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Notas de aulas de Vibrações (Prof. Dr. Airton Nabarrete)

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. . . . . . . . . .
Notas de aulas
Vibrações em Sistemas
Mecânicos
Prof. Dr. Airton Nabarrete
Centro Universitário da FEI
4ª Edição – 2005
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Freq (Hz)
10-3
10-2
10-1
100
101
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
(m
m
)
Node(1) EC / EF = 0.0015
Node(1) EC / EF = 0.015
Node(1) EC / EF = 0.15
0 0.25 0.5 0.75 1
Tempo [s]
-100
-50
0
50
100
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
[m
m
]
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 1
1. INTRODUÇÃO
 Atualmente, muitos estudos são feitos com objetivo de motivar as aplicações das vibrações
em engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas
de controle etc. Problemas com vibração podem ocorrer devido ao desbalanceamento em
motores alternativos ou mesmo em qualquer sistema rotativo, porém o desbalanceamento
excessivo indica erros de projeto ou um processo de fabricação pobre. Em motores diesel, o
desbalanceamento pode provocar muito ruído em áreas urbanas. Nos motores a gasolina a
grande preocupação atual é a redução das vibrações para o aumento do conforto do condutor.
Na instalação de novas máquinas operatrizes na indústria metalúrgica, como exemplo, centros
de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc., há grande preocupação com a isolação
das vibrações de modo a não piorar a precisão das mesmas durante a sua utilização posterior.
Em muitas indústrias estas máquinas são instaladas na proximidade de máquinas geradoras de
vibração, como: prensas excêntricas, tesouras guilhotinas, etc.
 Quando temos a freqüência natural do sistema mecânico coincidindo com a freqüência de
vibração devida a operação, temos o aparecimento da ressonância, que leva o sistema a
deslocamentos excessivos e até à ruptura de algumas partes. Por causa do efeito desastroso que
as vibrações podem causar às estruturas e às máquinas, testes de vibrações foram incluídos nas
normas e procedimentos de projeto e de verificação experimental nos diversos ramos da
engenharia.
1.1 Definição de vibração
 Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração
ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e
das forças associadas aos mesmos.
 Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou
elasticidade dos materiais), um meio de armazenar energia cinética ( massa ou inércia ) e um
meio pelo qual a energia é dissipada (amortecedor ou atrito).
 
 
 
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 2
 Sistema Massa-Mola
 
m
 k
 x x0
 x
t
 A vibração de um sistema ocorre pela transformação da energia potencial em energia
cinética e de energia cinética em potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma
energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o
estado da vibração é para ser mantido.
1.2 Modelo Massa-Mola em Vibração Livre
 Neste caso de vibração, o sistema é considerado como conservativo e, após ser fornecido
uma quantidade de energia inicial, o mesmo se movimenta eternamente, pois não há dissipação
de energia. No modelo simplificado da figura abaixo, m representa a massa e k a rigidez da
mola. Neste modelo percebemos a possibilidade do sistema oscilar na direção x em função da
elasticidade da mola ligada à massa. A direita temos o esquema de corpo livre com as forças
que atuam sobre o mesmo.
 
m
 k
 x
+-
N
mg
- k x
 Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo
de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a
esquerda.
22
2
1
2
1
xkxmE
EEE
total
potcintotal
+=
+=
!
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 3
 A equação dinâmica do sistema é :
 ( ) ( )txktxmxmf −=→=∑ !!!!
 A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem. Reposicionando os termos, temos:
 ( ) ( ) 0=+ txktxm !!
 Podemos utilizar o mesmo procedimento para a análise de um sistema torcional. Na figura
abaixo, kt representa a rigidez torcional do eixo vertical e J o momento de inércia da roda
inferior.
 
θ
kt
J
 Efetuando a análise para o corpo livre da roda, teremos:
 0=+→=∑ θθθ tt kJJM !!!!
 A análise de vibrações tem por objetivo prever a resposta de movimento para o sistema
vibratório, portanto é desejável conhecer a resposta para estas equações diferenciais.
Felizmente, a solução da equação diferencial acima é bem conhecida dos cursos introdutórios
de cálculo e física.
 Assim, a solução para a variável x(t) é :
 ( ) )cos( φω −= tAtx
 A é a amplitude e representa o máximo valor da função x(t) ,
 ω é a freqüência circular (expressa em rad/s), e
 φ representa o ângulo de fase ou simplesmente fase .
 A escolha da função coseno pode ter como alternativa a função seno, pois ambas são funções
que descrevem movimentos periódicos de oscilação.
 A solução da equação diferencial indicada por x(t) é chamada de resposta livre, pois não
existem forças dinâmicas que provoquem a vibração do modelo massa-mola.
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 4
Consequentemente, a vibração livre acontece sempre com a mesma freqüência de vibração, a
qual é denominada de freqüência natural e recebe o índice n, ou seja, ωn .
 Para verificar que x(t) é a solução procurada, deve-se derivar a mesma e substituir na
equação diferencial.
 ( ) ( ) nntAtx ωφω −−= sen!
 ( ) ( ) ( )txtAtx nnn 22cos ωωφω −=−−=!!
 Substituindo na equação diferencial, temos:
 ( ){ } ( ) ( ) 0)(0 22 =+−⇒=+− kmtxtxktxm nn ωω
 Como x(t) não pode ser zero, ou seja, é o deslocamento medido na vibração, então:
 
m
k
km nn =⇒=+− ωω 0
2
 Pela expressão acima, entendemos que a freqüência natural do modelo massa-mola é função
apenas da massa e da rigidez da mola. Analogamente, a freqüência natural do sistema torcional
é dada por :
 
