Cap 08_Projeto_Reatores_Não-isotérmicos

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Análise e Cálculo de Reatores Prof. Dra. Veronice Slusarski Santana 
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CAPÍTULO 8 – PROJETO DE REATORES NÃO-ISOTÉRMICOS EM ESTADO 
ESTACIONÁRIO 
 
Os reatores podem operar de três maneiras: 
1) Isotermicamente – a temperatura é constante e uniforme dentro do reator; 
2) Não-Isotermicamente – a temperatura varia ao longo do reator ou da reação e a 
conversão também, dependendo se a reação é endotérmica ou exotérmica; 
3) Adiabaticamente – mantém-se o reator isolado termicamente, não há transferência 
de calor e tanto a temperatura como a conversão variam ao longo do reator ou da 
reação. 
 
Uma vez que a temperatura varia ao longo do reator ou da reação, k também varia e 
consequentemente a conversão também. Então, tem-se mais uma incógnita e precisa-se de 
mais uma equação, a qual pode ser obtida a partir do balanço de energia. 
 
8.1 – BALANÇO DE ENERGIA 
 
Todo o desenvolvimento encontra-se no item 8.2 do livro do Fogler. 
 
Realizando o balanço de energia a partir da 1a Lei da Termodinânica, tem-se: 
 
𝑑𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
= ∑ 𝐹𝑖0. 𝐻𝑖𝑜
𝑛
𝑖=1 − ∑ 𝐹𝑖 . 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 + 𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ (1) 
 
sendo: Esist = Energia total do sistema; Fi = vazão molar da espécie i; Hi = entalpia por mol 
da espécie i; �̇�𝑒 = calor externo trocado (calor que entra (+) no sistema) e �̇�𝑒 = trabalho 
externo ou trabalho de eixo (trabalho realizado (-) pelo sistema). 
Para uma reação genérica A + b/a B  c/a C + d/a D e pela estequiometria (item 
8.2.4 - Fogler): 
 
∑ 𝐹𝑖0. 𝐻𝑖𝑜
𝑛
𝑖=1 − ∑ 𝐹𝑖 . 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . (𝐻𝑖0 −𝐻𝑖)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. 𝑋 (2) 
 
sendo HR = calor de reação avaliada na temperatura de saída do reator (Joule /mol de A). 
Em regime permanente: 
 
𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . (𝐻𝑖0 −𝐻𝑖)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. 𝑋 + 𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ = 0 (3) 
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Na ausência de mudança de fase: 
𝐻𝑖0 −𝐻𝑖 = ∫ 𝐶𝑝𝑖𝑑𝑇
𝑇
𝑇0
 (4) 
Se Cpi for constante dentro da faixa de variação de temperatura: 
 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ − 𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . 𝐶𝑝𝑖 . (𝑇 − 𝑇0)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. 𝑋 = 0 (5) 
Equação do Balaço de energia 
A partir da equação do Balanço de Energia, pode-se identificar, além do trabalho de 
eixo, três formas de calor: 
𝑄𝑒⏟
1
̇ − 𝑊𝑒̇ − 𝐹𝐴0.∑𝜃𝑖 . 𝐶𝑝𝑖 . (𝑇 − 𝑇0)
𝑛
𝑖=1⏟ 
2
− ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. 𝑋⏟ 
3
= 0 
 
(1) Calor Externo: Depende do fluido de aquecimento ou de resfriamento através de 
manta, trocador de calor externo ou serpentina. �̇�𝑒 pode ser dado por: 
a) Caso Geral: 
�̇�𝑒 = 𝑈. 𝐴𝑠𝑢𝑝. (𝑇 − 𝑇𝑆)* (6) 
* Neste caso, está ocorrendo resfriamento. 
sendo: U = coeficiente global de troca térmica; Asup = área superficial de troca 
térmica; T = temperatura do sistema de reação; TS = temperatura do fluido do 
trocador de calor ou da serpentina. 
 
b) Trocador de calor num CSTR: Se o fluido dentro do trocador de calor entra 
numa temperatura Ta1 e sai numa temperatura Ta2, e a temperatura dentro do 
meio reacional num CSTR é espacialmente uniforme e igual a T, então: 
 
