Prova 1 Eletromag UFMG

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Versa˜o 000
Versa˜o Nome Turma
000 versa˜o 000 somente para con-
fereˆncia
FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,00 × 10−9 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,00 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −6,12× 10−2 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −6,80× 10−4 J
(a)
(5 pontos) (A) −3,15× 100 N, (e1:B) −6,12× 10−6 N, (C) −4,79× 100 N, (D) −6,58× 10−4 N, (E) −4,10×
10−4 N, (F) −3,23× 10−4 N, (G) −9,25× 10−4 N, (H) −1,28× 101 N, (I) −6,03× 100 N, (J) −4,69× 10−4 N,
(K) −1,27×10−3 N, (L) −1,42×101 N, (M) −1,89×10−3 N, (N) −8,15×100 N, (Correto:O) −6,12×10−2 N,
(b)
(5 pontos) (A) −6,22×10−2 J, (B) −2,25×10−1 J, (C) −1,85×10−1 J, (D) −2,93×10−1 J, (E) −2,63×10−1 J,
(F) −1,50 × 10−1 J, (G) −1,11 × 10−1 J, (H) −9,46 × 10−2 J, (I) −3,41 × 10−1 J, (J) −8,35 × 10−2 J,
(K) −3,82× 10−1 J, (L) −1,25× 10−1 J, (Correto:M) −6,80× 10−4 J, (N) −7,33× 10−2 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =5,00 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,100 miˆ, b) ~r2=0,500 m iˆ, c) ~r3=1,00 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 000
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,100 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,100 m)2
= − 200 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,00 m)2
= 1,00 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) −38,5 V/m, (B) 9,66 V/m, (C) −43,7 V/m, (Correto:D) − 200 V/m, (E) 11,9 V/m,
(F) −24,6 V/m, (G) − 124 V/m, (H) 6,38 V/m, (e3:I ) 8,00 V/m, (e2:J ) 4,00 V/m, (K) − 178 V/m,
(L) −68,4 V/m, (M) 5,21 V/m, (e1:N ) 8,00 V/m, (O) 7,12 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (e1:A) −8,00 V/m, (B) 3,55 V/m, (C) 2,87 V/m, (D) 4,40 V/m, (E) −10,4 V/m, (F) 5,48 V/m,
(G) −9,17 V/m, (e2:H ) 4,00 V/m, (I) 4,92 V/m, (J) −11,9 V/m, (K) −5,97 V/m, (L) 3,19 V/m,
(M) −6,86 V/m, (Correto:N) 0 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) −9,96 V/m, (B) 0,683 V/m, (C) 1,19 V/m, (D) 0,601 V/m, (E) −8,83 V/m, (F) −6,35 V/m,
(G) −7,04 V/m, (H) 0,525 V/m, (I) 1,81 V/m, (J) 1,63 V/m, (K) −11,2 V/m, (L) 0,842 V/m,
(e1:M ) −8,00 V/m, (Correto:N) 1,00 V/m, (O) 0,463 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 17,7 V, (B) 29,4 V, (e1:C ) 20,0 V, (D) 10,9 V, (E) 14,3 V, (F) 6,85 V, (e2:G) 40,0 V,
(H) 22,3 V, (I) 35,2 V, (Correto:J) 1,67 V, (K) 26,1 V, (L) 13,0 V, (M) 8,37 V, (N) 15,9 V, (O) 9,66 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,0 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 000
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 000 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 10,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 4 000 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
4 000 V
3,00 ×106V/m = 1,33× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 5,93× 10−10 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,0 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 3,33× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 2,42× 10−3 m, (B) 2,75× 10−3 m, (C) 1,91× 10−3 m, (D) 3,24× 10−3 m, (E) 1,63× 10−3 m,
(F) 2,15× 10−3 m, (Correto:G) 1,33× 10−3 m,
Versa˜o 000
(b)
(4 pontos) (A) 3,49× 10−9 C, (B) 2,55× 10−9 C, (C) 6,63× 10−10 C, (D) 9,53× 10−10 C, (E) 1,58× 10−9 C,
(F) 1,37× 10−9 C, (G) 2,30× 10−9 C, (H) 3,17× 10−9 C, (I) 7,37× 10−10 C, (Correto:J) 5,93× 10−10 C,
(K) 1,05× 10−9 C, (L) 1,17× 10−9 C, (M) 1,87× 10−9 C, (N) 2,83× 10−9 C, (O) 8,43× 10−10 C,
(c) (2 pontos) (A) 6,07× 10
−6 m, (B) 3,93× 10−6 m, (Correto:C) 3,33× 10−6 m, (D) 5,37× 10−6 m, (E) 4,43×
10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜odo 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1,
(c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 001
Versa˜o Nome Turma
001 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−8,19 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,43 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −1,14× 101 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −2,74× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −4,14 × 10−4 N, (B) −3,72 × 100 N, (C) −6,57 × 100 N, (D) −9,87 × 100 N, (E) −5,40 ×
10−4 N, (F) −1,32 × 10−3 N, (G) −8,37 × 10−4 N, (Correto:H) −1,14 × 101 N, (e1:I ) −1,14 × 10−3 N,
(J) −3,16 × 10−4 N, (K) −6,57 × 10−4 N, (L) −7,60 × 10−4 N, (M) −1,64 × 10−3 N, (N) −1,62 × 10−4 N,
(O) −5,80× 100 N,
(b)
(5 pontos) (A) −1,02×10−1 J, (B) −6,22×10−2 J, (C) −3,82×10−1 J, (D) −2,44×10−1 J, (E) −1,72×10−1 J,
(F) −6,80×10−4 J, (Correto:G) −2,74×10−1 J, (H) −7,30×10−2 J, (I) −1,49×10−1 J, (J) −1,30×10−1 J,
