Unidade 3 - Aplicacoes da Derivada

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243 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Unidade III – Aplicações da Derivada 
 
III.1 – Funções Crescentes e Decrescentes 
- Funções Crescentes e Decrescentes 
 Uma função f é crescente em um intervalo, se, para qualquer par de valores x1 e x2 pertencentes ao 
intervalo, 
 𝑥2 > 𝑥1 implicar 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1). 
 
 Uma função f é decrescente em um intervalo, se, para qualquer par de valores x1 e x2, pertencentes 
ao intervalo, 
 𝑥2 > 𝑥1 implicar 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1). 
 
 
 244 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 A função da Figura 3.1 é: 
- decrescente no intervalo (−∞ , 𝑎), 
- constante no intervalo (𝑎 , 𝑏), e 
- crescente no intervalo (𝑏 , ∞). 
 
 A derivada de uma função pode ser usada para determinar se uma 
função é crescente ou decrescente em um dado intervalo. 
 
Teste para Funções Crescentes e Decrescentes. 
 Seja f uma função derivável no intervalo (a , b). 
1. Se 𝑓′(𝑥) > 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f é crescente no intervalo (a , b). 
2. Se 𝑓′(𝑥) < 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f é decrescente no intervalo (a , b). 
3. Se 𝑓′(𝑥) = 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f é constante no intervalo (a , b). 
 
 
 245 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Mostre que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é decrescente no intervalo aberto (−∞ , 0) e crescente no intervalo 
aberto (0 , ∞). 
Solução 
A derivada de f é 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
No intervalo aberto (−∞ , 0), x é negativo; o que implica em valores 
também negativos para a função 𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
Logo, f é decrescente nesse intervalo. 
 
Analogamente, no intervalo aberto (0 , ∞), x é positivo implicando em 
valores positivos para a função 𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
Logo, f é crescente nesse intervalo. 
 
 A Figura 3.2 mostra a solução gráfica desse exemplo. 
 
 246 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Entre 1997 e 2004, o consumo C de queijo italiano nos Estados 
Unidos (em libras por pessoa) pôde ser modelado pela função 
𝐶 = −0,0333 𝑡2 + 0,996 𝑡 + 5,40 para 7 ≤ 𝑡 ≤ 14, onde t = 7 
representa 1997 (veja Figura 3.3). 
Mostre que o consumo de queijo italiano era crescente entre 1997 e 
2004. 
 
Solução 
A derivada deste modelo é 
𝑑
𝑑𝑡
𝐶 = −0,0666𝑡 + 0,996. 
A derivada é positiva para qualquer valor de 𝑡 ≤ 15. 
Logo, para o intervalo aberto (7 , 14), a derivada é positiva. 
Então, a função é crescente, o que implica que o consumo de queijo italiano, no intervalo dado, era 
crescente. 
 
 247 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Números Críticos e Seu Uso 
 
 No Exemplo 1, o domínio da função podia ser dividido em dois intervalos: 
- um intervalo no qual a função era decrescente e 
- um intervalo no qual a função era crescente. 
 Suponha que existe um interesse na determinação desses intervalos. 
 Para isso, considera-se o fato de que, se f(x) 
é uma função contínua, 𝑓′(𝑥) pode mudar de 
sinal apenas nos valores de x para os quais 
𝑓′(𝑥) = 0 ou nos valores de x para os quais 
𝑓′(𝑥) não é definida, como mostra a Figura 3.4. 
 
 Esses dois tipos de números são chamados de números críticos da função f. 
 Se f é definida em c, ou seja, c pertence ao domínio de f, então 
 c é um número crítico de f se 𝑓′(𝑐) = 0 ou se 𝑓′(𝑐) não é definida em c. 
 248 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Para determinar os intervalos em que uma função contínua é crescente ou decrescente, podemos 
utilizar os procedimentos indicados no roteiro a seguir. 
 
 
Roteiro do Teste para Funções Crescentes e Decrescentes 
1. Determine a derivada de f. 
2. Encontre todos os números críticos de f e use esses números para determinar intervalos de teste. 
3. Teste o sinal de 𝑓′(𝑥) em um ponto arbitrário pertencente a cada intervalo de teste. 
4. Use o teste para funções crescentes e decrescentes para determinar se f é crescente ou decrescente em 
cada intervalo. 
 
 
 249 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine os intervalos abertos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
 𝑥2 é crescente ou decrescente. 
Solução 
- Determinando a derivada de f. 
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 3 𝑥 
 
- Determinando os números críticos. 
𝑓′(𝑥) = 0 
3 𝑥2 − 3 𝑥 = 0 
3 (𝑥) (𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 , 𝑥 = 1 
 
Como não existem valores de x para os quais 𝑓′ não é definida, 
 x = 0 e x = 1 são os únicos números críticos. 
 
 250 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Testando os intervalos para a solução final. 
Assim, os intervalos a serem testados são (−∞ , 0) , (0 , 1) e (1 , ∞). 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses três intervalos. 
 
 
O gráfico da função f aparece na Figura 3.5. 
 
Observe que os valores de teste foram escolhidos arbitrariamente; qualquer 
outro valor dentro do intervalo poderia ter sido escolhido. 
 
 
 
 251 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine os intervalos abertos nos quais a função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 4)
2
3⁄ é crescente ou decrescente. 
Solução 
- Determinando a derivada de f. 
𝑓′(𝑥) =
2
3
 (𝑥2 − 4)−
1
3⁄ (2 𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
4 𝑥
3 (𝑥2 − 4)
1
3⁄
 
- Determinando os números críticos. 
𝑓′(𝑥) = 0 
Ao resolver a equação acima, encontramos que a derivada é nula para x = 0 e não é definida para 
𝑥 = ±2. 
Os números críticos são, portanto, x = -2 , x = 0 , x = 2. 
 
Logo, os intervalos a serem testados são: (−∞ , −2) , (−2 , 0) , (0 , 2) e (2 , ∞). 
 
 252 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Testando os intervalos para a solução final. 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses quatro intervalos. 
 
 
O gráfico da função aparece na Figura 3.6. 
 
Obs.: 
Para testar os intervalos da tabela, não é necessário calcular o valor de 
𝑓′(𝑥) nos pontos de teste; basta determinar o sinal da derivada. Por 
exemplo, o sinal de 𝑓′(−3) pode ser determinado da seguinte forma: 
𝑓′(−3) =
4 (−3)
3 (9 − 4)
1
3⁄
=
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
= 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 253 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 As funções dos Exemplos 1 a 4 são contínuas para qualquer valor de x. 
 Quando existem valores isolados de x para os quais a função não é contínua, esses valores devem 
ser usados juntamente com os números críticos, para determinar os intervalos de teste. 
 Assim, por exemplo, a função 𝑓(𝑥) =
𝑥4+1
𝑥2
 não é contínua no ponto x = 0. 
 Como a derivada 𝑓′(𝑥) =
2 (𝑥4−1)
𝑥3
 se anula para 𝑥 = ±1 , os seguintes valores de x devem ser 
usados para determinar os intervalos de teste: 
x = -1 , x = 1 Números críticos 
x = 0 Descontinuidade 
 
 Os testes de 𝑓′(𝑥) revelam que a função é decrescente nos 
intervalos (−∞ , −1) e (0 , 1) , e crescente nos intervalos (−1 , 0) e 
(1 , ∞), como mostra a Figura 3.7. 
 
 
 254 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 A recíproca do teste para verificar se uma função é crescente ou decrescente não é verdadeira. 
 É possível, por exemplo, que uma função seja crescente em um intervalo, mesmo que a derivada se 
anule em um ponto no interior do intervalo. 
 
Exemplo 5 
Mostre que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3 𝑥2 + 3 𝑥 é crescente para qualquer valor de x. 
Solução 
Dado a derivada 𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 6 𝑥 + 3 = 3 (𝑥 − 1)2 , verificamos que o único número crítico é 
x =1. 
Os intervalos de teste são: (−∞ , 1) e (1 , ∞). 
 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses dois intervalos. 
 