J
kt
n =ω
 Na função x(t) ainda restam duas incógnitas, ou seja, A e φ . Para determiná-las é necessário
informar as condições de contorno que regem o problema diferencial. No caso da resposta livre
de vibração, condições de contorno estão representadas pelas condições iniciais do problema.
Como são duas incógnitas, necessitamos de conhecer duas condições iniciais. Portanto, fica
estabelecido que devemos conhecer o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da
vibração livre.
 ( ) ( ) ( )φφω −=−== cos0cos00 AAxx n
 ( ) ( ) ( )φωφωω −−=−−== sen0sen00 AAxv nnn!
 Para resolver estas equações, tem-se:
 
( ) ( )
( ) ( )

−=−
=−
φφ
φφ
sensen
coscos
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 5
 ( ) ( )
A
x
Ax 00 coscos =⇒= φφ
 ( ) ( )
A
v
Av
n
n ω
φφω 00 sensen =⇒=
 Utilizando relações trigonométricas, tem-se:
 ( )[ ] ( )[ ] 1sencos 22 =+ φφ
 
2
02
0
2
0
2
0 1 



+=⇒=



+


nn
v
xA
A
v
A
x
ωω
 
( )
( ) 



=⇒=
0
0
0
0
cos
sen
x
v
arctg
x
v
nn ω
φ
ωφ
φ
 O quadro abaixo resume o movimento vibratório do modelo massa-mola.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento Harmônico Simples – Sumário
x0
Amplitude, A
+
Período, T
tempo, t
Deslocamento, x(t)
-
v0 = tg(θ)
θ
2π
ω
( ) 






−



+=
0
0
2
02
0 cos x
v
arctgt
v
xtx
n
n
n ω
ω
ω
inicialtodeslocamenx =0 inicialvelocidadev =0
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 6
1.3 Movimento Harmônico
 Se depois de um intervalo de tempo o movimento é repetido, o mesmo é chamado de
movimentoperiódico. O tipo mais simples de movimento periódico é o movimento harmônico.
 
 O movimento do mecanismo mostrado na figura acima é um exemplo de um movimento
harmônico simples. Quando a roda gira com uma velocidade angular ω, a extremidade S do
elemento Q é deslocada de sua posição central de uma quantidade x dada por :
 ( ) ( )tAAx ωθ sensen ==
 A velocidade no ponto S é dada por : ( ) ( )tA
dt
dx
tx ωω cos==!
 E a aceleração por : ( ) ( ) ( )txtA
dt
xd
tx 22
2
2
sen ωωω −=−==!!
 
 Pode ser visto que a aceleração é proporcional ao deslocamento.
 
 
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 7
 O movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um vetor
posição OP de magnitude A girando a uma velocidade angular ω.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura acima, as projeções do vetor posição OPX =
"
 no eixo vertical e no eixo horizontal
são dadas por : ( )tAy ωsen= e ( )tAx ωcos= .
 O vetor X
"
 pode ser representado no espaço cartesiano e também no espaço complexo:
 
 
 
 ibaX +=
"
onde, 1−=i
 
 
 
 
 a e b são as componentes real e imaginária do vetor X
"
.
 A representa o módulo do vetor e φ o argumento ou ângulo entre o vetor e o eixo real (eixo
horizontal). Utilizando as relações trigonométricas, escreve-se:
 ( )φcosAa = , ( )φsenAb = , 22 baA += e 


=
a
b
arctgφ
 Portanto, ( ) ( )φφ sencos AiAX +="
 Das relações dos números complexos, obtém-se:
φ
A
Imag
ReO
b
a
y 
=
 A
 s
en
(ω
 t)
O
A
P
π 2π 3π
T
θ
y
θ=ωt
ω
A
P
O x
y
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 8
 ( ) ( )[ ] tii eAeAiA ωφφφ ==+ sencos
 Utilizando λ como uma constante diferente de zero, escreve-se:
 tti AeAeXi λωλω ==→=
"
 A diferenciação do vetor posição X
"
 no tempo gera :
 ( ) XeAeA
dt
d
X tt
"!" λλ λλ === ( ) XeAeAdtdX tt "!!" 22 λλλ λλ ===
 Estas quantidades são mostradas na figura abaixo como vetores rotativos. Observa-se que o
vetor aceleração está defasado de 90o em relação ao vetor velocidade e este último está defasado
de 90o em relação ao vetor deslocamento.
 
 Na figura, observa-se que o deslocamento é obtido pela função:
 ( ) ( )tAtx ωsen=
 Assim, pode-se dizer que somente a parte imaginária do vetor X
"
 foi utilizado. Pode-se
utilizar a notação complexa na forma abaixo para representar o deslocamento, velocidade e
aceleração.
 ( ) ( ) ( )tAeAtx t ωλ senIm ==
 ( ) ( )  +== 2senIm πωωλ λ tAeAtx t! ( ) ( ) ( )πωωλ λ +== tAeAtx t senIm 22!!
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 9
1.4 Amortecimento Viscoso
 Em observações reais, percebemos que as oscilações livres em sistemas mecânicos se
reduzem ao longo do tempo até que sejam totalmente extintas, porém a resposta em
deslocamento obtida anteriormente pelo modelo massa-mola mostra que a oscilação ocorre
eternamente com a mesma amplitude. Portanto, o modelo massa-mola resolve apenas o
problema do cálculo de freqüências naturais. Para incluir o efeito do decaimento da amplitude
deve-se incluir, no modelo anterior, a energia dissipada pelo sistema durante as oscilações.
 O amortecimento viscoso é a forma mais comum de incluir a dissipação de energia nos
sistemas mecânicos. A figura abaixo demonstra os componentes de um amortecedor de
automóvel. Neste caso, quando o êmbolo se desloca em relação à carcaça, o amortecimento
viscoso é resultante da passagem do óleo de uma câmara para a outra através de orifícios
estreitos.
 
