Apostila de Polinômios

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Apostila 
de 
Polinômios 
(Divisão de Polinômios) 
 
 
 
 
Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado 
 
Apostila de Polinômios 
Danilo Menezes de Oliveira Machado (Logan) 
2 
 
Introdução: 
Antes de estudar divisão de polinômios como está previsto neste minicurso, deve-se entender 
anteriormente o que é um monômio, binômio, trinômio e polinômio em geral. 
Os monômios são expressões algébricas formadas por um único termo. Esse termo, em 
geral, é constituído de duas partes: um número, chamado coeficiente, e uma variável ou 
produto de variáveis, chamado parte literal. 
Exemplo: 
 
Coeficiente Parte Literal Coeficiente Parte Literal 
O grau de um monômio é dado pela soma dos coeficientes das variáveis de sua parte literal 
Os polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios, 
sendo cada monômio um termo do polinômio. 
Dependendo do numero de termos, um polinômio recebe um nome particular. 
Os polinômios que possuem um termo são chamados de monômios, os que possuem dois 
termos, binômios, e os que possuem três termos não recebem nomes particulares. 
Veja alguns exemplos de polinômios: 
 
a) 
 
 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
O polinômio a) é um monômio, os polinômios b) e c) são binômios e os polinômios d) e e) são 
trinômios. 
 
Definição 
No caso deste nosso curso usaremos apenas polinômios com uma variável, não existindo 
produto de variáveis, logo o grau de nosso polinômio é definido pelo grau do maior expoente 
presente na variável. 
Esses polinômios com apenas uma variável é chamado de expressão polinomial ou polinômio 
de variável complexa X: 
 
 
 
 
 
A função polinomial, é uma função como qualquer outra, uma variável depende 
exclusivamente de outra, no caso da função polinomial, temos: 
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Observação importante: 
Para qualquer valor atribuído à variável que faz o valor do polinômio igual a zero , 
temos que este valor atribuído é raiz deste polinômio. 
 
Igualdade de Polinômios 
Dois polinômios são iguais somente se a diferença entre eles for nula, ou seja, , se 
 . 
Exemplos: 
1- Dados os polinômios, encontre o valor de em cada caso: 
a) 
 , 
 e 
b) 
 , 
 , 
 e 
 
Solução: 
a) 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
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Operações com polinômios 
Por meio de exemplos, vamos retomar as quatro operações algébricas básicas, neste primeiro 
instante teremos apenas três destas, adição, subtração e multiplicação de polinômios, alem de 
um produto de numero real por um polinômio. Em seguida, estudaremos mais 
detalhadamente a divisão de polinômios que é o tópico chave deste nosso mini-curso. 
Exemplos: 
1- Se 
 
 , 
 , 
 
 e . Calcule: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Antes de ingressar em divisão de polinômios, temos que entender um pouco de Produto 
Notável: 
 
 
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Produtos Notáveis 
Produtos notáveis são aqueles produtos de polinômios que seguem determinados parâmetros: 
 Quadrado da soma e da diferença de dois termos 
 
Em muitos casos as pessoas expandem esse tipo de item de forma errada, fazendo: 
 ERRADO, pois o expoente externo da soma, não é expoente de cada 
termo. 
O correto seria: 
 
Esta é a forma correta do quadrado da soma e da diferença de dois termos. 
 Cubo da soma e da diferença de dois termos 
 
 
 
 Triangulo de Pascal e binômio de Newton
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Triangulo de Pascal é na verdade a demonstração dos coeficientes do Binômio de Newton 
em cada expoente. 
 Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
 
Este produto então pode ser definido apenas por: 
 
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Nota-se que o resultado é a diferença dos quadrados. Usando a mesma ideia teremos 
a diferença de outros binômios com expoentes superiores: 
 
 Diferença do cubo 
 
 Diferença de binômio de 4º grau 
 
 Diferença de binômio de 5º grau 
 
 
Divisão de Polinômios 
Enfim chegamos ao propósito deste mini-curso: 
Método da chave 
Dados dois polinômios e , como não nulo, dividir por significa encontrar 
dois polinômios e que satisfaçam as seguintes condições: 
 
1ª) 
2ª) o grau de não pode ser igual e nem maior do que o grau de ou então . 
Assim temos que, 
 
 
 é o dividendo 
 é divisor 
 é o quociente 
 é o resto 
Quando temos , temos que é divisível por . 
 