(K) −1,17× 10−1 J, (L) −1,94× 10−1 J, (M) −2,21× 10−1 J, (N) −8,71× 10−2 J, (O) −3,31× 10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =1,01 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,129 miˆ, b) ~r2=0,582 m iˆ, c) ~r3=1,13 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 001
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,129 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,129 m)2
= − 120 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,13 m)2
= 0,783 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (e2:A) 2,95 V/m, (B) −24,6 V/m, (e1:C ) 5,90 V/m, (D) −62,4 V/m, (Correto:E) − 120 V/m,
(F) − 196 V/m, (G) − 146 V/m, (e3:H ) 5,90 V/m, (I) 3,67 V/m, (J) 10,6 V/m, (K) − 104 V/m,
(L) −78,1 V/m, (M) 7,60 V/m, (N) −30,8 V/m, (O) 8,54 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A)−11,4 V/m, (B) 5,64 V/m, (e2:C ) 2,95 V/m, (e1:D)−5,90 V/m, (E) 3,59 V/m, (F) 4,00 V/m,
(G) 4,41 V/m, (H) −10,3 V/m, (I) −6,52 V/m, (J) −8,16 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) −9,02 V/m,
(M) 4,92 V/m, (N) 3,26 V/m, (O) −7,28 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) 1,72 V/m, (B) 1,36 V/m, (C) −6,73 V/m, (D) 0,610 V/m, (Correto:E) 0,783 V/m,
(F) −8,79 V/m, (G) −10,1 V/m, (H) 0,482 V/m, (e1:I ) −5,90 V/m, (J) −11,3 V/m, (K) 1,06 V/m,
(L) 1,54 V/m, (M) −7,48 V/m, (N) 0,925 V/m, (O) 0,549 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (e2:A) 26,6 V, (B) 23,8 V, (C) 9,95 V, (D) 13,2 V, (E) 21,5 V, (F) 30,5 V, (G) 40,7 V, (H) 7,14 V,
(I) 8,47 V, (J) 11,6 V, (K) 19,1 V, (L) 45,4 V, (M) 35,2 V, (e1:N ) 15,5 V, (Correto:O) 1,67 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼13,2 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 001
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 000 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 13,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜ofixa de 7 000 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
7 000 V
3,00 ×106V/m = 2,33× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 1,82× 10−9 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =13,2 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 4,40× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (Correto:A) 2,33× 10−3 m, (B) 1,62× 10−3 m, (C) 2,76× 10−3 m, (D) 1,93× 10−3 m, (E) 3,13×
10−3 m, (F) 1,36× 10−3 m,
Versa˜o 001
(b)
(4 pontos) (A) 1,14× 10−9 C, (B) 6,32× 10−10 C, (C) 9,72× 10−10 C, (D) 3,59× 10−9 C, (E) 1,39× 10−9 C,
(F) 3,06 × 10−9 C, (G) 2,24 × 10−9 C, (H) 8,43 × 10−10 C, (I) 1,55 × 10−9 C, (Correto:J) 1,82 × 10−9 C,
(K) 2,02× 10−9 C, (L) 2,51× 10−9 C, (M) 7,44× 10−10 C,
(c)
(2 pontos) (A) 5,60× 10−6 m, (B) 3,87× 10−6 m, (C) 3,40× 10−6 m, (Correto:D) 4,40× 10−6 m, (E) 4,87×
10−6 m, (F) 6,30× 10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 002
Versa˜o Nome Turma
002 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,37 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,65 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −6,28× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −1,65× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −1,39× 10−3 N, (B) −5,11× 10−4 N, (C) −5,55× 100 N, (e1:D) −6,28× 10−4 N, (E) −9,12×
100 N, (F)−1,39×101 N, (G)−3,67×100 N, (H)−4,59×100 N, (I)−1,21×10−3 N, (Correto:J) −6,28×100 N,
(K) −1,67× 101 N, (L) −2,57× 100 N, (M) −4,30× 10−4 N, (N) −7,66× 10−4 N, (O) −2,27× 100 N,
(b)
(5 pontos) (A) −6,80×10−4 J, (B) −7,30×10−2 J, (C) −1,99×10−1 J, (D) −1,38×10−1 J, (E) −8,39×10−2 J,
(F) −3,30×10−1 J, (G) −1,02×10−1 J, (H) −6,22×10−2 J, (Correto:I) −1,65×10−1 J, (J) −3,82×10−1 J,
(K) −2,43× 10−1 J, (L) −2,76× 10−1 J, (M) −1,17× 10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =4,77 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,184 miˆ, b) ~r2=0,536 m iˆ, c) ~r3=1,06 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 002
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,184 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,184 m)2
= −59,1 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,06 m)2
= 0,890 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) 11,3 V/m, (B) −26,1 V/m, (C) 6,22 V/m, (D) 4,03 V/m, (e1:E ) 6,96 V/m, (Cor-
reto:F) −59,1 V/m, (G) − 196 V/m, (H) −46,7 V/m, (I) −33,9 V/m, (e3:J ) 6,96 V/m, (K) − 162 V/m,
(L) 4,77 V/m, (e2:M ) 3,48 V/m, (N) 9,83 V/m, (O) 8,10 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) −11,7 V/m, (e2:B) 3,48 V/m, (Correto:C) 0 V/m, (D) 4,36 V/m, (E) 4,92 V/m,
(F) 5,64 V/m, (G) −5,88 V/m, (H) −9,79 V/m, (I) −8,10 V/m, (J) 3,89 V/m, (K) 3,07 V/m,
(e1:L) −6,96 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) 0,549 V/m, (B) 1,86 V/m, (C) 1,30 V/m, (D) 0,463 V/m, (E) 0,718 V/m, (Cor-
reto:F) 0,890 V/m, (G) 0,640 V/m, (H) −6,05 V/m, (I) 1,54 V/m, (J) −8,26 V/m, (K) 1,10 V/m,
(L) −9,88 V/m, (M) −11,4 V/m, (N) 0,797 V/m, (e1:O) −6,96 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 16,0 V, (B) 24,5 V, (C) 35,2 V, (D) 28,4 V, (E) 31,5 V, (F) 8,03 V, (Correto:G) 1,67 V,
