Cap 2 - Juros simples, proporcionalidade de taxas e mais um pouco de HP-12C

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Graduado em Administração de Empresas pela Unicapital, com espe-
cialização em Valores Humanos. Trabalha com Matemática Financeira 
desde 1991, quando passou a atuar nas áreas de custos, planejamento 
e controladoria.
Fábio Batistella
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Juros simples, 
proporcionalidade de taxas 
e mais um pouco de HP-12C
Juros simples
Para o cálculo de juros simples, também chamado de critério linear, os juros são calculados so-
mente sobre o capital inicial, desconsiderando-se o reinvestimento de eventuais ganhos obtidos e/ou 
auferidos nos períodos intermediários. Também é chamado de critério linear porque as remunerações 
geradas são diretamente proporcionais ao valor aplicado e ao prazo da operação, ou seja, em termos 
matemáticos estamos trabalhando com uma aplicação de “Equações do 1.º grau”, que sempre traz uma 
reta quando apresentada em um gráfico.
Para o cálculo financeiro baseado no método dos juros simples é utilizada a seguinte fórmula; as 
demais serão decorrentes dela:
M = C (1 + i . n)
Da qual deduzem-se:
i
M
C
n
=
− 1
n
M
C
i
=
− 1C M
i n
=
+( . )1
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Podemos também deduzir uma fórmula que nos dê o montante dos juros auferidos na operação 
através da seguinte expressão:
Juros (J) = M – C
J = C . i . n
Onde:
Capital (C) – é o valor do dinheiro no início da operação, ou seja, o capital inicialmente aplicado.
Montante (M) – é o valor do dinheiro no final da operação, representado pelo capital inicial acrescido 
dos juros totais.
Juros (J) – é o valor do dinheiro resultante da relação entre o prazo e a taxa de juros agindo sobre o 
capital.
Prazo (n) – número de períodos considerados na operação.
Taxa de juros (i) – taxa de juros (percentual) utilizados na operação.
Os cálculos nas operações de juros simples são bastante simples e dispensam grandes conheci-
mentos de matemática, pois não acontece o reinvestimento de valores. Por outro lado, esse “não rein-
vestimento” faz com que a taxa de juros simples não reflita adequadamente o valor do dinheiro no tem-
po e, portanto, a utilização desse método, fica restrita às operações específicas e geralmente de curto 
prazo, onde as distorções são menores.
Exemplo:
A importância de $1.000,00 está sendo aplicada, a uma taxa de juros de 5% ao mês, por 8 meses, 
pelo método dos juros simples e, ao final do período, terá o seguinte valor:
Onde:
C (capital) = $1.000,00
M (montante) = ?
n (prazo) = 8 meses
i (taxa de juros) = 5% ao mês (5% a.m.)
M = C (1 + i . n)
M = 1 000 (1 + 0,05 . 8)
M = 1 400
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Taxa proporcional
Em todos os cálculos financeiros a base de tempo em que está registrada a taxa de juros (i) deve 
ser a mesma base de tempo que será solicitada no prazo (n), mas na prática nem sempre é assim. Exis-
tem casos em que a taxa de juros está em uma base de tempo diferente da utilizada para o prazo, assim 
deve-se fazer o cálculo da taxa proporcional.
Mas o que é taxa proporcional?
É a taxa de juros que produz o mesmo efeito sobre o dinheiro que aquela que foi informada 
inicialmente no cálculo de juros simples, essa taxa sempre será múltipla ou submúltipla da original e o 
modo utilizado para fazer esse cálculo é o da regra de três.
É importante saber que por convenção faz-se uso do ano comercial como critério para os cálculos 
financeiros, ou seja, o ano tem 360 dias; o semestre tem 180 dias, o trimestre tem 90 dias, o mês tem 30 
dias e assim sucessivamente. 
Regra de três
Chamamos de Regra de Três o processo de resolução de problemas de quatro 
valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor.
A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabe-
la (em proporção) e resolvermos uma equação.
Exemplo:
Temos uma taxa de juros (i) de 30% ao mês e precisamos saber qual é a taxa proporcional para 
20 dias. 
Montando a tabela:
Taxa financeira (%) Tempo (dias)
30 30
x 20
Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o tempo, o 
percentual da taxa também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:
30 30
20x
=
Multiplicamos em cruz:
30x = 600
x = 20
Portanto, a taxa financeira proporcional será de 20% para 20 dias.
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Uso da hp-12C
Ano comercial e ano corrente
Quando trabalhamos com o fator tempo na hP-12C, devemos levar em consideração que temos 
duas notações distintas que são:
ano corrente – formado por 365 dias e com os meses na forma do calendário;::::
ano comercial – formado por 360 dias e cada um dos 12 meses com 30 dias.::::
No modo comercial, o dia representa 1/360 do ano ou 1/30 do mês e assim sucessivamente. 