 O escoamento de óleo pelos orifícios do êmbolo na figura acima causa uma força de
amortecimento que é proporcional à velocidade do pistão, porém em direção oposta ao mesmo.
O novo modelo matemático tem a forma:
 
m
 k
N
mg
- k x
 x
+-
c
- c x
.
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 10
 A força de amortecimento é dada por:
 ( ) ( )txctFamort !−= onde: c = constante de amortecimento
 A equação dinâmica do modelo da figura anterior é, portanto :
 ( ) ( ) xmtxctxk !!! =−−
 Reposicionando os termos da equação acima, temos:
 ( ) ( ) ( ) 0=++ txktxctxm !!!
 Esta equação diferencial tem solução homogênea que corresponde fisicamente a uma
resposta transiente de movimento, ou seja, não duradoura. A solução para a equação é:
 
teAx λ=
 Substituindo na equação diferencial, temos:
 ( ) 02 =++ teAkcm λλλ
 Como a constante A não pode ser nula, então:
 02 =++ kcm λλ
 As soluções possíveis para a expressão acima são descritas como:
 
m
k
m
c
m
c
−

±−= 22,1 22λ
 λ1 e λ2 podem ser reais ou complexos dependendo do resultado interno do radical na
equação. Para a solução geral da equação diferencial admite-se a expressão:
 ( ) tt ebeatx 21 λλ +=
 Pela solução apresentada, pode-se concluir que se λ for real então o resultado para x(t) se
apresenta como uma função exponencial e não demonstra o comportamento de oscilações,
porém se λ for um número complexo, então o resultado de x(t) representa um movimento
harmônico como demonstrado anteriormente no item 1.3.
 
 
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 11
1.4.1 Fator de amortecimento
 Para demonstrar a idéia utilizada para definir o fator de amortecimento, busca-se
inicialmente o resultado para o λ que descreva um movimento harmônico. O movimento
harmônico ocorre se o resultado interno da raiz for:
 0
2
2
<−


m
k
m
c
 Para obter uma solução, escreve-se o termo do radical da expressão de λ na forma:
 ( )
222
2
1
22



−=−


 


−=−


m
c
m
k
i
m
c
m
k
m
k
m
c
 Por este procedimento, percebe-se que uma forma de verificar se a solução é harmônica, isto
é complexa, pode ser a comparação dos valores de k/m e (c/2m)2. Se (c/2m)2 for maior ou igual
a k/m não existe movimento harmônico. Um amortecimento crítico é definido como a constante
de amortecimento que resulta no radical nulo. Assim,
 
m
k
mc
m
k
m
c
c
c 20
2
2
=→=−


 O fator de amortecimento é então definido como a relação entre o valor real da constante de
amortecimento e o valor do amortecimento crítico.
 
cc
c
=ζ
 Quando, ζ < 1, tem-se um movimento harmônico ou oscilatório como resultado. Na prática,
costuma-se orientar as faixas de valores para o fator de amortecimento que melhor atendem esta
ou aquela aplicação, independente do porte do sistema.
1.4.2 Sub-amortecimento ( ζζζζ < 1 )
 Utilizando do fator de amortecimento, pode-se calcular :
 nm
k
m
c
ωζζ ==
2
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 12
 Aplicando este resultado, tem-se que :
 ( )222,1 nnn i ωζωωζλ −±−=
 O radical se denomina freqüência natural amortecida, ou seja, ωa.
 22,1 1 ζωωωζωλ −=→±−= naan i
 A solução para o caso de sub-amortecimento é, então:
 ( )titit aan ebeaex ωωωζ −− +=
 Aplicando as relações trigonométricas descritas no item 1.3 em conjunto com constantes
complexas A e B, na forma apresentada abaixo, tem-se a solução do problema:
 
( ) ( )
( ) ( ) dicatite
dicatite
ti
ti
−=−=
+=+=
− ωω
ωω
ω
ω
sencos
sencos
 ( ) ( ) ( )[ ]tdtcebea aatiti aa ωωωω sen2cos2 −−=+ −
 Os termos (-2c) e (-2d) são constantes reais. Como já demonstrado no item 1.3 a solução
final pode ser escrita na forma :
 ( ) ( )[ ]φωζω −= − tAetx atn cos
 As constantes A e f são calculadas em função das condições iniciais que promovem a
oscilação amortecida, assim como no caso da vibração sem amortecimento anteriormente
descrita no item 1.2. Assim, conhecendo-se o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicialv0 da
vibração livre tem-se:
 
2
002
0 


 +
+=
a
nxvxA
ω
ζω
 e 


 +
=
0
00
x
xv
arctg
a
n
ω
ζωφ
 As equações acima podem ser melhor compreendidas se observarmos o gráfico de x(t). Este
tipo de gráfico é chamado de resposta temporal ou resposta no tempo. Na figura seguinte,
observa-se o gráfico de x(t) com um decaimento nas amplitudes da curva que representa a
vibração do sistema sub-amortecido, pois considera os valores: k=1 N/m, m=0.1 kg e
c=0.08 Ns/m .
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 13
 Na figura, pode-se interpretar a redução de amplitude como sendo decorrente da energia
dissipada pelo amortecedor a cada ciclo.
 
