte. 
 
15) Seja a parábola 8x8x2y 2 −+−= . Obter seu vértice, seu foco e construir seu gráfico. 
 
16) Uma ponte suspensa de 400(m) de comprimento é 
sustentada por um cabo principal parabólico (veja a 
figura). O cabo principal está 100(m) acima da ponte 
nos extremos e 4(m) acima da ponte em seu centro. 
Calcule o comprimento dos cabos de sustentação que 
são colocados a intervalos de 50(m) ao longo da 
ponte. (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas 
retangulares em que a ponte é o eixo x e a origem está 
no meio da ponte.) 
 
17) A parábola abaixo tem equação 06yx5x2 =+−− . 
Determinar as coordenadas dos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Obter a equação da parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, vértice em (1,3) e 
que passa pelo ponto (2,4). Desenhar o gráfico da parábola. 
 
19) Determine a excentricidade da elipse de equação 0400y25x16 22 =−+ . 
 
16 
 
20) Determine a distância focal e as coordenadas dos focos da elipse de equação 
225y25x9 22 =+ . 
 
21) Calcular a distância focal e a excentricidade da elipse 4225y169x25 22 =+ . 
 
22) Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto )1,1(P e tem um 
foco em )0,2/6(F − . 
 
23) A equação de uma elipse é: 0896y288y16x25 22 =+++ . Quais são as coordenadas dos 
focos dessa elipse? 
 
24) Determine os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico de cada uma 
das elipses a seguir: 
 
a) 045y5x9 22 =−+ 
b) 0311y64x50y16x25 22 =−+++ 
c) 09y18x24y9x4 22 =++−+ 
 
25) Estabeleça a equação de cada uma das elipses a seguir, sabendo que: 
 
 
a) seu eixo maior mede 10 (unidades de medida) e os focos são )0,4(F1 − e )0,4(F2 . 
b) tem centro em )4,2(C , um foco em )4,5(F e tem excentricidade 
4
3
e = . 
 
26) Qual é o comprimento do fio usado para construir um jardim elíptico com 20(m) de largura e 
60(m) de comprimento? Qual é a área deste jardim? 
 
27) Exceto por pequenas perturbações, um satélite se move ao redor da Terra em uma órbita 
elíptica, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu (o ponto da órbita 
mais próximo do centro da Terra) o satélite está a 400(km) da superfície da Terra e que no 
apogeu (o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra) o satélite está a 600(km) da 
superfície da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da órbita elíptica deste satélite, 
supondo que a Terra é uma esfera de 6371(km) de raio. 
 
28) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos )2,1( , )1,2( e )1,1(− . 
 
29) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1/3 viaja ao redor de um planeta situado num 
dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 
300(km), calcular a maior distância do satélite ao planeta. 
 
30) Determine a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que 
passa pelos pontos )2,2( e )0,32( . 
 
31) Estabeleça a equação de cada uma das hipérboles a seguir, sabendo que: 
 
a) tem assíntotas de equações x2y = e x2y −= e vértices em )0,3(V1 − e )0,3(V2 ; 
b) tem focos em )2,3(F1 − e )4,3(F2 e excentricidade 2=ε . 
 
17 
 
32) Determine os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico de cada uma 
das hipérboles a seguir: 
 
a) 03yx3 22 =+− ; 
b) 0113y8x54y4x9 22 =++−− 9; 
c) 0199y18x64y9x16 22 =+−−− . 
 
33) Sabendo que uma hipérbole eqüilátera é aquela em que a medida do semi-eixo real é igual à 
medida do semi-eixo imaginário, demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole 
eqüilátera é igual a 2 . 
 
34) Uma hipérbole passa pelo ponto )2,1( e uma de suas assíntotas é a reta 0x11y3 =− . 
Determine a equação da hipérbole que o eixo real coincide com o eixo dos y e o centro está 
na origem do sistema cartesiano. 
 
35) Represente graficamente o lugar geométrico dos pontos ),( yx do plano cartesiano que 
satisfazem as condições: 
a) 044x16y4y 2 =−++ b)
2
1
1x
1x
=
+
−
 c)
3
x436y
2
−
= 
 
36) Classifique e dê todos os elementos de cada uma das curvas com equações dadas a seguir: 
 
a) 0144y72x96y9x16 22 =++−+ 
b) 049y2x16y 2 =++− 
c) 024y4x32yx4 22 =++−− 
 
37) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas 
descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna. 
 
(I) 1
3
y
4
x
22
=+ ( )Elipse 
(II) 1
9
y
4
x
=+ ( )Hipérbole 
(III) 1
9
y
4
x
2
=+ ( )Reta 
(IV) 1
4
x
3
y 22
=− ( )Circunferência 
(V) 1
4
y
4
x
22
=+ ( )Parábola 
 
A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia 
de cima para baixo, é: 
 
a) I, IV, II, V e III 
b) I, V, III, IV e II 
c) II, III, V, I e IV 
d) III, II, IV, I e V 
e) IV, II, V, I e III 
 
18 
 
38) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola 
de equação 25xy 2 −= e excentricidade 5/3=ε . 
 
39) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto )10,0(P e pelos focos da hipérbole de 
equação: 144y16x9 22 =− . 
 
40) A elipse: 24y3x2 22 =+ e a hipérbole: 5yx 22 =− se interceptam em 4 pontos formando 
um retângulo. Determine a área desse retângulo. 
 