(H) 18,2 V, (e1:I ) 10,9 V, (J) 6,94 V, (K) 12,2 V, (L) 14,2 V, (M) 9,66 V, (N) 40,0 V, (e2:O) 20,3 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´trontem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼16,6 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 002
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 9 720 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 16,6 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 9 720 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
9 720 V
3,00 ×106V/m = 3,24× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 3,50× 10−9 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =16,6 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 5,53× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 1,80× 10−3 m, (B) 1,51× 10−3 m, (C) 2,26× 10−3 m, (D) 2,88× 10−3 m, (Correto:E) 3,24×
10−3 m, (F) 2,01× 10−3 m, (G) 2,55× 10−3 m, (H) 1,37× 10−3 m,
Versa˜o 002
(b)
(4 pontos) (A) 1,48× 10−9 C, (B) 9,19× 10−10 C, (Correto:C) 3,50× 10−9 C, (D) 2,46× 10−9 C, (E) 2,14×
10−9 C, (F) 2,92 × 10−9 C, (G) 7,98 × 10−10 C, (H) 1,71 × 10−9 C, (I) 1,33 × 10−9 C, (J) 1,94 × 10−9 C,
(K) 7,14× 10−10 C, (L) 6,26× 10−10 C, (M) 1,17× 10−9 C, (N) 1,06× 10−9 C,
(c)
(2 pontos) (A) 4,97× 10−6 m, (B) 4,00× 10−6 m, (C) 6,13× 10−6 m, (D) 3,50× 10−6 m, (Correto:E) 5,53×
10−6 m, (F) 4,50× 10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 003
Versa˜o Nome Turma
003 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−9,99 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,58 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −1,23× 101 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −3,15× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −4,43×100 N, (B) −2,73×100 N, (C) −4,11×10−4 N, (D) −2,88×10−4 N, (E) −2,56×10−4 N,
(e1:F ) −1,23×10−3 N, (G) −6,26×100 N, (Correto:H) −1,23×101 N, (I) −5,30×10−4 N, (J) −8,63×100 N,
(K) −3,88× 100 N, (L) −8,73× 10−4 N, (M) −1,89× 101 N, (N) −4,98× 100 N, (O) −7,54× 100 N,
(b)
(5 pontos) (A) −1,02×10−1 J, (B) −6,80×10−4 J, (C) −1,84×10−1 J, (D) −2,33×10−1 J, (E) −7,02×10−2 J,
(F) −1,61 × 10−1 J, (G) −2,09 × 10−1 J, (H) −8,27 × 10−2 J, (I) −6,22 × 10−2 J, (J) −9,15 × 10−2 J,
(K) −2,66×10−1 J, (Correto:L) −3,15×10−1 J, (M) −1,35×10−1 J, (N) −1,17×10−1 J, (O) −3,82×10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =4,04 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,234 miˆ, b) ~r2=0,427 m iˆ, c) ~r3=0,871 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 003
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,234 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,234 m)2
= −36,5 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q +3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(0,871 m)2
= 1,32 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) −76,2 V/m, (B) −40,2 V/m, (C) 4,73 V/m, (D) 7,40 V/m, (E) 3,89 V/m, (F) 6,13 V/m,
(G) −25,1 V/m, (Correto:H) −36,5 V/m, (e2:I ) 5,48 V/m, (J) 2,95 V/m, (K) −59,1 V/m, (e1:L) 11,0 V/m,
(e3:M ) 11,0 V/m, (N) −45,4 V/m, (O) 3,43 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) −6,13 V/m, (e2:B) 5,48 V/m, (C) 3,21 V/m, (D) 4,25 V/m, (E) 3,77 V/m, (F) −9,41 V/m,
(G) −7,20 V/m, (Correto:H) 0 V/m, (I) 4,77 V/m, (J) 2,88 V/m, (e1:K ) −11,0 V/m, (L) −8,13 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) 1,13 V/m, (B) 1,46 V/m, (Correto:C) 1,32 V/m, (D) 0,743 V/m, (e1:E ) −11,0 V/m,
(F) 1,64 V/m, (G) 0,557 V/m, (H) −9,88 V/m, (I) −5,90 V/m, (J) 0,457 V/m, (K) −6,68 V/m,
(L) −8,23 V/m, (M) 0,650 V/m, (N) 1,87 V/m, (O) 0,890 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 13,5 V, (B) 25,4 V, (C) 15,7 V, (D) 18,0 V, (E) 22,4 V, (e2:F ) 20,0 V, (G) 34,1 V, (H) 28,8 V,
(e1:I ) 8,55 V, (J) 10,4 V, (K) 44,0 V, (Correto:L) 1,67 V, (M) 12,1 V, (N) 38,4 V, (O) 7,41 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼11,8 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
Versa˜o 003
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 240 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 11,8 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 4 240 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
4 240 V
3,00 ×106V/m = 1,41× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 6,66× 10−10 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =11,8 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 3,93× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 2,07× 10−3 m, (B) 2,37× 10−3 m, (C) 3,24× 10−3 m, (D) 1,77× 10−3 m, (E) 1,58× 10−3 m,
(Correto:F) 1,41× 10−3 m, (G) 2,75× 10−3 m,
(b)
(4 pontos) (A) 9,99×10−10 C, (B) 5,96×10−10 C, (C) 8,83×10−10 C, (D) 1,43×10−9 C, (Correto:E) 6,66×
