Resolução 2ª Lista Cálculo 2 2017_2(1)

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LISTA 2 - Estudo da variação das funções 
1) Determine os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento das funções: 
a) f(x) = 3x-5 
f ’(x) = 3. Não tem ponto crítico. Logo, não tem pontos extremos. 
f’(x) =0 (xR), logo, f é crescente em todo x real. 
 
 
b) f(x) = x2+x+1 - + 
-½ 
f ’(x) = 2x+1= 0  2x=-1 x=-1/2. Ponto crítico. 
Logo, f é crescente em (-1/2, ) ou x >-1/2 
E f é decrescente em (-, -1/2) ou x <-1/2 
Pelo teste da primeira derivada vemos que x = -1/2 é ponto mínimo local e 
f(-1/2) = (-1/2)²+(-0,5) +1= 0,75 é o valor mínimo. 
 
c) f(x) = x + 1/x = x + x-1 
f ’(x) =1-1x-2 = 1-1/x² = 0  (x²-1)/x² = 0/x²  
x²-1 = 0 x = 1 + - + sinais de f’ 
 -1 1  sentido de f 
x ≠ 0 
 
f é crescente para x < -1 ou x > 1, ou seja, em (-, -1) e (1,), 
f é decrescente para –1<x<0 e 0<x<1, ou seja, em (-1,1) com x ≠ 0 
 
Pelo teste da 1ª derivada temos que x =-1 é ponto máximo local e f(-1) = -2 é valor máximo. 
Também, x=1 é ponto mínimo local f(1) = 2 é o valor mínimo local. 
 
d) f(x) = 2x2+3x +5 
 f’(x) = 4x+3 = 0 x = -3/4 é ponto crítico. - - - + + 
 -3/4 
Assim, f é crescente para x > -3/4 e f é decrescente em x <-3/4. 
Portanto, x = -3/4 é ponto mínimo local e f(-3/4) = 3,875 é o valor mínimo. 
 
e) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 
f ’(x) = 12x²+6x-18 
f ’(x) = 12x²+6x-18= 0  x=1 ou x = -3/2 (pontos críticos) 
 
 + - + 
 
 -3/2 1 
 
Logo, f crescente em x < -3/2 e x > 1, ou seja, em (-, -3/2) e (1, ). 
E f é decrescente em –3/2<x<1, ou seja, em (-3/2, 1). 
 
Pelo teste da 1ª derivada temos que x=-3/2 é ponto máximo local, com f(-3/2) = 25,25 valor 
máximo e x = 1 é ponto mínimo local com f(1) = -6 valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
f) f(x) = 2x3+3x2-12x-7 
f ’(x) = 6x²+6x-12 
f ’(x) = 6x²+6x-12 = 0  x=1 ou x = -2 (pontos críticos) 
 
 + - + 
 -2 1 
 
Logo, f crescente em x < -2 e x>1, ou seja, em (-, -2) e (1, ). 
E f é decrescente em -2<x<1, ou seja, em (-2,1). 
 
Ponto máximo x = -2 com f(-2) = 13 valor máximo. 
Ponto mínimo x = 1 com f(1) = - 14 valor mínimo. 
 
g) f(x) = x4+8x3+18x2-8 
 f’(x) = 4x³+24x²+36x 
4x³+24x²+36x =0 
x.(4x²+24x+36)=0 x=0 ou 4x²+24x+36=0 
 x=0 ou x = -3.( pontos críticos) 
 
 
 - + + + 
 0 -3 
 
 -3 0 
- - + X 
+ + + 4x²+24x+36 
- - + f’ 
 
Logo, f é crescente em x > 0, ou seja, no intervalo (0,). 
E f é decrescente em x<0, ou seja, em (-,0). 
 
Portanto, f tem ponto mínimo local em x = 0 e f(0) = -8 é o valor mínimo. 
 
h) f(x)= x³/3-9x+2 
 
a)f ’(x) = 3x²/3-9 = x²-9 = 0 x²=9 x = ± 3 (pontos críticos) 
 
 + - + 
 -3 3 
 
Logo, f crescente em x < -3 e x > 3, ou seja, em (-, -3) (3, ). 
E f é decrescente em -3<x<3, ou seja, em (-3,3). 
 