1.4.3 Super-amortecimento ( ζζζζ > 1 )
 Neste caso, admite-se que o resultado da raiz seja um número real, ou seja:
 0
2
2
>−


m
k
m
c
 Em função do fator de amortecimento, tem-se:
 ( ) 01 22 >− nωζ
 A solução para este caso é:
 
tt nn
eBeAx
ωζζωζζ  −−− −+− += 11
22
1.4.4 Amortecimento Crítico ( ζζζζ = 1 )
 O resultado da raiz é nulo, então a solução para este caso é:
 ( ) tneBAx ωζ−+=
 A figura abaixo apresenta um gráfico comparativo do deslocamento de um sistema mecânico
com amortecimento crítico e com super-amortecimento. Considerou-se os valores: k=1 N/m,
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 14
m=0.1 kg e c=1.5 Ns/m . A constante de amortecimento crítico vale cc=0.632 Ns/m . Em
ambos os casos foi aplicado um golpe inicial de mesma intensidade. Pode-se notar que estas
soluções não representam oscilações harmônicas.
 
1.4.5 Variação na Equação Diferencial
 A equação diferencial que representa o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor,
pode ser escrita usando os valores de freqüência natural e fator de amortecimento. Para obter
esta nova expressão, basta dividir toda a equação pela massa m do sistema.
 0=++ x
m
k
x
m
c
x !!!
 Assim, concluímos que:
 ( ) ( ) ( ) 02 2 =++ txtxtx nn ωζω !!!
1.5 Terminologia da Oscilação Harmônica
 A terminologia utilizada na discussão de problemas de vibrações envolve algumas outras
quantidades que não foram discutidas.
 Freqüência de oscilação : É o número de ciclos por unidade de tempo.
 


=====
− Hzs
s
ciclos
ciclorad
srad
T
f 1
/
/
2
1
π
ω
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 15
 Na expressão acima, o período de oscilação T é o tempo tomado para completar um ciclo
completo de movimento harmônico.
 


==
ciclo
s
srad
ciclorad
T
/
/2
ω
π
 O Valor de pico em uma oscilação harmônica é o valor de máximo deslocamento da
vibração e está representado pela própria amplitude A. O deslocamento total da massa
(Deslocamento pico-a-pico) durante a vibração equivale a duas vezes a amplitude.
 Outra quantidade útil para descrever as vibrações é o Valor Médio da oscilação. Este é
definido por :
 ( )∫
∞→
=
T
T
dttx
T
x
0
1
lim
 Como a energia potencial é calculada com base no quadrado do deslocamento, o Quadrado
do Valor Médio do deslocamento é útil em alguns problemas de vibração.
 ( )∫
∞→
=
T
T
dttx
T
x
0
22 1lim
 A raiz quadrada deste valor é utilizada em muitos casos e é mais conhecida com o respectivo
nome no idioma inglês, ou seja, Root Mean Square (rms) .
 Na análise de vibrações é comum, também, encontrar valores de deslocamento elevado em
determinadas freqüências e valores muito baixos em outras. Desta forma para representar os
deslocamentos como função da freqüência é necessário se utilizar de escalas logarítmicas.
 Uma unidade muito utilizada tanto para valores de amplitudes como para valores rms é o
decibel (db) que é definido por :
 
2
2
1log10 



=
x
x
dB
 Na expressão acima, x1 é o valor calculado ou medido e x2 é o valor de referência.
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 16
 Grau de Liberdade é o número mínimo de coordenadas independentes (angulares ou
lineares) requeridas para determinar completamente as posições de todos os componentes de um
sistema dinâmico em qualquer instante de tempo. Na tabela abaixo, estão demonstrados alguns
modelos de sistemas mecânicos com as respectivas indicações dos graus de liberdade.
1.6 Exercícios
1) Encontre ζ e ωn para o sistema amortecido. Responda se o sistema é sub-amortecido,
super-amortecido ou amortecido criticamente. ( m = 1 kg; c = 2 kg/s; k = 10 N/m ).
2) Encontre a solução para a equação diferencial ( ) ( ) ( ) 04 =++ txtxtx !!! para x0 = 1 mm e
v0 = 0 mm/s. Desenvolva a solução utilizando o programa MathCAD ou MATLAB e
imprima o gráfico da solução em função do tempo.
3) Trace o gráfico do deslocamento de um sistema amortecido cuja freqüência natural é
igual a 2 Hz e as condições de contorno são x0 = 1 mm e v0 = 0 mm/s. Considere um
gráfico contendo várias curvas, sendo: ζ = 0.01, ζ = 0.2 e ζ = 0.6 . Utilize programas
como o MathCAD ou MATLAB.
 