 
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Exemplos do método da chave: 
1- Determine e nos seguintes casos: 
a) 
 e 
 
b) 
 e 
 
c) 
 e 
d) 
 e 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
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d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- O polinômio 
 é divisível por . Calcular os valores de e 
 . 
Solução: 
 
 
 
 
 
Para existir divisibilidade o resto verá ser zero, assim: 
  
  
 
 
 
Polinômio por um binômio (na forma ax+b) 
 
 Método da Chave 
O método de resolução é o mesmo usado no método da chave, porém com uma ideia 
mais simples, onde podemos descobrir o valor do resto automaticamente. 
Exemplos: 
 
 
1- Determine nos seguintes casos: 
a) 
 e 
b) 
 e 
 
 
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Solução 
a) 
 
 
 
 
 
Logo , fazendo pelo método da chave encontramos o . Neste caso, tendo como 
divisor um binômio, sabemos que a raiz deste binômio é: 
 
 
Mas uma maneira mais tranquila para o descobrimento do resto, basta aplicar a raiz do 
binômio no polinômio . 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resto da divisão de um polinômio pelo binômio é igual ao valor numérico desse 
polinômio para 
 
 
. 
Lembrando que se , teremos que 
 
 
 é raiz do polinômio. 
 
 Dispositivo prático de Briot-Ruffini 
Esse dispositivo permite que fazer qualquer divisão de um polinômio por um binômio do tipo 
 . 
Termo constante 
do divisor com 
sinal trocado 
Coeficiente de x 
do dividendo 
 
Termo constante do 
dividendo 
 
 Coeficientes do 
quociente 
resto 
Exemplos: 
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1- Efetuando a divisão 
 por , veja através deste 
dispositivo: 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 3 
4 
 
 
 3 4 
 
Logo, 
2- Determine o quociente e o resto da divisão 
 por . 
Solução: 
Antes de fazer a divisão, devemos dividir ambos polinômios por 2, assim: 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 e 
 
 
 
 
 
Técnicas de decomposição de polinômios do 2º grau 
Para decomposição de polinômios do 2º grau, devemos utilizar a ideia de divisibilidade, onde o 
resto é zero: 
 
 
 
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 Completando Quadrado 
 
Para entendermos esse método, faremos através de exemplos: 
Exemplo: 
1- Decomponha os polinômios: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Solução 
a) 
 
Coincidentemente, percebemos que este polinômio é um quadrado perfeito, 
 
Logo, 
 
 
Todo polinômio tem a quantidade de raízes igual ao valor de sua ordem, esta sendo do 
segundo grau, temos duas raízes, mesmo que estas sejam iguais. 
 
b) 
 
Neste caso notamos que o polinômio não é um quadrado perfeito, então fazemos: 
 
Devemos somar por um valor que nos ajude completar o quadrado, lembrando que -5x 
representa o produto do primeiro termo pelo segundo dobrado: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
Temos, 
 
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c) 
 
Neste caso onde o termo b=0, o método de completar quadrado não funciona 
adequadamente, pois o quadrado já esta completo veja a resolução: 
 
 
 
 
Este caso em especial é conhecido como binômio de Newton, que veremos mais a frente. 
 