 
41) Determinar as coordenadas do vértice e do foco, a equação da diretriz e esboçar o gráfico das 
parábolas: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
6
7
6
y
24
y
= x)e
2z42x )d 1y122z )c
x2y )b y8 x)a
2
22
22
++
−−=++=+
−==
 
 
42) Determinar a equação da parábola de vértice ( )V 3 1,− , sabendo-se que 01y =− é a equação 
de sua diretriz. 
 
43) Dada a cônica ( ) ( )2y84x 2 +=− 
 
a) Fazer o gráfico desta cônica, em escala, indicando as coordenadas do foco e do vértice. 
b) Qual é a equação da reta que passa pelo foco e pelo vértice? 
c) Determinar os pontos de interseção da cônica com os eixos coordenados. 
d) Determinar, graficamente, os pontos de interseção da cônica com a reta 2x
2
1y −= . 
 
44) Determinar as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos das elipses: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0436x8y9x4 )e
1
16
3z
25
2y
 )d 1
16
1z
7
2x
 )c
1
4
z
4
x
 )b 1
9
y
16
x
 )a
22
2222
2222
=+−−+
=
+
+
+
=
+
+
−
=+=+
 
 
45) Uma elipse, de centro na origem, tem um foco no ponto ( )F 0 3, e a medida do eixo maior é 8. 
Esboçar seu gráfico e determinar sua equação. 
 
46) Dadas as cônicas: ( ) Y 45x 2 =− e ( ) 1
9
y
16
5x 22
=+
−
 
 
a) Fazer o esboço das duas cônicas, em escala, e no mesmo gráfico. 
b) Determinar, graficamente, os pontos de interseção das duas cônicas. 
c) Achar a equação da reta que passa pelo eixo da parábola. 
 
 
19 
 
47) Dada a figura abaixo, determinar: 
 
a) A equação da cônica representada na figura acima. 
b) Os pontos de interseção da elipse com a reta x = 4. 
c) Graficamente, os pontos de interseção da elipse 
com a cônica ( ) ( )3x 84y 2 −−=+ . 
d) A equação da reta que passa pelos vértices V1 e V2. 
e) A equação do sólido de revolução da elipse em 
torno do seu eixo maior. 
 
 
 
48) Determinar as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos, esboçar a gráfico e determinar 
a equação das retas assíntotas das hipérboles abaixo: 
 
 
( ) ( ) 1
25
2y
16
3z
 )c 09z4x4zx )b 1
3
y
8
x
 )a
22
22
22
=−
−
+
=−++−=− 
 
49) Determinar a equação explícita da hipérbole que satisfaz as condições: centro ( )C 5 1, , um 
foco em ( )F 9 1, e eixo imaginário medindo 4 2 . 
 
50) Dada a cônica ( ) 1
9
3y
4
x
22
=
−
− 
 
a) Fazer o gráfico desta cônica, em escala, indicando as coordenadas dos focos, dos vértices 
e do centro. 
b) Qual é a equação da reta que passa pelos focos? 
c) Qual é a equação das retas assíntotas? 
d) Determinar os pontos de interseção da cônica com os eixos coordenados. 
e) Determinar, graficamente, os pontos de interseção da cônica com a reta 4x
2
1y +−= . 
 
51) Para cada uma das parábolas construir o gráfico, encontrar o foco e a equação da diretriz. 
 
0x9y2)c 0yx b) y4x)a 222 =−=+−= 
 
52) Traçar um esboço do gráfico e obter a equação da parábola que satisfaça as condições dadas. 
 
a) foco: F(0, -1/4); diretriz d: 4x - 1 = 0 
b) vértice: V(4, 1); diretriz d: y + 3 =0 
c) vértice: V(4, -3); eixo paralela ao eixo dos x, passando pelo ponto P(2, 1) 
 
53) Em cada um dos problemas esboçar o gráfico e determinar os vértices A1 e A2, os focos e a 
excentricidade das elipses dadas. 
 
25y25xc) 100y4x25b) 1
4
y
25
x)a 2222
22
=+=+=+ 
 
3 
-4 • 
X 
• 
• 
V1 
V2 
c
 
Y 
20 
 
54) Em cada um dos problemas determinar a equação da elipse que satisfaça as condições dadas. 
Esboçar o gráfico. 
 
a) focos F1(-4, 0) e F2 (4, 0), eixo maior igual a 10 
b) focos F1(0, -5) e F2(0, 5), eixo menor igual a 10 
c) focos F )0,3(± e vértices A )0,4(± 
d) centro C(1, 4), um foco F(5, 4) e excentricidade 2/3 
 
55) Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse 
036y96x36y16x9 22 =++−+ . 
 
56) Obter as equações paramétricas da elipse de equação dada: 
 
a) 4y4x 22 =+ b) 1y16x9 22 =+ c) 225)1y(25)1x(9 22 =++− 
 
 
57) Nos problemas a seguir obter a equação geral da elipse dada por equações paramétricas: 
 



θ=
θ=
sen5y
cos5x)a 



θ+=
θ+=
sen23y
cos42x)b 
 
58) Em cada um dos problemas esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a 
excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. 
 