D. MY / M.DY.
A hP-12C, por ser uma máquina com tecnologia oriunda dos EUA tem como “default” (padrão 
original) a forma norte-americana de trabalhar com datas que é mm.dd.yyyy e que significa mês, dia e 
ano (nessa ordem).
No Brasil fomos educados e estamos habituados a pensar e trabalhar seguindo a ordem de dia, 
mês e ano. Para a hP-12C trabalhar no modo “D.MY” (Brasil), basta acionar sucessivamente as teclas “g” 
e “4”; a função D.MY ficará visível na linha inferior do display. Para ativar o modo M.DY basta acionar su-
cessivamente as teclas “g” e “5” e a função D.MY sumirá da linha inferior do display.
Operações “DYs” – variação de dias
Possuindo-se duas datas d1 e d2, é possível calcularmos quantos dias temos entre ambas, a essa 
diferença damos o nome de variação de dias e na hP-12C é apresentada pela função “DYS”, que é aces-
sada através da função “g” seguido pela “tecla EEX”.
Observação: conforme exposto anteriormente, temos a diferenciação entre ano corrente e ano co-
mercial, na hP-12C ao fazer o cálculo da variação de dias demonstra os dois valores. O primeiro a aparecer no 
display é baseado no ano corrente (365d) e para ter acesso ao ano comercial (360d) basta pressionar a “tecla 
X><Y”. 
Exemplo: 
Qual é a variação de dias entre as datas de 01/jan/2001 e 01/jan/2002? 
Certifique-se que D.MY está ativo (aparecendo no display). 
Digitando Mostrador
 01.012001 ENTER 1,0120
01.012002 “%g”, “EEX” running
Após alguns instantes teremos 365,0000, pressionar então “X><Y”, teremos então 360,0000.
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Operações “DATe” – cálculo de datas
Possuindo-se uma data e uma quantidade de dias que se deseja avançar ou retroceder em relação a 
essa data, é possível calcularmos qual será o respectivo dia, a essa nova data damos o nome data objetivo 
e esta é apresentada pela função “DATE”, que é acessada através da função “g” seguido pela “tecla CHS”.
Observação: ao solicitarmos essa função, a hP-12C retorna além da data objetivo, que vem expressa em 
dd.mm.aaaa, um outro número de 1 a 7 no canto direito do display; esse algarismo refere-se ao dia da 
semana no qual ocorrerá a data objetivo.
O dia da semana é iniciado pelo 1 e refere-se à segunda-feira, o 2 à terça-feira e assim sucessiva-
mente até o 7 que se refere ao domingo.
Para retroceder basta informar a data e a quantidade de dias com o sinal negativo; como já vimos, 
para inverter o sinalde um número basta pressionar “CHS”. 
Exemplo 1: 
Se acrescermos a 01/jan/2001 500 dias, qual será a nova data (data objetivo)?
Certifique-se que D.MY está ativo (aparecendo no display). 
Digitando Mostrador
 01.012001 ENTER 1,0120
 500 “g” , “ChS” RUNNING
Após alguns instantes teremos 16/05/2002 4
Resposta 16/mai/2002 e esse dia será uma quinta-feira.
Exemplo 2: 
Se retrocedermos de 01/jan/2001 1 000 dias, qual será a nova data (data objetivo)?
Certifique-se que D.MY está ativo (aparecendo no display). 
Após alguns instantes teremos 7/04/1998 2
Resposta 07/abr/1998 e esse dia será uma terça-feira.
Limpar
 A calculadora hP-12C apresenta diversas formas para que seja efetuada a limpeza de registros, 
a seguir abordaremos as formas mais usuais e práticas de fazê-la.
Limpar o display – tecla “CLX”
É o modo mais simples de limpeza, em que o valor visível no display é limpo, após acionarmos 
a tecla “CLX”. Vale lembrar que, como vimos na demonstração da “pilha”, “x” é o registrador visível no 
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display, ou seja, quando acionamos essa função estamos limpando apenas esse registrador. Os registra-
dores “y”, “z” e “t” permanecem da forma que estiverem. 
Limpar todos os registros – “REG” (teclas “f” e “CLX”)
É o modo de limpeza mais radical em que, com exceção de programas armazenados, todos os 
regis tros são apagados. Esse comando é dado mediante o acionamento das teclas “f” e “CLX”, primeiro 
“f” e posteriormente “CLX”, vale lembrar que dessa forma estamos acessando a função “REG” (em ama-
relo).
Texto complementar
O conceito de juros em Marx e Keynes e sua influência 
sobre os modelos de crises financeiras
(ChOCIAY; NeVes, 2007)
A interpretação do sistema financeiro a partir de Marx
O conceito de juros – o capital portador de juros
Segundo Marx, na produção capitalista o juro decorre da função do dinheiro como capital. 