Sistemas de
1 grau de
liberdade
 k
 x
m
θ
kt
J
Sistemas de
2 graus de
liberdade
m2
k1 k2
x2
m1
x1 kt
θ1
J1 J2
θ2
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 17
2. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS
 A descrição do movimento de determinado sistema físico por meio de um sistema de
equações é chamado de modelagem matemática do sistema. Ao descrever o sistema massa-mola
mencionado no item 1.1, procurou-se utilizar a equação dinâmica e relacionar o movimento da
massa com a força exercida pela mola. Neste caso, foi possível se utilizar da 2ª lei de Newton
para descrever o movimento do sistema. Entretanto, em casos que envolvam a combinação de
massas, inércias de rotação, molas torcionais, por exemplo, é comum se utilizar de métodos de
energia para obter as equações dinâmicas do sistema.
 Neste capítulo, procurou-se relacionar e revisar as equações dos componentes básicos
existentes em sistemas vibratórios. No próximo capítulo, serão apresentados os métodos de
energia que são aplicados para obter as equações dinâmicas destes sistemas.
2.1 Molas
 Uma mola é uma ligação flexível entre dois pontos de um sistema mecânico. Como a massa
das molas é usualmente pequena, a força medida dinamicamente nas suas extremidades é
normalmente igual. Desta maneira, a força da mola é proporcional a deformação da mesma,
 21: xxxondexkF −==
 
F
∆x
 F é a força que age na mola e x é a sua deformação.
 Algumas molas não se comportam com a equação acima e admite-se então uma função
polinomial para representação geral da força em relação a deformação das molas,
 #33
2
2 xkxkxkkF 10 +++=
 Neste curso, será considerado que somente molas de comportamento linear ou quase-linear
sejam equacionadas nos diversos problemas. Considera-se, também, que as molas tem
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 18
deformação nula quando a força é nula, então, k0 = 0. As constantes que multiplicam os termos
polinomiais de ordem 2 ou superior serão consideradas de pequeno valor, então:
 xkF =
 O coeficiente k representa a constante elástica ou constante de mola linear e indica a rigidez
que a mola possui. A energia potencial para molas lineares é dada por:
 21
2 ,
2
1
xxxondexkV −==
2.1.1 Elementos Estruturais como Molas
 A vibração em algumas estruturas pode envolver a tração ou compressão axial de barras ou
vigas, como é mostrado na figura abaixo.
 
L
m
x
A,E
F(t)
 
m
k
x
F(t)
 (a) Estrutura com barra e bloco (b) Sistema equivalente com mola
 Sabe-se que a deformação de uma barra sujeita a uma força axial, se comporta como a lei de
Hooke. Utiliza-se a expressão de Hooke para obter a relação entre forçae deslocamento:
 x
L
AE
F
L
x
E
A
F
E =→=→= εσ
 Na expressão acima, E é o módulo de elasticidade do material, A é a área da seção
transversal da barra e L é o comprimento anterior à deformação. Comparando a equação obtida
com a equação da mola helicoidal, tem-se que :
 
k
AE
L
=
 Se a massa da barra for pequena em relação a massa do bloco, o sistema axial acima é
modelado como um sistema massa-mola equivalente.
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 19
 
Material Módulo de Elasticidade Densidade Módulo de Cisalhamento
E [N/m2] ρρρρ [kg/m3] G [N/m2]
Aço 2.05E+11 7.80E+03 8.00E+10
Alumínio 7.10E+10 2.70E+03 2.67E+10
Cobre 6.00E+10 2.40E+03 2.22E+10
Concreto 3.80E+09 1.30E+03 -
Borracha 2.30E+09 1.10E+03 8.21E+08
Madeira Laminada 5.40E+09 6.00E+02 -
 A tabela acima indica as constantes físicas de alguns materiais comuns.
 Outro exemplo de elemento estrutural funcionando como mola é o caso das vigas sujeitas a
carregamentos transversais.
 
m
y
L/2L/2
 
m
 k
y
 Na viga bi-apoiada da figura acima, o deslocamento devido ao carregamento proporcionado
pela massa apoiada sobre um ponto qualquer da mesma, é :
 y
L
EI
P
EI
PL
y
3
3 48
48
=→=
 Se a massa da viga é muito pequena em relação a m, o sistema pode ser modelado como um
sistema massa-mola, onde a mola equivalente terá constante elástica igual a
 
3
48
L
EI
k =
 O sistema composto de eixo e disco da figura ao lado,
está sujeito a um momento oscilatório rotativo. Portanto, o
disco oscila em torno da posição angular de equilíbrio
estático e o eixo (barra cilíndrica) tem o comportamento
similar a uma mola torcional.
J
θ
M
L
JP ,G
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 20
 Este efeito ocorre, por exemplo, nos eixos das caixas de câmbio, pois funcionam como molas
de torção, enquanto que as engrenagens funcionam como discos de inércia. Quando o disco de
inércia gira de um ângulo θ a partir da posição de equilíbrio, o momento de torção que o disco
impõe ao eixo, é escrito por :
 θ
L
GJ
M P=
 Na expressão, G é o módulo de elasticidade transversal, JP é o momento polar de inércia de
área da seção do eixo e L é o comprimento do eixo.
 Uma mola torcional é considerada linear quando há uma relação proporcional entre o
momento aplicado e o deslocamento angular. Chama-se de kt , a constante elástica torcional.
 θtkM =
 Comparando as expressões anteriores, a constante elástica torcional do eixo é obtida como:
 
L
GJ
k Pt =
 A tabela abaixo resume algumas constantes de mola obtidas a partir de elementos estruturais:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mola helicoidal sob carga axial
(d = diâmetro do arame, D =
diâmetro da espira e n =
número de espiras)
3
4
8nD
dG
keq =
Viga bi-engastada com carga
transversal no centro da viga 3
192
L
EI
keq =
Viga simplesmente engastada
com carga transversal na
extremidade
3
3
L
EI
keq =
Eixo tubular sob torção
(D = diâmetro externo, d =
diâmetro interno)
( )44
32
dD
L
G
kt −=
π
Vibrações 
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2.1.2 Molas Equivalentes
 Quando as molas estão posicionadas em paralelo, e a deformação de cada uma é a mesma, a
força total é a soma direta das forças desenvolvidas em cada mola que depende das respectivas
constantes elásticas.
 