Ponto máximo local x = -3 com f(-3) = 20 valor máximo. 
Ponto mínimo local x = 3 com f(3) = - 16 valor mínimo. 
 
i) f(x) = 4 –2x 
a)f ’(x) = -2. Não tem ponto crítico. 
f ’(x) = -2 <0 (R). Logo, f é decrescente em todo x real. 
 
 
 
 
k) f(x) = x3-9x2+6x-5 
f’(x) = 3x²-18x+6 = 0  = (-18)²-4.3.6 =252 x= (18±15,9)/6 x = 5,65 ou x = 0,35 
 
 + - + 
 0,35 5,65 
 
f é decrescente em 0,35 < x < 5,65 e f é crescente em x < 0,35 ou x > 5,65. 
b)Portanto, x = 0,35 é ponto máximo local com f(0,35) = -3,95 é o valor máximo. 
E x = 5,65 é ponto mínimo local e f(5,65) = -78,04 é 0 valor mínimo 
 
 
m) f(x) = x4-8x2+2 
f’(x) = 4x³-16x 4x³-16x=0 
x.(4x²-16)=0 x=0 ou 4x²-16 =0 x=0 ou x = 2 ou x = -2 (pontos críticos) 
 -2 0 2 
- - + + x 
+ - - + 4x²-16 
- + - + f’ 
 
Logo, f é crescente em x>2 ou –2 < x <0, ou seja, no intervalo (2,+) e (-2,0), 
e f é decrescente em 0 < x < 2 ou x <-2, ou seja, em (0,2) e (-,-2). 
Logo, pelo teste da primeira derivada vemos que x= 0 é ponto máximo e f(0) = 04 –8.0²+2 =2 é o valor 
máximo. E x= 2 e x = -2 são pontos mínimos com f(2) = 24 –8.2²+2 =-14 e f(-2) = (-2)4 –8.(-2)²+2 =-14 
são os valores mínimos. 
 
 
n) f(x) = 3x5-5x3 
f’(x) = 15x4 –15x² 
15x4 –15x²=0 x²(15x²-15)=0 
x²=0  x =0 ou 15x²-15 =0 x = -1 ou x = 1 (pontos críticos) 
 
 + + + + - + 
 0 -1 1 
 -1 0 1 
+ + + + X² 
+ - - + 15x²-15 
+ - - + f’ 
 
Logo, f é crescente em x<-1 e x >1, ou seja, no intervalo (-, -1) e (1,+), e f é decrescente em –1 < x < 1, 
ou seja, em (-1,1). 
 
Ponto máximo Local x = -1 e f(-1) = 3(-1)5-5(-1)³ = 2 é o valor máximo. 
Ponto mínimo Local x = 1 e f(1) = 3.15-5.1³ =- 2 é o valor mínimo. 
 
o) f(x) = x3-3x-4 
a)f ’(x) = 3x²-3 
f ’(x) = 3x²-3= 0  x=1 ou x = -1 (pontos críticos) 
 
 
 + - + 
 -1 1 
 
Logo, f crescente em x< -1 e x>1, ou seja, em (-, -1) e (1, ). 
E f é decrescente em -1<x<1, ou seja, em (-1, 1). 
x = -1 é ponto máximo local e f(-1) = -3 é o valor máximo. 
x =1 é ponto mínimo local e f(1) = -7 é o valor mínimo. 
 
p) f(x) = 
2x
x
 
f’(x) = 
222 )2(
2
)2(
2
)2(
1.)2.(1








xx
xx
x
xx
 
Como a derivada é um quociente, temos que analisar o sinal do numerador e do denominador. 
Sabemos que –2 < 0 (sempre) e que todo número elevado ao quadrado, no caso (x-2)², sempre é 
positivo, ou seja, (x-2)² >0 (sempre). Portanto,f’(x) = 
0
0
0
)2(
2
2









x
. Logo, f 
sempre é decrescente. 
Como não há pontos críticos não temos nem máximo nem mínimo local. 
 