144y16x9e) 2xy)d
020y5x4c) 1
9
x
4
yb) 1
9
y
4
x)a
2222
22
2222
=−=−
=+−=−=−
 
 
 
59) Em cada um dos problemas determinar a equação da hipérbole que satisfaça as condições 
dadas. Esboçar o gráfico. 
 
a) focos F ( )0,4± e que seja hipérbole eqüilátera 
b) focos F ( )0,5± eixo imaginário medindo 4 
c) vértices A ( )2,0 ± e equações das assíntotas xy
4
1±= 
d) Centro C(2, -3), eixo real paralelo a Oy e passando por (3, -1) e (-1, 0) 
 
60) Nos problemas a seguir obter as equações paramétricas da hipérbole. 
 
a) x2 – 4y2 = 4 b) 3y2 – x2 – 9 = 0 c) 9x2 – 16y2 + 1 = 0 
 
 
 
21 
 
QUÁDRICAS 
 
Fazer os exercícios do capítulo 8 do livro: 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2a ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1987. 
 
 
1) Determinar uma equação da superfície esférica de centro r, nos casos: 
 
a) C (0,0,0), r = 4 b) C (2,4,-1), r = 3 
 
2) Dada a equação da superfície esférica 012y4x6zyx 222 =−−+++ , determinar o centro e o 
raio. 
 
3) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(4,-1,-2) e passando por P(2,3,-1). 
 
4) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(2,-3,4) e 
 
a) tangente ao plano xOy b) tangente ao plano xOz 
 
5) Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P. 
 
a) E: )2,1,2(P9zyx 222 −=++ 
 
b) E: )4,3,1(P12)2z()1y()3x( 222 −=−+++− 
 
c) E: )6,5,2(P011z6y2x4zyx 222 −=−−+−++ 
 
6) Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno 
do eixo indicado. 
 
a) maioreixo0z1
16
y
4
x
22
==+ 
 
b) menoreixo0z1
16
y
4
x
22
==+ 
 
c) Oxeixo0z9yx 22 ==+ 
 
d) Oyeixo0x1y
4
z 2
2
==− 
 
7) Reduzir cada uma das equações à forma canônica (eq. Reduzida), identificar a superfície e 
construir seu gráfico. 
 
a) 014491636 222 =−++ zyx b) 014491636 222 =−−+ zyx 
 
c) 0444 222 =−+− zyx d) 444 222 =−− yxz 
 
f) 0424 222 =++− zyx 
22 
 
8) No caso em que a intersecção do plano :pi com o elipsóide 02z9y4x4 222 =−++ for uma 
elipse, determine seu centro, focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, 
determine o centro e o raio. 
 
a) 1
4
z
100
y
64
x
222
=++ 05y: =−pi 
 
b) 36z4y9x 222 =++ 052x: =+pi 
 
c) 02z9y4x4 222 =−++ 0
3
1
z: =+pi 
 
9) Seja o hiperbolóide de uma folha 1
2
z
9
y
4
x
222
=+− . 
a) Esboce o gráfico de seus traços para os planos 2x = , 3y = e 2z −= ; 
b) Dê a equação do traço obtido ao intersectarmos a superfície com o plano 4z = . 
 
OBS: Os exercícios abaixo são do livro: 
VENTURI, Jacir J., Cônicas e quádricas, 5 ed. Curitiba: Unificado,1949. 
 
10) A figura ao lado representa um parabolóide. Considerando as 
interseções com os eixos e planos cartesianos, bem como o 
domínio, a sua equação pode ser: 
 
a) 09zyx 22 =+−+ 
b) 09zy2x 22 =−−+ 
c) 09zyx 22 =−−+ 
d) 09zyx2 22 =−−+ 
 
 
11) Achar as coordenadas dos pontos de intersecção da superfície quádrica 16zyx4 22 =−+ 
com os eixos coordenados. 
 
12) Achar os traços da superfície quádrica z8yx 22 =+ com: 
a) o eixo yz ; 
b) o eixo xz ; 
c) o eixo xy ; 
d) o plano 4z = ; 
e) o plano 2y = . 
 
13) Na figura está representada uma superfície quádrica de 
equação 1
9
z
25
y
4
x
222
=++ . Pede-se: 
a) as coordenadas dos pontos 1P , 2P e 3P ; 
b) a equação da curva 1C ; 
c) a equação da curva 2C . 
23 
 
14) Analisando a que superfície quádrica de equação 1
3
z
2
x
2
y 222
=−− , pede-se: 
 
a) as coordenadas dos pontos 1P e 2P ; 
b) a equação da curva 1C ; 
c) a equação da curva 2C . 
 
 
 
15) Neste exercício a figura ao lado representa uma 
superfície denominada hiperbolóide de uma folha, cuja 
equação é 1
9
z
4
y
4
x
222
=−+ . Pede-se: 
 
a) os pontos de intersecção com os eixos x , y e z ; 
b) a equação da curva 1C ; 
c) a equação da curva 2C ; 
d) a equação da curva 3C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
RESPOSTAS DE ALGUNS EXERCÍCIOS 
 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1) Módulo, direção e sentido. 
 
2) São vetores que têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. São vetores que têm mesmo módulo, 
mesma direção e sentidos opostos. Que os vetores somados sejam opostos. 
 