10−10 C, (F) 1,61 × 10−9 C, (G) 7,57 × 10−10 C, (H) 2,60 × 10−9 C, (I) 1,26 × 10−9 C, (J) 1,14 × 10−9 C,
(K) 1,91× 10−9 C, (L) 2,24× 10−9 C, (M) 3,51× 10−9 C, (N) 3,19× 10−9 C,
Versa˜o 003
(c) (2 pontos) (A) 5,17× 10
−6 m, (Correto:B) 3,93× 10−6 m, (C) 4,60× 10−6 m, (D) 3,33× 10−6 m, (E) 6,13×
10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (Correto:A) 0, (e1:B) 1,
(c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 004
Versa˜o Nome Turma
004 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−3,07 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,01 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −2,80× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −8,27× 10−2 J
(a)
(5 pontos) (A) −1,89 × 101 N, (Correto:B) −2,80 × 100 N, (C) −1,87 × 10−4 N, (e1:D) −2,80 × 10−4 N,
(E) −1,14 × 101 N, (F) −3,77 × 10−4 N, (G) −3,31 × 100 N, (H) −4,23 × 100 N, (I) −9,87 × 10−4 N,
(J) −5,87 × 100 N, (K) −6,72 × 10−4 N, (L) −4,27 × 10−4 N, (M) −6,05 × 10−4 N, (N) −1,17 × 10−3 N,
(O) −7,97× 10−4 N,
(b)
(5 pontos) (A) −9,19×10−2 J, (B) −1,27×10−1 J, (C) −6,80×10−4 J, (D) −1,40×10−1 J, (E) −2,44×10−1 J,
(F) −7,30 × 10−2 J, (G) −1,64 × 10−1 J, (H) −1,98 × 10−1 J, (I) −2,21 × 10−1 J, (J) −1,14 × 10−1 J,
(K) −2,72×10−1 J, (L) −3,83×10−1 J, (Correto:M) −8,27×10−2 J, (N) −1,02×10−1 J, (O) −3,30×10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-fera meta´lica macic¸a de raio R =5,00 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,117 miˆ, b) ~r2=0,440 m iˆ, c) ~r3=1,38 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 004
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,117 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,117 m)2
= − 146 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,38 m)2
= 0,525 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) 6,38 V/m, (B) −76,2 V/m, (C) 2,92 V/m, (D) −61,7 V/m, (E) 7,63 V/m, (Cor-
reto:F) − 146 V/m, (e3:G) 10,3 V/m, (H) −53,1 V/m, (e1:I ) 10,3 V/m, (J) 11,4 V/m, (K) 4,51 V/m,
(L) − 110 V/m, (M) −28,5 V/m, (N) 8,98 V/m, (e2:O) 5,17 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) −6,56 V/m, (B) −8,47 V/m, (C) −11,7 V/m, (e1:D) −10,3 V/m, (e2:E ) 5,17 V/m,
(F) 2,97 V/m, (G) −7,57 V/m, (H) 3,61 V/m, (Correto:I) 0 V/m, (J) −5,84 V/m, (K) 4,27 V/m,
(L) 5,83 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) 1,04 V/m, (B) −7,20 V/m, (C) 0,812 V/m, (D) −11,8 V/m, (E) −8,33 V/m, (F) 1,37 V/m,
(G) 0,718 V/m, (Correto:H) 0,525 V/m, (I) 0,640 V/m, (J) 0,463 V/m, (K) 1,53 V/m, (L) −9,21 V/m,
(M) 1,21 V/m, (N) −6,47 V/m, (e1:O) −10,3 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 9,76 V, (B) 31,2 V, (C) 19,4 V, (D) 43,0 V, (E) 15,0 V, (F) 34,8 V, (e1:G) 17,1 V,
(e2:H ) 38,9 V, (Correto:I) 1,67 V, (J) 8,55 V, (K) 7,02 V, (L) 11,2 V, (M) 26,4 V, (N) 13,5 V, (O) 23,5 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼17,9 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 004
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 5 540 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 17,9 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 5 540 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
5 540 V
3,00 ×106V/m = 1,85× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 1,14× 10−9 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =17,9 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 5,97× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 2,83× 10−3 m, (B) 2,33× 10−3 m, (C) 1,65× 10−3 m, (D) 1,37× 10−3 m, (Correto:E) 1,85×
10−3 m, (F) 3,23× 10−3 m, (G) 2,04× 10−3 m,
Versa˜o 004
(b)
(4 pontos) (A) 6,63× 10−10 C, (B) 9,53× 10−10 C, (C) 5,96× 10−10 C, (D) 2,31× 10−9 C, (E) 3,37× 10−9 C,
(F) 7,37 × 10−10 C, (G) 1,87 × 10−9 C, (H) 1,68 × 10−9 C, (Correto:I) 1,14 × 10−9 C, (J) 2,65 × 10−9 C,
(K) 1,39× 10−9 C, (L) 2,07× 10−9 C, (M) 8,65× 10−10 C, (N) 2,97× 10−9 C,
(c)
(2 pontos) (A) 4,10× 10−6 m, (Correto:B) 5,97× 10−6 m, (C) 4,53× 10−6 m, (D) 5,10× 10−6 m, (E) 6,63×
10−6 m, (F) 3,50× 10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 005
Versa˜o Nome Turma
005 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−7,13 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,56 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −8,93× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −2,26× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −1,32× 10−3 N, (B) −7,97× 10−4 N, (C) −5,86× 100 N, (D) −4,38× 10−4 N, (e1:E ) −8,93×
10−4 N, (F) −5,46×10−4 N, (Correto:G) −8,93×100 N, (H) −1,17×101 N, (I) −9,87×100 N, (J) −3,79×
100 N, (K) −4,66× 100 N, (L) −6,54× 100 N, (M) −6,28× 10−4 N, (N) −2,69× 10−4 N, (O) −3,79× 10−4 N,
(b)
(5 pontos) (A) −1,90 × 10−1 J, (B) −6,80 × 10−4 J, (C) −2,72 × 10−1 J, (D) −6,22 × 10−2 J, (Cor-
reto:E) −2,26 × 10−1 J, (F) −1,17 × 10−1 J, (G) −1,67 × 10−1 J, (H) −3,22 × 10−1 J, (I) −3,83 × 10−1 J,