3) O total de vendas S (em milhares de dólares) de um fabricante de betoneiras se relaciona com a 
quantidade de dinheiro gasta com propaganda x, por S = -0,01x³+1,5x²+200. Encontre o ponto de 
retorno decrescente (ponto de inflexão). 
S’ = -0,03x²+3x 
S’’ = -0,06x+3 
-0,06 x +3 = 0  -0,06x = -3 x = -3/-0,06 = 50. 
Logo, é interessante gastar até 50 mil dólares em propaganda, a partir desse valor o retorno nas 
vendas passa a ser decrescente (cada vez menor). 
 
4) Um índice de preços ao consumidor IPC é descrito por f(t) = -0,2t³+3t²+100, onde t =0 corresponde 
ao ano 1991. Encontre o ponto de inflexão e discuta seu significado. 
f’(t) = -0,6t²+6t 
f’’(t) = -1,2t+6 
-1,2t+6 = 0 -1,2t = -6 t = -6/-1,2 = 5. 
Portanto, vemos que o IPC, descrito por esta função, começa a decrescer a partir de 1996 (1191 +5) 
 
6. Calcule o volume máximo de uma caixa, feita com uma folha de papelão de 40 x 40 cm, retirando-se um 
quadrado de lado x de cada canto da folha. 
 
 
 
 
 40-2x 
 
 
 
 X 40-2x x 
 
V = x.(40-2x).(40-2x) = x.(1600-160x+4x²) = 1600x-160x²+4x³ 
V’ = 1600-320x+12x² =0 
 = 102400-76800 = 25600 
x = 
24
160320 
 x1 = 20 e x2 = 160/24 = 20/3. 
V’’(x) = -320+24x 
V’’(20) = -320+24*20 = 160>0 20 é ponto mínimo. 
V’’(20/3) = -320+24*20/3 = -160<0 20/3 é ponto máximo. 
 
O volume máximo é dado por: 
V(20/3) = 1600*20/3-160*(20/3)²+4*(20/3)³=32000/3-64000/9+32000/27 
= (288000-192000+32000)/27 = 128000/27 
 
7) Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma 
parede de sua casa. Quais as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, 
sabendo–se que ele pretende usar20m de cerca? 
x 2x+y = 20 y = 20-2x 
casa A = x.y = x(20-2x) = 20x-2x² 
 y A’ = 20-4x=0 x = 20/4 = 5 
 x A’’= -4<0  5 é ponto máximo, ou seja, as dimensões 
são x = 5 e y = 20-10 = 10. O galinheiro será de 5m x 10m. 
 
13) Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na 
frente e nos fundos e de 4 m nas laterais . Ache as dimensões do lote com menor área onde 
esse edifício possa ser construído. 
 
 5 
 
 4 4 y + 10 
 y 
 
 x 5 
 
 x + 8 AE = área do edifico, AL = Área do Lote 
AE = x.y= 2000 y = 2000/x= 2000.x-1 
AL = (x+8).(y+10) =(x+8).(2000x-1+10) = 2000+10x+16000x-1+80 = 16000x-1 +10x+2080 
AL’ = -16000x-2+10 = 0-16000/x² = -10 x² = 1600 x = 40. 
(-40 não é possível, pois x é medida do lado) 
AL’’= 32000x-3 = 32000/x²  testando em x = 40, temos AL’’= 32000/40² = 20 > 0. Logo, x= 40 é ponto 
mínimo, ou seja, 40 minimiza á área do lote. Temos x = 40 e y = 2000/x = 2000/40 = 50. 
Portanto o lote deve ter as dimensões: (x+8) x (y+10) = 48 x 60. 
 
9) Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3 . O material da 
tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$ 
1,50 por centímetro quadrado . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja 
mínimo . 
 
Volume = x².y = 2 000 cm³ 
Preço  C = 3.2x² + 1,50.4xy 
 C = 6x² + 6xy e y = 2 000/x² 
 C = 6x² + 6x.2000/x² = 6x² + 6 . 2 000/x = 6x² + 12 000x-1 
 
 C’ = 12x – 12 000x-2 = 12x – 12 000/x² 
 12x – 12 000/x² = 0  12x³ - 12 000 = 0 
 12x³ = 12 000  x³ = 1 000  x = 10 
 
Teste da 2ª derivada: 
Como C” = 12 + 24 000/x³ e C”(10) = 12 + 24 000/10³ = 36 > 0 então x = 10 é um mínimo local. 
x 
x 
y 
 
Dimensões da caixa: 
 10 cm x 10 cm x 20 cm. 
 
10) Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta a margem de um 
rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais as dimensões do campo que tem a maior área?
 
Rio 2x+y = 1200 y = 1200-2x 
 A = x.y = x(1200-2x) = 1200x-2x² 
 A’ = 1200-4x=0 x = 1200/4 = 300 
x x A’’= -4<0  300 é ponto máximo, ou seja, as dimensões 
são x = 300 e y = 1200-600 = 600. O campo será de 300m x 
600m 
 y 
 
11) Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles vendem 
300 unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles venderão mais 30 
unidades. Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita? 
Seja x = número de softwares e y o preço, temos os pontos (x,y) = (300,80) e (330,75). Portanto a = 
(y2-y1)/ (x2-x1) = (75-80)/(330-300) = -5/30 = -1/6. 
 
Assim, a demanda será de y- y0 = a(x-x0)  y – 80 = -1/6(x-300) 
 y - 80= -1x/6+50 
 y – 80 - 50 = -x/6 
 6(y – 130) = - x  x = -6y + 780 
A receita é dada por preço x quantidade vendida, ou seja R = y.x = y.(-6y + 780) = -6y²+ 780y 
 
R’(y) = -12y + 780 = 0  y = -780/-12  y = 65 
R”(y) = -12 < 0 então y = 65 é ponto máximo. 
 
Portanto, o preço a ser cobrado para maximizar a receita é de R$ 65,00. 
 
13) O lucro total (em dólares) da Companhia Acrosonic pela fabricação e venda de caixas de som é dado 
por P(x) = -0,02x²+300x-200.000. Quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro? 
Qual será o lucro máximo? 
L’(x) = -0,04x+300 = 0  x = 7500 
L’’(x) =-0,04 L’(7500) = -0,04 <0 (constante). Logo, x= 7500 é o ponto máximo, ou seja, é a 
quantidade que deve ser produzida para maximizar o lucro. O lucro máximo é P(7500) = -
0,02.(7500)²+300.7500-200000 = 925000. 
 
15) A direção da Trapee and Sons, fabricante de molho de pimenta Texa-pep, estima que seu lucro (em 
dólares) pela produção diária de x caixas de molho picante Texa-Pep é dado por L(x) = -
0,000002x³+6x-400. Qual é o lucro máximo que a empresa pode obter em um dia? 
L’(x) = - 0,000006x²+6 = 0 
 -0,000006x² = -6  x² = 1.000.000 x = 1000 
 (pois –1000 não faz sentido, x é quantidade) 
L”(x) = -0,000012 x 
L”(1000) = -0,000012.1000 = -0,012 <0 . Logo x = 1000 é ponto máximo. 
 
O lucro máximo será de L(1000) = -0,000002.1000³+6.1000-400 = 3.600 dólares por dia. 
 
16) A quantidade demandada por mês da gravação de Walter Serkin, produzida pela Shonatha Record, 
está relacionada com o preço por CD. A equação p(x) = -0,00042x+6 onde p representa o preço unitário 
em dólares e x é o número de CDs demandados. O custo em dólares para prensar e embalar x cópias é 
C(x) = 600+2x-0,00002x². Quantas cópias devem ser produzidas por mês para maximizar os lucros? 
Lucro é receita menos custo 
L(x) = R(x) –C(x) 
R(x) = p.x = (-0,00042x+6).x = -0,00042x²+6x 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = -0,00042x²+6x – (600+2x-0,00002x²) 
L(x) = -0,00042x²+6x – 600-2x+0,00002x² 
L(x) = -0,0004x²+4x – 600 
L’(x) = -0,0008x+4 = 0 x = 5000 
L”(x) = -0,0004  L”(5000) = -0,0004 < 0 Logo, x = 5000 é ponto máximo. 
 
Portanto, devem ser produzidas 5000cópias para maximizar o lucro.