lista de exercicios av1

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Lista de exercício sobre controle digital.
1. Determine a função de transferência em z das as seguintes equações a diferenças:
(a) y[n] + 0.9y[n− 1] + 0.2y[n− 2] = u[n] + 1u[n− 1]
Solução:
Y [z]
X[z]
=
1 + 0.9z−1
1 + 0.9z−1 + 0.2z−2
(b) y[n+ 2] + 0.7y[n+ 1] + 0.5y[n] = 0.5u[n+ 1]
Solução:
Y [z]
X[z]
=
0.5z
z2 + 0.7z + 0.5
(c) y[n+ 2] + 0.3y[n+ 1] + 0.1y[n] = 0.7u[n]
Solução:
Y [z]
X[z]
=
0.7
z2 + 0.3z + 0.1
2. Considere o sistema com a seguinte equação diferencial:
y¨(t) + 8y˙ + 7y(t) = 5u(t),
sendo
H(s) =
5
s2 + 8s+ 7
Determine a representação em tempo discreto do sistema via função de transferência.
3. Considere o sistema com a seguinte equação diferencial:
y¨(t) + 5y˙ + 6y(t) = 2u(t),
sendo
H(s) =
2
s2 + 5s+ 6
Determine a representação em tempo discreto do sistema via função de transferência.
4. Considere o sistema com a seguinte equação diferencial:
y¨(t) + 3y˙ + 2y(t) = u(t),
Determine a representação em tempo discreto do sistema via função de transferência.
5. Considere o sistema com a seguinte equação diferencial:
y¨(t) + 6y˙ + 5y(t) = 2u(t),
Determine a representação em tempo discreto do sistema via função de transferência.
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6. Um motor DC controlado pela armadura tem uma função de transferência
G[z] = K
z − b
(z − 1)(z − a) .
onde
K = e−∆t − 1 + ∆t; a = e−∆t e b = 1− ∆t(1− e
−∆t)
e−∆t − 1 + ∆t
Assumindo que ∆t, ζ e ωn segundos os itens a seguir, projete um controle do tipo RST que atenda tais requisitos:
(a) ∆t = 0.75, ζ = 0.9 e ωn = 1.8
Solução:
K = 0.2224; a = 0.4724; b = −0.7796;
Ac(z) = z
2 − 0.4936z + 0.0880;Ao(z) = z;
Ms =

1.0 0 0 0
−1.472 1.0 0.2224 0
0.4724 −1.472 0.1734 0.2224
0 0.4724 0 0.1734

MAmf =

1.0
−0.4936
0.08804
0
 ;x =

1.0
0.4015
2.596
−1.094

(b) ∆t = 0.25, ζ = 0.4 e ωn = 2
Solução:
K = 0.1065; a = 0.6065; b = −0.8467;
Ac(z) = z
2 − 1.4685z + 0.6703;Ao(z) = z;
Ms =

1.0 0 0 0
−1.779 1.0 0.0288 0
0.7788 −1.779 0.0265 0.0288
0 0.7788 0 0.0265

MAmf =

1.0
−1.469
0.6703
0
 ;x =

1.0
0.1111
6.915
−3.266

(c) ∆t = 0.5, ζ = 4 e ωn = 3
Solução:
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K = 0.0288; a = 0.7788; b = −0.9201;
Ac(z) = z
2 − 0.8265z + 6.144 10−6;Ao(z) = z;
Ms =

1.0 0 0 0
−1.607 1.0 0.1065 0
0.6065 −1.607 0.0902 0.1065
0 0.6065 0 0.0902

MAmf =

1.0
−0.8265
6.144 10−6
0
 ;x =

1.0
0.3997
3.57
−2.688

(d) ∆t = 0.3, ζ = 2 e ωn = 0.3
Solução:
K = 0.0408; a = 0.7408; b = −0.9049;
Ac(z) = z
2 − 1.6909z + 0.6977;Ao(z) = z;
Ms =

1.0 0 0 0
−1.741 1.0 0.04082 0
0.7408 −1.741 0.03694 0.04082
0 0.7408 0 0.03694

MAmf =

1.0
−1.691
0.6977
0
 ;x =

1.0
0.0255
0.5988
−0.5114

7. Considere o sistema em tempo contínuo a seguir:
G(s) =
s+ 2
s3 + 9s2 + 19s+ 35
.
Faça um projeto de controle discreto do tipo RST que atenda os seguinte requisitos de desempenho:
(a) Tempo de acomodação menor de 2, 4 segundos.
(b) Sobre sinal menor que 12%.
8. Considere o sistema em tempo contínuo a seguir:
G(s) =
s2 + 5s+ 6
s4 + 3s3 + 16s2 + 35s+ 42
.
Faça um projeto de controle discreto do tipo RST que atenda os seguinte requisitos de desempenho:
(a) Tempo de acomodação menor de 4, 6 segundos.
(b) Sobre sinal menor que 5%.
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