(J) −9,21× 10−2 J, (K) −1,03× 10−1 J, (L) −8,34× 10−2 J, (M) −7,30× 10−2 J, (N) −1,40× 10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =8,21 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,186 miˆ, b) ~r2=0,566 m iˆ, c) ~r3=1,35 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 005
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,186 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,186 m)2
= −57,8 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,35 m)2
= 0,549 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (e1:A) 6,24 V/m, (B) 3,70 V/m, (C) 5,33 V/m, (e2:D) 3,12 V/m, (E) −23,8 V/m, (F) − 185 V/m,
(G) −32,5 V/m, (H) 8,54 V/m, (Correto:I) −57,8 V/m, (J) −46,7 V/m, (K) 11,3 V/m, (L) 9,83 V/m,
(M) 7,34 V/m, (N) 4,13 V/m, (e3:O) 6,24 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) −9,45 V/m, (B) 4,41 V/m, (C) −7,17 V/m, (D) 3,56 V/m, (Correto:E) 0 V/m,
(F) −10,9 V/m, (e1:G) −6,24 V/m, (H) 4,92 V/m, (e2:I ) 3,12 V/m, (J) 5,75 V/m, (K) 3,95 V/m,
(L) −8,06 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) −9,05 V/m, (B) 0,620 V/m, (e1:C ) −6,24 V/m, (D) 0,683 V/m, (E) −6,91 V/m, (Cor-
reto:F) 0,549 V/m, (G) 0,476 V/m, (H) −10,1 V/m, (I) −11,3 V/m, (J) 1,36 V/m, (K) −7,78 V/m,
(L) 1,87 V/m, (M) 0,826 V/m, (N) 1,11 V/m, (O) 0,925 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 24,9 V, (B) 8,62 V, (C) 30,9 V, (D) 9,66 V, (E) 17,0 V, (F) 37,3 V, (G) 12,3 V, (H) 7,69 V,
(I) 27,7 V, (e2:J ) 19,0 V, (e1:K ) 10,8 V, (L) 15,0 V, (M) 6,67 V, (Correto:N) 1,67 V, (O) 22,5 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼18,2 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 005
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 4 960 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 18,2 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 4 960 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
4 960 V
3,00 ×106V/m = 1,65× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 9,12× 10−10 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =18,2 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 6,07× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 2,14× 10−3 m, (Correto:B) 1,65× 10−3 m, (C) 1,46× 10−3 m, (D) 2,47× 10−3 m, (E) 3,01×
10−3 m, (F) 1,93× 10−3 m, (G) 3,32× 10−3 m,
Versa˜o 005
(b)
(4 pontos) (A) 2,46× 10−9 C, (B) 2,73× 10−9 C, (C) 2,17× 10−9 C, (D) 3,60× 10−9 C, (E) 1,74× 10−9 C,
(F) 1,29×10−9 C, (G) 6,32×10−10 C, (H) 1,49×10−9 C, (I) 7,95×10−10 C, (J) 1,01×10−9 C, (K) 3,17×10−9 C,
(L) 1,14× 10−9 C, (M) 7,14× 10−10 C, (Correto:N) 9,12× 10−10 C, (O) 1,96× 10−9 C,
(c)
(2 pontos) (A) 3,37× 10−6 m, (B) 4,33× 10−6 m, (Correto:C) 6,07× 10−6 m, (D) 3,87× 10−6 m, (E) 5,37×
10−6 m, (F) 4,83× 10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual qesta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 006
Versa˜o Nome Turma
006 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,92 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,72 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −6,58× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −1,77× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (e1:A)−6,58×10−4 N, (B)−1,14×10−3 N, (C)−3,83×100 N, (D)−7,54×100 N, (E)−4,17×10−4 N,
(F) −4,22 × 100 N, (G) −1,42 × 10−3 N, (H) −5,55 × 10−4 N, (I) −6,12 × 10−6 N, (J) −2,39 × 10−4 N,
(K) −5,46×100 N, (L) −3,03×10−4 N, (M) −9,04×10−4 N, (Correto:N) −6,58×100 N, (O) −7,70×10−4 N,
(b)
(5 pontos) (Correto:A) −1,77 × 10−1 J, (B) −1,03 × 10−1 J, (C) −7,02 × 10−2 J, (D) −6,80 × 10−4 J,
(E) −1,26 × 10−1 J, (F) −2,65 × 10−1 J, (G) −3,83 × 10−1 J, (H) −1,59 × 10−1 J, (I) −7,83 × 10−2 J,
(J) −6,22 × 10−2 J, (K) −2,02 × 10−1 J, (L) −3,15 × 10−1 J, (M) −2,24 × 10−1 J, (N) −8,71 × 10−2 J,
(O) −1,43× 10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =6,37 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,139 miˆ, b) ~r2=0,546 m iˆ, c) ~r3=1,33 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 006
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,139 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,139 m)2
= − 104 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,33 m)2
= 0,565 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (e2:A) 3,35 V/m, (B) −69,2 V/m, (C) 5,54 V/m, (D) −91,3 V/m, (E) 11,7 V/m, (F) 3,70 V/m,
(G) 4,57 V/m, (H) 7,63 V/m, (e1:I ) 6,71 V/m, (J) −40,9 V/m, (e3:K ) 6,71 V/m, (L) −53,7 V/m,
(M) −23,9 V/m, (Correto:N) − 104 V/m, (O) −28,1 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) 2,90 V/m, (B) 5,05 V/m, (e2:C ) 3,35 V/m, (e1:D) −6,71 V/m, (E) 3,94 V/m, (F) 4,36 V/m,
(G) −11,8 V/m, (H) −8,30 V/m, (I) 5,72 V/m, (J) −6,01 V/m, (Correto:K) 0 V/m, (L) −9,83 V/m,
(M) −7,40 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) 1,31 V/m, (B) −7,90 V/m, (C) 1,15 V/m, (D) 0,489 V/m, (Correto:E) 0,565 V/m,