m
k1
k2
kn
 x
 A substituição das molas em paralelo por uma única de constante elástica keq é feita pelo
procedimento abaixo:
 xkxkxkxkxkF
n
i
in 



=++++= ∑
=1
321 # xkF eq=→ ∑
=
=→
n
i
ieq kk
1
 Quando as molas estão posicionadas em série, a mesma força é desenvolvida em todas as
molas quando deformadas. Entretanto, a deformação sofrida por cada mola é diferente e
depende das constantes elásticas individuais.
 
m
k1 k2 kn
 x
 O deslocamento na extremidade do conjunto, a partir da posição de equilíbrio, é obtido pela
soma das deformações de cada mola,
 x x x x x xn i
i
n
= + + + + =
=
∑1 2 3
1
# 
i
i k
F
x =→ ∑
=
=→
n
i ik
F
x
1
 Portanto, a constante elástica equivalente é obtida como : 
∑
=
=
n
i i
eq
k
k
1
1
1
Vibrações 
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 No exemplo abaixo, deve-se determinar a constante elástica equivalente do sistema.
 
m
k
2k
 x
k
3k 2k
 Efetuando associações em paralelo e em série, tem-se :
 
m
3k/5
 x
2k
 
m
13k/5
 x
2.1.3 Posição de Equilíbrio Estático
 A posição de equilíbrio estático de um sistema mecânico é a posição na qual o sistema
permanecerá em equilíbrio na ausência de oscilações. Como já observado nas disciplinas de
física, oscilações ocorrem em torno da posição de equilíbrio estático e são causadas pela
presença de energia cinética ou potencial ou por uma força externa.
 Os sistemas da figura abaixo têm molas deformadas na posição de equilíbrio estático e é
importante saber quantificar esta deformação estática. À esquerda a mola está deformada com
δest = mg/k . Na direita, a massa da barra está dividida igualmente entre os dois apoios, portanto
a deformação estática da mola é δest = mg/(2k) .
 
l0
m
k
δest
k
mg
k
m
mg/2
 Abaixo, ambos os sistemas não estão deformados, pois não sofrem da força gravitacional.
 
m
k
m 3
k2
m2
k1
m1
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 23
2.2 Massas ou Inércias
 As propriedades de massa ou de momento de inércia nos corpos rígidos são utilizadas na
determinação da força de inércia ou do momento inercial respectivamente. Pode-se determinar
este tipo de força ou momento utilizando a 2ª Lei de Newton.
 xmF !!= θ!!JM =
 As energias cinéticas de translação e de rotação destes corpos são calculadas por :
 
2
2
1
xmEc !=
 
2
2
1 θ!JEc =
2.2.1 Efeitos de Inércia em Molas
 Quando uma força é aplicada para deslocar um bloco de massa da sua posição de equilíbrio,
o trabalho efetuado pela força é convertido em energia de deformação armazenada na mola.
 Se a massa é deixada nesta posição e depois solta, a energia potencial da mola se converte
em energia cinética para os dois componentes, o bloco e a mola. Se a massa da mola não é
muito menor que a massa do bloco, sua energia cinética é não pode ser considerada desprezível.
 Para a mola, as velocidades nas diversas posições do seu comprimento variam. Se o suporte
da mola não se movimenta, a velocidade da mola junto ao suporte é zero e na extremidade presa
ao bloco de massa a velocidade é a própria velocidade do bloco como se pode observar no
diagrama de velocidades da figura abaixo.
 
m
kz
dz
L
x!
u!
x
l
z
zu !! =)(
 A relação entre a velocidade do comprimento infinitesimal e a velocidade do bloco de massa
está descrita pela expressão ao lado da figura.
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 24
 Como a energia cinética é o produto da massa pela velocidade ao quadrado, devemos
integrar ao longo da mola as energias cinéticas de cada comprimento infinitesimal da mola para
obter a energia cinética total da mola.
 A energia cinética infinitesimal é :
 ( ) [ ] [ ]22 )(
2
1
)(
2
1
zudz
l
m
zudmdE molamolac !! 


==
 A energia total cinética da mola é obtida então, por :
 ( ) ( ) 23
0
3
2
0
2
32
1
32
1
2
1
x
mz
l
xm
dz
l
xz
l
m
dEE mola
l
molal mola
molacmolac !
!! 


=



=






== ∫∫
 Para o sistema massa-molatemos que a massa equivalente da mola que deve ser adicionada a
massa do sistema, é :
 [ ]
3
mola
molaeq
m
m =
2.3 Amortecimento Viscoso
 O amortecimento viscoso representa a dissipação da energia de movimento nos sistemas
mecânicos e ocorre quando as superfícies de contato dos dois componentes estão separadas por
um filme de fluído viscoso. Conforme já comentado anteriormente, o fluído provoca uma força
de restrição ao movimento que é proporcional a velocidade relativa dos corpos. Se for um
amortecedor hidráulico convencional, temos que o êmbolo e o cilindro têm velocidades v1 e v2,
respectivamente.
 21: vvvondevcF −=∆∆=
 Em cada ciclo de oscilação uma parcela da energia existente no sistema é perdida. A
potência dissipada pelo amortecedor é então calculada por:
 ( )2vcvFPdissip ∆=∆=
 
 
 
