MEII - AP1 - 2015 1 até 2018 2 (provas e gabaritos)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2015
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matr´ı-cula, Polo e Data.• E´ permitido o uso de calculadoras.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas.
• Devolva a folha de respostas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es pode ser ala´pis, mas as respostas tera˜o que estar a caneta.• E´ expressamente proibido o uso de corretivosnas respostas.
Questa˜o 1 [2,5 pts]Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [4, 14].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X .
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X .
(c) Calcule P(X > 7).
(d) Calcule P(X ≤ 10|X > 7).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 4.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade – Questa˜o 1
(b) f (x) = { 0, 1 se 4 ≤ x ≤ 140 caso contra´rio
(c) P(X > 7) = 14− 710 = 0, 7
(d) P(X ≤ 10|X > 7) = P(7 < X ≤ 10)P(X > 7) = 10− 714− 7 = 37
(e) P(X ≥ k) = 0, 4⇒ 14− k10 = 0, 4 =⇒ k = 10, 0
Figura 2 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 2
Questa˜o 2 [2,0 pts]Na Figura 2 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f (x).
(a) Mostre que f (x) e´ a func¸a˜o de densidade de alguma varia´vel aleato´ria cont´ınua X .(b) Obtenha a expressa˜o de f (x) .(c) Calcule P(X ≥ 1, 5).(d) Calcule P(0, 8 < X ≤ 1, 4).
Soluc¸a˜o
(a) f (x) ≥ 0 e a a´rea sob a curva e´ 12 · 2 · 1 = 1(b) O gra´fico de f (x) e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 1) e (2, 0). Logo,o intercepto e´ 1 e a inclinac¸a˜o e´ negativa igual a −∆y∆x = −12 = −0, 5 e isso nos da´f (x) = 1− 0, 5x para 0 ≤ x ≤ 2.(c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 0, 5 e alturaf (1, 5) = 1− 0, 5× 1, 5 = 0, 25. Logo, P(X ≥ 1, 5) = 12 × 0, 5× 0, 25 = 0, 0625.(d) A probabilidade pedida e´ a a´rea do trape´zio sombreado na Figura 4, cujas bases sa˜of (0, 8) = 1 − 0, 5 × 0, 8 = 0, 6 e f (1, 4) = 1 − 0, 5 × 1, 4 = 0, 3 e altura 1, 4 − 0, 8 = 0, 6.Logo,
P(0, 8 < X ≤ 1, 4) = f (0, 8) + f (1, 4)2 × (1, 4− 0, 8) = 0, 6 + 0, 32 × 0, 6 = 0, 27
Figura 3 – P(X ) ≥ 1, 5 Figura 4 – P(0, 8 < X < 1, 4)
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 3 [3,0 pts]Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 13 e variaˆncia σ2 = 25.
(a) Calcule P(X > 20).
(b) Calcule P(X > 8).
(c) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 05.
(d) Seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o.
(i) Ache a distribuic¸a˜o de X .(ii) Calcule P(X ≥ 18).(iii) Calcule P(10, 50 ≤ X ≤ 11, 75).
Soluc¸a˜o
(a) P(X > 20) = P(Z > 20− 135
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
(b) P(X > 8) = P(Z > 8− 135
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(c)
P(X < c) = 0, 05⇔ P(Z < c − 135
) = 0, 05⇔ P(Z > −c − 135
) = 0, 05⇔
tab(−c − 135
) = 0, 45⇔ 13− c5 = 1, 64⇔ c = 4, 8
(d) (i) X ∼ N (13; 2516
) ou X ∼ N (13; 1, 252)
(ii) P(X ≥ 18) = P(Z > 18− 131, 25
) = P(Z > 4) = 0, 5− tab(4, 0) ≈ 0
(iii) P(10, 50 ≤ X ≤ 11, 75) = P(10, 50− 131, 25 < Z < 11, 75− 131, 25
) = P(−2 < Z < −1) =tab(2, 0)− tab(1, 0) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
Questa˜o 4 [2,5 pts]Seja X ∼ Bin(400; 0, 25).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal eindique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o decontinuidade.
(i) P(X > 108)(ii) P(83 ≤ X ≤ 130)(iii) P(X ≤ 113)(iv) P(117 < X < 131)
Curso de Administrac¸a˜o 3
Soluc¸a˜o
(a) np = 400× 0, 25 = 100 n(1− p) = 400× 0, 75 = 300 OK !X ≈ N (100; 400× 0, 25× 0, 75) ou X ≈ N (100; 75)
(b) (i) P(X > 108) ≈ P(Z ≥ 108, 5− 100√75
) = P (Z ≥ 0, 98) = 0, 5 − tab(0, 98) = 0, 5 −0, 3365 = 0, 1635
(ii) P(83 ≤ X ≤ 130) ≈ P(82, 5− 100√75 ≤ Z ≤ 130, 5− 100√75
) =P(−2, 02 ≤ Z ≤ 3, 52) = tab(3, 52) + tab(2, 02) = 0, 9781
(iii) P(X ≤ 113) ≈ P(Z ≤ 113, 5− 100√75
) = P(Z ≤ 1, 56) = 0, 5 + tab(1, 56) = 0, 9406
(iv) P(117 < X < 131) = P(117, 5− 100√75 < Z < 130, 5− 100√75
) = P(2, 02 ≤ Z ≤ 3, 52) =tab(3, 52)− tab(2, 02) = 0, 0215
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 4
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 5
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AP1 Completa – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2015
Questa˜o 1 [2,0 pts]Na Figura 1 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f (x).
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 1
(a) Calcule o valor de k para que f (x) seja a func¸a˜o de densidade de alguma varia´vel aleato´riacont´ınua X e encontre a expressa˜o matema´tica de f (x).
(b) Calcule P(X ≥ 2, 5).
(c) Calcule P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5).
(d) Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 6.
Soluc¸a˜o
(a) k ≥ 0 e a a´rea sob a curva tem que ser 1 – essa e´ a a´rea de um trape´zio. Logo(k + 0, 25) · 22 = 1⇒ k = 0, 75O gra´fico de f (x) = a + bx e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (2; 0, 25) e(4; 0, 75). Logo,{ a+ 2b = 0, 25a+ 4b = 0, 75 ⇒ 2b = 0, 5⇒ b = 0, 25⇒ a = −0, 25
ou seja, f (x) = −0, 25 + 0, 25x 2 ≤ x ≤ 4
(b) Veja a Figura 2. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um trape´zio de bases f (2, 5) e 0, 75e altura 1, 5. Logo,
P(X ≥ 2, 5) = 0, 75 + (−0, 25 + 0, 25 · 2, 5)2 × 1, 5 = 0, 84375.