 Fórmula de Bhaskara 
Tendo uma equação quadrática, para calcular as raízes pode-se usar a formula de Bhaskara, 
mas devemos lembrar que as raízes são valores que dividem a função e tem resto zero, ou seja 
se calcularmos : 
 
Onde a formula de Bhaskara é uma mera apresentação conclusa do método de completar 
quadrados, onde realizada de maneira genérica, veja: 
 
 
 
 
 
Onde d é o complemento adicionado que vale 
 
 
, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com essa demonstração Bhaskara chegou a sua conhecida fórmula, hoje muito usada. 
 
 
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Exemplo: 
1- Calcule as raízes dos polinômios: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que neste caso encontramos apenas uma raiz, o que não é possível, pois se o polinômio 
tem grau dois, deveremos encontrar duas raízes. Quando isso acontece, a explicação é 
simples, o polinômio possui duas raízes iguais: 
 
b)Assim, 
 
 
Neste caso as duas raízes apareceram de maneira evidente. 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que quando não possuímos o termo b, as raízes são de valores opostos. 
 
 Relação de Girard 
O método de Girard, conhecido como “soma e produto”, é uma relação estabelecida entre os 
valores de suas raízes: 
No caso da equação polinomial de grau 2, ela é aplicada de maneira bem simples: 
Veja a demonstração: 
 
 
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Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1- Calcule as raízes dos polinômios: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, temos que: 
 e , pois 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o produto notamos que um dos valores deverá ser negativo, pois pela regra de Gerard 
deveria ser positivo, obtendo um valor negativo temos que uma das raízes é negativa. E pela 
regra da soma, percebemos que o número negativo é menor que o positivo, pois obtemos um 
resultado positivo. 
 e , pois, 
 
 
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c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma maneira pelo produto percebemos que um termo é negativos, e pelo 
produto notamos que ambos são iguais, pois uma raiz menos a outra temos zero, logo: 
 e , pois, 
 
 
 
Técnicas de decomposição de polinômios de graus maior ou igual 
a 3º grau 
Conhecendo-se uma das raízes de um polinômio do 3º grau, podemos decompô-lo no produto 
de um polinômio de 1º grau por um polinômio de 2º grau e, em seguida, também decompor 
este último. 
No caso de um polinômio de grau 3, onde uma das raízes é fácil ser encontrada, a 
decomposição é facilitada. 
Exemplo: 
1- Decomponha 
 . 
Solução 
Neste caso é evidente que uma das raízes é , assim podemos escrever: 
 
Agora uma das decomposições, possui grau 2, assim podemos usar qualquer um dos métodos 
que aprendemos e teremos: 
 
 
 
 
No caso de um polinômio de grau maior ou igual a 3, que não é possível a fácil visualização de 
algumas raízes temos mais métodos: 
 
 
 
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 Método de Exaustão 
Esse método, também conhecido como “método do chute”, ou “método da adivinhação”, 
consiste em escolher valores para x e substituir no polinômio, afim de que este tenha 
resultado nulo, mostrando assim ser uma raiz. 
Porem a escolha dos valores não é ao acaso, existe uma lógica para esta escolha: 
 
 
 
 
O conjunto de raízes será os múltiplos de dividos pelos múltiplos de e seus valores 
inversos. 
Exemplos: 
1- Decomponha os polinômios: 
a) 
b) 
Solução 
a) 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Destes valores de 
 
 
, sabemos que 3 destes são raízes, então escolheremos ao acaso: 
Escolhendo um valor ERRADO: 
P/ 
 
 
Logo não é raiz 
Ao escolher um valor errado, não é problema, apenas teremos que escolher outro valor para x. 
P/ 
 
 
Neste caso é uma raiz, para decompor basta dividir por . 
Usando qualquer método teremos que: 
 
Assim, agora temos um polinômio de grau 2, onde podemos decompor, através dos métodos q 
conhecemos, encontrando: 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo aleatoriamente um valor para x: 
P/ 
 
 
Logo é uma raiz, assim dividimos o polinomio por : 
Usando o método que desejar temos: 
 
 
Onde temos um binômio multiplicado por um polinômio de grau 3, onde procederemos com o 
mesmo método: 
 