Os resultados mostram que embora 𝑓′(1) = 0 , a função f é crescente para qualquer valor de x, o que 
também se pode ver na Figura 3.8. 
 255 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 
 
 256 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Um fabricante de brinquedos verifica que as funções custo e receita de um determinado jogo são dadas 
por: 
𝐶 = 2,4 𝑥 − 0,0002 𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 6000 
𝑅 = 7,2 𝑥 − 0,001 𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 6000 
 
Determine o intervalo no qual a função lucro é crescente. 
Solução 
O lucro com a produção e venda de x jogos é 
𝐿 = 𝑅 − 𝐶 
𝐿 = (7,2 𝑥 − 0,001 𝑥2) − (2,4 𝑥 − 0,0002 𝑥2) 
𝐿 = 4,8 𝑥 − 0,0008 𝑥2 
 Para determinar o intervalo no qual o lucro é crescente, igualamos à zero a expressão 𝐿′ e calculamos o 
valor de x. 
 
 257 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
𝐿′ = 4,8 − 0,0016 𝑥 
4,8 − 0,0016 𝑥 = 0 
𝑥 = 3.000 𝑗𝑜𝑔𝑜𝑠 
 
No intervalo (0 , 3000), 𝐿′ é positivo e o lucro é crescente. 
No intervalo (3000 , 6000), 𝐿′ é negativo e o lucro é decrescente. 
Os gráficos das funções custo, receita e lucro aparecem na Figura 3.9 
 
 258 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
III.2 - Extremos e o Teste da Derivada Primeira 
- Extremos Relativos 
 Os pontos nos quais uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa, são chamados de 
extremos relativos. 
 Um extremo relativo de uma função pode ser um mínimo relativo ou um máximo relativo. 
 A função da Figura 3.10, por exemplo, possui dois extremos relativos: 
- o ponto da esquerda é um máximo relativo e 
- o ponto da direita é um mínimo relativo. 
 
 259 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Definição de Extremos Relativos 
 Seja f uma função definida no ponto c. 
1. 𝑓(𝑐) é um máximo relativo de f , se existe um ponto c , no intervalo (a , b), tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) para 
qualquer valor de x nesse intervalo. 
2. 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo de f , se existe um ponto c, no intervalo (a , b), tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para 
qualquer valor de x nesse intervalo. 
Se 𝑓(𝑐) é um extremo relativo de f, diz-se, então, que o extremo relativo ocorre em x = c. 
 
- No caso das funções contínuas, os extremos 
relativos sempre ocorrem em números críticos da 
função, como na Figura 3.11. 
 
- A condição 𝑓′(𝑐) = 0 [ ou 𝑓′(𝑐) ∄ ] é uma 
condição necessária para f ter um extremo relativo 
no ponto c. 
Relação entre Números Críticos e Extremos Relativos 
Se f(x) possui um mínimo ou um máximo relativo no ponto x = c, então c é um número crítico de f(x). 
 260 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Teste da Derivada Primeira 
 Se f(x) existe para todos os valores de x no intervalo aberto (a , b) e f(x) tem um extremo relativo 
em c, onde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, então se 𝑓′(𝑐) existe, 𝑓′(𝑐) = 0 . 
Demonstração: 
- Para o caso em que f tiver um valor mínimo relativo em c. 
Se 𝑓′(𝑐) existe, temos: 
𝑓′(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
 
Como f tem um valor mínimo relativo em c, segue que: 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) ≥ 0 
 Se x se aproxima de c pela direita, 𝑥 − 𝑐 > 0 , portanto, 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≥ 0 
 Pela definição de derivadas laterais, se o limite existe, 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≥ 0 
 261 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Analogamente, se x se aproxima de c pela esquerda, 𝑥 − 𝑐 < 0 , logo, 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≤ 0 
 De tal modo que, se o limite existe, 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≤ 0 
 
Como 𝑓′(𝑐) existe, os limites laterais devem ser iguais e ambos iguais a 𝑓′(𝑐). 
Assim, temos pelo limite lateral à direita: 
 𝑓′(𝑐) ≥ 0 
E pelo limite lateral à esquerda: 
 𝑓′(𝑐) ≤ 0 
Como as duas desigualdades acima são verdadeiras, concluímos que 𝑓′(𝑐) = 0 . 
 
Obs.: A hipótese de valor máximo relativo em c tem demonstração similar. 
 
 262 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Roteiro do Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos 
 
Seja f uma função contínua no intervalo (a , b) no qual c é o único número crítico. Se f é derivável no 
intervalo (exceto possivelmente no ponto c), f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, um 
máximo relativo, ou nem uma coisa nem outra, de acordo com os seguintes critérios: 
1. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) é negativa à esquerda do ponto x = c e positiva à direita do 
ponto x = c, 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo. 
 
2. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) é positiva à esquerda do ponto x = c e negativa à direita do 
ponto x = c, 𝑓(𝑐) é um máximo relativo. 
 
3. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita do ponto x = c, 𝑓(𝑐) 
não é um extremo relativo de f. 
 
 
 263 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Uma interpretação gráfica do Teste da Derivada Primeira aparece na Figura 3.12. 
 
 
 264 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥3 − 3 𝑥2 − 36 𝑥 + 14. 
Solução 
- Determinando os números críticos de f. 
𝑓′(𝑥) = 6 𝑥2 − 6 𝑥 − 36 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 6 𝑥2 − 6 𝑥 − 36 = 0 Igualando a derivada a zero. 
𝑓′(𝑥) = 6 (𝑥2 − 𝑥 − 6) = 0 Determinando os monômios do polinômio (raízes). 
𝑓′(𝑥) = 6 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 
Logo, as raízes são os números críticos de f(x). (x = -2 e x = 3) 
 
- Determinando intervalos de teste 
Como a função não possui restrições para quaisquer outros valores de x, os únicos números 
críticos são as raízes. 
Com esses números, formamos três intervalos de teste: (−∞ , −2) , (−2 , 3) e (3 , ∞) . 
 
 265 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Os resultados dos testes aparecem na tabela abaixo. 
 
 
- Determinando os extremos relativos 
De acordo com o Teste da Derivada Primeira, 
o número crítico -2 corresponde a um máximo relativo [𝑓′(𝑥) passa de positiva a negativa] e 
o número crítico 3 corresponde a um mínimo relativo [𝑓′(𝑥) passa de negativa a positiva]. 
O gráfico da função f(x) aparece na Figura 3.13. Para determinar as 
coordenadas y dos extremos relativos, basta substituir as coordenadas x 
na função f(x). Procedendo assim, verifica-se que o máximo relativo é 
𝑓(−2) = 58 e o mínimo relativo é 𝑓(3) = − 67. 
 
 266 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 . 
Solução 
- Determinando os números críticos de f. 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 3 𝑥2 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 3 𝑥2 = 0 Igualando a derivada à zero. 
𝑓′(𝑥) = 𝑥2 (4 𝑥 − 3) = 0 Determinando os monômios do polinômio (raízes). 
 
A função possui apenas dois números críticos, x = 0 e x = ¾. 
 
- Determinando intervalos de teste 
Como a função não possui restrições para quaisquer outros valores de x, os únicos números 
críticos são as raízes. 
Com esses números, formamos três intervalos de teste: (−∞ , 0) , (0 , 3/4) e (3/4 , ∞) . 
 
 267 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Os resultados dos testes aparecem na tabela abaixo. 
 
 
- Determinando os extremos relativos 
De acordo com o Teste da Derivada Primeira, a função f possui um mínimo 
relativo no pontoonde 
x = ¾ 
como mostra a Figura 3.14. 
 
Observe que não existe nenhum extremo relativo associado ao número 
crítico x = 0. 
 
 268 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 𝑥2/3 . 
Solução 
- Determinando os números críticos de f. 
𝑓′(𝑥) = 2 − 2 𝑥−1/3 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 − 2 𝑥−
1
3⁄ = 0 Igualando a derivada a zero. 
𝑓′(𝑥) =
2 ( 𝑥
1
3⁄ −1 )
𝑥
1
3⁄
= 0 Determinando os números críticos. 
 
A função possui [𝑓′(1) = 0] e uma restrição em x = 0, onde 𝑓′(0) não é definida, logo, a 
função possui dois números críticos, x = 1 e x = 0. 
 
- Determinando intervalos de teste 
Esses números definem os intervalos de teste: (−∞ , 0) , (0 , 1) e (1 , ∞) . 
 
 269 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Determinando os extremos relativos 
Testando esses intervalos, concluímos que f possui um máximo 
relativo no ponto 
 
(0 , 0) 
 
e um mínimo relativo no ponto 
 
(1 , -1), 
 
como mostra a Figura 3.15. 
 