(c) P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5) = P(X > 3, 0)P(X ≥ 2, 5)De maneiroa ana´loga, a probabilidade no numerador e´ a a´rea do trape´zio de bases 0,75e f (3) e altura 1. Logo,
P(X > 3) = (−0, 25 + 0, 25 · 3) + 0, 752 = 0, 625⇒ P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5) = 0, 6250, 84375 ≈ 0, 741
(d) Veja a Figura 3. A a´rea do trape´zio sombreado tem que ser 0,6; esse e´ um trape´zio debases 0,25 e f (c) e altura c − 2. Logo,
P(X < c) = 0, 6⇔ 0, 25 + (−0, 25 + 0, 25c)2 × (c − 2) = 0, 6⇔ 0, 25c2 − 0, 5c − 1, 2 = 0⇔c = 0, 5±√0, 25 + 1, 20, 5
A soluc¸a˜o no domı´nio de f e´ c = 0, 5 +√0, 25 + 1, 20, 5 ≈ 3, 408.
Figura 2 – P(X ) ≥ 2, 5 Figura 3 – P(X < c) = 0, 6
Questa˜o 2 [3,0 pts]Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 20 e variaˆncia σ2 = 16.
(a) Calcule P(X > 25, 6).
(b) Calcule P(X > 16).
(c) Calcule P(23 < X < 30).
(d) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 15.
(e) Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o. Calcule
(i) P(X < 18).(ii) Calcule P(X > 17, 5 |X < 18).
Soluc¸a˜o
(a)
P(X > 25, 6) = P(Z > 25, 6− 204
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
Curso de Administrac¸a˜o 2
(b)
P(X > 16) = P(Z > 16− 204
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(c)
P(23 < X < 30) = P(23− 204 < Z < 30− 204
) = P(0, 75 < Z < 2, 5)= tab(2, 5)− tab(0, 75) = 0, 4938− 0, 2734 = 0, 2204
(d) Note que c tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter c < 20.
P(X < c) = 0, 15⇔ P(Z < c − 204
) = 0, 15⇔ P(Z > −c − 204
) = 0, 15⇔
tab(−c − 204
) = 0, 35⇔ 20− c4 = 1, 04⇔ c = 15, 84
(e) X ∼ N (20; 1616
) ou X ∼ N (20; 1)
(i)
P(X < 18) = P(Z < 18− 20) = P(Z < −2) = P(Z > 2)= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
(ii)
P(X > 17, 5 |X < 18) = P(17, 5 < X < 18)P(X < 18) = P(17, 5− 20 < Z < 18− 20)0, 0228= P(−2, 5 < Z < −2)0, 0228 = P(2 < Z < 2, 5)0, 0228= tab(2, 5)− tab(2, 0)0, 0228 = 0, 4938− 0, 47720, 0228 ≈ 0, 7281
Questa˜o 3 [2,5 pts]Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 4. Em cada um dositens a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada, indicando em um gra´ficoda distribuic¸a˜o normal original a correta posic¸a˜o de k e sombreando a a´rea correspondentea` probabilidade pedida.(a) P(X < k) = 0, 80
(b) P(X < k) = 0, 15
(c) P(X > k) = 0, 05
(d) P(|X − 10 | > k) = 0, 05
(e) P(|X − 10 | ≤ k) = 0, 70
Soluc¸a˜o
(a) A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,80; logo, k tem que ser maior que ame´dia.
Curso de Administrac¸a˜o 3
P(X < k) = 0, 80⇔
P(Z < k − 102
) = 0, 80⇔
tab(k − 102
) = 0, 30⇔k − 102 = 0, 84⇔ k = 11, 68
(b) A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,15; logo, k tem que ser menor que ame´dia.
P(X < k) = 0, 15⇔
P(Z < k − 102
) = 0, 15⇔
P(Z > −k − 102
) = 0, 15⇔
tab(10− k2
) = 0, 35⇔10− k2 = 1, 04⇔ k = 7, 92(c) A` direita de k tem que ter a´rea 0,05; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X > k) = 0, 05⇔
P(Z > k − 102
) = 0, 05⇔
tab(k − 102
) = 0, 45⇔k − 102 = 1, 64⇔ k = 13, 28
(d) Nas duas caudas da distribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,05, ou seja, em cadacauda, temos que ter 0,025. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
Curso de Administrac¸a˜o 4
P(|X − 10 | > k) = 0, 05⇔
P(∣∣∣∣ X − 102
∣∣∣∣ > k2
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k2
) = 0, 05⇔
P(Z < −k2
)+ P(Z > k2
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k2
) = 0, 05⇔
P(Z > k2
) = 0, 025⇔
tab(k2
) = 0, 475⇔k2 = 1, 96⇔ k = 3, 92(e) A expressa˜o dada e´ equivalente a P(|X − 10 | ≥ k) = 0, 30, ou seja, nas duas caudas dadistribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,30, ou seja, em cada cauda, temos que ter0,15 e no meio, 0,70. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
P(|X − 10 | ≤ k) = 0, 70⇔
P(∣∣∣∣ X − 102
∣∣∣∣ ≤ k2
) = 0, 70⇔
P(|Z | ≤ k2
) = 0, 70⇔
P(−k2 ≤ Z ≤ k2
) = 0, 70⇔
2 · P(0 ≤ Z ≤ k2
) = 0, 70⇔
tab(k2
) = 0, 35⇔k2 = 1, 04⇔ k = 2, 08
Questa˜o 4 [2,5 pts]Seja X uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n = 400 e p = 0, 2, isto e´, X ∼Bin(400; 0, 2).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal eindique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o decontinuidade.
(i) P(X > 88)(ii) P(63 ≤ X ≤ 108)(iii) P(X ≤ 92)(iv) P(88 < X < 109)
Curso de Administrac¸a˜o 5
Soluc¸a˜o
(a) np = 400× 0, 2 = 80 n(1− p) = 400× 0, 8 = 320 OK !X ≈ N (80; 400× 0, 2× 0, 8) ou X ≈ N (80; 64)
(b) (i) P(X > 88) ≈ P(Z ≥ 88, 5− 80√64
) = P (Z ≥ 1, 06) = 0, 5−tab(1, 06) = 0, 5−0, 3554 =0, 1446
(ii) P(63 ≤ X ≤ 108) ≈ P(62, 5− 80√64 ≤ Z ≤ 108, 5− 80√64
) =P(−2, 19 ≤ Z ≤ 3, 56) = tab(3, 56) + tab(2, 19) = 0, 4998 + 0, 4857 = 0, 9855
(iii) P(X ≤ 92) ≈ P(Z ≤ 92, 5− 80√64
) = P(Z ≤ 1, 56) = 0, 5+tab(1, 56) = 0, 5+0, 4406 =0, 9406
(iv) P(88 < X < 109) = P(88, 5− 80√64 < Z < 108, 5− 80√64
) = P(1, 06 ≤ Z ≤ 3, 56) =tab(3, 56)− tab(1, 06) = 0, 4998− 0, 3554 = 0, 1444
Curso de Administrac¸a˜o 6
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,49060,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 7
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2016
Cada questa˜o vale 0,5 ponto.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 5
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) =

x + 12 se 0 ≤ x ≤ 1
0 caso contra´rio
Questa˜o 1 Esboce o gra´fico de f (x).Soluc¸a˜o
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 1
Questa˜o 2 Mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜o densidade.Soluc¸a˜o
• f (x) ≥ 0 pois o gra´fico esta´ no primeiro quadrante, em que y ≥ 0.
