CÔNICAS - PARÁBOLA - MAX PAIVA

Prévia do material em texto

HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
CÔNICAS – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
 
I - PARÁBOLA 
 
Teorema 1 
Dados o Ponto F e a reta d, o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam por F e tangenciam a reta d 
é uma parábola de foco F e diretriz d. 
 
 
Demonstração: 
 
 
d
M
F
T
 
Como o ponto M eqüidista do foco e da diretriz, então podemos afirmar que M pertence a parábola com foco em 
F e diretriz d. 
 
 
Teorema 2 
O parâmetro da parábola é igual a distância do foco à diretriz. 
 
A corda mínima é o segmento MM’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. 
 
A medida de FM, igual a semicorda focal mínima, é o parâmetro da parábola. 
 
 
d
M
F
T
'M
O
x
 
Demonstração: 
Como o ponto M pertence á parábola, então 
MF MT
. Assim, podemos concluir que 
TMFO
 é um quadrado. 
Portanto 
OF MF p 
 
 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
Teorema 3 
Dados o foco F e a diretriz de uma parábola, para cada ponto T na diretriz, a mediatriz de FT é tangente à curva. 
 
Demonstração: 
Sendo 
M t
 tal que 
TM d
, então M pertence à parábola. Seja 
'M t
, 
'M M
: 
'M t
 

 
' 'M F M T
 
 
d
'M
F
T
t
M
'T
 
No triângulo 
'MTT
, temos: 
' ' 'M T M T 
 
' 'M T MF
 
Assim, podemos concluir que o ponto M’ não pertence à parábola, sendo exterior a mesma. 
Como nenhum outro ponto de t pertence á parábola então podemos afirmar que t é tangente à parábola no ponto 
M. 
 
COROLÁRIOS DO TEOREMA 3 
 
I – A tangente a uma parábola no ponto M é bissetriz do ângulo formado pelo raio vetor MF e pela perpendicular 
à diretriz que passa por M. 
 
 
d
M
F
T


t
 
 
 
 
 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
II – O foco da parábola é o ponto médio do segmento limitado pelos pés da tangente e da normal em M sobre o 
eixo. 
 
 
M
F

t

T N

r
 
 
III – O simétrico de um foco de uma parábola com relação a uma tangente genérica pertence à diretriz. 
 
 
d
M
F
T


t
 
V
 
OBSERVAÇÃO 
Podemos considerar a parábola como sendo uma elipse em que um dos focos é impróprio, ou seja um dos focos 
está no infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
 
 
TANGENTE NO VÉRTICE 
A tangente 
At
 no vértice da parábola é mediatriz de OF; logo é perpendicular ao seu eixo. 
 
d
F
Vt
VO
 
 
Teorema 4 
A projeção do foco de uma parábola sobre uma tangente genérica pertence à tangente no vértice. 
 
 
d
P
F
T
t
AO
 
Demonstração 
A tangente t é mediatriz de FT, 
T d
 diretriz da parábola. 
Sendo P a projeção do foco sobre a tangente, AP é base média do triângulo FOT, de onde concluímos que 
AP OF
. Daí, temos que AP é tangente no vértice A da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
TEOREMA DE PONCELET NA PARÁBOLA 
 
Teorema 5 
Por um ponto P exterior à parábola, traçamos as duas tangentes à curva. 
I – O ângulo que a reta PF forma com um das tangentes é igual ao ângulo que o eixo de simetria da parábola 
forma com a outra tangente. 
 
1t
P
F


Eixo de Simetria
2t
Paralela ao eixo de Simetria
 
 
 
II – Sendo M e M’ os pontos de tangência, a reta PF é bissetriz do ângulo 
'MFM
. 
 
1t
P
F


2t
A
B

 
Demonstração: 
I – Queremos provar que 
ˆ ˆx y
. 
 