 
 270 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Encontre os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) =
1
2
 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 no intervalo (0 , 2 𝜋). 
Solução 
- Como 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo (0 , 2 𝜋), basta determinarmos os números críticos de 𝑓(𝑥) nesse 
intervalo. 
- Façamos 𝑓′(𝑥) = 0 
𝑓′(𝑥) =
1
2
− cos 𝑥 = 0 
cos 𝑥 =
1
2
 
𝑥 =
𝜋
3
 ,
5 𝜋
3
 
- Não há valores de x para os quais 𝑓′(𝑥) não exista, logo os valores de x encontrados são os únicos 
números críticos. 
A tabela, a seguir, resume as informações para os três intervalos de teste: (0 ,
𝜋
3
), (
𝜋
3
 ,
5 𝜋
3
), (
5 𝜋
3
 , 2 𝜋). 
 
 271 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
- Aplicando o teste da derivada primeira, concluímos que 𝑓(𝑥) tem um 
mínimo relativo no ponto onde 
𝑥 =
𝜋
3
 
 
e um máximo relativo no ponto onde 
𝑥 =
5 𝜋
3
 
 
como mostrado na figura ao lado. 
 272 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Extremos Absolutos 
 Os termos, máximo relativo e mínimo relativo, são usados para descrever o comportamento local 
de uma função. 
 Para descrever o comportamento global de uma função, usamos os termos: máximo absoluto e 
mínimo absoluto. 
 
- Definições 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo fechado I que contém o ponto c. 
 Diz-se que uma função f(x) tem um valor máximo absoluto no intervalo I, se existir algum 
número c nesse intervalo, tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todo x. 
 
 Diz-se que uma função f(x) tem um valor mínimo absoluto no intervalo I, se existir algum número 
c nesse intervalo, tal que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo x no intervalo. 
 
 Os valores do mínimo absoluto e do máximo absoluto de uma função em um intervalo às vezes são 
chamados simplesmente de mínimo e máximo de f(x). 
 
 273 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 A diferença entre extremo relativo e extremo absoluto é mais fácil de compreender por meio de um 
exemplo. 
 Na Figura 3.16, a função possui um mínimo relativo que também é o mínimo absoluto no intervalo 
[a , b]. 
 O máximo relativo de f, porém, não é o máximo absoluto no 
intervalo [a , b]. 
 
 De acordo com o teorema a seguir, se uma função é contínua em 
um intervalo fechado, ela possui necessariamente um mínimo absoluto 
e um máximo absoluto nesse intervalo. 
 
 Qualquer desses extremos pode estar em uma das extremidades do intervalo (como o máximo 
absoluto na Figura 3.16) ou em um ponto no interior do intervalo (como o mínimo absoluto na 
Figura 3.16). 
 
 274 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Teorema dos Valores Extremos 
Se a função f(x) é contínua no intervalo [a , b], então f(x) possui um valor mínimo e um valor máximo 
absolutos no intervalo [a , b]. 
 
Obs.: 
Na determinação dos valores extremos de uma função em um intervalo fechado, não se pode deixar de 
considerar, além dos valores da função nos números críticos, também seus valores nas extremidades do 
intervalo. 
 
Roteiro para Determinar os Extremos em um Intervalo Fechado 
Para determinar os extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a , b] deveremos: 
1. Determinar os valores de f em todos os pontos críticos da função situados no intervalo (a , b). 
2. Determinar os valores de f nas extremidades do intervalo, a e b. 
3. O menor desses valores é o mínimo absoluto, e o maior desses valores é o máximo absoluto. 
 
 275 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine os valores máximo e mínimo da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6 𝑥 + 2 no intervalo [0 , 5]. 
Solução 
- Determinando os números críticos de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 6 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 6 = 0 Igualando a derivada à zero. 
𝑥 = 3 Determinando os números críticos. 
 
A função possui [𝑓′(3) = 0] , logo, a função possui um número crítico, x = 3. 
 
- Testando os extremos do intervalo 
O número 3 está no interior do intervalo dado. 
Devemos testar os valores de f(x) nesse número e nas extremidades do intervalo, como 
mostrado na tabela a seguir. 
 276 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
- Conclusão final 
De acordo com a tabela, o mínimo absoluto de f(x) no intervalo [0 , 5] é 
f(3) = -7. 
 
Além disso, o máximo absoluto de f(x) no intervalo [0 , 5] é 
f(0) = 2, 
 
como se pode ver na Figura 3.18. 
 
 
 277 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio 
- Teorema de Rolle 
 A teoria dos extremos estabelece que uma função contínua, em um intervalo [𝑎 , 𝑏] pode ter um 
mínimo e um máximo nesse intervalo e que esses valores podem ocorrer nos extremos do intervalo. 
 O Teorema de Rolle, em homenagem ao matemático francês Michel Rolle (1652-1719), fornece as 
condições para a existência de um valor extremo no interior de um intervalo fechado. 
 
Teorema de Rolle 
Considere que 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏). 
 Se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) 
então há no mínimo um número c no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
 
 278 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Demonstração: 
Considere que 𝑓(𝑎) = 𝑑 = 𝑓(𝑏). 
Caso 1 
 Se 𝑓(𝑥) = 𝑑 para todo x no intervalo [𝑎 , 𝑏], 𝑓(𝑥) é constante no intervalo e 𝑓′(𝑥) = 0 para todo x 
no intervalo (𝑎 , 𝑏). 
 
Caso 2 
Suponha que 𝑓(𝑥) > 𝑑 para algum valor de x no intervalo (𝑎 , 𝑏). 
Pela teoria do valor extremo, sabemos que 𝑓(𝑥) tem um máximo em algum valor c no intervalo. 
Contudo, por que 𝑓(𝑐) > 𝑑, o máximo não ocorre em nenhuma extremidade do intervalo. 
Logo, 𝑓(𝑥) tem um máximo no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏). 
Isto implica que 𝑓(𝑐) é um máximo relativo sendo c um número crítico de 𝑓(𝑥). 
Como 𝑓(𝑥) é diferenciável em c, concluímos que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
 
 279 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Caso 3 
Suponha que 𝑓(𝑥) < 𝑑 para algum valor de x no intervalo (𝑎 , 𝑏), podemos utilizar de argumento 
similar àquele do Caso 2, mas envolvendo o mínimo ao invés do máximo. 
 
 A partir do Teorema de Rolle, podemos verificar que se uma função 
𝑓(𝑥) é contínua em um intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo 
(𝑎 , 𝑏), e se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), haverápelo menos um valor x entre os limites a e 
b no qual o gráfico de 𝑓(𝑥) tem uma tangente horizontal, como mostrado na 
parte (a) da figura ao lado. 
 
 Se a função não é diferenciável, a partir do Teorema de Rolle, 
poderemos afirmar que a função 𝑓(𝑥) ainda terá um número crítico em 
(𝑎 , 𝑏), não tendo, necessariamente, uma tangente horizontal. 
 Tal caso está mostrado na parte (b) da figura ao lado. 
 
 280 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Encontre os dois interceptos de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 e mostre que 𝑓′(𝑥) = 0 em algum ponto entre os 
dois interceptos. 
Solução 
- 𝑓(𝑥) é diferenciável para todo valor de x. 
- Fazendo 𝑓(𝑥) = 0 teremos: 
𝑥2 − 3 𝑥 + 2 = 0 Fazendo 𝑓(𝑥) = 0 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0 Fatorando 
- Então, 𝑓(1) = 𝑓(2) = 0 e, a partir do Teorema de Rolle, sabemos que 
existe pelo menos um c , no intervalo (1 , 2), de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
Para encontrar o valor c, derivamos 𝑓(𝑥) e igualamos a zero. 
 