• A a´rea sob curva e´ a a´rea de um trape´zio com base menor f (0) = 0, 5, base maiorf (1) = 1, 5 e altura 1. Logo, a a´rea e´ 0, 5 + 1, 52 × 1 = 1.
Questa˜o 3 Calcule P(X ≥ 0, 5).Soluc¸a˜oA probabilidade pedida e´ a a´rea de um trape´zio de bases f (0, 5) = 0, 5 + 0, 5 = 1 e f (1) = 1, 5e altura 0, 5. Logo,
P(X ≥ 0, 5) = 1, 5 + 12 × 0, 5 = 0, 625.
Questa˜o 4 Calcule P(X > 0, 25 |X < 0, 5).Soluc¸a˜oA a´rea sombreada e´ a probabilidade que aparece no numerador.
P(X > 0, 25 |X < 0, 5) = P(0, 25 < X < 0, 5)P(X < 0, 5) =P(0, 25 < X < 0, 5)1− P(X ≥ 0, 5) = f (0,25)+f (0,5)2 × 0, 251− 0, 625 =0,75+12 × 0, 251− 0, 625 = 0, 5833Questa˜o 5 Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 7.Soluc¸a˜oA a´rea do trape´zio sombreado tem que ser 0,7; esse e´ um trape´zio de bases 0,5 e f (c) e alturac. Logo,
P(X < c) = 0, 7⇔ 0, 5 + 0, 5 + c2 × c = 0, 7⇔c2 + c − 1, 4 = 0⇔ c = −1±√1 + 5, 62
A soluc¸a˜o no domı´nio de f e´ c = −1 +√1 + 5, 62 ≈ 0, 7845.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 6 a 10
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 85 e variaˆncia σ2 = 64.
Questa˜o 6 Calcule P(X > 96, 2).Soluc¸a˜o
P(X > 96, 2) = P(Z > 96, 2− 858
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
Questa˜o 7 Calcule P(X > 77).
Curso de Administrac¸a˜o 2
Soluc¸a˜o
P(X > 77) = P(Z > 77− 858
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
Questa˜o 8 Calcule P(91 < X < 105).Soluc¸a˜o
P(91 < X < 105) = P(91− 858 < Z < 105− 858
) = P(0, 75 < Z < 2, 5)= tab(2, 5)− tab(0, 75) = 0, 4938− 0, 2734 = 0, 2204
Questa˜o 9 Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 3.Soluc¸a˜oNote que c tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter c < 85.
P(X < c) = 0, 3⇔ P(Z < c − 858
) = 0, 3⇔ P(Z > −c − 858
) = 0, 3⇔
tab(−c − 858
) = 0, 20⇔ 85− c8 = 0, 52⇔ c = 80, 84
Questa˜o 10 Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o.Calcule P(X < 81).Soluc¸a˜o
X ∼ N (85; 6416
) ou X ∼ N (85; 4)
P(X < 81) = P(Z < 81− 852
) = P(Z < −2) = P(Z > 2)= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 15
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 25 e variaˆncia σ2 = 25. Emcada uma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜odada, indicando em um gra´fico da distribuic¸a˜o normal original a correta posic¸a˜ode k em relac¸a˜o a` me´dia e sombreando a a´rea correspondente a` probabilidadepedida.
Questa˜o 11 P(X < k) = 0, 95Soluc¸a˜o
Curso de Administrac¸a˜o 3
A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,95; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X < k) = 0, 95⇔
P(Z < k − 255
) = 0, 95⇔
tab(k − 255
) = 0, 45⇔k − 255 = 1, 64⇔ k = 33, 2
Questa˜o 12 P(X < k) = 0, 05Soluc¸a˜oA` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,05; logo, k tem que ser menor que ame´dia.
P(X < k) = 0, 05⇔
P(Z < k − 255
) = 0, 05⇔
tab(−k − 255
) = 0, 45⇔25− k5 = 1, 64⇔ k = 16, 8
Questa˜o 13 P(X > k) = 0, 10Soluc¸a˜oA` direita de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,10; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X > k) = 0, 10⇔
P(Z > k − 255
) = 0, 10⇔
tab(k − 255
) = 0, 40⇔k − 255 = 1, 28⇔ k = 31, 4
Questa˜o 14 P(|X − 25 | > k) = 0, 10Soluc¸a˜oNas duas caudas da distribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,10, ou seja, em cada cauda,temos que ter 0,05. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
Curso de Administrac¸a˜o 4
P(|X − 25 | > k) = 0, 10⇔
P(∣∣∣∣ X − 255
∣∣∣∣ > k5
) = 0, 10⇔
P(|Z | > k5
) = 0, 10⇔
P(Z < −k5
)+ P(Z > k5
) = 0, 10⇔
2 · P(Z > k5
) = 0, 10⇔
P(Z > k5
) = 0, 05⇔
tab(k5
) = 0, 45⇔k5 = 1, 64⇔ k = 8, 2Questa˜o 15 P(|X − 25 | ≤ k) = 0, 95Soluc¸a˜oA expressa˜o dada e´ equivalente a P(|X − 25 | ≥ k) = 0, 05, ou seja, nas duas caudas dadistribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,05, ou seja, em cada cauda, temos que ter 0,025e no meio, 0,95. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
P(|X − 25 | ≤ k) = 0, 95⇔P(|X − 25 | > k) = 0, 05⇔
P(∣∣∣∣ X − 255
∣∣∣∣ > k5
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k5
) = 0, 05⇔
P(Z < −k5
)+ P(Z > k5
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k5
) = 0, 05⇔
P(Z > k5
) = 0, 025⇔
tab(k5
) = 0, 475⇔k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 16 a 20
Seja X uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n = 100 e p = 0, 1, isto e´,X ∼ Bin(100; 0, 1). Os ca´lculos de probabilidades associadas a esta varia´vel devemser feitos usando-se a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade.