�̇�𝑒 = 𝑈.𝐴. ∆𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 𝑈. 𝐴.
𝑇𝑎1−𝑇𝑎2
𝑙𝑛(
𝑇𝑎1−𝑇
𝑇𝑎2−𝑇
)
 (7) 
 
c) Trocador de calor num PFR: Quando o fluxo de calor varia ao longo do 
comprimento do reator tubular, necessita-se integrar a equação ao longo do 
comprimento do reator: 
�̇�𝑒 = ∫ 𝑈. (𝑇𝑎 − 𝑇). 𝑑𝐴
𝐴
0
= ∫ 𝑈. 𝑎. (𝑇𝑎 − 𝑇). 𝑑𝑉
𝑉
0
* (8) 
* Neste caso, está ocorrendo aquecimento. 
sendo: a = 4 / Diâmetro. 
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(2) Calor sensível ou de fluxo: este tipo de calor varia linearmente com a 
temperatura e depende da capacidade calorífica (Cp) de cada espécie. 
∆𝐶𝑝 =
𝑑
𝑎
. 𝐶𝑝𝐷 +
𝑐
𝑎
. 𝐶𝑝𝐶 −
𝑏
𝑎
. 𝐶𝑝𝐵 − 𝐶𝑝𝐴 
(3) Calor gerado por reação química: este tipo de calor varia exponencialmente 
devido ao k, especificamente à dependência exponencial de k com T segundo a 
equação de Arrhenius. No início, o calor cresce muito pouco, já que a conversão é 
baixa, mas com o aumento de T e X, o calor cresce significativamente e depois 
começa a decrescer. 
∆𝐻𝑅(𝑇) = ∆𝐻𝑅
0(𝑇𝑅) + ∆𝐶𝑝. (𝑇 − 𝑇𝑅) 
sendo: ∆𝐻𝑅
0(𝑇𝑅) = calor padrão de reação avaliado numa temperatura de referência 
(padrão), geralmente 25oC. 
 
CALOR SENSÍVEL + CALOR GERADO = CALOR TROCADO 
 
 
 
 
 
Combinando então, a equação do balanço de energia (eq. 5) com a equação de 
projeto do reator de interesse, tem-se um sistema com duas equações e duas incógnitas 
que devem ser resolvidas simultaneamente. 
 
 
* Fazer toda a dedução de acordo com o Fogler até chegar na equação 8.27 do livro. 
 
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8.2 – REATOR ADIABÁTICO 
 
Todo o desenvolvimento encontra-se no item 8.3 do livro do Fogler. 
 
O balanço de energia para um processo adiabático, no qual �̇�𝑒 =0, e considerando �̇�𝑒 
=0, é dado por: 
𝑇 − 𝑇0 =
−∆𝐻𝑅.𝐹𝐴0.𝑋
𝐹𝐴0.∑ 𝜃𝑖.𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
 (10) 
𝑋𝐵𝐸 =
𝐹𝐴0.∑ 𝜃𝑖.𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 .(𝑇−𝑇0)
(−∆𝐻𝑅).𝐹𝐴0
 (11) 
* Relação linear entre T e X. 
Estas duas equações (10 e 11) podem ser usadas para qualquer tipo de reator 
operando adiabaticamente e foi usado o subscrito BE para identificar que a conversão foi 
obtida pela equação do balanço de energia. 
Tomando como exemplo um PFR adiabático, a equação 10 pode ser acoplada 
juntamente com a equação do projeto [FA0.dX/dV = -rA(T,X)] para se obter o perfil de 
temperatura e conversão ao longo do comprimento do reator. Ou seja, substitui-se a 
equação 10 na expressão da velocidade específica da reação, conforme: -rA = k.f(CA) = 
A.exp(-Ea/R.T).f(CA), e se tratando de reação em fase gasosa, CA também é função da 
temperatura {CA = [CA0(1-X)/(1+.X)]*(T0/T)}. 
 
* Ver Tabelas 8.2a e 8.2b que trazem o algoritmo para PFR/PBR adiabático. 
 