3) (V) Se vu rr = , então |v||u| rr = 
(F) Se |v||u| rr = , então vu rr = 
(F) Se v//u rr , então vu rr = 
(V) Se vu rr = , então v//u rr 
(F) Se vuw rrr += , então |v||u||w| rrr += 
(V) Se |v||u||w| rrr += , então ur , vr e wr são paralelos 
(F) Se DCAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo 
(V) |v|5|v5||v5| rrr =−= 
(F) Os vetores v3r é v4r− são paralelos e de mesmo sentido 
(V) Se v//u rr , 2|u| =r e 4|v| =r , então u2v rr = ou u2v rr −= 
(V) Se 3|v| =r , o versor de v10r− é 
3
v
r
− 
4)10 5)90º 
 
6) a) 10, H, D b) 9, H, E c) 1, H, D d) 8, H, E e) 12, H, E f) 2, H, E 
 
7) a) ADBDAB =+ b) ABDCAC =+ c) AOAKAC =+ 
d) AKBLAM =+ e) AHANAK =+ f) AIOEAO =− 
g) ACNPMO =− h) ACCBBC =− i) AENFPNLP =++ 
j) 0PBBNBL =++ 
8) 8,1111250050100 22 ≈=+ (metros) 9)14) 43,989
2
23252509ba ≈=








−⋅⋅⋅−+=+
rr
 
 
15) (F) szy rrr =+ (V) )zy(wx rrrr +−=+ (V) xzwy rrrr −=++ 
(F) vuxs rrrr +=− (F) 0vuxs
rrrrr
=+++ (V) 0vzyxu
rrrrrr
=−+++− . 
 
Na letra A - Olhando para os vetores y, z e s temos: 0szy =++ , logo: szy −=+ e não szy =+ como a letra 
indica, portanto letra A é FALSA. 
Na letra B – Olhando para x, w, y e z temos: 0wzyx =+++ , logo zywx −−=+ ou )zy(wx +−=+ . 
Assim, a letra B, VERDADEIRA. 
Na letra C - Olhando os vetores y, w, z e x que indica a alternativa c, temos: 0wzyx =+++ , logo 
xwzy −=++ , portanto Alternativa VERDADEIRA. 
Na letra D - Olhando os vetores s, x, u e v temos: xsvu =++ , logo vuxs −−=− e não vuxs +=− como a 
alternativa indicou, portanto está é FALSA. 
Na letra E – Olhando os vetores u, v, s, e x temos: xsvu =++ , logo 0xsvu =−++ e não 0xsvu =+++ , 
portanto fica alternativa FALSA também. 
25 
 
Na letra F - Olhando os vetores u, x, y, z e v temos: vuwzyx +=+++ , logo 0vuwzyx =−−+++ , 
portanto fica provado que é uma alternativa VERDADEIRA. 
 
16) 21,658,38
2
3121221212b2a3 22 ≈=⋅⋅⋅−+=−
rr
 
 
17) a) 19 b )18 c) 94 d) 66 e) –205 
 
18) 4x −= 19) a) 0 b) 0 c) 0 d) 3a e 2a 
 
20) 34m −= ou 2m = 21) 1− ou 
5
13
 22) (0, 3, 0) ou 




 0,
5
1
,0 
23) 5x −= ou 3x −= 24) )0,7,0(D −= ou )0,8,0(D = 26) 
6
5
ne5m == 
 
28) T3 = 3000N T2 = 1552,91 T1 = 2196,15N 
 
 
RETAS E PLANOS 
 
1) )1,2,2()5,0,3()z,y,x( −α+−= 2) )3,3,0(Be
2z
21y
33x
−





λ+=
λ−−=
λ−=
 
3) )4,3,2()1,2,1()z,y,x( −λ+−= 





λ+−=
λ−=
λ+=
41z
32y
21x
 4) 





λ−−=
λ+−=
λ+=
3z
32y
21x
 
 
5) a) Pontos pertencientes a reta: 
2
1z
1
3y
2
2x +
=
−
−
=
−
−
 b) São colineares 
 c) 





+−=
+=
1xz
2
2
xy
 d) 





α+−=
α+=
=
31z
23y
2x
 e) 



=
=
3y
2x
 
6) Equações reduzidas 



+−=
+=
4x2z
1xy
 (OBS: As outras equações ficam a cargo do aluno) 
 
7) Equações reduzidas



+=
=
155,4x577,0z
0y
 (OBS: As outras equações ficam a cargo do aluno) 
 
8) a) º72,17=α b) º41,65=α c) º19,48=α 
 
9) Não são coplanares 10) São coplanares. I(2,3,-1) 
 
11) Eq. Cartesiana: 06z2y2x =−++ (OBS: As outras equações ficam a cargo do aluno) 
 
12) 1z −= 
 
13) Eq. Cartesiana: 09z2yx2 =++−− (OBS: As outras equações ficam a cargo do aluno) 
 
16)





+−=
+=
+=
t21z
t24y
t3x
:r 17) a) Ponto de interseção I(2, -1, 3) b) As retas não são concorrentes. 
 
18) a) (-1, 6, -10) b) (5/2, 5/2, -3) c) (-4, 9, -16) 20) z2ye
2
7
z
2
3
x =+−= 
21) )2,4,5()c20)b
h2z
4y
h23x
)a −





+−=
=
−=
 22) 3x – 4y – 2z + 4 = 0 
26 
 
23) 3x +2y + z -6 = 0 24) 01zy2xe
t4h52z
th21y
t2h1x
=−++





+−=
−+−=
−+=
 
 
25) 9x – 3y +2z + 7 = 0 26) 30º 27) (-3, 2, 4) 
 
28) x = 2 Plano paralelo ao plano coordenado YZ 29) m = 3 e n = 1 30) 60º 
 
31) a) (4, 3, -2) b) (1, 9, 2) c) k = -2 d) (0, -2, -1) 
 
32) a = -6 e b = 10 33) 45º 
 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS 
6) a) )0,3(− b) )1,1( −− c) )32,2( − d) 