Curso de Administrac¸a˜o 5
Questa˜o 16 Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normale indique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.Soluc¸a˜on > 30 np = 100× 0, 1 = 10 > 5 n(1− p) = 100× 0, 9 = 90 > 5 OK !X ≈ N (10; 100× 0, 1× 0, 9) ou X ≈ N (10; 9)
Questa˜o 17 Calcule P(X > 13).Soluc¸a˜o
P(X > 13) ≈ P(Z ≥ 13, 5− 10√9
) = P (Z ≥ 1, 17) = 0, 5− tab(1, 17) = 0, 5−0, 3790 = 0, 1210
Questa˜o 18 Calcule P(5 ≤ X ≤ 16).Soluc¸a˜o
P(5 ≤ X ≤ 16) ≈ P(4, 5− 10√9 ≤ Z ≤ 16, 5− 10√9
) =P(−1, 83 ≤ Z ≤ 2, 17) = tab(2, 17) + tab(1, 83) = 0, 4850 + 0, 4664 = 0, 9514
Questa˜o 19 Calcule P(X ≤ 14).Soluc¸a˜o
P(X ≤ 14) ≈ P(Z ≤ 14, 5− 10√9
) = P(Z ≤ 1, 50) = 0, 5 + tab(1, 50) = 0, 5 + 0, 4332 = 0, 9332
Questa˜o 20 Calcule P(13 < X < 17).Soluc¸a˜o
P(13 < X < 17) = P(13, 5− 10√9 < Z < 16, 5− 10√9
) = P(1, 17 ≤ Z ≤ 2, 17) = tab(2, 17) −tab(1, 17) = 0, 4850− 0, 3790 = 0, 106
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 6
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,07930,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 7
AP1 - ME´TODOS ESTAT´ISTICOS II - 2/2016
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais'
&
$
%
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas deRespostas personalizadas para o registro das suas respostas.
2. Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina sobre a qual devera´ realizara prova e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero dematr´ıcula. Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superiordireito.
4. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no localindicado para este fim.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o deprova.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamenteassinadas e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas'
&
$
%
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜esdas questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas deRespostas.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativa.
5. E´ proibido o uso de corretivos nas respostas.
6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizara digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina�
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1. E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja a de telefone celular.
2. E´ expressamente proibido o uso de qualquer material de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo nasua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2016
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Sua prova sera´ corrigida online. Siga asinstruc¸o˜es na capa deste caderno.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas no espac¸o indicado para cada uma.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es tem que ser aa caneta preta ou azul.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) =

x2 se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
Questa˜o 1 [1,0 pt] Esboce o gra´fico de f (x) e mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜odensidade.Questa˜o 2 [1,0 pt] Calcule P(X > 0, 5 |X < 1, 0).
Questa˜o 3 [0,5 pt] Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 4.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 7
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 25 e variaˆncia σ2 = 36.
Questa˜o 4 [0,5 pt] Calcule P(X > 37).
Questa˜o 5 [0,5 pt] Calcule P(X > 19).
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(7 < X < 22).
Questa˜o 7 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 9 dessapopulac¸a˜o. Calcule P(X < 21).
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 8 a 11
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 4. Emcada uma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜odada.
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 90
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 05
Questa˜o 10 [1,0 pt] P( |X − 10 | > k) = 0, 05
Questa˜o 11 [1,0 pt] P( |X − 10 | ≤ k) = 0, 80
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 12 a 15
Deseja-se usar a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade no ca´lculode probabilidades de uma varia´vel binomial X . Para cada um dos eventos dabinomial dados nas Questo˜es 13 a 16, indique, na Folha de Respostas, a opc¸a˜ocorrespondente ao evento apropriado em termos da normal aproximadora Y .
EventoBinomial Normal aproximadoraQuesta˜o 12 [0,5pt] X > 13 (a) Y ≥ 13 (b) Y > 12, 5 (c) Y > 13, 5
Questa˜o 13 [0,5pt] 5 ≤ X ≤ 16 (a) 4, 5 ≤ Y ≤ 16, 5 (b) 5, 5 ≤ Y ≤ 15, 5 (c) 5, 5 ≤ Y ≤ 16, 5
Questa˜o 14 [0,5pt] 8 < X < 12 (a) 7, 5 ≤ Y ≤ 12, 5 (b) 8, 5 ≤ Y ≤ 11, 5 (c) 8, 5 ≤ Y ≤ 12, 5
Questa˜o 15 [0,5pt] 2 ≤ X < 5 (a) 2, 5 ≤ Y ≤ 5, 5 (b) 1, 5 ≤ Y ≤ 5, 5 (c) 1, 5 ≤ Y ≤ 4, 5
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 2
Tabela 1: Z ∼ N(0; 1)Valores de pp = P(0 ≤ Z ≤ z)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abcissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5.
casa inteira 
e 1a. 
Decimal
2a. Casa decimal
Curso de Administrac¸a˜o 3
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Questa˜o 1
f (x) ≥ 0A´rea sob a curva: A = 12 · 2 · 1 = 1
Questa˜o 2
Probabilidade condicional: P(X > 0, 5 |X < 1, 0) = P(0, 5 < X < 1, 0)P(X < 1, 0)
A´rea de trape´zio: P(0, 5 < X < 1, 0) = f (0, 5) + f (1, 0)2 · 0, 5 = (0, 25 + 0, 5)4 = 0, 1875
A´rea de triaˆngulo: P(X < 1, 0) = 12 · f (1) · 1 = 12 · 12 = 0, 25
P(X > 0, 5 |X < 1, 0) = 0, 18750, 25 = 0, 75
Questa˜o 3
P(X < c) = 0, 4⇔ 12 · c · f (c) = 0, 4⇔ c · f (c) = 0, 8⇔ c22 = 0, 8⇔ c2 = 1, 6⇔ c = ±√1, 6Soluc¸a˜o no domı´nio de definic¸a˜o e´ c = √1, 6 ≈ 1, 2649
Curso de Administrac¸a˜o 5
Ana Maria
Caixa de texto
0,4
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
Numerador: 0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
Denominador: 0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,1
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
 0,1
Questa˜o 4P(X > 37) = P(Z > 37− 256
) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Questa˜o 5P(X > 19) = P(Z > 19− 256
) = P(Z > −1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 6
P(7 < X < 22) = P(7− 256 < Z < 22− 256
) = P(−3, 0 < Z < −0, 5)= tab(3, 0)− tab(0, 5) = 0, 4987− 0, 1915 = 0, 3072
Questa˜o 7X ∼ N (25; 369
) ou X ∼ N (25; 4)
P(X < 21) = P(Z < 21− 252
) = P(Z < −2, 0) = P(Z > 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0)= 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Curso de Administrac¸a˜o 6
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