(F) −8,98 V/m, (G) 0,718 V/m, (H) 1,87 V/m, (I) −11,3 V/m, (J) 0,640 V/m, (e1:K ) −6,71 V/m,
(L) −5,92 V/m, (M) 0,857 V/m, (N) 1,01 V/m, (O) −9,88 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 17,0 V, (B) 19,8 V, (C) 7,17 V, (e2:D) 26,4 V, (E) 33,8 V, (F) 22,6 V, (G) 8,10 V, (H) 29,9 V,
(I) 11,9 V, (J) 37,9 V, (K) 45,4 V, (Correto:L) 1,67 V, (e1:M ) 14,4 V, (N) 9,76 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,5 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 006
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perder suas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 280 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 10,5 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 7 280 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
7 280 V
3,00 ×106V/m = 2,43× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 1,96× 10−9 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,5 eV, de acordo
com eEl= K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 3,50× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (A) 1,84× 10−3 m, (Correto:B) 2,43× 10−3 m, (C) 1,43× 10−3 m, (D) 2,91× 10−3 m, (E) 2,12×
10−3 m, (F) 1,67× 10−3 m, (G) 3,29× 10−3 m,
Versa˜o 006
(b)
(4 pontos) (A) 1,58 × 10−9 C, (B) 7,37 × 10−10 C, (C) 1,39 × 10−9 C, (D) 1,25 × 10−9 C, (E) 9,53 ×
10−10 C, (F) 2,31 × 10−9 C, (G) 2,83 × 10−9 C, (H) 3,61 × 10−9 C, (I) 3,28 × 10−9 C, (J) 8,36 × 10−10 C,
(Correto:K) 1,96× 10−9 C, (L) 6,66× 10−10 C, (M) 1,10× 10−9 C, (N) 5,96× 10−10 C, (O) 1,76× 10−9 C,
(c) (2 pontos) (A) 3,87× 10
−6 m, (Correto:B) 3,50× 10−6 m, (C) 5,23× 10−6 m, (D) 6,40× 10−6 m, (E) 4,50×
10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(e) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 007
Versa˜o Nome Turma
007 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−5,63 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =2,66 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −6,54× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −1,72× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −9,91×10−4 N, (B) −8,00×100 N, (C) −1,28×101 N, (D) −4,34×100 N, (E) −2,27×10−4 N,
(F) −5,55×100 N, (G) −2,80×100 N, (e1:H ) −6,54×10−4 N, (Correto:I) −6,54×100 N, (J) −3,04×10−4 N,
(K) −1,89× 10−3 N, (L) −1,21× 10−3 N, (M) −4,59× 10−4 N, (N) −4,80× 100 N, (O) −9,97× 100 N,
(b)
(5 pontos) (A) −3,83×10−1 J, (B) −1,50×10−1 J, (C) −2,26×10−1 J, (D) −3,33×10−1 J, (E) −8,39×10−2 J,
(F) −7,13 × 10−2 J, (G) −6,22 × 10−2 J, (H) −2,97 × 10−1 J, (I) −6,80 × 10−4 J, (J) −1,02 × 10−1 J,
(K) −1,18×10−1 J, (L) −2,65×10−1 J, (Correto:M) −1,72×10−1 J, (N) −1,31×10−1 J, (O) −2,04×10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =7,08 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,228 miˆ, b) ~r2=0,471 m iˆ, c) ~r3=1,25 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 007
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,228 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,228 m)2
= −38,5 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,25 m)2
= 0,640 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) −29,1 V/m, (B) −56,6 V/m, (C) 6,83 V/m, (e1:D) 9,02 V/m, (E) 3,11 V/m, (Cor-
reto:F) −38,5 V/m, (G) 5,86 V/m, (e2:H ) 4,51 V/m, (I) 11,4 V/m, (J) 3,64 V/m, (K) −24,3 V/m,
(L) −93,8 V/m, (e3:M ) 9,02 V/m, (N) 7,97 V/m, (O) 9,96 V/m,
(b)
(2.5 pontos) (A) 3,31 V/m, (B) −6,38 V/m, (C) −7,07 V/m, (Correto:D) 0 V/m, (E) 5,24 V/m,
(F) −11,8 V/m, (G) 5,92 V/m, (H) 2,96 V/m, (e1:I ) −9,02 V/m, (J) 3,95 V/m, (e2:K ) 4,51 V/m,
(L) −7,90 V/m, (M) −10,1 V/m,
(c)
(2.5 pontos) (A) −10,2 V/m, (e1:B) −9,02 V/m, (C) −6,76 V/m, (D) 0,743 V/m, (E) −7,54 V/m, (Cor-
reto:F) 0,640 V/m, (G) 0,469 V/m, (H) 1,86 V/m, (I) 0,961 V/m, (J) 1,32 V/m, (K) −5,92 V/m,
(L) 0,574 V/m, (M) 1,07 V/m, (N) 0,857 V/m, (O) 1,61 V/m,
(d)
(2.5 pontos) (A) 37,9 V, (Correto:B) 1,67 V, (C) 9,66 V, (e2:D) 18,6 V, (e1:E ) 8,77 V, (F) 7,49 V,
(G) 30,7 V, (H) 26,6 V, (I) 15,6 V, (J) 43,0 V, (K) 33,9 V, (L) 13,5 V, (M) 22,5 V, (N) 12,0 V, (O) 10,9 V,
3 Os relaˆmpagos sa˜o fenoˆmenos que se originam de descargas ele´tricas na atmosfera. Uma
descarga ele´trica e´ uma reac¸a˜o em cadeia que se da quando um ele´tron tem energia suficiente
para ionizar uma mole´cula de ar (essa energia e de ∼10,0 eV). A energia que os ele´trons ganham
vem do campo ele´trico que permeia o meio. Assim, se o campo ele´trico for muito grande, o
ele´tron ira ionizar uma mole´cula de ar, os novos ele´trons livres ira˜o ionizar mais duas mole´culas
Versa˜o 007
e assim por diante. Em condic¸o˜es normais de pressa˜o e temperatura, o ar ira´ descarregar (isto
e´, vai perdersuas qualidades isolantes) quando o campo for de 3,00 ×106V/m (rigidez diele´trica
do ar).