−
2
1
,
2
3
 
7) a) ),2( 4
7 pi b) ),2( 6
5 pi c) ),22( 41 pi d) ),5( pi 
14) a) 





−
pi 32,
3
2
,2 b) 





−
pi 2,
4
3
,0 c) 




 pi 6,
3
,6 
15) a) ( )4,6,18 pipi b)  pi 132arccos,2,13 c)  −pi 52arccos,65,20 
16) a) 16z4r 22 =+ b) z3r2 = c) 22 z32cosr =θ 
17) a) φ=ρ cos9 b) 3sen =φρ c) θφ=ρ cossen8 
 
 
PARTE 6: CÔNICAS 
1) a) 017y4x6x2 =+−− b) 09x20y6y2 =+−− c) 063y9x6x2 =++− 
2) 015y2x4y2 =−++ 3) 09x8y2y2 =+−− ou 039x8y2y2 =−+− 
4) possíveis respostas: )4,2( ou )4,2( − . 
5) a) )0,0(V , 





= 0,
2
3F e 03x2 =+ b) )0,0(V , 





=
4
5
,0F e 05y4 =+ 
c) )0,2(V , )0,3(F = e 01x =− d) )1,4(V − , )1,3(F −= e 05x =− 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 12/1=k 8) 6=c 9) )2,1(− e )2,1( 10) 16 
27 
 
11) )3(8)3( 2 −=− xy 12) 3,75(m) 13) 20(m) 
14) 01875012502 =+− yx e 23=y (m) 
 
15) 16) 4x
1250
3y 2 += 17) (2,0), (3,0), (0,6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
 19) 5/3=ε 20) 8; )0,4( e )0,4(− 
21) 13/12=ε e 24 22) 3y2x 22 =+ 
 
 23) )6,0( − e )12,0( − 
 
 
 
 
24) a) )0,0(C , )3,0(A1 − , )3,0(A2 , )0,5(B1 − , )0,5(B2 , )2,0(F1 − , )2,0(F2 , 3/2=ε 
b) )2,1(C − , )7,1(A1 −− , )3,1(A2 − , )2,5(B1 −− , )2,3(B2 − , )1,1(F1 − , )5,1(F2 −− , 5/3=ε 
c) )1,3(C − , )1,0(A1 − , )1,6(A2 − , )3,3(B1 − , )1,3(B2 , )1,53(F1 −+ , )1,53(F2 −− , 3/5=ε 
25) a) 225y25x9 22 =+ b) 0172y128x28y16x7 22 =+−−+ 
26) Área do jardim = pi300 e comprimento do fio = m60 
27) Eixo menor da órbita elíptica do satélite = 13.740,54(km) e eixo maior = 13.742,00(km) 
28) 
2
5
2
1y
2
1
x
22
=





−+





− 29) 600 (km) 30) 1
6
y
12
x 22
=+ 
31) a) 1
36
y
9
x 22
=− b) 051y24x24y12x4 22 =−−++− 
32) a) )0,0(C , )3,0(V1 − , )3,0(V2 , )2,0(F1 − , )2,0(F2 , 3/32=ε 
b) )1,3(C , )4,3(V1 , )2,3(V2 − , )131,3(F1 − , )131,3(F2 + , 3/13=ε 
c) )1,2(C − , )5,2(V1 − , )3,2(V2 , )6,2(F1 − , )4,2(F2 , 4/5=ε 
34) 25x11y9 22 =− 
 
35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
36) a) Elipse: )4,3(C − , )8,3(V1 − , )0,3(V2 , )74,3(F1 −− , )74,3(F2 +− , 4/7=ε 
b) Parábola: )1,3(V − , )1,7(F − , d: 1x −= 
c) Hipérbole: )2,4(C , )2,1(V1 , )2,7(V2 , )2,534(F1 − , )2,534(F2 + , 5=ε 
 
37) alternativa a 
Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações: 
Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item 
(II); 
Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item 
(V); 
Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I); 
Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV); 
Parábola: temos só x² ou só y², item (III). 
38) 1
16
y
25
x
22
=+ 39) 10x
5
2y 2 +−= 40) 
5
5464Área = 
 
51) a) F(0, -1), y = 1 b) F(0, -1/4), y = ¼ c) F(9/8, 0), 8x + 9 = 0 
52) a) x2 = -y b) x2 – 8x – 16y + 32 = 0 c) y2 + 6y + 8x – 23 = 0 
53) a) A( )0,5± ; F( )0,21± ; 5/21e = b) A( )5,0 ± ; F(0, )0,21± ; 5/21e = 
c) A( )0,5± ; F( )0,62± ; 5/62e = 
54) a) 9x2 + 25y2 = 225 b) 2x2 + y2 – 50 = 0 
 c) 7x2 + 16y2 – 112 = 0 d) 5x2 + 9y2 – 10x – 72y – 31 = 0 
55) 4/7e),3,72(F),3,6(A),3,2(A),3,2(C1
9
)yy(
16
)xx(
21
2
0
2
0
=−±−−−−=
−
+
−
 
56) a) 



θ=
θ=
seny
cos2x
 b) 






θ=
θ=
sen
4
1y
cos
3
1
x
 c) 