Vibrações 
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2.4 Resumo dos componentes
 Sistemas Lineares ou de Translação:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas Angulares ou de Rotação:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c
 x
m
k
Força
Constante e
Unidade
Energia ou
Potência
Mola
xkF eq= ]/[ mNkeq 2
2
1
xkVE eqP ==
Massa xmF eq !!= ][kgmeq 2
2
1
xmTE eqC !==
Amortecedor xcF eq != ]/[ mNsceq 2xcP eqdissip !=
θ
M
J
ct
kt
Momento
Constante e
Unidade
Energia ou
Potência
Mola Torcional
θ
eqt
kM = ][ mNk
eqt 2
2
1 θ
eqtP
kVE ==
Inércia θ!!eqJM = ][ 2mkgJeq 2
2
1 θ!
eq
JTEC ==
Amortecedor Angular θ!eqtcM = ][ msNc eqt 2θ!eqtdissip cP =
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 26
2.5 Leitura Recomendada
 Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 3a ed., Cap.I, pág.1-55, Nova
York.
2.6 Exercícios Propostos
 Admitindo que k1 = 5 N/m, k2 = 10 N/m, kt1 = 5 Nm e kt2 = 10 Nm, determine a constante
equivalente de mola dos sistemas abaixo:
 
a) 
θ
kt1
kt2
J
 
b) 
θ
kt1
kt2
J
 
 
c) 
m
k1 xα
d) 
m
k1
k2
x
0,3
0,5
0,2
 
 a) Rotores acoplados por engrenagens:
e) 
kt1
kt2
Jkt1
n1
n2
z1=60
z2=20
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 27
3. MÉTODOS DE ENERGIA
3.1 Soma de Energias Cinéticas
 Muitas vezes é necessário analisar o movimento completo de sistemas vibratórios que são
compostos de alavancas, engrenagens e outras ligações e complicam aparentemente a análise,
pois cada componente tem movimento diferente. Estando estes componentes rígidos ligados de
forma tal que a movimentação de um seja
vinculada a movimentação dos outros, é vantajoso,
em geral, a redução do sistema para um equivalente
mais simples. Assim, a associação de massas é
obtida por meio da soma das energias cinéticas.
 Para melhor compreensão, utilizou-se o exemplo
do sistema de acionamento da válvula do motor,
indicado na figura ao lado. As velocidades dos
pontos A e B podem ser escritas em função da
velocidade angular da alavanca, ou seja:
 θ!! ax = θ!! by =
 A energia cinética total dos componentes oscilantes do sistema é calculada como:
 ( ) ( ) 2222
32
1
2
1
2
1
2
1
y
m
xmymJE molahastevalvc !!!! 


+++= θ
 Substituindo as velocidades e rearranjando alguns termos, obtém-se o Jeq de uma alavanca
maior que substitui todos os componentes no cálculo.
 ( ) ( ) 22222
2
1
32
1 θθ !! eqmolahastevalvc Jb
m
ambmJE =

 


+++=
 Substituindo a velocidade do ponto A na expressão, obtém-se a massa equivalente em A:
 ( ) 22
2
222
2
13
2
1
xmx
a
b
m
ambmJ
E A
mola
hastevalv
c !! =








+++
=
Vibrações 
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3.2 Método da Energia Conservativa
 Além de aplicar a 2ª lei de Newton para obter a equação dinâmica (equação diferencial do
modelo), podemos utilizar também o método da conservação da energia. Neste método
ressaltamos o seguinte postulado: “A soma das energias cinética e potencial para um sistema
conservativo é igual a uma constante desde que a energia total do sistema seja representada
somente em função destes dois tipos de energia”. Sendo a energia total constante, temos que a
variação da energia é zero.
 0)( =+∂
∂
⇒=+= PCPCTOTAL EEt
cteEEE
 A vantagem deste método é que a diferenciação da energia total no tempo nos dá a equação
dinâmica do sistema, porém somente podemos aplicá-lo quando desconsiderarmos qualquer
forma de amortecimento e forças externas ao sistema vibratório.
 Para efeito de comparação, no exemplo da massa, polia e mola, a equação dinâmica será
obtida pelo método de forças dinâmicas (2ª lei de Newton) e também pelo método de energia.
 Método das forças dinâmicas: a figura abaixo descreve a análise de corpo livre para o bloco
de massa e para a polia. A massa do cabo foi desprezada neste exemplo.
 
m
k
M
r
 x
O
m
mg
mg
k δest
θest
Análise Estática
mg
O
 mg
T
T
k (δest+x)
θest+ θ
Análise Dinâmica
m
O
 Do equilíbrio estático na polia, podemos dizer que :
 ( ) ( ) rkrgmM estO δ=→=∑ 0
 O cabo que sustenta a massa é o mesmo que está ligado à mola, portanto qualquer
deslocamento da massa se reflete em deformação para a mola.
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 29
 A equação de compatibilidade entre os deslocamentos da massa e da polia é escrita como :
 θθ !!!! rxrx =∴=
 Como a deformação da mola é equivalente ao deslocamento da massa, então :
 estest r θδ =
 Aplica-se a 2ª lei de Newton para escrever a equação dinâmica para o bloco de massa m,
 xmgmTentãoxmTgmxmF !!!!!! −==−→=∑ ,
 A equação dinâmica para a polia, é :
 ( )[ ] θδθ !!!! JrxkrTJM estO =+−→=∑
 Relacionando as equações acima, pode-se escrever :
 θ!!rmgmT −=
 rrkrrmgmJ est )]([)( θθθθ +−−= !!!!
 Aplicando a condição de equilíbrio estático, obtém-se a equação dinâmica:
 0)( 22 =++ θθ rkrmJ !!
 Método da Energia Conservativa:
 Como primeiro passo, efetua-se a soma das energias cinéticas e potenciais envolvidas no
exemplo :
 cte
xkJxm
EEEEE TmolaPpoliaCmassaCT =++=→++= 222
222
)()()(
θ!!
 No segundo passo, escreve-se as equações de compatibilidade entre as diversas variáveis de
deslocamento e substitui-se na equação da energia total conservativa :
 θθ !! rxrx =→=
 ( ) ( )222
2
1
2
1
2
1 θθθ rkJrmET ++= !!
 