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0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
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0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Polígono
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Questa˜o 8k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 10
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 102
) = 0, 90⇔ tab(k − 102
) = 0, 40⇔k − 102 = 1, 28⇔ k = 12, 56
Questa˜o 9k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 10
P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 102
) = 0, 05⇔ P(Z > −k − 102
) = 0, 05⇔
tab(10− k2
) = 0, 45⇔ 10− k2 = 1, 64⇔ k = 6, 72
Questa˜o 10
P( |X − 10 | > k) = 0, 05⇔ P( |X − 10 |2 > k2
) = 0, 05⇔ P(|Z | > k2
) = 0, 05
⇔ P(Z > k2
)+ P(Z < −k2
) = 0, 05⇔ 2 · P(Z > k2
) = 0, 05⇔ P(Z > k2
) = 0, 025
⇔ tab(k2
) = 0, 475⇔ k2 = 1, 96⇔ k = 3, 92
Questa˜o 11
P( |X − 10 | ≤ k) = 0, 80⇔ P( |X − 10 | > k) = 0, 20⇔ P( |X − 10 |2 > k2
) = 0, 20⇔
P(|Z | > k2
) = 0, 20⇔ P(Z > k2
)+ P(Z < −k2
) = 0, 20⇔ 2 · P(Z > k2
) = 0, 20
⇔ P(Z > k2
) = 0, 10⇔ tab(k2
) = 0, 40⇔ k2 = 1, 28⇔ k = 2, 56
Curso de Administrac¸a˜o 7
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
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0,3
Ana Maria
Retângulo
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Polígono
Ana Maria
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0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
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Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
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0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Questa˜o 12X > 13 ≡ Y > 13, 5Resposta: letra (c)
Questa˜o 135 ≤ X ≤ 16 ≡ 4, 5 ≤ Y ≤ 16, 5Resposta: letra (a)
Questa˜o 148 < X < 12 ≡ 8, 5 < Y < 11, 5 ≡ 8, 5 ≤ Y ≤ 11, 5Resposta: letra (b)
Questa˜o 152 ≤ X < 5 ≡ 1, 5 < Y < 4, 5 ≡ 1, 5 ≤ Y ≤ 4, 5Resposta: letra (c)
Curso de Administrac¸a˜o 8
Ana Maria
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Certo ou errado
Ana Maria
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Certo ou errado
Ana Maria
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Certo ou errado
Ana Maria
Caixa de texto
Certo ou errado
AP1 - ME´TODOS ESTAT´ISTICOS II - 1/2017ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais'
&
$
%
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um caderno com os enunciados das questo˜es e, inicial-mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o emuma etiqueta.2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a provae se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Casocontra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicadopara este fim.4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.5. E´ expressamente proibidoo uso de telefone celular ou qualquer outro aparelho que permitaconexa˜o a` Internet durante a realizac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade detectada sera´reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devi-damente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas'
&
$
%
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜esdas questo˜es nas Folhas de Respostas.2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-lasde acordo com as questo˜es!3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas sera˜o ignoradas.4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativa.5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar adigitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina#
"
 
!
1. E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja a de telefone celular ou de qualqueroutro aparelho conectado a` Internet.2. E´ expressamente proibido o uso de qualquer material de consulta.3. E´ proibido o uso de corretivos nas respostas.
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroAP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno.• Resolva as questo˜es nos espac¸os indicados.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) = { 2x se 0 ≤ x ≤ 10 caso contra´rio
Questa˜o 1 [1,0 pt] Esboce o gra´fico de f (x) e mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜o densidade.
Questa˜o 2 [1,0 pt] Calcule P(X > 0, 2 |X < 0, 8).
Questa˜o 3 [0,5 pt] Determine o valor de c tal que P(X > c) = 0, 8.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 7
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´dia µ = 12 evariaˆncia σ 2 = 16.Questa˜o 4 [0,5 pt] Calcule P(X > 19).
Questa˜o 5 [0,5 pt] Calcule P(X > 8).
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(4 < X < 6).
Questa˜o 7 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 25 dessa populac¸a˜o.Calcule P(11 < X < 13).
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 8 a 11
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 5 e variaˆncia σ 2 = 9. Em cada uma dasquesto˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada.
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 90
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 05
Questa˜o 10 [1,0 pt] P( |X − 5 | > k) = 0, 05
Questa˜o 11 [1,0 pt] P( |X − 5 | ≤ k) = 0, 80
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 12 a 15
Deseja-se usar a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade no ca´lculo de probabili-dades de uma varia´vel binomial X . Para cada um dos eventos da binomial X dados nas Questo˜es12 a 15, indique o evento apropriado em termos da normal aproximadora Y .
Questa˜o 12 [0,5 pt] P(X < 13)
Questa˜o 13 [0,5 pt] P(4 < X ≤ 10)
Questa˜o 14 [0,5 pt] P(15 < X < 23)
Questa˜o 15 [0,5 pt] P(X ≥ 25)
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
X − µσ ∼ N(0; 1) X − µσ√n ∼ N(0; 1)
Tabela 1: Z ∼ N(0; 1)Valores de pp = P(0 ≤ Z ≤ z)
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroGabarito da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Questa˜o 1
f (x) ≥ 0
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulo:A = 12 · 1 · 2 = 1
Questa˜o 2Probabilidade condicional: P(X > 0, 2 |X < 0, 8) = P(0, 2 < X < 0, 8)P(X < 0, 8)
P(0, 2 < X < 0, 80) = f (0, 2) + f (0, 8)2 · 0, 6 = 0, 4 + 1, 62 · 0, 6 = 0, 6
P(X < 0, 80) = 12 · f (0, 8) · 0, 8 = 12 · 1, 6 · 0, 8 = 0, 64
P(X > 0, 2 |X < 0, 8) = 0, 60, 64 = 1516 = 0, 9375
Questa˜o 3
Pela a´rea do trape´zio:2 + f (c)2 · (1− c) = 0, 8⇔ 2 + 2c2 · (1− c) = 0, 8⇔(1 + c)(1− c) = 0, 8⇔ 1− c2 = 0, 8⇔c2 = 0, 2⇔ c =√0, 2 = 0, 4472136Pela a´rea do triaˆngulo:12 · f (c) · c = 0, 2⇔ c · 2c2 = 0, 2⇔ c2 = 0, 2⇔ c =√0, 2 = 0, 4472136
A soluc¸a˜o c = −√0, 2 na˜o pertence ao domı´nio de f .