- Achando 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 3 = 0 , e encontramos 𝑥 =
3
2
 , como mostrado na figura acima. 
 281 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
Considere 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2 𝑥2. Encontre todos os valores de c no intervalo (−2 , 2) de modo que 
𝑓′(𝑐) = 0. 
Solução 
- 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [−2 , 2], e diferenciável, no intervalo 
(−2 , 2). 
- Como 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 8, a partir do Teorema de Rolle, haverá pelo 
menos um c em (−2 , 2) de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
- Calculando a derivada de 𝑓(𝑥). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 4 𝑥 = 0 Fazendo 𝑓′(𝑥) = 0 
4 𝑥 (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) = 0 Fatorando 
Logo, 
𝑥 = 0 , 1 , −1. 
Então, existem três valores de x , no intervalo dado, onde a 𝑓′(𝑐) = 0 como mostrado na figura acima. 
 282 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Teorema do Valor Médio 
 
Teorema do Valor Médio 
Se 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏), então existe 
um número c , no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que: 
𝑓 ′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
Demonstração 
- Considerando a figura ao lado, a equação da reta secante que passa pelos 
pontos ( 𝑎 , 𝑓(𝑎) ) e ( 𝑏 , 𝑓(𝑏) ) é dada por: 
𝑦 = [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 
- Façamos 𝑔(𝑥) ser a diferença entre 𝑓(𝑥) e y. Então, 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑦 
 283 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] (𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑎) 
Nos extremos do intervalo, verificamos que 𝑔(𝑎) = 0 = 𝑔(𝑏). 
Como 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [𝑎 , 𝑏], e diferenciável no intervalo (𝑎 , 𝑏), então 𝑔(𝑥) terá 
comportamento idêntico. 
Logo, podemos aplicar o Teorema de Rolle à função 𝑔(𝑥). 
 Portanto, existe um número c no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que 𝑔′(𝑐) = 0, o que implica em: 
𝑔′(𝑐) = 0 
𝑔′(𝑐) = 𝑓′(𝑐) − [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] = 0 
e 
𝑓′(𝑐) = [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] 
Obs: O termo "Médio" no Teorema do Valor Médio refere-se à taxa média de variação de 𝑓(𝑥) no 
intervalo fechado [𝑎 , 𝑏]. 
 
 284 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 5 − (
4
𝑥
), encontre todos os valores de c no intervalo aberto (1 , 4) de modo que 
𝑓′(𝑐) = [
𝑓(4)−𝑓(1)
4−1
]. 
Solução 
- A inclinação da reta secante que passa pelos pontos ( 1 , 𝑓(1) ) e 
( 4 , 𝑓(4) ) é: 
 
[
𝑓(4) − 𝑓(1)
4 − 1
] =
4 − 1
4 − 1
= 1 
 
- A função 𝑓(𝑥) satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio no 
intervalo dado. Pois: 
 
- 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [1 , 4], e diferenciável no intervalo (1 , 4). 
- Logo, existe pelo menos um número c em (1 , 4) de modo que 𝑓′(𝑐) = 1. 
 285 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Resolvendo a equação 𝑓′(𝑥) = 1 encontramos: 
𝑓′(𝑥) = (
4
𝑥2
) = 1 
o que implica que 𝑥 = ± 2. 
Somente o número 𝑐 = 2 pertence ao intervalo (1 , 4) como mostrado na figura acima. 
 
 
Obs. 
Geometricamente, o Teorema do Valor Médio garante a existência de pelo menos uma reta tangente 
paralela a uma reta secante que passa pelos pontos ( 𝑎 , 𝑓(𝑎) ) e ( 𝑏 , 𝑓(𝑏) ), como mostrado na figura 
do exemplo 8. 
 
 
 286 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 9 
Dois carros de patrulha estão parados e equipados com radar 5 milhas um do outro em uma rodovia, 
como mostrado na figura. Um caminhão passa pelo primeiro carro e tem sua velocidade registrada em 
55 milhas por hora. Quatro minutos depois, quando o caminhão passa pelo segundo carro patrulha, sua 
velocidade é registrada em 50 milhas por hora. Prove que a velocidade do caminhão deve ter excedido o 
limite de velocidade de 55 milhas por hora em algum momento durante os quatro minutos. 
Solução 
- Sabemos que a velocidade média pode ser aproximada como a 
variação do espaço sobre a variação no tempo. 
- Faça 𝑡 = 0 ser o instante quando o caminhão passou pelo primeiro 
carro patrulha. 
Assim sendo, o instante em que o caminhão passou pelo segundo 
carro patrulha será: 
𝑡 =
4
60
=
1
15
 ℎ 
 
 287 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Se 𝑠(𝑡) representa a distância (em milhas) percorrida pelo caminhão, temos: 
𝑠(0) = 0 e 𝑠 (
1
15
) = 5. 
- Logo, a velocidade média do caminhão percorrendo as 5 milhas é: 
 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = [
𝑠 (
1
15
) − 𝑠(0)
(
1
15) − 0
] =
5
1
15
= 75 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
- Considerando que a função 𝑠(𝑡) é diferenciável, nós podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para 
concluir que o caminhão deve ter trafegado com uma velocidade de 75 milhas por hora em pelo menos 
um momento durante os 4 minutos. 
 
Obs. 
Em termos das taxas de variação, o Teorema do Valor Médio implica que deverá existir pelo menos um 
ponto no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏) no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média 
no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] , como ilustrado no exemplo 9. 
 288 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
III.3 - Concavidade e o Teste da Derivada Segunda 
- Concavidade 
 A propriedade de um gráfico ser curvado para cima ou para baixo é chamada de concavidade. 
 
- Definição de Concavidade 
Seja uma função derivável em um intervalo aberto I. 
A concavidade da função f(x) é: 
 
1. Para cima no intervalo I se 𝑓′(𝑥) é crescente no intervalo. 
2. Para baixo no intervalo I se 𝑓′(𝑥) é decrescente no intervalo. 
 
Um teste qualitativo da concavidade pode ser feito com a seguinte 
interpretação gráfica baseada na Figura 3.20. 
1. Um gráfico que é côncavo para cima está acima de suas retas tangentes. 
2. Um gráfico que é côncavo para baixo está abaixo de suas retas tangentes. 
 289 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Quantitativamente, podemos usar o sinal da derivada segunda para determinar se a concavidade da 
função é para cima ou para baixo. 
 
- Teste da Concavidade 
Seja uma função cuja derivada segunda existe em um intervalo aberto I. 
1. Se 𝑓′′(𝑥) > 0 para qualquer x pertencente a I, a concavidade de f(x) é para cima no intervalo I. 
2. Se 𝑓′′(𝑥) < 0 para qualquer x pertencente a I, a concavidade de f(x) é para baixo no intervalo I. 
 
 
Roteiro para o Teste da Concavidade 
1. Determine os valores de x para os quais 𝑓′′(𝑥) = 0 ou onde 𝑓′′(𝑥) não é definida. 
2. Use esses valores de x para determinar os intervalos de teste. 
3.Verifique o sinal de 𝑓′′(𝑥) em todos os intervalos de teste. 
 
 
 290 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine os intervalos nos quais a concavidade da curva da função dada é para cima e os intervalos 
nos quais a concavidade é para baixo. 
𝑓(𝑥) =
6
𝑥2 + 3
 
Solução 
- Determinando a derivada primeira de f(x). 
𝑓(𝑥) = 6 (𝑥2 + 3)−1 
𝑓′(𝑥) = (−6) (𝑥2 + 3)−2 (2 𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
(−12 𝑥)
(𝑥2 + 3)2
 
- Determinando a derivada segunda de f(x). 
𝑓′′(𝑥) =
(−12) (𝑥2 + 3)2 − (−12 𝑥) (2) (𝑥2 + 3) (2 𝑥)
(𝑥2 + 3)4
 
𝑓′′(𝑥) =
(−12) (𝑥2 + 3) − (−48 𝑥2)
(𝑥2 + 3)3
 
 291 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
𝑓′′(𝑥) =
(36) (𝑥2 − 1)
(𝑥2 + 3)3
 
Este resultado mostra que 𝑓′′(𝑥) é definida para qualquer valor de x e 𝑓′′(0) = 0 para 𝑥 = ±1. 
Assim, podemos testar a concavidade de f(x) testando o sinal de 𝑓′′(𝑥) nos intervalos (−∞ , −1) , 
(−1 , 1) e (1 , ∞), como mostra a tabela. O gráfico de f(x) aparece na Figura 3.23. 
 
 
 292 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Pontos de Inflexão 
 Se a reta tangente a uma curva existe em um ponto no qual a concavidade muda, esse ponto é 
chamado de ponto de inflexão. 
 A Figura 3.24 mostra três exemplos de pontos de inflexão. 
 
 
- Definição de Ponto de Inflexão 
Se a curva de uma função contínua possui uma reta tangente em um ponto no qual a concavidade muda, 
esse ponto é um ponto de inflexão. 
 