θ+−=
θ+=
sen31y
cos51x
 
57) a) 025yx 22 =−+ b) 024y24x4y4x 22 =+−−+ 
58) a) A( x
2
3y,
2
13
e),0,13(F),0,2 ±==±± 
b) A( x
3
2y,
2
13
e),13,0(F),2,0 ±==±± 
c) A( x
5
52y,
2
3
e),3,0(F),2,0 ±==±± 
d) A( xy,2e),2,0(F),2,0 ±==±± 
e) A( x
4
3y,
4
5
e),0,5(F),0,4 ±==±± 
59) a) 8yx 22 =− b) 84y21x4 22 =− c) 64xy16 22 =− d)025y48x20y8x5 22 =−−−− 
60) a) 



θ=
θ=
tgy
sec2x
 b) 




θ=
θ=
sec3y
tg3x
 
 
QUÁDRICAS 
 
1) a) 16zyx 222 =++ ou 016zyx 222 =−++ 
 
 b) 9)1z()4y()2x( 222 =++−+− ou 012z2y8x4zyx 222 =++−−++ 
2) C(-3, 2, 0) e r = 5 3) 0z4y2x8zyx 222 =++−++ 
4) a) 013z8y6x4zyx 222 =+−+−++ b) 020z8y6x4zyx 222 =+−+−++ 
5) a) 09z2yx2 =−−+ b) 06zyx =+−+ c) 038z3y4 =+− 
6) a) 1
4
z
16
y
4
x
222
=++ b) 1
16
z
16
y
4
x
222
=++ c) 9zyx 222 =++ d) 1
4
zy
4
x
2
2
2
=+− 
29 
 
7) a) 1
16
z
9
y
4
x
222
=++ elipsóide b) 1
16
z
9
y
4
x
222
=−+ hiperbolóide de uma folha 
 c) 1
1
z
4
y
1
x
222
=+− hiperbolóide de uma folha d) 1
4
zyx
2
22
=+−− hiperbolóide de duas folhas 
 e) 1
2
z
4
y
x
22
2
=−+− hiperbolóide de duas folhas 
8) a) Elipse. Centro )0,5,0( , focos )0,5,53(± , vértices )0,5,34(± e )3,5,0( ± , excentricidade 4/15e = . 
b) Elipse. Centro )0,0,52(− , focos )
3
52
,0,52( ±− , vértices )2,0,52( ±− e )0,
3
4
,52( ±− , 
excentricidade 3/5e = . 
c) Circunferência. Centro )
3
1
,0,0( − , raio 5,0r = . 
10) Alternativa c 11) com o eixo x: 2x ±= , com o eixo y: 4y ±= , com o eixo z: 16z −= 
13) a) )0,0,2(P1 ; )0,5,0(P2 e )3,0,0(P3 
b) 





=
=+
0y
)xzplanonoelipse(1
9
z
4
x
C
22
1 c) 





=
=+
0z
)xyplanonoelipse(1
25
y
4
x
C
22
2 
14) a) )0,2,0(P1 − e )0,2,0(P3 
b) 





=
=−
0z
)xyplanonohipérbole(1
2
x
2
y
C
22
1 
c) 





=
==+
4y
)4yplanonoelipse(1
3
z
2
x
C
22
2 
15) a) )0,0,2( , )0,0,2(− , )0,2,0( e )0,2,0( 
b) 





=
=−
0y
)xzplanonohipérbole(1
9
z
4
x
C
22
1 
c) 




=
==+
3y
)3zplanono22raiodecírculo(8yxC
22
2 
d) 





=
=−
0x
)yzplanonohipérbole(1
9
z
4
y
C
22
3 
 
 
 
 
30 
 
EXERCÍCIOS DE PROVAS DE NB020 
SEGUNDA PROVA DE NB-020 – P2 – 21/10/2014 
 
 
1ª QUESTÃO: Dados os pontos ( )20,2,A e ( )6,33,B , determinar o vetor projeção de AB sobre 
o vetor u que é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60º com o vetor i e ângulo agudo com o 
eixo Oy. 
 
2ª QUESTÃO: Do paralelepípedo de lados OA, OB e OC, sabe-se que: 
 
)4,3,x(AO = , )2,4,0(BO = e )2,3,1(CO = . 
 
a) Calcule o valor de 0x > , para que o volume desse 
paralelepípedo seja igual a v.u12 . 
 
b) Calcule o a área do triângulo OAC. 
 
3ª QUESTÃO: Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? 
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 
 
4ª QUESTÃO: Determine as equações simétricas da reta r que tem as seguintes características: 
a) Passa pelo ponto de interseção da reta 



+−=
+=
2xz
3xy
:s com o plano xz. 
 
b) É simultâneamente ortogonal às reta 



=
=
2z
3y
:r1 e 



+=
−=
3yz
y2x
:r2 
 
5ª QUESTÃO: Considere as retas 
4
( ) 4 2 ( )
3 2
x
r y
z
α
α α
α
= −

= − + ∈ℜ

= −
 e 
1 2
( ) 1 2
1
x y
s
z
− −
=
−
 =
 e o ponto 
(5,5 ; 3 ; 4)A = − . Pede-se: 
 
a) faça um gráfico representando a reta ( )s no espaço; 
b) determine, caso exista, o ponto de interseção da reta ( )r com a reta ( )s . 
 
