Avaliação 1 Equações Diferenciais

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Avaliação 1
	1.
	Em uma planta topográfica, curvas de nível caracterizam-se como linhas imaginárias que unem todos os pontos de igual altitude de uma região representada. O gráfico da função f(x,y) está representado a seguir. Dentre as curvas de nível, identifique a que representa a superfície dada e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	A opção II está correta.
	 b)
	A opção I está correta.
	 c)
	A opção IV está correta.
	 d)
	A opção III está correta.
	2.
	Seja T uma função que representa a temperatura em graus Celsius de uma placa fina de metal no plano cartesiano xy. As curvas de nível de uma função temperatura são todos os pontos onde a temperatura é igual a um valor predeterminado e por isso são chamadas de curvas isotérmicas. Considere a função temperatura dada por:
	
	 a)
	II, apenas.
	 b)
	I e III, apenas.
	
	
	
	
	 c)
	I, II e III.
	 d)
	III, apenas.
	3.
	O estudo de funções de várias variáveis tem como objetivo identificar propriedades das funções, por exemplo, se uma função é contínua, diferenciável, entre outras propriedades. Considere a função de duas variáveis:
	
	 a)
	III, apenas.
	 b)
	II, apenas.
	 c)
	I e III.
	 d)
	I, apenas.
	4.
	Um método de integração bastante utilizado, que advém do método da derivação do produto de funções, é o método de integração por partes, que resumidamente consiste em transformar o cálculo da integral de uma função complexa no cálculo de duas ou mais integrais mais simples que a original. Calcule a integral a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção III está correta.
	 b)
	Somente a opção II está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
	5.
	Um paraboloide elíptico tem a forma de um copo e tem um ponto máximo ou de mínimo. Ele é dado por uma equação em que dois dos eixos coordenados estão elevados ao quadrado e o terceiro aparece de forma linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta as curvas de nível do paraboloide elíptico:
	
	 a)
	Circunferências centradas em (1, 1, 2).
	 b)
	Elipses de eixo maior em z e centradas no ponto (0, 0, 0).
	 c)
	Elipses de eixo maior em x e centradas no ponto (1, 1, 2).
	 d)
	Circunferências centradas no ponto (0, 0, 0).
	6.
	Taxa de variação de "y" com relação a "x" de um fenômeno ditado por uma lei de formação que chamamos de função. Este é o conceito de derivada que ajudará você a resolver esta questão. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	A opção I está correta.
	 b)
	A opção III está correta.
	 c)
	A opção IV está correta.
	 d)
	A opção II está correta.
	7.
	No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções onde y não está definido como função explícita de x. Em outras palavras, são equações em que não temos de um modo explícito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever y = f(x). Baseado na função f(x,y) = x² - 5xy + 3y², assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resultado correto para dy/dx:
	 a)
	(2x - 5y)/(5x - 6y).
	 b)
	(2x - 5y).
	 c)
	(5x - 6y).
	 d)
	(-5x + 6y)/(-2x+5y).
	8.
	Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os pontos onde a função admite definição. Estes pontos são chamados pontos do domínio da função. Ao trabalhar com funções de várias variáveis, muitas vezes, o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis. Baseado nisto, dada a função a seguir, analise as sentenças sobre qual é o seu conjunto domínio condizente e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	9.
	Em matemática, curvas de nível são curvas cujos pontos satisfazem a uma determinada propriedade. Por exemplo: reta, circunferência, elipse etc. Em um mapa topográfico, são os conjuntos de pontos correspondentes às regiões de mesma altitude. Baseado nos conceitos de curvas de nível, analise o gráfico a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	F - V - F - F.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - F - V - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	10.
	O cálculo do limite de funções de várias variáveis é muito similar com o cálculo de limite de funções de uma variável, sendo necessário tomar cuidado com as indeterminações. Usando as propriedades de limite de funções de várias variáveis, determine o valor do limite:
	
	 a)
	2.
	 b)
	1.
	 c)
	3.
	 d)
	0.
	
1.
	Um problema de otimização é um problema no qual precisamos determinar os extremos da função, ou seja, o maior e o menor valor que a função assume numa região. Problemas de otimização são muito comuns, por exemplo, para otimizar lucros e minimizar custos. Sabendo que o ponto (0, 0) é um ponto crítico da função
	
	 a)
	Onde H(0, 0) = 0.
	  b)
	De máximo.
	 c)
	De sela.
	 d)
	De minimo.
	2.
	Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	0,7 cm²/s.
	 b)
	6 cm²/s.
	 c)
	6,6 cm²/s.
	 d)
	9 cm²/s.
	3.
	Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa com que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 6 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	6 cm²/s.
	 b)
	5,6 cm²/s.
	 c)
	9 cm²/s.
	 d)
	6,2 cm²/s.
	4.
	As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste modo, calcule a área da região limitada pelas funções y = x,  y = 3x  e x + y = 4.
	 a)
	Área = 3.
	 b)
	Área = 0.
	 c)
	Área = 1.
	 d)
	Área = 2.
	5.
	A função do tipo x=y é chamada dentro da matemática de função identidade, ou seja, valores em "x" serão iguais para "y". Deste modo, as funções y = 2, y = x e y = 2x delimitam uma região do plano cartesiano. Utilizando a integração do tipo II, calcule a área dessa região. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Área = -1.
	  b)
	Área = 0.
	 c)
	Área = 2.
	 d)
	Área = 1.
	6.
	O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = ln (x.y), analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II- A soma de suas derivadas parciais é 1/x + 1/y.
III- A soma de suas derivadas parciais é x + y.
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença I está correta.
	 c)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	7.
	Quando podemos escrever uma função na forma y = f(x) temos uma função explícita. No entanto, emmuitas situações não conseguimos escrever uma função dessa forma então dizemos que y é uma função implícita de x. Para derivar funções dessa forma usamos o método de derivação implícita. Analise as opções a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a derivada da função implícita y dada pela equação:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	8.
	Calculando por integral dupla, a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=4, obtemos:
	 a)
	Área igual a 16 u.a.
	 b)
	Área igual a 20/3 u.a.
	 c)
	Área igual a 11/3 u.a.
	 d)
	Área igual a 32/3 u.a.
	9.
	O diferencial total de uma função de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. Sobre diferencial total da função, analise as sentenças a seguir:
	
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	Somente a sentença III está correta.
	  c)
	Somente a sentença II está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	10.
	A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm²/s, se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 20 cm e está crescendo a 3 cm/s?
Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura.
	 a)
	A taxa de crescimento é 20 cm²/s.
	 b)
	A taxa de crescimento é 10 cm²/s.
	 c)
	A taxa de crescimento é 70 cm²/s.
	 d)
	A taxa de crescimento é 80 cm²/s.