 
P/ 
 
 
Fazendo a divisão: 
 
 
Assim, 
 
 
Tendo agora uma equação polinomial de segundo grau, basta usar um método especifico: 
Teremos, 
 
 
 
 
 
 
 
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 Relação de Girard 
Na equação do 3º grau temos a relação de Girard com algumas particularidades: 
Veja a equação polinomial: 
 
 
Assim pela relação de Girard, para calcular os valores de x que são raízes R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1- Defina as raízes do polinômio 
 . 
Solução: 
 
 
 
Pelo produto temos, que ou pelo menos uma raiz ou todas são negativas, 
Considerando 
Temos: 
 
 
Assim temos, 
 
 
 
 
Para o caso de um polinômio de grau superior até n: 
 
 
 
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A soma das raízes é: 
 
 
 
 
O Produto de n raízes: 
 
 
 
 
 
A soma do produto das raízes, quando tomadas: 
 Duas a duas: 
 
 
 
 
 Três a três: 
 
 
 
 
 Quatro a quatro: 
 
 
 
 
E assim por diante para todos os n’s possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de Fixação de Polinômios: 
Igualdade de Polinômios: 
1- Calcule os valores das incógnitas , , , e . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
2- Calcule os valores das incógnitas , , , e . Sabendo que 
 
 , 
 e 
 . 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
3- Sejam os polinômios 
 e 
 . Determinar e para 
que . 
 
4- Calcular , e , sabendo-se que 
5- Sabendo-se que 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
6- Simplifique as expressões usandoproduto Notável. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
7- Sendo , para todo x real, determine os valores de e . 
 
8- Efetue as divisões pelo Método da Chave. 
a) por 
b) por 
c) por 
d) por 
e) por 
f) por 
g) por 
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9- Encontre as raízes de , sabendo que é divisível por 
 
10- Dividindo um polinômio por 
 , obtêm-se quociente 
e resto . Ache o polinômio . 
 
11- Dividindo um polinômio por , obtêm-se quociente e 
resto . Ache o polinômio . 
 
12- O resto da divisão de 
 por 
 é 
independente de x. Calcule e . 
 
13- Indique se é divisível por , caso não seja de o valor do resto 
a) 
 e 
b) 
 e 
c) 
 e 
d) 
 e 
e) 
 e 
f) 
 e 
g) 
 e 
h) 
 e 
i) 
 e 
j) 
 e 
 
14- Calcule pelo Método de Briot Ruffini a divisão de por . 
a) 
 e 
b) 
 e 
c) 
 e 
d) 
 e 
e) 
 e 
f) 
 e 
g) 
 e 
h) 
 e 
i) 
 e 
j) 
 e 
k) 
 e 
 
15- Fatore ou decomponha os polinômios, pelos Métodos: 1º - Relação de Girard, 2º -
Bhaskara e 3º - Completando quadrado.
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
d) 
 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) – 
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16- Calcule as raízes dos polinômios: 1º - Relação de Girard, 2º -Bhaskara e 3º - 
Completando quadrado. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
 
17- Fatore ou decomponha os polinômios. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
j) 
 
 
18- Calcule as raízes Reais dos polinômios do exercício anterior na forma . 
 
19- Sabendo o polinômio 
 , encontre as raízes: 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
 
 
 
 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
 
 
 
 
 
r) 
 
 
 
 
 
s) 
t) 
u) 
v) 
w) 
x) 
y) 
z) 
 
A todos os alunos, nós monitores do Projeto Calcule em união com os professores da PUC-GO, 
desejamos um ótimo estudo, um desenvolvimento memorável e sucesso em sua vida e carreira 
que estão por seguir. 
Lembre-se que a universidade é o primeiro passo para uma carreira, a PUC-GO é o inicio de uma 
nova vida que terão pela frente, estamos fazendo nosso papel e torcemos para que concluam o 
de vocês com louvor e sabedoria. 
Esses são os nossos sinceros votos.