Essa função está ligada à possibilidade, no capitalismo, de se utilizar uma dada soma em dinheiro 
para a aquisição de meios de produção e força de trabalho para a realização da produção e, com 
isso, obtenção de lucro, ou seja, mais-valia. O dinheiro como capital passa a se constituir, portanto, 
numa mercadoria, pois assume um novo valor de uso, distinto do valor de uso do dinheiro “meio 
de circulação”. 
A análise dessa “mercadoria-capital” quanto a valor de uso, valor (de troca) e preço é o funda-
mento para encontrar o determinante da taxa de juros. O valor de uso já foi identificado como a 
possibilidade de extração de mais-valia.
O funcionamento da mercadoria dinheiro como capital (ou “mercadoria-capital”) envolve, de 
maneira geral, dois agentes principais: o capitalista monetário ou prestamista – detentor da soma 
em dinheiro – e o capitalista produtivo ou atuante – aquele que obtém essa quantia do capitalista 
monetário por meio de empréstimo e a aplica de maneira produtiva. No início do processo, o capi-
talista monetário cede o dinheiro para o tomador de recursos. Este mobiliza os fatores de produção 
e ao final obtém o lucro, a partir da mais-valia. No momento da devolução ao portador original do 
dinheiro adiantado, o capitalista produtivo cede também uma fração do lucro. 
Esta representa o que se chama de juro. Do ponto de vista do valor, o capitalista atuante re-
cebe um certo valor em dinheiro. O consumo do valor de uso do dinheiro como capital tem como 
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consequência a multiplicação do seu valor; ao contrário do que ocorre com as mercadorias comuns, 
que têm o seu valor extinto no ato de consumo (MARX, 1986, p. 264). Ao final da produção e venda 
das mercadorias produzidas pelo uso do capital, o capitalista atuante tem em suas mãos um valor 
superior ao recebido do prestamista.
Como parte do acordo de empréstimo, o valor adiantado é restituído. Dessa forma, o efeito 
líquido que se tem é a cessão apenas do valor de uso do capital (a possibilidade de geração de valor 
adicional), porém sem transferência definitiva de valor. No pagamento do juro, o capitalista pro-
dutivo transfere ao capitalista monetário uma soma adicional de dinheiro – que encerra um certo 
valor – como contrapartida pelo valor de uso do capital. Em termos líquidos, trocou-se um valor de 
uso que não contém valor em si, por dinheiro, que tem um valor determinado.
Na troca simples de mercadorias, pressupõe-se que deve haver equivalência de valores para 
que o intercâmbio se realize. Esse valor está refletido nos preços equivalentes das mercadorias.
Não é o que ocorre com a mercadoria-capital. Ela possui um preço, correspondente ao juro, 
mas esse preço não reflete valor algum. Daí a irracionalidade do “juro como preço de capital” (MARX, 
1986, p. 266) e a impossibilidade de se estabelecer uma taxa natural de juros. 
Na teoria marxista, os preços de mercado médios tendem a se igualar à expressão monetária 
do valor das mercadorias (ou preços de produção). Contudo, as flutuações relativas entre oferta e 
demanda podem fazer com que os preços oscilem em torno desse patamar. No caso da taxa de ju-
ros, dada a ausência de valor, não há determinação que não seja por meio da concorrência, ou seja, 
por meio da oferta e da demanda.
Porém ainda é preciso especificar melhor o que se entende por “oferta e demanda” na de-
terminação do nível dos juros. A oferta e a demanda relevantes para a taxa de juros são aquelas 
relacionadas ao capital monetário. O capital monetário é uma das formas que assume o capital (este 
entendido como relação social) em seu processo de reprodução, da mesma forma que as mercado-
rias utilizadas no processo produtivo.
A demanda de capital monetário provém da necessidade de alguns capitalistas de acelerar 
a rotação do seu capital (o capital monetário é usado para antecipar a transformação do capital- 
-mercadoria), ou então, como capital adicional, que será transformado em meios de produção para 
uma reprodução ampliada. A oferta de capital monetário provém do dinheiro ocioso, que pode ser 
colocado a cargo de capitalistas atuantes, para que se dê sua valorização. Os mecanismos pelos 
quais o capital monetário é ofertado estão mais bem descritos na análise do sistema financeiro.
Outro aspecto marcante nas obras de Marx, e posteriormente de hilferding, sobre o assunto é a 
preocupação em deixar bastante evidente a distinção entre as maneiras de determinação do lucro e 
do juro. O lucro é “tanto condição, como fim da produção capitalista” (hILFERDING, 1985, p. 102), e é 
determinado pelas características materiais da produção, notadamente pela capacidade do capital 
de se apropriar de trabalho não pago dos trabalhadores assalariados.