 
 293 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Como a concavidade da curva muda nos pontos de inflexão, a derivada segunda 𝑓′′ troca de sinal 
nesses pontos. 
 Logo, para localizar possíveis pontos de inflexão, precisamos apenas determinar os valores de x 
para os quais 𝑓′′(𝑥) = 0 ou para os quais 𝑓′′(𝑥) não existe. 
 O processo é análogo ao utilizado para localizar os extremos relativos de f(x) a partir dos números 
críticos da função. 
 
- Propriedade dos Pontos de Inflexão 
Se ( 𝑐 , 𝑓(𝑐) ) é um ponto de inflexão de f(x), então 𝑓′′(𝑐) = 0 ou 𝑓′′(𝑐) não é definida no ponto c. 
 
 
 294 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Discuta a concavidade da curva da função f(x) e determine os pontos de inflexão. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
Solução 
- Determinando a derivada primeira 
𝑓′ (𝑥) =
(2 𝑥) (𝑥2 − 4) − (𝑥2 + 1) (2 𝑥)
(𝑥2 − 4)2
 
𝑓′ (𝑥) =
−10 𝑥
(𝑥2 − 4)2
 
- Determinando a derivada segunda 
𝑓′′ (𝑥) =
(−10)(𝑥2 − 4)2 − (−10 𝑥)(2)(𝑥2 − 4)(2 𝑥)
(𝑥2 − 4)4
 
𝑓′′ (𝑥) =
(10)(3𝑥2 + 4)
(𝑥2 − 4)3
 
 
 295 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Determinando os intervalos 
Não há pontos nos quais 𝑓′′(𝑥) = 0, mas em 𝑥 = ±2, a função f(x) não é contínua. 
- Analisando os intervalos 
Esse resultado mostra que os pontos de mudança de concavidade são: 
x = -2 e x = 2. 
Logo, os intervalos de teste são: (−∞ , −2) , (−2 , 2) e (2 , ∞). 
Concluímos que a concavidade da curva é para cima no intervalo 
(−∞ , −2), para baixo no intervalo (−2 , 2) e para cima no intervalo 
(2 , ∞), como mostrado na tabela abaixo. A Figura ao lado mostra o 
gráfico de f(x). 
 
 
 296 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 É possível que a derivada segunda seja zero em um ponto que não é um ponto de inflexão. 
Por exemplo, observe as curvas das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥4, que aparecem na Figura 3.26. 
 Nos dois casos, a derivada segunda se anula em x = 0, mas apenas a curva de f(x) possui um ponto 
de inflexão em x = 0. 
 Isso mostra que, antes de concluir que existe um ponto de inflexão em um valor de x para o qual 
𝑓′′(𝑥) = 0, deve-se verificar se a concavidade muda nesse ponto. 
 
 
 297 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- O Teste da Derivada Segunda para Máximos e Mínimos Relativos 
 A derivada segunda pode ser usada em um teste simples para máximos e mínimos relativos. 
 Se f é uma função tal que 𝑓′(𝑐) = 0 e a concavidade da curva de f é 
para cima no ponto x = c , então f(c) é um mínimo relativo de f. 
 Analogamente, se f é uma função tal que 𝑓′(𝑐) = 0 e a concavidade da 
curva de f é para baixo no ponto x = c, então f(c) é um máximo relativo de f, 
como mostra a Figura 3.27. 
 
- Teste da Derivada Segunda 
Seja 𝑓′(𝑐) = 0; 
suponha que a 𝑓′′ exista em um intervalo aberto que contenha c. 
1. Se 𝑓′′(𝑐) > 0 , então 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo. 
2. Se 𝑓′′(𝑐) < 0 , então 𝑓(𝑐) é um máximo relativo. 
3. Se 𝑓′′(𝑐) = 0, o teste não permite chegar a nenhuma conclusão. 
 Nesse caso, é preciso usar o Teste da Derivada Primeira para determinar se 𝑓(𝑐) é um mínimo 
 relativo, ou um máximo relativo, ou nem uma coisa nem outra. 
 298 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine os extremos relativos da função 
𝑓(𝑥) = −3 𝑥5 + 5 𝑥3. 
Solução 
- Calculando a derivada primeira de f. 
𝑓′(𝑥) = −15 𝑥4 + 15 𝑥2 
𝑓′(𝑥) = 15 𝑥2 (1 − 𝑥2) 
 
Esse resultado mostra que x = 0, x = -1 e x = 1 são os únicos números críticos de f. 
 
- Calculando a derivada segunda. 
𝑓′′(𝑥) = −60 𝑥3 + 30 𝑥 
 
 299 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Aplicando o teste da derivada segunda. 
Ponto Sinal de 𝑓′′(𝑥) Conclusão 
(−1 , −2) 𝑓′′(−1) = 30 > 0 Mínimo relativo. 
(0 , 0) 𝑓′′(0) = 0 Indefinido 
(1 , 2) 𝑓′′(1) = −30 < 0 Máximo relativo. 
 
Como o teste acima é indefinido no ponto (0 , 0), então 
 
- Aplicando o teste da derivada primeira. 
Intervalo −1 < 𝑥 < 0 0 < 𝑥 < 1 
Valor de teste 𝑥 = − ½ 𝑥 = ½ 
Sinal da 
𝑓′(𝑥) 
𝑓′(−1/2) > 0 𝑓′(1/2) > 0 
Conclusão Ponto, em 𝑥 = 0 , não é máximo nem mínimo. 
Concluímos que o ponto (0 , 0) não é nem um mínimo relativo nem um máximo relativo. 
 300 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
O teste da concavidade mostra que se trata de um ponto de inflexão. 
A curva da função f aparece na Figura 3.28. 
 
 
 
 
 301 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
III.4 - Problemas de Otimização 
 
- Como Resolver Problemas de Otimização. 
 A determinação dos valores máximo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns 
do cálculo. 
 Consideremos alguns problemas nos quais a solução é um extremo absoluto de uma função 
definida em um intervalo fechado. 
 Em seguida, aplicamos o teorema do valor extremo. 
 Esse procedimento será mostrado por meio de alguns exemplos. 
 
 
 302 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Um fabricante quer projetar uma caixa, sem tampa, de base quadrada, e com 108 centímetros quadrados 
de superfície, como mostra a Figura 3.31. 
Que dimensões deve ter a caixa para que o volume seja o maior possível? 
Solução 
- Como a base da caixa é quadrada, o volume é dado por 
𝑉 = 𝑥2 ℎ Equação primária 
 
Esta equação é conhecida como equação primária por que expressa a 
grandeza a ser otimizada em termos de outras variáveis. 
 
- A superfície da caixa é dada por 
𝑆 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) + (á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 
𝑆 = 108 = 𝑥2 + 4 𝑥 ℎ Equação secundária 
 
 303 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Como a grandeza a ser otimizada é V, é interessante expressar V em função de apenas uma variável. 
Para isso, expressamos h em termos de x na equação secundária, o que nos dá ℎ = (108 − 𝑥2)/4 𝑥 , e 
substituímos esse resultado na equação primária. 
𝑉 = 𝑥2ℎ = 𝑥2 
(108 − 𝑥2)
4 𝑥
= 27 𝑥 −
1
4
 𝑥3 
 
Antes de determinarmos o valor de x para o qual o volume V é máximo, precisamos definir o domínio 
prático da função. Definir quais valores de x que fazem sentido no contexto do problema. 
 
- Como x não pode ser negativo e a área da base (𝐴 = 𝑥2) não pode ser maior que 108, concluímos que 
o domínio prático da função é 
0 ≤ 𝑥 ≤ √108 
 
- Usando as técnicas vistas nas seções anteriores, podemos determinar que: 
 (no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ √108) essa função possui um máximo absoluto em x = 6 cm e h = 3 cm. 
 304 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Roteiro para Resolver Problemas de Otimização 
 
1. Identifique todas as grandezas conhecidas e todas as grandezas a serem determinadas. 
 Se possível, desenhe um diagrama. 
2. Escreva uma equação primária para a grandeza a ser maximizada ou minimizada. 
3. Reduza a equação primária a uma equação que contenha apenas uma variável independente. 
 Isso pode envolver o uso de uma equação secundária que relacione 
 as variáveis independentes da equação primária. 
4. Determine o domínio prático da equação primária, 
 ou seja, os valores da variável independente para os quais o problema faz sentido. 
5. Determine o valor máximo ou mínimo procurado, 
 usando as técnicas de cálculo discutidas nas Seções 3.1 , 3.2 e 3.3. 
 