a) Suponha que queremos manter uma esfera condutora isolada a 7 980 V. Qual e´ o raio mı´nimo
que a esfera deve ter para na˜o resultar em descarga?
b) Qual e´ a carga total da esfera neste raio?
c) Agora considere um ele´tron livre no ar, muito pro´ximo da esfera. Se esse ele´tron esta
inicialmente em repouso, que distancia radial ira´ viajar antes de alcanc¸ar uma energia cine´tica
de 10,0 eV? Assuma um campo constante e que na˜o ha´ colisa˜o com mole´culas de ar durante
esse deslocamento.
Soluc¸a˜o: a) Seja a o raio da esfera, sabemos que fora da superficie de uma esfera condutora
o campo ele´trico esta dado por
E(r = a) =
Q
4piε0a2
E o potencial (entre o raio da esfera e o infinito) e´
V (r = a) =
Q
4piε0a
Comparando as duas equac¸o˜es encontramos a relac¸a˜o entre E e V :
E(r = a) =
V (r = a)
a
Para uma tensa˜o fixa de 7 980 V, o campo aumenta quando a diminui. Ja´ que queremos um
campo menor que a rigidez diele´trica do ar E <3,00 ×106V/m, para que na˜o acontec¸a uma
descarga precisamos:
a >
7 980 V
3,00 ×106V/m = 2,66× 10
−3 m
b) Da equac¸a˜o do campo ou do potencial, usando o valor do raio ja´ encontrado, podemos
calcular
Q = 4piε0aV = 2,36× 10−9 C
c) Um ele´tron fora da esfera vai ser acelerado radialmente devido ao campo ele´trico. A energia
que vai adquirir se movimentando num campo de 3,00 ×106V/m e´ de K =10,0 eV, de acordo
com eEl = K (Forc¸a vezes distaˆncia e´ a energia potencial) podemos encontrar l:
l =
K
eE
= 3,33× 10−6 m
De fato o campo na˜o e´ constante, e decai com a distaˆncia a` esfera, mas para uma disttaˆncia de
alguns micrometros a aproximac¸a˜o e´ valida.
(a)
(4 pontos) (Correto:A) 2,66× 10−3 m, (B) 1,35× 10−3 m, (C) 3,08× 10−3 m, (D) 2,22× 10−3 m, (E) 1,84×
10−3 m, (F) 1,55× 10−3 m,
Versa˜o 007
(b)
(4 pontos) (A) 3,61× 10−9 C, (B) 1,90× 10−9 C, (C) 9,72× 10−10 C, (D) 1,25× 10−9 C, (E) 6,20× 10−10 C,
(F) 3,18 × 10−9 C, (G) 2,83 × 10−9 C, (H) 1,11 × 10−9 C, (Correto:I) 2,36 × 10−9 C, (J) 8,36 × 10−10 C,
(K) 2,12× 10−9 C, (L) 1,56× 10−9 C, (M) 6,95× 10−10 C, (N) 1,39× 10−9 C,
(c)
(2 pontos) (A) 6,43× 10−6 m, (B) 5,77× 10−6 m, (C) 3,73× 10−6 m, (D) 4,20× 10−6 m, (Correto:E) 3,33×
10−6 m, (F) 5,03× 10−6 m,
4 Marque 1 para verdadeiro ou 0 para falso nas questo˜es abaixo. Na˜o sera˜o consideradas as
respostas sem justificativa. Atenc¸a˜o para posic¸a˜o do 1(V) e do 0(F) que varia em cada item.
a) ( ) Em objetos meta´licos de forma arbitra´ria, ocos ou na˜o, o campo ele´trico e´ nulo em seu
interior.
b) ( ) Um objeto isolante com a mesma distribuic¸a˜o de cargas da questa˜o acima pore´m, na˜o
possui o campo ele´trico nulo em seu interior.
c) ( ) Se duas cascas esfe´ricas de raios diferentes, muito distantes entre si, sa˜o carregadas de
modo a ficarem com a mesma diferenc¸a de potencial, a de maior raio possui a maior carga.
d) ( ) Uma carga puntual q esta´ localizada no centro de uma superf´ıcie gaussiana cu´bica. Neste
caso, podemos dizer que o fluxo do campo ele´trico sobre cada base do cubo sera´ q/(6ε0)
e) ( ) Um triaˆngulo equila´tero e´ formado por duas cargas positivas e uma negativa. Outro
triaˆngulo equila´tero de mesmas dimenso˜es e´ formado por duas cargas negativas e uma positiva.
O valor de todas as cargas, em mo´dulo, e´ o mesmo. Pode-se dizer que as energias potenciais
dos dois conjuntos sa˜o iguais em mo´dulo e sinal.