Curso de Administrac¸a˜o 1
Questa˜o 4
P(X > 19) = P(Z > 19− 124
) = P(Z > 1, 75) =0, 5− tab(1, 75) = 0, 5− 0, 4599 = 0, 0401
Questa˜o 5
P(X > 8) = P(Z > 8− 124
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 6
P(4 < X < 6) = P(4− 124 < Z < 6− 124
) = P(−2, 0 < Z < −1, 5) =
tab(2, 0)− tab(1, 5) = 0, 4772− 0, 4332 = 0, 0440
Questa˜o 7 X ∼ N (12; 1625
) ou X ∼ N (12; 0, 82)
P(11 < X < 13) = P(11− 120, 8 < Z < 13− 120, 8
) =P(−1, 25 < Z < 1, 25) =
2 · tab(1, 25) = 2 · 0, 3944 = 0, 7888
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 8k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 5
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 53
) = 0, 90⇔
tab(k − 53
) = 0, 40⇔ k − 53 = 1, 28⇔ k = 8, 84
Questa˜o 9k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 5P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 53
) = 0, 05⇔
P(Z > −k − 53
) = 0, 05⇔
tab(5− k3
) = 0, 45⇔ 5− k3 = 1, 64⇔ k = 0, 08
Questa˜o 10 P( |X − 5 | > k) = 0, 05⇔ P( |X − 5 |3 > k3
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k3
) = 0, 05⇔ P(Z > k3
)+ P(Z < −k3
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k3
) = 0, 05⇔ P(Z > k3
) = 0, 025⇔ tab(k3
) = 0, 475
⇔ k3 = 1, 96⇔ k = 5, 88
Questa˜o 11 P( |X − 5 | ≤ k) = 0, 80⇔ P( |X − 5 | > k) = 0, 20⇔P( |X − 5 |3 > k3
) = 0, 20⇔ P(|Z | > k3
) = 0, 20⇔
P(Z > k3
)+ P(Z < −k3
) = 0, 20⇔
2 · P(Z > k3
) = 0, 20⇔ P(Z > k3
) = 0, 10⇔ tab(k3
) = 0, 40⇔k3 = 1, 28⇔ k = 3, 84
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 12X < 13 ≡ X ≤ 12 ≡ Y ≤ 12, 5
Questa˜o 134 < X ≤ 10 ≡ 5 ≤ X ≤ 10 ≡ 4, 5 ≤ Y ≤ 10, 5
Questa˜o 1415 < X < 23 ≡ 16 ≤ X ≤ 22 ≡ 15, 5 ≤ Y ≤ 22, 5
Questa˜o 15X ≥ 25 ≡ Y ≥ 24, 5
Curso de Administrac¸a˜o 4
 
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarato da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Questa˜o 1
f (x) ≥ 0
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulocom base 2 e altura 1:
A = 12 · 2 · 1 = 1
Questa˜o 2Probabilidade condicional: P(X < 1, 0 |X < 1, 5) = P(X < 1, 0)P(X < 1, 5)
P(0 < X < 1, 0) = 12 · 1 · f (1) = 12 · 12 = 14 = 0, 25
P(0 < X < 1, 5) = 12 · 1, 5 · f (1, 5) = 12 · 1, 5 · 0, 75 = 0, 5625
P(X < 1, 0 |X < 1, 5)) = 0, 250, 5625 = 0, 4444
Questa˜o 3
12 · c · f (c) = 0, 5⇔ c24 = 0, 5⇔c2 = 2, 0⇔ c =√2, 0 = 1, 4142
A soluc¸a˜o c = −√2, 0 na˜o pertence ao domı´nio de f .
Curso de Administrac¸a˜o 1
Questa˜o 4
P(X > 22, 5) = P(Z > 22, 5− 153
) = P(Z > 2, 5) =0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0228
Questa˜o 5
P(X > 12) = P(Z > 12− 153
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 6
P(6 < X < 10, 5) = P(6− 153 < Z < 10, 5− 153
) =P(−3, 0 < Z < −1, 5) = tab(3, 0)− tab(1, 5) =0, 4987− 0, 4332 = 0, 0655
Questa˜o 7X ∼ N (15; 916
) ou X ∼ N (15; 0, 752)
P(13, 65 < X < 16, 35) =
P(13, 65− 150, 75 < Z < 16, 35− 150, 75
) =
P(−1, 8 < Z < 1, 8) = 2× tab(1, 80) = 2× 0, 4641 =0, 9282
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 8k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X < k) = 0, 90 ⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 90 ⇔ tab(k − 85
) =
0, 40⇔ k − 85 = 1, 28⇔ k = 14, 4
Questa˜o 9k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X < k) = 0, 05 ⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 05 ⇔ P(Z > −k − 85
) =
0, 05⇔ tab(8−k5
) = 0, 45⇔ 8− k5 = 1, 64⇔ k = −0, 2
Questa˜o 10k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X > k) = 0, 80 ⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 80 ⇔ tab(−k − 85
) = 0, 30 ⇔8− k5 = 0, 84⇔ k = 3, 8
Questa˜o 11k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X > k) = 0, 01⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 01⇔
tab(k − 85
) = 0, 49⇔ k − 85 = 2, 33⇔ k = 19, 65
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 12 P( |X − 8 | ≤ k) = 0, 95 ⇔ P(−k ≤ X − 8 ≤ k) = 0, 95 ⇔P(−k5 ≤ Z ≤ k5
) = 0, 95⇔ tab(k5
) = 0, 475⇔k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
Questa˜o 13Seja T o tempo gasto por um usua´rio ate´ se sentar. Enta˜o, T ∼ N(8; 12)
P(T > 9) = P (Z > 9− 81
) = P(Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
Questa˜o 14
P(T ≤ 7) = P (Z ≤ 7− 81
) = P(Z ≤ −1) = P(Z ≥ 1) = 0, 1587
Questa˜o 15
P(T > 9|T ≥ 7) = P [(T > 9) ∩ (T ≥ 7)]P(T ≥ 7) = P(T > 9)1− P(T < 7) = 0, 15870, 8413 = 0, 18864
Questa˜o 16
P(T < t) = 0, 05⇐⇒ P (Z < t − 81
) = 0, 05⇐⇒ t − 8 = −1, 64⇐⇒ t = 6, 36 min
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018Co´digo da disciplina: EAD06078
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha(pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, a parte nume´ricado co´digo da disciplina (06078) e o nu´mero da folha.• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!• E´ fundamental que voceˆ preencha os campos de identificac¸a˜o antes de resolver as questo˜es,para permitir substituic¸a˜o da folha em caso de erro no preenchimento!
• Identifique a prova, informando nome, matricula, polo e data. • Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, • As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material consideradopara registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,Respostas. mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja de celular • Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois istoou de qualquer aparelho com conexa˜o a` Internet . pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 5
Considere a seguinte func¸a˜o:
f (x) =

−0, 25 + 0, 25x 1 ≤ x < 30, 5 3 ≤ x < 40 se x < 1 ou x ≥ 4
Questa˜o 1 [0,5 ponto] Esboce o gra´fico de f (x).Questa˜o 2 [0,5 ponto] Mostre que f (x) define uma func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´riacont´ınua X no intervalo [1; 4].Questa˜o 3 [0,5 ponto] Calcule P(X ≤ 2).Questa˜o 4 [0,5 ponto] Calcule P(X > 3 |X > 2).Questa˜o 5 [0,5 ponto] Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 6.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 6 a 9
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 250 e variaˆncia σ 2 = 169.
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(X > 282, 5).
Questa˜o 7 [0,5 pt] Calcule P(X > 237).
Questa˜o 8 [0,5 pt] Calcule P(211 < X < 230, 5).
Questa˜o 9 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 25 retirada dessapopulac¸a˜o. Calcule P(245, 32 < X < 254, 68).
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 10 a 14
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 8 e variaˆncia σ 2 = 25. Em cadauma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada.
Questa˜o 10 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 90
Questa˜o 11 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 05
Questa˜o 12 [0,5 pt] P(X > k) = 0, 80
Questa˜o 13 [0,5 pt] P(X > k) = 0, 01
Questa˜o 14 [1,0 pt] P( |X − 8 | ≤ k) = 0, 95
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 15 a 18
Segundo dados da empresa de transportes Vai-Vem, o tempo de durac¸a˜o da viagem(em minutos) entre o ponto inicial e o ponto final da linha 222 pode ser aproximadopor uma distribuic¸a˜o normal com me´dia de 48 minutos e desvio padra˜o de 12 minutos.