 
 305 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
O produto de dois números positivos é 288. 
Minimize a soma do segundo número com duas vezes o primeiro número. 
Solução 
- Seja x o primeiro número e y o segundo, e ainda S a soma a ser minimizada. 
- Como estamos interessados em minimizar S, a equação primária é: 
𝑆 = 2 𝑥 + 𝑦 Equação primária 
- Como o produto dos dois números é 288, podemos escrever a equação secundária da seguinte forma: 
𝑥 𝑦 = 288 Equação secundária 
𝑦 =
288
𝑥
 
- Escrevendo a equação primária como uma função de uma variável 
𝑆 = 2 𝑥 +
288
𝑥
 
- O domínio é aquele dos números positivos ou 𝑥 > 0. 
 
 306 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Minimizando o valor de S. 
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 2 −
288
𝑥2
 
2 −
288
𝑥2
= 0 
𝑥2 = 144 
𝑥 = ±12 , em acordo ao domínio , 𝑥 = 12 . 
 
 
 
 
 
 
- Usando o teste da derivada primeira para ponto crítico x = 12. 
Como S é decrescente no intervalo (0 , 12) e crescente no intervalo (12 , ∞), então, x = 12 corresponde 
a um mínimo. Logo, os dois números são: x = 12 e , substituindo na equação secundária, y = 24. 
 307 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine os pontos da curva 𝑦 = 4 − 𝑥2 que estão mais próximos do ponto (0 , 2). 
Solução 
- Como se pode ver na Figura 3.33, existem dois pontos sobre a curva que estão à menor distância 
possível do ponto (0 , 2). 
- O objetivo é minimizar a distância d, então utilizaremos a equação de 
distância para obter a equação primária. 
𝑑 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 
- Usando a equação secundária 𝑦 = 4 − 𝑥2, obtemos a equação primária 
como função de uma variável. 
𝑑 = √(𝑥 − 0)2 + (4 − 𝑥2 − 2)2 
𝑑 = √𝑥4 − 3 𝑥2 + 4 
- Podemos simplificar os cálculos ao admitir que d será mínimo quando o radicando for mínimo. 
Logo, basta determinarmos o valor mínimo de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3 𝑥2 + 4, cujo domínio é o conjunto dos 
números reais. 
 308 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Determinando os números críticos de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 6𝑥 
4 𝑥3 − 6𝑥 = 0 
2 𝑥 (2 𝑥2 − 3) = 0 
Logo, os números críticos são: 𝑥 = 0 , 𝑥 = √
3
2
 e 𝑥 = −√
3
2
 
 
- Aplicando o teste da derivada primeira, verificaremos que x = 0 corresponde a um máximo relativo, 
enquanto 𝑥 = √
3
2
 e 𝑥 = −√
3
2
 correspondem a mínimos relativos. 
 
Logo, os pontos mais próximos do ponto (0 , 2) são: 
(√
3
2
 ,
5
2
) e (−√
3
2
 ,
5
2
) 
 
 
 309 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Um convite retangular tem 24 𝑖𝑛2 de área impressa. As margens superior e inferior têm 1,5 in; as 
margens laterais têm 1 in. Quais devem ser as dimensões do convite para que a quantidade de papel 
utilizada seja a menor possível? 
Solução 
- Um diagrama do convite pode ser visto na Figura 3.34 observando-se as unidades. 
- Chamando de A a área a ser minimizada, a equação primária è: 
𝐴 = (𝑥 + 3) (𝑦 + 2) 
 
- A área impressa é dada por: 
𝑥 𝑦 = 24 
- Explicitando o valor de y, teremos: 𝑦 =
24
𝑥
 
- Exprimindo a equação primária em função de uma variável: 
𝐴 = (𝑥 + 3) (
24
𝑥
+ 2) 
 310 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Simplificando e agrupando os termos, teremos: 
𝐴 = (𝑥 + 3) (
24 + 2 𝑥
𝑥
) 
𝐴 =
2 𝑥2 + 30 𝑥 + 72
𝑥
 
𝐴 = 2 𝑥 + 30 +
72
𝑥
 
- Neste caso, x deve ser positivo e o domínio prático será 𝑥 > 0. 
- Determinando os números críticos de A. 
𝐴′ = 2 −
72
𝑥2
 
2 −
72
𝑥2
= 0 
𝑥 = 6 
- Usando o teste da derivada primeira, x = 6 corresponde a um mínimo. 
- Calculando o valor de y obtemos: 𝑦 = 4 . 
Logo, as dimensões do convite devem ser de x + 3 = 9 in de comprimento por y + 2 = 6 in de largura. 
 311 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Obs: Frequentemente, as aplicações práticas envolvem equações de complexidade relativamente alta 
para serem explicitadas. Uma vez formulada a equação primária, a curva (ou diagrama) da situação 
proposta na aplicação pode servir de ajuda para resolver o problema. A Figura 3.35 mostra os gráficos 
das equações primárias dos Exemplos 1 a 4 anteriores. 
 
 312 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Outra forma de explorar o problema do volume de uma caixa: 
Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços de papelão de 12 cm 
quadrados, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento 
do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior possível. 
 
Solução 
- Determinando as variáveis: 
x - lado do quadrado a ser cortado (cm) 
V - volume da caixa (cm3). 
 
 313 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Determinando a equação do volume da caixa 
𝑉(𝑥) = (12 − 2 𝑥)2 𝑥 
𝑉(𝑥) = 4 𝑥3 − 48 𝑥2 + 144 𝑥 
 
- Determinando os limites práticos para a variável x. 
O valor de x pode variar entre 0 e 6, ou 0 < 𝑥 < 6 
 
- Usando o método da derivada primeira para determinarmos os números críticos: 
𝑉′(𝑥) = 12 𝑥2 − 96 𝑥 + 144 
12 𝑥2 − 96 𝑥 + 144 = 0 
12 (𝑥2 − 8 𝑥 + 12) = 0 
O número crítico é x = 2, pois x = 6 não se encontra dentro do intervalo permitido sem que haja 
degeneração da geometria da caixa (x = 0 e x = 6). 
 
- Determinando o valor máximo que deverá ocorrer nos números críticos ou nos extremos do intervalo. 
x 0 2 6 
V(x) 0 128 0 
Logo, o volume será máximo para x = 2. 
 314 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Uma ilha está em um ponto A, à 6 Km do ponto B mais próximo em uma praia reta. Um armazém está 
em um ponto C, à 7 Km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4 Km/h e caminhar à razão 
de 5 Km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível? 
Solução 
- Definindo variáveis: 
P - ponto na praia onde o homem desembarca. 
A - Ilha 
B - Distância vertical da ilha à praia. 
C - Local onde o armazém está. 
x - distância de B a P. 
T - tempo deviagem de A a C. 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ - distância que o homem rema. 
𝑃𝐶̅̅ ̅̅ - distância que o homem anda. 
 
 315 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Definindo equação primária. 
𝑇 =
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
4
+
𝑃𝐶̅̅ ̅̅
5
 
onde, 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ → ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵�̂� 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = √62 + 𝑥2 
e 
𝑃𝐶̅̅ ̅̅ → (7 − 𝑥) 
Assim, 
𝑇(𝑥) =
√62 + 𝑥2
4
+
(7 − 𝑥)
5
 
 
- Definindo domínio prático: 
Como a distância de B a C é 7 Km, P pode estar no intervalo [0 , 7]. 
 
 316 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Determinando os pontos críticos de T(x) usando o método da derivada primeira. 
𝑇′(𝑥) =
1
2
 
(62 + 𝑥2)−1/2 (2 𝑥)
4
−
1
5
 
𝑇′(𝑥) = 
𝑥
4 √36 + 𝑥2
−
1
5
 
𝑇′(𝑥) existe para todos os valores de x do domínio prático. 
𝑥
4 √36 + 𝑥2
−
1
5
= 0 
5 𝑥 = 4 √36 + 𝑥2 
25 𝑥2 = 16 (36 + 𝑥2) 
9 𝑥2 = 576 
𝑥 = 8 , que não está dentro do intervalo prático [0 , 7]. 
Logo, o valor mínimo absoluto ocorrerá em um dos extremos. 
 
