Deflexão em Vigas

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Mecânica dos Materiais
DEFORMAÇÕES EM VIGAS
OBJETIVOS:
. Determinação das deflexões e inclinações em vigas e eixos
. Viga carregada
. Viga deformada após
aplicação do carregamento
deflexão ou deslocamento
inclinação
Projeto → além de analisar tensões, necessário avaliar deflexões e 
inclinações em vigas e eixos
CONCEITO DE LINHA ELÁSTICA:
- Diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo
centróide de cada área da seção transversal da viga ou eixo.
Linha elástica
Deformações em apoios usuais:
Ax Cx
Cy
1 deslocamento nulo
1 deslocamento nulo
1 deslocamento nulo
B
Bx
ByM
2 deslocamentos nulos → direções Bx e By
1 rotação (inclinação) nula
Linha elástica e o diagrama de momento fletor:
DMF
VIGA
LINHA ELÁSTICA
Linha elástica e o diagrama de momento fletor:
p
A B
A
B
VIGA
DMF
LINHA ELÁSTICA
Exemplo 01:
DMF
VIGA
LINHA
ELÁSTICA
Ponto E: inclinação da linha elástica nula → deflexão máxima
Ponto de momento nulo
Exemplo 02:
VIGA
DMF
LINHA
ELÁSTICA
Ponto D: inclinação da linha elástica nula → deflexão máxima
Ponto de momento nulo
Relação momento - curvatura
Viga: carregamento e elástica
x
- Eixo “x” → eixo longitudinal reto 
- Eixo “v”→ mede deslocamento
- Coordenada “y” → posição fibra
Linha neutra: tensão e
Deformação nulas
+
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
Relação momento - curvatura
IE
M
.
1
=

ρ = raio de curvatura em um ponto específico sobre a linha eslástica
M = momento fletor interno na viga no ponto onde ρ será determinado 
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
- Para comprimento de viga muito maior que sua altura → maior 
deformação causada por flexão
Material homogênio e comportamente elástico (Lei d e Hooke), 
demostra-se que:
Convenção de sinais:
- Momento fletor tracionando fibras inferiores → + 

- Momento fletor tracionando fibras superiores → -

- A curvatura é zero em pontos onde o
momento fletor é nulo.
EI
xM )(1
=

- A máxima curvatura ocorre aonde o momento 
fletor atinge um valor máximo (pontos B e C).
Observações:
DMF
KN.m
3
6
4 m
Viga
Reações
de apoio
Deformações da viga
- Ponto E ponto de inflexão → M nulo
Inclinação e deslocamento por integração: 
 Na maioria dos problemas a rigidez à flexão EI será constante ao 
longo do comprimento da viga.
 A inclinação e deslocamento da viga é:
 Cada integração é usada para resolver todas as constantes de 
modo a obter uma solução única para um problema particular.
( ) ( ) ( )xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI ==−=
2
2
3
3
4
4
 
( ) ( ) ( )xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI ==−=
2
2
3
3
4
4
 
Equação da linha elástica
- Convenções de sinais:
+ V + V
+ M + M
+ W
( ) ( ) ( )xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI ==−=
2
2
3
3
4
4
 
Condições de contorno e continuidade
 As constantes de integração são determinadas pela avaliação
das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou
deslocamento.
 Esses valores são chamados de condições de contorno.
Exemplo: Para a viga abaixo, considerando EI constante, determine:
a) A equação da linha elástica
b) O deslacamento máximo
c) A inclinação da linha elástica nos apoios
L
A B
W
- deformação de vigas submetidas à uma combinação de carregamentos:
obtida através de uma combinação linear das deformações individuais
de cada carregamento.
- este procedimento é facilitado pelo uso de uma tabela contendo os
tipos usuais de carregamentos e apoios.
Princípio da superposição:
Viga: carregamentos
Carregamentos individuais
1) Considerando a viga de madeira (E = 20 GPa) sujeita ao carregamento 
indicado e com a seção transversal mostrada, determine a flecha 
(deslocamento) no meio do vão.
Aplicações:
2) Uma viga em balanço é submetida ao carregamento indicado. Sabe-se 
que a seção da viga é formada pela união de pranchas de madeira 
através de pregos, conforme mostra a figura. Determine a flecha na 
extremidade livre. Adote E = 18 GPa.