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 30
 O terceiro passo é a diferenciação da energia total sabendo que seu valor é constante :
 θθθθθθ∂
∂ !!!!!!! 220 rkJrm
t
ET ++==
 ( ) 022 =++ θθθθ !!!!! rkJrm
 Como θ! não pode ser nulo sempre, então :
 ( ) 022 =++ θθ rkJrm !!
 Por fim, pode-se calcular a freqüência natural não-amortecida do sistema massa-polia-mola :
 
)( 2
2
rmJ
rk
n
+
=ω
 Num segundo exemplo, representado na figura abaixo, uma barra rígida de massa m,
comprimento l e seção transversal uniforme, é articulada no ponto O e suportada por uma mola.
 
 Neste exemplo, o amortecedor será desconsiderado para poder aplicar o método da energia
conservativa.
 a) Expressão da energia total:
 cte
xkJ
EEEE OTmolaPbarraCT =+=→+= 22
22
)()(
θ!
 b) Equação de compatibilidade entre os deslocamentos:
 ( )22
2
1
2
1 θθθ akJEax OT +=→= !
 
 
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 31
 c) Diferenciação da equação de energia:
 θθθθ∂
∂ !!!! 20 akJ
t
E
O
T +==
 ( ) 02 =+ θθθ !!! akJO
 Portanto,
 0
2
=+ θθ akJO !!
 Para a barra de seção uniforme, tem-se que:
 
12
2ml
JCG =
 Aplica-se o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia no ponto O, então,
 
3212
2222 mllm
ml
JmdJJ OCGO =


+=→+=
 Finalmente, tem-se:
 
2
2
2
2 3
0
3 ml
ak
ak
ml
n =→=+ ωθθ!!
 Um terceiro exemplo será utilizado para determinar a equação dinâmica do pêndulo simples
com massa m na extremidade da haste de comprimento l. Como procedimento de modelagem,
admite-se que a massa tem dimensões reduzidas em relação ao comprimento da haste. Além
disto, a massa da haste é desprezível
quando comparado à massa m.
 a) Expressão da energia total:
 )( nalgravitacioPCT EEE +=
 ( ) ctemglJE OT =−+= θθ cos12
2!
 
 
 
y
l - l cos(θ )
l
θ
1
2
3
mg
O
m
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 32
 b) A equação de compatibilidade não é necessária, pois o sistema está todo escrito em
função de θ .
 c) Diferenciação da equação de energia:
 ( )θθθθ∂
∂ !!!! sen0 mglJ
t
E
O
T +==
 ( ) 0sen =+ θθ mglJO !!
 O momento de inércia do pêndulo é escrito na forma:
 
2mlJO =
 Portanto,
 ( ) 0sen2 =+ θθ mglml !!
 Ou ainda,
 ( ) 0sen =+ θθ
l
g!!
 A equação obtida é uma equação diferencial não-linear. Entretanto, aplicamos uma
simplificação, admitindo que o pêndulo oscile com pequenos ângulos.
 Para condições iniciais que façam o pêndulo oscilar com pequenos ângulos, tem-se :
 0sen =+→≅ θθθθ
l
g!!
 
l
g
n =ω
3.3 Amortecimento equivalente
 Nos sistemas em que é necessário determinar o amortecedor equivalente, devemos fazer uso
da técnica usada no item 3.1 . Se houver vários amortecedores, a potência dissipada é obtida
pela expressão:
 ( )∑ ∆=
i
iidissip vcP
2
Vibrações 
Prof. Airton Nabarrete Pag. 33
 No exemplo da figura abaixo, vários amortecedores são montados em uma alavanca de
comprimento l que oscila em torno do ponto O.
 
k
m
c1 c2 c3O
y z x
a
b
 Para o cálculo da equação dinâmica na rotação da alavanca é necessário determinar o
amortecimento angular equivalente. Então, utiliza-se a expressão de potência dissipada :
 [ ] 2322212 xczcyccP eqtTotaldissip !!!! ++== θ
 As equações de compatibilidade para este caso são :
 θθθ lxbzay === ,,
 Portanto, a constante equivalente de amortecimento é escrita como :
 ( ) ( ) ( ) 2322212322212 lcbcacclcbcacc eqteqt ++=→++= θθθθ !!!!
 A constante de mola também pode ser obtida por procedimento semelhante ao apontado no
item 3.1 . Assim, tem-se :
 
22
2
1
2
1
xkkE eqtP == θ
 Aplicando-se a compatibilidade dos deslocamentos,
 ( ) 222
2
1
2
1
lkklkk eqteqt =→= θθ
 Portanto, utilizando do momento de inércia encontrado no exemplo 2 do item 3.2, faz-se :
 ( ) ( ) 0
3
22
3
2
2
2
1
2
=++++



θθθ lklcbcaclm !!!

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