Questa˜o 15 [0,5 pt] Qual e´ a probabilidade de que uma viagem entre o ponto inicial e o pontofinal da linha 222 dure mais que 50 minutos?
Questa˜o 16 [0,5 pt] Qual e´ a probabilidade de que uma viagem entre o ponto inicial e o pontofinal da linha 222 dure no ma´ximo 60 minutos?
Questa˜o 17 [0,5 pt] Joa˜o pegou um oˆnibus da linha 222 no seu ponto inicial a`s 9:00 horas, comdestino ao ponto final. Agora sa˜o 10 horas e o oˆnibus ainda na˜o chegou ao ponto final. Qual e´ aprobabilidade de que Joa˜o chegue antes das 10:20 no ponto final?
Questa˜o 18 [0,5 pt] Determine o tempo t tal que 5% das viagens dos oˆnibus da linha 222 levammais que t minutos entre o ponto inicial e o ponto final.
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 2
Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜op = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira 2a. casa decimale 1a.decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50000,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarato da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018
Questa˜o 1
Note que f (1) = 0 e f (3) = 0, 5; logo, no intervalo [0; 3) f e´um segmento que passa pelos pontos (1; 0) e (3; 0, 5). Nointervalo [3; 4], f e´ constante igual a 0, 5.
Questa˜o 2 f (x) ≥ 0
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulode base 2 e altura 0,5mais a a´rea de um retaˆngulo de base 1 e altura 0,5:A = 12 · 2 · 0, 5 + 1 · 0, 5 = 1Da´ı podemos ver que P(X < 3) = P(X ≥ 3) = 0, 5.
Questa˜o 3
Probabilidade pedida e´ a a´rea do triaˆngulo sombreado,que tem base 1 e altura f (2):P(X ≤ 2) = 12 · 1 · f (2) = 12 · (−0, 25 + 0, 25 · 2) = 0, 125
Questa˜o 4P(X > 3 |X > 2) = P(X > 3)P(X > 2) = P(X > 3)1− P(X ≤ 2) = 0, 51− 0, 125 = 0, 5714
Questa˜o 5 c tem que ser maior que 3, pois P(X < 3) = 0, 5
P(X < c) = 0, 6⇔ P(X ≥ c) = 0, 4
Mas P(X ≥ c) e´ a a´rea do retaˆngulo sombreado em cinza escuro. Logo temos queter
(4− c) · 0, 5 = 0, 4⇔ 4− c = 0, 8⇔ c = 3, 2
Curso de Administrac¸a˜o 1
Questa˜o 6
P(X > 282, 5) = P(Z > 282, 5− 25013
) = P(Z > 2, 5) =0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
Questa˜o 7
P(X > 237) = P(Z > 237− 25013
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 8
P(211 < X < 230, 5) = P(211− 25013 < Z < 230, 5− 25013
) =P(−3, 0 < Z < −1, 5) = tab(3, 0)− tab(1, 5) =0, 4987− 0, 4332 = 0, 0655
Questa˜o 9 X ∼ N (250; 16925
) ou X ∼ N (250; 2, 62)
P(245, 32 < X < 254, 68) =
P(245, 32− 2502, 6 < Z < 254, 68− 2502, 6
) =
P(−1, 8 < Z < 1, 8) = 2× tab(1, 80) = 2× 0, 4641 =0, 9282
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 10k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 90⇔
tab(k − 85
) = 0, 40⇔ k − 85 = 1, 28⇔ k = 14, 4
Questa˜o 11k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 85
) = 0, 05⇔
P(Z > −k − 85
) = 0, 05⇔ tab(8− k5
) = 0, 45⇔
8− k5 = 1, 64⇔ k = −0, 2
Questa˜o 12k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 8
P(X > k) = 0, 80 ⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 80 ⇔ tab(−k − 85
) = 0, 30 ⇔8− k5 = 0, 84⇔ k = 3, 8
Questa˜o 13k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 8
P(X > k) = 0, 01⇔ P(Z > k − 85
) = 0, 01⇔
tab(k − 85
) = 0, 49⇔ k − 85 = 2, 33⇔ k = 19, 65
Questa˜o 14 P( |X − 8 | ≤ k) = 0, 95 ⇔ P(−k ≤ X − 8 ≤ k) = 0, 95 ⇔P(−k5 ≤ Z ≤ k5
) = 0, 95⇔ tab(k5
) = 0, 475⇔k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 15Seja T o tempo de viagem dos oˆnibus da linha 222 entre o ponto inicial e o ponto final. Enta˜o, T ∼ N(48; 122)
P(T > 50) = P (Z > 50− 4812
) = P(Z > 0, 17) = 0, 5− tab(0, 17) = 0, 5− 0, 0675 = 0, 4325
Questa˜o 16
P(T ≤ 60) = P(Z ≤ 60− 4812
) = P(Z ≤ 1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
Questa˜o 17
P(T < 80 |T > 60) = P(60 < T < 80)P(T > 60) = P
( 60−4812 < Z < 80−4812 )1− 0, 8413 = P(1 < Z < 2, 67)0, 1587= tab(2, 67)− tab(1, 0)0, 8413 = 0, 4962− 0, 34130, 1587 = 0, 15490, 1587 = 0, 9761
Questa˜o 18
P(T > t) = 0, 05⇐⇒ P (Z > t − 4812
) = 0, 05⇐⇒ tab( t − 4812
) = 0, 45⇔ t − 4812 = 1, 64⇐⇒ t = 67, 68 min
5% das viagens duram mais que 67,68 minutos.
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2018Co´digo da disciplina: EAD06078
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, pre-encha pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, aparte nume´rica do co´digo da disciplina (06078) e o nu´mero da folha.• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!• E´ fundamental que voceˆ preencha os campos de identificac¸a˜o antes de resolver as questo˜espara permitir substituic¸a˜o da folha em caso de erro no preenchimento!
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Identifique a prova, informando nome, matricula, poloe data.• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul oupreta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nasFolhas de Respostas.• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o sejade celular ou de qualquer aparelho com conexa˜o a` In-ternet.• Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-cador.
• Fac¸a o desenvolvimento completo das soluc¸o˜es nasFolhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico materialconsiderado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜esfeitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha derascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Cada questa˜o vale 0,5 ponto.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 5
Devido aos engarrafamentos no traˆnsito, o tempo que Ricardo leva de casa ate´ auniversidade e´ uma varia´vel aleato´ria X que tem distribuic¸a˜o uniforme no intervalo[5, 25]. Seja fX a func¸a˜o densidade de X .
Questa˜o 1 Esboce o gra´fico de fx .
Questa˜o 2 Determine a expressa˜o matema´tica de fX .Questa˜o 3 Calcule a probabilidade de Ricardo levar mais de 18 minutos no trajeto.