(a) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(b) (1 pontos) (e1:A) 1, (Correto:B) 0,
(c) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
(d) (1 pontos) (Correto:A) 1, (e1:B) 0,
(e) (1 pontos) (e1:A) 0, (Correto:B) 1,
ε0 = 8,85× 10−12 F/m
E = −~∇V ; U = q22C ; U = qV ;
∮
S
~E·d ~A = qε0 ; pi = 3.14; Per´ımetro de c´ırculo: 2pir; Volume de esfera: 43pir3;
A´rea de c´ırculo: pir2; A´rea de esfera: 4pir2; ~F = q ~E; dU = −dW = −q ~E · d~l; dV = − ~E · d~l;
d ~E = dq
4piε0r2
rˆ; e = 1.602× 10−19C; q = CV ; u = 12ε0E2
Versa˜o 008
Versa˜o Nome Turma
008 FIS069: Primeira Prova
1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 3(a) 3(b) 3(c) 4(a) 4(b) 4(c) 4(d) 4(e) Nota
• Marque suas respostas no quadro acima e a u´ltima resposta literal a` caneta .
• Documente seu racioc´ınio. Resolva os problemas de forma literal e somente no resultado final
calcule os valores nume´ricos.
• Entregue as folhas dos calculos. Assim, e´ possivel analisar os racioc´ınios e na˜o somente os
resultados.
• E´ permitido o uso de calculadora.
1 Treˆs cargas, q1 =2,00 × 10−9 C, q2 =−4,32 × 10−7 C e q3 =9,00 × 10−7 C, esta˜o em
posic¸o˜es fixas ao longo de uma reta, separadas pelas distaˆncias r1 =1,00 cm e r2 =3,42 cm
conforme a figura.
a) Encontre a forc¸a sobre carga q2.
b) Encontre a energia eletrosta´tica U do sistema.
Soluc¸a˜o: a) usando a Lei de Coulomb temos a forc¸a F = qQ
4piε0r
, a forc¸a em q2 e´:
F2 = F21 + F23 =
1
4piε0
[
q1q2
r21
+
q2q3
r22
]
= −3,07× 100 N
b) A energia eletrosta´tica de um par de cargas e´ com refereˆncia no infinito e´ U = qQ
4piε0|rq−rQ| ,
para treˆs cargas temos:
U = U12 + U23 + U13 =
1
4piε0
[
q1q2
r1
+
q2q3
r2
+
q1q3
r1 + r2
]
= −1,03× 10−1 J
(a)
(5 pontos) (A) −6,12 × 10−2 N, (Correto:B) −3,07 × 100 N, (C) −9,87 × 10−4 N, (D) −6,58 × 100 N,
(E) −2,57 × 10−4 N, (F) −6,13 × 10−4 N, (G) −6,99 × 10−4 N, (H) −1,99 × 100 N, (I) −7,59 × 100 N,
(J) −2,57 × 100 N, (K) −4,52 × 100 N, (L) −5,40 × 100 N, (M) −1,21 × 10−3 N, (e1:N ) −3,07 × 10−4 N,
(O) −4,24× 10−4 N,
(b)
(5 pontos) (A) −7,68 × 10−2 J, (Correto:B) −1,03 × 10−1 J, (C) −6,80 × 10−4 J, (D) −1,86 × 10−1 J,
(E) −3,28 × 10−1 J, (F) −1,17 × 10−1 J, (G) −2,10 × 10−1 J, (H) −2,64 × 10−1 J, (I) −2,91 × 10−1 J,
(J) −6,22 × 10−2 J, (K) −8,48 × 10−2 J, (L) −1,36 × 10−1 J, (M) −2,39 × 10−1 J, (N) −1,57 × 10−1 J,
(O) −3,82× 10−1 J,
2 Uma esfera meta´lica oca de raio externo b =0,600 m, raio interno
a =0,400 m e carga total positiva 3Q possui em seu interior uma es-
fera meta´lica macic¸a de raio R =1,38 cm e carga total negativa −2Q,
conceˆntrica com a esfera oca, de acordo com a figura.
Considerando o valor de Q = 4piε0 Vm e o centro das esferas na ori-
gem do sistema de coordenadas, deduza a expressa˜o literal para o campo
ele´trico para todo o espac¸o e depois determine o valor do campo ele´trico
nas seguintes posic¸o˜es: a) ~r1=0,280 miˆ, b) ~r2=0,507 m iˆ, c) ~r3=1,06 m iˆ.
d) Encontre a expressa˜o literal para a diferenc¸a de potencial entre a e b e
depois calcule seu mo´dulo e marque nos resultados.
Versa˜o 008
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie da esfera interna tem carga −2Q. A superf´ıcie interna da casca de
raio ra tem carga de sinal oposto e mesmo valor da carga da esfera interna 2Q, assim o campo
dentro do metal e´ nulo. O campo na parte externa da casca de raio rb pela conservac¸a˜o da
carga na casca e´: q = 3Q− 2Q = Q.
a) Aplicaremos a Lei de Gauss numa esfera de raio r1 =0,280 m que esta´ entre a esfera de raio
R e a casca esfe´rica. Para isso temos que saber a carga dentro dessa superficie, que e´ a propria
carga da esfera interna q = −2Q. Aplicando a Lei de Gauss:∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir21 =
−2Q
ε0
=> E =
−2Q
4piε0r21
Como Q = 4piε0 e estamos interessados no mo´dulo tiramos o sinal negativo, temos:
E =
2
r21
=
2
(0,280 m)2
= −25,5 V/m
b) para r2, estamos dentro do metal e o campo ele´trico tem que ser zero.
c) Para r > 3 temos que a carga interna e´ q = q1 + q2 = −2Q + 3Q = Q. Aplicando a Lei de
Gauss temos: ∮
S
~E · d ~A = q
ε0
=> E4pir23 =
Q
ε0
=> E =
Q
4piε0r23
Como Q = 4piε0:
E =
1
r23
=
1
(1,06 m)2
= 0,890 V/m
d) Como Va−Vb = −
∫ a
b
Edr, basta integrar o campo ele´trico entre as superf´ıcies para encontrar
o potencial.
V = −
∫ a
b
Edr =
∫ b
a
−2
r2
dr =
−2
r
b
a
=
2(b− a)
ab
= 1,67 V
(a)
(2.5 pontos) (A) 5,92