- Definindo os extremos absolutos: 
𝑇(0) =
29
10
≅ 2,9 ℎ e 𝑇(7) =
1
4
√85 ≅ 2,3 ℎ 
O valor mínimo absoluto de T no intervalo [0 , 7] ocorre em x = 7 Km. 
Assim, o homem deve remar diretamente até o armazém. 
 317 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo do 
rio. Se o material da cerca custa R$ 2,00 / m para os extremos e R$ 3,00 / m para o lado paralelo ao rio, 
encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de 
R$ 900,00. 
Solução 
- Definindo variáveis 
Sejam: x - comprimento de um extremo do campo (m) 
 y - comprimento do lado paralelo ao rio (m) 
 A - área do campo 
 
- Definindo equação primária 
𝐴 = 𝑥 𝑦 
 
 
 318 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Definindo equação secundária 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 = 2 𝑥 + 2 𝑥 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 3 𝑦 
Assim, 𝐶 = 2 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑦 = 900 
 
de onde, 𝑦 =
900−4 𝑥
3
 
 
- Explicitando equação primária 
𝐴(𝑥) = −
4
3
𝑥2 + 300 𝑥 
 
- Determinando o domínio prático 
Se 𝑦 = 0 → 𝑥 = 225 Área degenerada 
Se 𝑥 = 0 → 𝑦 = 300 Área degenerada 
 
 319 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Portanto, o valor de x que maximiza A deverá pertencer ao intervalo (0 , 225). 
 
- Determinando os valores críticos de A, utilizando o método da derivada primeira. 
𝐴′(𝑥) = −
8
3
 𝑥 + 300 
−
8
3
 𝑥 + 300 = 0 
𝑥 = 112,5 𝑚 , pertencente ao intervalo do domínio. Este é um número crítico. 
 
- Teste do extremo 
𝐴(112,5) = 16.875 𝑚2 , maior área cercada por R$ 900,00. 
 
 Dimensões da área: 𝑥 = 112,5 𝑚 
 𝑦 = 150 𝑚 
 
 320 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para 40 a 80 pessoas, o 
rendimento semanal será de R$ 70,00 por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos estiver acima de 
80 lugares, o rendimento semanal, em cada lugar, será reduzido em 50 centavos pelo número de lugares 
excedentes. Qual deverá ser a capacidade de assentos para se obter o maior rendimento semanal? 
Solução 
- Definindo variáveis 
Sejam: x - número de lugares 
 R - rendimento total 
 
- Definindo equação primária 
Quando 40 ≤ 𝑥 ≤ 80 , o rendimento, por lugar, é 70 reais, e 
𝑅 = 70 𝑥 
 
 
 321 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Quando 𝑥 > 80 , o rendimento por lugar será reduzido de 0,5 por lugar excedente (x – 80). 
Assim, o novo fator que multiplica o número de lugares ocupados será: [70 − 0,5 (𝑥 − 80)] . 
O rendimento total para esse intervalo será de: 
𝑅(𝑥) = [70 − 0,5 (𝑥 − 80)] 𝑥 
𝑅(𝑥) = [110 − 0,5 𝑥] 𝑥 
𝑅(𝑥) = −0,5 𝑥2 + 110 𝑥 
Observe que para rendimento nulo (R(x) = 0) , teremos: 
[110 − 0,5 𝑥] 𝑥 = 0 x = 0 e x = 220. 
 
- Explicitando a equação primária 
𝑅(𝑥) = {
70 𝑥, 𝑠𝑒 40 ≤ 𝑥 ≤ 80
−0,5 𝑥2 + 110 𝑥, 𝑠𝑒 80 < 𝑥 ≤ 220
 
 
- Determinando o domínio prático 
O domínio será definido como sendo [40 , 220] 
 
 322 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Note que a função R(x) é contínua, pois 𝑅(80) = 5.600 nas duas equações. 
 Portanto, poderemos aplicar o teorema do valor extremo. 
 
- Determinando os números críticos 
𝑅′(𝑥) = {
70 , 𝑠𝑒 40 ≤ 𝑥 ≤ 80
− 𝑥 + 110 , 𝑠𝑒 80 < 𝑥 ≤ 220
 
 Note que 𝑅′(𝑥) não existe em x = 80, pois as derivadas laterais têm valores diferentes entre si. 
 Como 𝑅−
′ (80) = 70 e 𝑅+
′ (80) = 30 , então x = 80 é um número crítico. 
 Note ainda que 𝑅′(𝑥) = 0 , fornecerá o número crítico 110 no segundo intervalo. 
 Portanto, o valor máximo do rendimento estará nos números críticos ou nos extremos dos 
intervalos. 
 
- Testes dos extremos absolutos 
x 40 80 110 220 
R (x) 320 5.600 6.050 0 
 
Logo, o rendimento será máximo quando x = 110 lugares ocupados. 
 323 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
III.5 – Cálculo de Limites, em Formas Indeterminadas, com o Uso da Derivada 
 
 Métodos para calcular certos limites envolvendo formas indeterminadas serão tratados nesta seção. 
A técnica usada é chamada regra de L’Hôpital, em homenagem ao matemático francês Guillaume 
François de L’Hôpital (1661-1707), que escreveu o primeiro texto de Cálculo, publicado em 1696. 
 
- A forma indeterminada 
𝟎
𝟎
 . 
Se f e g forem duas funções tais que lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0 , então a função 
𝑓
𝑔
 tem a 
forma indeterminada 
𝟎
𝟎
 em a. 
 
 
 324 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
1- Teorema Regra de L’Hôpital 
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto I, exceto possivelmente no número a em I. 
Suponhamos que para todo 𝑥 ≠ 𝑎, em I, 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 e 
 lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0 e se 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema é válido se todos os limites forem limites à direita ou à esquerda. 
 
 
 325 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que: (a) lim𝑥→4
𝑥2−𝑥−12
𝑥2−3𝑥−4
=
7
5
 e (b) lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 . 
Solução 
(a) 
Como lim𝑥→4 𝑥
2 − 𝑥 − 12 = 0 e lim𝑥→4 𝑥
2 − 3𝑥 − 4 = 0 , então podemos aplicar a regra de 
L’Hôpital e obter: 
lim
𝑥→4
𝑥2 − 𝑥 − 12
𝑥2 − 3𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
2 𝑥 − 1
2 𝑥 − 3
=
7
5
 
 
(b) 
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, pois lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e lim𝑥→0 𝑥 = 0 . Temos então: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
= 1 
 
 
 326 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Encontre lim𝑥→0
𝑥
1−𝑒𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim𝑥→0 𝑥 = 0 e lim𝑥→0 1 − 𝑒
𝑥 = 0 , a regra de L’Hôpital pode ser aplicada e temos: 
 
lim
𝑥→0
 
𝑥
1 − 𝑒𝑥
 = lim
𝑥→0
1
−𝑒𝑥
 = 
1
−1
 = −1 
 
 
 327 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Encontre lim𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3−3 𝑥+2
 , se existir. 
Solução 
lim𝑥→1 1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 = 0 e lim𝑥→1 𝑥
3 − 3 𝑥 + 2 = 0 
 
Aplicandoa regra de L’Hôpital, temos: 
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3 − 3 𝑥 + 2
= lim
𝑥→1
 
−1 + 
1
𝑥
3 𝑥2 − 3
=
0
0
 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, 
lim
𝑥→1
 
−1 + 
1
𝑥
3 𝑥2 − 3
= lim
𝑥→1
 
−
1
𝑥2
6 𝑥
= −
1
6
 
 
Portanto, 
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3 − 3 𝑥 + 2
= −
1
6
 
 
 328 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
2- Teorema Regra de L’Hôpital 
Sejam f e g funções diferenciáveis para todo 𝑥 > 𝑁 , onde N é uma constante positiva e suponhamos 
que para todo 𝑥 > 𝑁 , 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0 e 
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = 0 , e se 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema também é válido se “𝑥 → +∞” for substituído por “𝑥 → −∞” ou 𝑥 → ∞. 
 
 
 329 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Outras formas indeterminadas. 
 
 Suponhamos que queiramos determinar se o lim𝑥→𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 existe. 
 
 Não podemos aplicar o teorema que envolve o limite de um quociente por que 
lim𝑥→𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = + ∞ e lim𝑥→𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 = + ∞ . 
 