Vamos fazer 
'FTT  
 e 
xt
 a reta paralela ao eixo de simetria da parábola. Assim, temos que: 
t FT
 e 
'xt TT
. Daí, podemos afirmar que 
x 
. 
No círculo de centro em P e raio PF, temos que:
y
 é o ângulo central, assim '
2
FT
y 
 e 

 é ângulo inscrito, de 
onde concluímos que '
2
FT
 
. Portanto podemos afirmar que 
y 
. 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
Assim, provamos que 
ˆ ˆx y
. 
 
II – A reta 
t
 é mediatriz de FT, portanto 
PFM PTM 
. A reta 
't
 é mediatriz de FT’, portanto 
' ' 'PFM PT M 
. Como 
'PT PT
, então 
' 'PTT PT T 
 e 
' ' 90º 'PTM PT M PTT   
. 
De onde finalmente concluímos que 
'PFM PFM 
 
 
xt
t
M
'M
F
P
T
d
'T

x
y
 
 
 
SUBTANGENTE E SUBNORMAL 
 
Sendo E e H os pés da tangente e da normal no ponto M da parábola, e N a projeção de M sobre o eixo, NE é a 
subtangente e NH a subnormal do ponto M. 
 
Teorema 6 
 
I – A subnormal NH é igual ao parâmetro da parábola. 
 
II – O foco F é ponto médio do segmento EH, limitado pelos pés da tangente e da normal. 
 
III – O vértice A é ponto médio da subtangente NE. 
 
 
E O F N H
T
P
M
t
n
d
A
 
Demonstração 
I – Os triângulos MNH e TOF são congruentes. Assim, temos que 
NH OF p 
 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
II – Os triângulos PEF e PMT são congruentes. Assim, temos que 
FE MT
. Como MTFH é um paralelogramo, 
temos que 
FH MT
. De onde podemos concluir que 
FE FH
. 
III – Como PA é base média do triângulo MNE, temos que 
AN AE
. 
 
 
PROPRIEDADES DAS TANGENTES A PARABOLA. 
 
Teorema 7 
 
Pelo ponto P da diretriz da parábola, traçamos as tangentes t e t’ à curva. Tendo assim, duas propriedades: 
 
't
M
'M
F
P
T
d
'T
t
 
 
I – As retas t e t’ são perpendiculares. 
II – Os pontos de tangência M e M’ são extremos de uma corda focal. 
 
Demonstração: 
I – No triângulo TFT’, temos 
' 90ºTFT 
. De onde temos que: 
t FT
 e 
' 't FT
. Portanto podemos afirmar 
que 
't t
. 
II – Os triângulos PFM e PTM são congruentes, onde 
90ºPFM PTM  
. Os triângulos PFM’ e PT’M’ são 
congruentes, onde 
' ' ' 90ºPFM PT M  
. Assim, temos que 
' 180ºMFM 
. 
 
Teorema 8 
 
Pelo ponto P exterior, traçam-se as tangentes t e t’ a uma parábola, cujos pontos de contatos são M e M’. 
A paralela ao eixo traçada por P, passa pelo ponto médio de MM’. 
 
HIPÉRBOLE – DEFINIÇÃO CLÁSSICA 
Professor Max 
 
 
 
xt
t
M
'M
F
P
T
d
'T

RS
 
Demonstração: 
O triângulo PTT’ é isósceles, assim temos que 
'PT PT
 e 
'PS TT
. Daí concluímos que 
'ST ST
. 
No trapézio MTT’M’ temos: 
'ST ST
 e 
// // ' 'SR TM T M
. Daí podemos concluir que 
'RM RM
. 
 
 
Teorema 9 
 
O círculo circunscrito ao triângulo formado por três tangentes genéricas à parábola, passa pelo seu foco. 
 
 
1t
2t
3t
At
F
L
M
N
 
 
 
Demonstração 
Sendo L, M, N as projeções do foco sobre as tangentes 
1t
, 
2t
 e 
3t
, então podemos afirmar que L, M e N estão 
alinhados pois pertencem à tangente no vértice 
At
. 
Pelo teorema de Simpson, F pertence ao círculo circunscrito ao triângulo formado por 
1t
, 
2t
 e 
3t
.