Questa˜o 4 Ricardo ja´ esta´ ha´ 10 minutos no traˆnsito, dirigindo para a universidade. Qual e´ aprobabilidade de que ele leve menos de 20 minutos no trajeto total?
Questa˜o 5 Determine o valor de c tal que em 80% das viagens de casa ate´ a universidade Ricardoleva mais de c minutos.
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 6 a 10
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 2, 50 e variaˆncia σ 2 = 1, 69.
Questa˜o 6 Calcule P(X > 5, 75).Questa˜o 7 Calcule P(X > 1, 2).Questa˜o 8 Calcule P(−1, 4 < X < 0, 55).Questa˜o 9 Calcule P(X < 0, 16).Questa˜o 10 Calcule P(|X − 2, 5| < 2, 6).
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 15
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 2 e variaˆncia σ 2 = 16. Em cadauma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada.
Questa˜o 11 P(X < k) = 0, 90Questa˜o 12 P(X < k) = 0, 05Questa˜o 13 P(X > k) = 0, 80Questa˜o 14 P(X > k) = 0, 01Questa˜o 15 P( |X − 2 | ≤ k) = 0, 95
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 16 a 20
Em um processo de produc¸a˜o, os funciona´rios trabalham em dois turnos. No turnoda manha˜, o tempo que os funciona´rios levam para executar determinada tarefa podeser descrito por uma varia´vel aleato´ria XM com distribuic¸a˜o normal com me´dia de 48minutos e desvio padra˜o de 12 minutos. No turno da tarde, o tempo de execuc¸a˜o e´uma varia´vel aleato´ria XT com distribuic¸a˜o normal com me´dia de 50 minutos e desviopadra˜o de 10 minutos.
Questa˜o 16 Qual e´ a probabilidade de que um funciona´rio do turno da manha˜ leve mais que 60minutos para executar a tarefa?Questa˜o 17 Qual e´ a probabilidade de que um funciona´rio do turno da tarde leve mais que 60minutos para executar a tarefa?Questa˜o 18 Determine o valor de c tal que P(XM > c) = P(XT < c).Questa˜o 19 Seleciona-se uma amostra de 16 funciona´rios do turno da manha˜. Qual e´ a proba-bilidade de que o tempo me´dio de execuc¸a˜o da tarefa por esses funciona´rios seja maior que 54minutos?Questa˜o 20 Seleciona-se uma amostra de 16 funciona´rios do turno da tarde. Qual e´ a proba-bilidade de que o tempo me´dio de execuc¸a˜o da tarefa por esses funciona´rios seja maior que 54minutos? Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
 X − µσ ∼ N(0; 1) X − µσ√n ∼ N(0; 1)
Curso de Administrac¸a˜o 2
Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜op = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira 2a. casa decimale 1a.decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,01990,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2018
1. Veja a figura a seguir.
2. A´rea sob a curva e´ a a´rea de um retaˆngulo de base 20 e altura k :
1 = k · 20⇒ k = 120 = 0, 05Logo, fX (x) = 0, 05 se 5 ≤ x ≤ 25
3. Probabilidade pedida e´ a a´rea do retaˆngulo som-breado:P(X > 18) = (25− 18) · 0, 05 = 0, 35
4. P(X < 20 |X > 10) = P(10 < X < 20)P(X > 10) = 10 · 0, 0515 · 0, 05 = 23
5. P(X > c) = 0, 8⇔ (25− c) · 0, 05 = 0, 8⇔25− c = 16⇔ c = 9
Curso de Administrac¸a˜o 1
6. P(X > 5, 75) = P(Z > 5, 75− 2, 501, 3
) = P(Z > 2, 5) =0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
7. P(X > 1, 2) = P(Z > 1, 2− 2, 501, 3
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
8.
P(−1, 4 < X < 0, 55) =P(−1, 4− 2, 501, 3 < Z < 0, 55− 2, 501, 3
) =P(−3, 0 < Z < −1, 5) = tab(3, 0)− tab(1, 5) =0, 4987− 0, 4332 = 0, 0655
9. P(X < 0, 16) = P(Z < 0, 16− 2, 501, 3
) = P(Z < −1, 8) =P(Z > 1, 8) = 0, 5− tab(1, 8) = 0, 5− 0, 4641 = 0, 0359
10.
P(|X − 2, 5| < 2, 6) = P(−2, 6 < X − 2, 5 < 2, 6) =P(−2, 61, 3 < X − 2, 51, 3 < 2, 61, 3
) = P(−2 < Z < 2) =2 · tab(2, 0) = 0, 9544Note que P(|X−2, 5| < 2, 6) = P(2, 5−2, 6 < X < 2, 5+2, 6)
11. k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 2
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 24
) = 0, 90⇔
tab(k − 24
) = 0, 4⇔
k − 24 = 1, 28⇔ k = 7, 12
12. k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 2
P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 24
) = 0, 05⇔
P(Z > −k − 24
) = 0, 05⇔ tab(−k − 24
) = 0, 45⇔
2− k4 = 1, 64⇔ k = −4, 56
Curso de Administrac¸a˜o 2
13. k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 2
P(X > k) = 0, 80⇔ P(Z > k − 24
) = 0, 80⇔
tab(−k − 24
) = 0, 30⇔ 2− k4 = 0, 84⇔ k = −1, 36
14. k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 2
P(X > k) = 0, 01⇔ P(Z > k − 24
) = 0, 01⇔
tab(k − 24
) = 0, 49⇔ k − 24 = 2, 33⇔ k = 11, 32
15. Temos que ter k > 0.
P( |X − 2 | ≤ k) = 0, 95⇔ P(−k ≤ X − 2 ≤ k) = 0, 95⇔
P(−k4 ≤ Z ≤ k4
) = 0, 95⇔ tab(k4
) = 0, 475⇔
k4 = 1, 96⇔ k = 7, 84
16. XM ∼ N(48; 122)
P(XM > 60) = P(Z > 60− 4812
) = P(Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 5− 0, 3413 = 0, 1587
17. XT ∼ N(50; 102)
P(XT > 60) = P (Z > 60− 5010
) = P(Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 5− 0, 3413 = 0, 1587
18.
P(XM > c) = P(XT < c)⇔ P(Z > c − 4812
) = P(Z < c − 5010
)⇔
c − 4812 = −c − 5010 ⇔ 10c − 480 = −12c + 600⇔ 22c = 1080⇔ c ≈ 49, 09
19. XM ∼ N (48; 12216
) ou seja, XM ∼ N (48; 32)
P(XM > 54) = P(Z > 54− 483
) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
20. XT ∼ N (50; 10216
) ou seja, XM ∼ N (50; 2, 52)
P(XT > 54) = P(Z > 54− 502, 5
) = P(Z > 1, 6) = 0, 5− tab(1, 6) = 0, 5− 0, 4452 = 0, 0548
Curso de Administrac¸a˜o 3