A técnica numérica é utilizada para fornecer certo conhecimento a cerca do 
procedimento de solução e quando não se tem disponível nenhum acesso aos métodos 
computacionais (programa para resolver equações diferenciais ordinárias). Havendo a 
possibilidade de se resolver computacionalmente, esta é a melhor opção. 
 
8.3 – REATOR BATELADA 
 
Para um reator batelada, não fá fluxo de entrada e saída, mas a temperatura e a 
conversão variam com o tempo de reação. 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ =
𝑑𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑(∑ 𝑁𝑖.�̅�𝑖
𝑛
𝑖=1 )
𝑑𝑡
=
𝑑(∑ 𝑁𝑖.𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 )
𝑑𝑡
 
em que: E = U + Ec + Ep e H = U + PV (desprezando-se a energia cinética, energia 
potencial e o trabalho de compressão/ expansão) e considerando que, para uma solução 
ideal, a entalpia molar parcial da espécie i (�̅�𝑖) é igual a entalpia da espécie i pura (𝐻𝑖). 
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𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ =
𝑑
𝑑𝑡
(∑ 𝑁𝑖 . 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 ) = ∑ 𝑁𝑖
𝑛
𝑖=1 .
𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑡
+ ∑ 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 .
𝑑𝑁𝑖
𝑑𝑡
 
 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ = ∑ 𝑁𝑖 . 𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 .
𝑑𝑇
𝑑𝑡
− ∑ 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 . ∑ 𝜈𝑖
𝑛
𝑖=1. 𝑁𝐴0.
𝑑𝑋
𝑑𝑡
 
já que 𝑁𝑖 = 𝑁𝐴0. 𝜃𝑖 +𝑁𝐴0. 𝜈𝑖 . 𝑋 
Considerando que Cpi é constante dentro da faixa de temperatura em questão: 
 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ = (∑ 𝑁𝑖 . 𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 ).
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+ ∆𝐻𝑅 . 𝑁𝐴0.
𝑑𝑋
𝑑𝑡
 
 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ − ∆𝐻𝑅 . 𝑁𝐴0.
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (∑ 𝑁𝑖 . 𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 ).
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 (12) 
 
∫ 𝑄�̇� . 𝑑𝑡
𝑡
0
− ∫ 𝑊𝑒̇ . 𝑑𝑡
𝑡
0
− ∫ ∆𝐻𝑅 . 𝑁𝐴0
𝑋
0
. 𝑑𝑋 = ∫ (∑ 𝑁𝑖 . 𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 ). 𝑑𝑇
𝑇
𝑇0
 (13) 
 
Como: 𝑟𝐴 =
1
𝑉
.
𝑑𝑁𝐴
𝑑𝑡
= −
𝑁𝐴0
𝑉
.
𝑑𝑋
𝑑𝑡
 da equação 12, tem-se: 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ + ∆𝐻𝑅 . 𝑟𝐴. 𝑉 = (∑ 𝑁𝑖 . 𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 ).
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 (13) 
 
8.4 – REATOR TUBULAR COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Todo o desenvolvimento encontra-se no item 8.4 do livro do Fogler. 
 
Fazendo o balanço de energia em um elemento de volume (V) de um reator PFR 
com transferência de calor e considerando que não há trabalho de eixo, tem-se: 
�̇�𝑒 + ∑ 𝐹𝑖 . 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 |𝑉 − ∑ 𝐹𝑖 . 𝐻𝑖
𝑛
𝑖=1 |𝑉+∆𝑉 = 0 
 
Como a partir da equação de projeto do PFR: 
𝑑𝐹𝑖
𝑑𝑉
= 𝑟𝑖 = 𝜈𝑖 . (−𝑟𝐴) e das relações 
termodinâmicas: 
𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑉
= 𝐶𝑝𝑖 .
𝑑𝑇
𝑑𝑉
 . Então: 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑉
=
Δ𝐻𝑅.𝑟𝐴−�̇�𝑒
∑ 𝐹𝑖.𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
=
Δ𝐻𝑅.𝑟𝐴−𝑈.𝑎.(𝑇−𝑇𝑎)
∑ 𝐹𝑖.𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
 (15) 
A equação 15 pode ser aplicada também para reações múltiplas e reatores em série. 
 