3ª PROVA DE NB-020 – 09/12/2014 
 
1ª QUESTÃO: Determine a equação geral (cartesiana) do plano que contém as retas (r) e (s) de 
equações: 



−−=
+=
2x3z
1x2y
:r e 





−=
=
+−=
t63z
t4y
t21x
:s 
2ª QUESTÃO: Determine: 
a) a equação da parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, vértice em (2,3) e que 
passa pelo ponto (6,5). Desenhar o gráfico da parábola em escala de cm1.c.u1 = . 
b) a posição do foco dessa parábola em coordenadas polares. 
c) a equação da diretriz. 
O A 
B 
C 
31 
 
 
3ª QUESTÃO: Seja a hipérbole 1
4
)2x(
9
)3y( 22
=
−
−
+
: 
 
a) Faça um esboço da hipérbole, em escala de cm1.c.u1 = , indicando as coordenadas do 
centro, dos vértices e dos focos. 
b) Determine os pontos de interseção da hipérbole com os eixos coordenados. 
c) Ache a equação das retas assíntotas. 
 
5ª QUESTÃO: Considere o elipsóide de equação 081z90z9y16x36 222 =+−++ . 
a) Escreva a sua equação padrão. 
b) Determine, em coordenadas esféricas, os pontos de interseção desse elipsóide com a reta de 
equação



=
=
5z
0x
 . 
c) Faça um esboço desse elipsoide, em escala de cm1.c.u1 = , indicando as coordenadas de seu 
centro e de seus vértices. 
 
SEGUNDA PROVA DE NB-020 – P1 – 16/05/2015 
 
 
1ª QUESTÃO: Seja um triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1). Encontre a altura 
(h) desse triângulo, em relação ao lado AC. 
 
2ª QUESTÃO: Determine e represente, no sistema de coordenadas cartesianas, o vetor vr , 
sabendo que: 
- o vetor v
r
 tem abscissa igual à ordenada; 
- o vetor v
r
 tem cota positiva; 
- o vetor v
r
 tem módulo igual a 6; 
- o vetor v
r é ortogonal ao vetor )4,1,1(u −= . 
 
3ª QUESTÃO: Seja a reta )(
33z
3y
24x
)s( ℜ∈





−=
+−=
+=
α
α
α
α
 e a reta (r) determinada pelos pontos A(2,0,3) 
e B(2,4,0). Pede-se: 
 
a) Determine as equações simétricas da reta (r) e faça um esboço da sua representação gráfica. 
b) Calcule o ângulo formado pelas retas (r) e (s). 
c) Encontre, caso exista, o ponto de interseção das retas (r) e (s). 
 
4ª QUESTÃO: Determine os ângulos diretores do vetor normal ao plano pi , sendo: 





β+α−=
β+−=
β−α+=
pi
43z
21y
32x
 
 
5ª QUESTÃO: São dados os pontos A(0,1,8) e B(-3,0,9), e a reta r na forma reduzida 



+−=
+=
3x3z
1xy
:r , onde C é um ponto qualquer desta reta. Determine o ponto C, pertencente à reta 
r, de maneira que o triângulo formado com vértices A, B e C, seja retângulo em A. 
 
32 
 
TERCEIRA PROVA DE NB-020 – P1 – 25/06/2015 
 
 
1ª QUESTÃO: Esboce o gráfico da quádrica 0z200z25y16x100 222 =−++ , indicando as 
coordenadas do centro e dos vértices. OBS: use escala de 1 uc = 1 cm. 
 
3ª QUESTÃO: Determine as coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas do ponto P 
representado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª QUESTÃO: Seja a cônica de equação ( ) ( ) 1
25
1y
36
2x 22
=
+
−
−
: 
 
a) Faça o esboço do gráfico (use escala de 1 uc = 1 cm); 
b) Determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos; 
c) Encontre a equação das retas assíntotas. 
 
SEGUNDA PROVA DE NB-020 – P1 – 22/10/2015 
 
 
1ª QUESTÃO: Dados os pontos ( )0,1,mA , ( )2,m2,1mB − e ( )1,3,1C − , determinar m de modo 
que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo. 
 
2ª QUESTÃO: Determine o(s) vetor(es) vr , de módulo 4, coplanar aos vetores 
)10,(0,B e )0,1,2(A −==
rr
 e que forma um ângulo de 45º com o vetor )1,1,0(C −=
r
. 
 
3ª QUESTÃO: Determine o ponto A', simétrico de A(1, 4, 2) em relação ao plano 02zyx: =−+−pi . 
4ª QUESTÃO: Determinar o ângulo formado entre o plano pi e a reta r, definidos por: 
 





β+α−=
β+−=
β−α+=
pi
43z
21y
32x
 



−=
+=
2xz
3x2y
:r 
5ª QUESTÃO: Determine as equações simétricas da reta paralela à reta 



+=
+=
3x2z
1xy
:r e que 
contenha o ponto de interseção da reta 



+=
=
3yz2x
:s com o plano xz. 
 
x 
y 
z 
- 4 
- 4 
 5 
30º 
P 
33 
 
TERCEIRA PROVA DE NB-020 – P1 – 26/11/2015 
 
 
1ª QUESTÃO: Determinar a equação geral e construir o gráfico da curva gerada por um ponto que 
se move, de modo que a soma de suas distâncias aos pontos (4, -1) e (4, 7) seja sempre igual a 
12. 
 
 
3ª QUESTÃO: Determine as coordenadas cilíndricas e esféricas e esboce o gráfico, do ponto P 
que se encontra no 8º octante e cujas distâncias em relação à origem do sistema de 
coordenas retangulares são, em módulo, 3 cm, 4 cm e 6 cm. 
 
 
4ª QUESTÃO: Dada a equação geral da cônica 0199y18x64y9x16 22 =+−−− 
 
a) Esboce o gráfico. 
b) Ache a excentricidade, o centro, os vértices e os focos. 
c) Determine a equação da reta assíntota crescente. 
 