 Neste caso, vemos que a função definida por 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 tem a forma indeterminada 
+∞
+∞
 em 𝑥 =
𝜋
2
 . 
 
Outras condições onde a regra de L’Hôpital também é aplicável: 
 A regra de L’Hôpital também se aplica a uma forma indeterminada deste tipo bem como a 
−∞
−∞
 , 
−∞
+∞
 , 
+∞
−∞
 e 
∞
∞
 . 
 
 
 330 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
3- Teorema Regra de L’Hôpital 
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto I, exceto possivelmente no número a em I. 
Suponhamos que para todo 𝑥 ≠ 𝑎, em I, 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . 
Então, se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = +∞ ; −∞ ; 𝑜𝑢 ∞ e 
 lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = +∞ ; −∞ ; 𝑜𝑢 ∞ e se 
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema é válido se todos os limites forem limites à direita ou à esquerda. 
 
 
 331 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4- Teorema Regra de L’Hôpital 
Sejam f e g funções diferenciáveis para todo 𝑥 > 𝑁 , onde N é uma constante positiva e suponhamos 
que, para todo 𝑥 > 𝑁 , 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = +∞ , −∞ , 𝑜𝑢 ∞ e 
lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) = +∞ , −∞ , 𝑜𝑢 ∞ , e se 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
segue que 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema também é válido se “𝑥 → +∞” for substituído por “𝑥 → −∞” . 
 
Obs: 
Os teoremas de 1 a 4 também são válidos se L for substituído por +∞ , −∞ 𝑜𝑢 ∞ . 
 332 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Encontre lim𝑥→0+ 
ln 𝑥
1
𝑥
 se existir. 
Solução 
Como lim𝑥→0+ ln 𝑥 = −∞ e lim𝑥→0+ 
1
𝑥
= +∞ , aplicamos a regra de L’Hôpital e obtemos: 
 
lim
𝑥→0+
 
ln 𝑥
1
𝑥
= lim
𝑥→0+
 
1
𝑥
−
1
𝑥2
= lim
𝑥→0+
 (−𝑥) = 0 
 
 
 333 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Encontre lim𝑥→+∞ 
𝑥2
𝑒𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim𝑥→+∞ 𝑥
2 = +∞ e lim𝑥→+∞ 𝑒
𝑥 = +∞ , aplicando a regra de L’Hôpital obtemos: 
lim
𝑥→+∞
 
𝑥2
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
 
2 𝑥
𝑒𝑥
 
 
Agora, como o lim𝑥→+∞ 2 𝑥 = +∞ e lim𝑥→+∞ 𝑒
𝑥 = +∞ , aplicamos a regra de L’Hôpital 
novamente e teremos: 
lim
𝑥→+∞
 
2 𝑥
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
 
2
𝑒𝑥
= 0 
 
Portanto, 
lim
𝑥→+∞
 
𝑥2
𝑒𝑥
= 0 
 
 334 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Encontre lim𝑥→𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim𝑥→𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = +∞ e lim𝑥→𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 = +∞ , 
 
então, aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
6 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 𝑡𝑔 3𝑥
 
Mas, 
lim𝑥→𝜋
2
 2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 = +∞ e lim𝑥→𝜋
2
 6 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 𝑡𝑔 3𝑥 = +∞ . 
 
Poderemos verificar que, neste caso, mais aplicações da regra de L’Hôpital não ajudarão a sairmos da 
indeterminação. 
 
 335 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Contudo, o quociente original pode ser reescrito e teremos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 
 
Para essa nova situação, lim𝑥→𝜋
2
 𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥 = 0 e lim𝑥→𝜋
2
 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 0 , e podemos aplicar a regra de 
L’Hôpital e obtemos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
−6 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 
−2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 (2 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 )
(2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
 
 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
 
 
 336 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Como lim𝑥→𝜋
2
 3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥 = 0 e lim𝑥→𝜋
2
 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 0 , aplicamos a regra de L’Hôpital novamente e 
obtemos: 
 lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
18 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
= 
18 (−1)
2 (−1)
= 9 
 
 
Portanto, 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= 9 
 
 337 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Além de 
0
0
 e ±
∞
∞
 , existem outras formas indeterminadas que são (𝟎 ∙ ∞) , (∞ − ∞) , (𝟎𝟎) , 
(∞𝟎) , (𝟏∞) , e as formas correspondentes onde ∞ é substituído por +∞ 𝒐𝒖 − ∞. 
 
 Estas formas indeterminadas são definidas de modo semelhante às outras duas [
0
0
 e 
∞
∞
]. 
 
 Por exemplo, se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞ e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0 então, a função definida por 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) tem 
a forma indeterminada (∞0) em a. 
 
 Para encontrar o limite de uma função que tem uma dessas formas indeterminadas devemos mudá-
la para a forma de 
0
0
 ou ±
∞
∞
 antes de a regra de L’Hôpital ser aplicada. 
 
 338 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
Encontre lim𝑥 → 0 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥) , se existir. 
Solução 
Como lim𝑥 → 0 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e lim𝑥 → 0 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ∞ , a função definida por 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 
tem a forma indeterminada (0 ∙ ∞) em 0. 
 
Antes de podermos aplicar a regra de L’Hôpital reescrevemos 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 como 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 / 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 
 
Agora, lim𝑥 → 0 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e lim𝑥 → 0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e assim temos a forma indeterminada 0 / 0. 
Portanto, aplicamos a regra de L’Hôpital e obtemos: 
lim
𝑥 → 0
 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= lim
𝑥 → 0
 
1
√1 − 𝑥2
cos 𝑥
= 
1
1
= 1 
 
 339 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
Encontre lim𝑥→0 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) , se existir. 
Solução 
Como lim𝑥→0 
1
𝑥2
= +∞ e lim𝑥→0 
1
𝑥2 sec 𝑥
= +∞ , temos a forma indeterminada [+∞ − (+∞)]. 
Reescrevendo a expressão, temos: 
lim
𝑥→0
 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) = lim
𝑥→0
 (
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
) 
 
Como lim𝑥→0 (sec 𝑥 − 1) = 0 e lim𝑥→0(𝑥
2 sec 𝑥) = 0 , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital 
e obtemos:lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
= lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥
2 𝑥 sec 𝑥 + 𝑥2 sec 𝑥 𝑡𝑔𝑥
 
 
lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
= lim
𝑥→0
 
 𝑡𝑔 𝑥
2 𝑥 + 𝑥2 𝑡𝑔𝑥
 
 340 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Porém, lim𝑥→0 𝑡𝑔 𝑥 = 0 e lim𝑥→0 2 𝑥 + 𝑥
2 𝑡𝑔𝑥 = 0 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, 
lim
𝑥→0
 
 𝑡𝑔 𝑥
2 𝑥 + 𝑥2 𝑡𝑔𝑥
= lim
𝑥→0
 
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
2 + 2 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑥2 sec2 𝑥
= 
1
2
 
 
Portanto, 
 
lim
𝑥→0
 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) = 
1
2
 
 
 341 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 9 
Encontre lim𝑥→0 (𝑥 + 1)
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
Solução 
“O procedimento abaixo se aplica a uma das formas indeterminadas: 00 , ∞0 , 1∞ .” 
Como lim𝑥→0 (𝑥 + 1) = 1 e lim𝑥→0 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = ∞ , temos a forma indeterminada 1
∞ . 
Seja 𝑦 = (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
Então, 
ln 𝑦 = ln[(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥] 
ln 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ln(𝑥 + 1) 
ln 𝑦 = 
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑔 𝑥
 
Assim, 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = lim
𝑥→0
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑔 𝑥
 
 
 
 342 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Como lim𝑥→0 ln(𝑥 + 1) = 0 e lim𝑥→0 𝑡𝑔 𝑥 = 0 , podemos aplicar a regra de L’Hôpital e obtemos: 
 lim
𝑥→0
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑔 𝑥
= lim
𝑥→0
1
(𝑥 + 1)
sec2 𝑥
= 1 
 
Logo, 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = 1 
 
Como a função logaritmo natural é contínua em todo seu domínio, que é o conjunto de todos os 
números positivos, podemos considerar: 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = ln lim
𝑥→0
𝑦 = 1 
 
Portanto, lim𝑥→0 𝑦 = 𝑒
1 ou 
lim
𝑥→0
 (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 𝑒 
 
 343 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de 
Janeiro – RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.