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𝑑𝑇
𝑑𝑉
=
Δ𝐻𝑅.𝑟𝐴−𝑈.𝑎.(𝑇−𝑇𝑎)
𝐹𝐴0.(∑ 𝜃𝑖.𝐶𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1 +Δ𝐶𝑝.𝑋)
 (16) 
* O primeiro termo do numerador corresponde ao calor gerado, enquanto que o segundo, ao calor removido. 
 
A equação do balanço de energia (eq. 15 ou 16) apresenta duas incógnitas (T e X) e 
deve ser acoplada à equação de projeto do PFR e as duas equações diferenciais devem ser 
resolvidas simultaneamente (integração numérica das duas equações diferenciais 
acopladas). 
Se a temperatura do fluido refrigerante variar ao longo do reator, deve-se adicionar o 
balanço de energia para o fluido refrigerante: 
 
𝑑𝑇𝑎
𝑑𝑉
=
𝑈.𝑎.(𝑇−𝑇𝑎)
�̇�𝐶.𝐶𝑝𝐶
 (17) 
* Ver este balanço no item 8.4.2, juntamente com a Tabela 8.3. 
 
8.5 – CSTR COM EFEITOS TÉRMICOS 
 
Todo o desenvolvimento encontra-se no item 8.6 do livro do Fogler. 
 
Para o CSTR com efeitos térmicos, pode-se utilizar a equação geral do balanço de 
energia (eq. 5): 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ − 𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . 𝐶𝑝𝑖 . (𝑇 − 𝑇0)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. 𝑋 = 0 (5) 
 
Ou acoplar a equação de projeto do CSTR (FA0.X = -rA.V): 
 
𝑄�̇� −𝑊𝑒̇ − 𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . 𝐶𝑝𝑖 . (𝑇 − 𝑇0)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . (−𝑟𝐴. 𝑉) = 0 (18) 
 
Considerando que �̇�𝑒 = 0 e que �̇�𝑒 = 𝑈. 𝐴. (𝑇𝑎 − 𝑇) “calor fornecido ao reator”: 
 
𝑋𝐵𝐸 =
𝑈.𝐴.(𝑇𝑎−𝑇)−𝐹𝐴0.∑ 𝜃𝑖.𝐶𝑝𝑖.(𝑇−𝑇0)
𝑛
𝑖=1
∆𝐻𝑅.𝐹𝐴0
 (19) 
Agora se o fluido do trocador de calor do CSTR com vazão mássica (�̇�𝐶) entrar 
numa temperatura Ta1 e sair numa temperatura Ta2, a taxa de transferência de calor do 
trocador para o reatores é: 
�̇�𝑒 = 𝑚𝐶̇ . 𝐶𝑝𝐶 . (𝑇𝑎1 − 𝑇𝑎2) =
𝑈.𝐴.(𝑇𝑎1−𝑇𝑎2)
𝑙𝑛[(𝑇−𝑇𝑎1) (𝑇−𝑇𝑎2)⁄ ]
 
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No quadro a seguir são apresentadas as equações do balanço de energia para vários 
reatores, tanto em termos de conversão quanto em termos de vazão molar. 
 
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8.6 – REATORES EM SÉRIE 
 
As equações desenvolvidas até o momento considera a conversão, na entrada do 
reator, igual a zero. Estas equações podem ser aplicadas a um único reator, para o 1o 
reator de uma série de reatores, para a 1a porção de um PFR ou para o 1o segmento do 
tempo de um reator batelada. 
Para as demais situações: 
 
𝑄𝑒𝑃
̇ − 𝑊𝑒̇ − 𝐹𝐴0. ∑ 𝜃𝑖 . 𝐶𝑝𝑖 . (𝑇𝑠𝑎𝑖 − 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎)
𝑛
𝑖=1 − ∆𝐻𝑅 . 𝐹𝐴0. (𝑋𝑠𝑎𝑖 − 𝑋𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎) = 0 
(20) 
Sendo: 𝑄𝑒𝑃
̇ o calor parcial trocado na seção de estudo entre Xentra e Xsai.