SEGUNDA PROVA DE NB-020 – P1 – 14/05/2016 
 
 
1ª QUESTÃO: Verifique se existe interseção entre a reta r e o plano π, caso exista determine este 
ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª QUESTÃO: Determinar as equações simétricas da reta r, perpendicular ao plano π e que passa 
pelo ponto A (2,3, -1). 
 





−+=
−=
−+=
pi
t2h24z
t1y
t2h1x
:
 
3ª QUESTÃO: Determinar o vetor v de módulo 5 , sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor 
k2iu −= , e forma ângulo obtuso com o vetor i . 
 
4ª QUESTÃO: Determinar a projeção do vetor k3j6i4v rrr −+= na direção do vetor definido pelos 
ângulos diretores α , º120=β e º50=γ 
 
5ª QUESTÃO: Determinar a equação do plano pi , que contém o ponto )2,1,0(P1 − e a reta 



−=
−=
43
3
zy
zx
r 
 
 
 
x 
y 
z 
6 
- 4 
2 
π 



−−=
+−=
1
63
:
yz
yx
r 
34 
 
TERCEIRA PROVA DE NB-020 – P1 – 18/06/2016 
 
 
1ª QUESTÃO: A figura abaixo representa um 
ponto P no espaço. Para representar o ponto P 
foi utilizada uma coordenada de cada um dos 
sistemas de coordenadas estudados, 
cartesiano, cilíndrico e esférico. Determine 
todos os valores que faltam para os três 
sistemas de coordenadas e represente-os no 
gráfico abaixo. 
 
 
2ª QUESTÃO: Determine, para o conjunto dos 
números complexos, as raízes de 
,02564 6 =+z na forma algébrica bjaz += , 
com ℜ∈ba, . Represente graficamente as 
raízes. 
 
 
 
3ª QUESTÃO: Dada a equação cônica 
6
7
624
y
=x
2
++
y
, determinar as coordenadas do vértice e do 
foco, a equação da diretriz e esboçar o gráfico. 
 
4ª QUESTÃO: Seja a hipérbole cuja equação é 04001625 22 =−− yx 
a) Determine as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos. 
b) Determine as equações das assíntotas. 
c) Represente graficamente. 
 
5ª QUESTÃO: Seja o elipsóide de equação 9x2 – 36x + 4y2 – 8y + 36z2 + 4 = 0. 
a) Determine sua equação na forma reduzida padrão. 
b) Esboce seu gráfico, indicando as coordenadas do centro e dos vértices. 
 
SEGUNDA PROVA DE NB-020 – P1 – 08/10/2016 
 
 
1ª QUESTÃO: O ponto A(1, 2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os três vértices 
adjacentes são B(2, 1, 4), C(0, 2, 0) e D(1, m, 1). Sabendo-se que as coordenadas dos pontos A, 
B e D, foram dadas em módulo e que estes pontos encontram-se, respectivamente, nos seguintes 
octantes, 4º, 8º, 2º. Determinar o valor de m para que o volume desse paralelepípedo seja igual a 
20 unidades de volume. 
2ª QUESTÃO: O vetor v é ortogonal aos vetores ( )0,2,1u = e ( )1,0,2w = e forma ângulo 
agudo com o vetor j . Determinar o vetor v , sabendo que 21v = . 
3ª QUESTÃO: Seja o plano π que contém o ponto A(3, 7, 1) e é paralelo aos vetores ( )1,1,1u = e 
( )0,1,1v = . 
 
a) Encontre as equações cartesiana e paramétrica de π. 
b) Verifique se o ponto P (1, 2, 2) pertence ao plano π. 
c) Verifique se o vetor ( )5,2,2w = é paralelo ao plano π. 
 
35 
 
4ª QUESTÃO: Determine as equações simétricas das retas r e s. Ache o ângulo formado entre 
elas. Sabe-se que: 
 
- A reta r contém o ponto A(2, 3, -1) e é paralela ao eixo OZ. 
- A reta s contém o ponto B(-1, 0, 2) e seu vetor diretor tem módulo 6 e ângulos diretores 
º60=α , º120=β e γ . 
 
5ª QUESTÃO: Represente graficamente o plano 030z6y10x15 =−−+ . Ache o ponto de 
interseção deste plano com a reta 5z3y2x +=−=+ . 
TERCEIRA PROVA DE NB-020 – P1 – 19/11/2016 
 
 
3ª QUESTÃO: O sistema de controle de uma empresa de transportes detectou um furo no fundo de 
um dos tanques de gasolina. A imagem na tela do monitor mostra o quinto octante do tanque 
com um sinal luminoso de alerta sobre o furo (no ponto P). Determine as coordenadas 
retangulares, cilíndricas e esféricas do ponto onde se encontra o furo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª QUESTÃO: Determine a equação de uma parábola, no plano xy, de vértice )3,2(V − , eixo de 
simetria paralelo ao eixo OX e que passa pelo ponto )1,3(P1 − . Esboce a parábola, com escala de 
cm1.c.u1 = , indicando as coordenadas do vértice e do foco. 
 
5ª QUESTÃO: Determine os centros, os vértices, os focos, a equação das retas assíntotas e esboce 
o gráfico da hipérbole 056x36y16x9y4 22 =−+−− . 
 
 
 
z 
x 
y 
3 
3 
-4 
30º 
P