O juro, por sua vez, surge “de um fato acidental segundo o qual não são somente os capitalistas 
produtivos que dispõem de dinheiro” (Id). Não é condição inerente à produção capitalista, pois a reali-
zação do empréstimo entre o capitalista prestamista e o atuante, em princípio, não “constitui ato algum 
do processo real de circulação do capital” (MARX, 1986, p. 261). A valorização do capital está restrita ao 
processo produtivo, e, como foi visto, a base de determinação dos juros é a concorrência.
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Atividades 
1. Dados: capital de $95.000,00; aplicado por 30 dias; à taxa linear de 14% ao mês. Calcular o valor 
dos juros.
2. Dados: aplicação por 4 meses; à taxa linear de 20% ao mês; juros de $15.000,00. Calcularo 
capital.
Marx apresenta também a maneira pela qual o juro, categoria de início puramente quantitativa 
(surge da repartição contratual do lucro, assim como ocorre em uma sociedade), atinge um status 
qualitativo. Com a evolução da produção capitalista, torna-se um pressuposto que o capitalista pro-
dutivo trabalhe com capital emprestado. A separação entre juro e a parcela restante do lucro – cha-
mada de ganho empresarial – se consolida socialmente e abstrai-se o processo de produção. Com 
isso, o ganho empresarial passa a representar a remuneração pela atividade de capitalista e o juro 
passa a ser encarado como uma propriedade “natural” do capital monetário de se valorizar para o 
seu detentor. (Ibid, p. 280) É mais uma relação que toma a forma de fetiche no capitalismo.
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27|Juros simples, proporcionalidade de taxas e mais um pouco de hp-12C
3. Qual o tempo que um capital de $150.000,00 deve ficar aplicado à uma taxa de 5% ao mês para 
se obter um rendimento de $75.000,00?
4. Calcule o tempo que esteve empregado o capital de $2.000,00 à taxa de 1,5% a.m. para produzir 
$270,00 de juros simples.
5. Um capital de $8.000,00 ficou aplicado durante 5 meses à taxa de 1,2 % a.m. Calcule o montante 
no final desses 5 meses no sistema de capitalização simples.
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Ampliando conhecimentos
Indico os livros Matemática Financeira, de José Dutra Vieira Sobrinho da editora Atlas e Matemáti-
ca Financeira com Utilização da HP-12C, Edição Compacta, de Armando José Tosi, Editora Atlas. Ambos os 
livros rompem a barreira do tempo em termos de conteúdo, pois são sempre atuais e contêm conceitos 
essenciais que mesmo profissionais mais experientes devem retornar sempre.
Gabarito
1. 30 dias = 1 mês
 J = C . i . n
 J = 95.000,00 . 0,14 . 1
 J = $13.300,00
2. J = C . i . n
 15.000,00 = C . 0,2 . 4
 C = 15.000,00 / 0,8
 C = $18.750,00
3. J = C . i . n
 75.000,00 = 150.000,00 . 0,5 . n
 0 5
75 000 00
150 000 00
,
. ,
. ,
n =
 n= 5 / 0,5
 n = 10 meses
4. J = C . i . n
 270,00 = 2.000,00 . 0,015n
 270,00 = 30n
 n = 9 meses
5. M = C (1 + i . n)
 M = 8000,00 . (1 + 0,012 . 5)
 M = 8000,00 . 1,06
 M = $8.480,00
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Referências
ChOCIAY, henrique; NEVES, Lafaiete Santos. O Conceito de Juros em Marx e Keynes e sua Influência 
sobre os Modelos de Crises Financeiras. Disponível em: <http://sep.org.br>. Acesso em: 27 nov. 
2007.
GASPAR, Fernando. Inflação, Deflação e Crescimento Econômico. Disponível em: <http://docentes.
esgs.pt/fernando-gaspar>. Acesso em: 14 jan. 2008.
GONÇALVES, Jean Píton. A História da Matemática Comercial e Financeira. Disponível em: <www.
somatematica.com.br>. Acesso em: 5 nov. 2007.
MELLO, Gilberto da Silva. Tabela Price: juros simples ou composto? Disponível em: <http://gilbertomelo.
com.br>. Acesso em: 15 jan. 2008.
MODERNELL, Álvaro. A Magia dos Juros Compostos. Disponível em: <www.edufinanceira.com.br>. 
Acesso em: 6 jan. 2008.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 4. ed. São 
Paulo: Pearson, 2006. 
TEIXEIRA, James; DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Financeira. São Paulo: Makron Books.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Utilização da HP-12C: edição compacta. São Paulo: 
Atlas, 2004.
VIEIRA SOBRINhO, José Dutra. Matemática Financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 
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