CD SISTEMAS HIPERESTATICOS VOL1 001 A 354 2014

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SISTEMAS 
HIPERESTÁTICOS II 
 
 
VOLUME 1 
 
 
 
 
 
 
LUIZ CARLOS MENDES 
 
 
 
 
 
 
2009 
 1
CAPITULO 3 
 
O M É T O D O D O S D E S L O C A M E N T O S 
 
 
3.1 GENERALIDADES 
 
No Método dos Esforços escolhiam-se determinadas incógnitas do 
sistema de equações de compatibilidade estática, que eram verdadeiramente 
esforços sob a forma de momentos fletores ou cargas concentradas, onde 
através da resolução do sistema estes esforços eram determinados. 
 
Agora, no Método dos Deslocamentos, determinam-se os 
deslocamentos angulares e lineares sofridos pelos nós das estruturas, para, 
a partir dos valores dessas incógnitas, se obter os diagramas de momentos e 
cortantes, objetivo final de ambos os métodos 
 
 
3.2 INCÓGNITAS DO MÉTODO 
 
São certos deslocamentos que são conhecidas nos extremos das 
hastes que permitem que sejam determinados os esforços seccionais. 
 
Estes deslocamentos podem ser: 
 
- Rotações nos nós ( φ ). 
- Deslocamentos lineares ( ∆ ). 
 
 
 
 2
3.3 PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
 
Este princípio é muito empregado no Método dos Deslocamentos. Ele 
mostra que "as rotações nos extremos das hastes que concorrem num 
mesmo nó são iguais e definem, portanto, a rotação do nó. " 
 
 φ 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 - Rotação de um nó. 
 
 
3.4 GRAU DE HIPERGEOMETRIA 
 
É definido pelo número de incógnitas do problema. Também é 
chamado de grau de indeterminação cinemática da estrutura. É o número 
de deslocamentos a se anular de modo a se obter subestruturas de 
cálculo conhecido que só podem ser: 
 
- Hastes biengastadas 
 
- Hastes engastada-apoiadas 
 
 
 
 3
Os deslocamentos ficam anulados quando se introduzem vínculos 
rígidos que procuram impedir as rotações nos nós e os seus deslocamentos 
lineares. 
 
As chapas impedem as rotações nos nós e os apoios do primeiro ou 
segundo gênero impedem os seus deslocamentos lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 -Impedimento de rotações e deslocamentos. 
 
 
A estrutura hiperestática fica transformada (chamada de estrutura 
isogeométrica) e, dessa forma, fica configurado o sistema principal. 
 
 
3.5 DETERMINAÇÃO DOS GRAUS DE HIPERGEOMETRIA 
 
 
Sejam as estruturas de pórticos e quadros contraventados: 
 
 
 
 
 4
a) 
 
 
 
 
 
 h=2 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 h=3 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h=6 
 
 
 
 5
d) 
 
 
 
 
 
 
 h=7 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 h=12 
f) 
 
 
 
 
 
 
 h=3 
 
Figura 3.3 – Estruturas de pórticos. 
 
 
 6
Quando a estrutura apresentar rótulas intermediárias, não se deve 
colocar nelas chapas, a fim de anular as rotações. Deve ser 
respeitada a condição natural da estrutura naquele ponto. Assim, as 
Figuras 3.4 a, b e c, ilustram alguns casos de estruturas rotuladas. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 h=5 
b) 
 
 
 
 
 
 
 h=1 
c) 
 
 
 
 
 
 h=5 
Figura 3.4 - Estruturas rotuladas. 
 
 7
Quando a estrutura possuir balanços carregados, estes não devem ser 
incluídos na analise estrutural isogeométrica. O balanço pode ser retirado e 
sua ação substituída sobre o resto da estrutura por um momento fletor e 
força equivalentes aplicados pela parte exterior da mesma. Assim, de 
acordo com as Figuras 3.5 a e b, têm-se: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h = 2 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h = 2 
Figura 3.5 – Estruturas dotadas de balanço 
 
 8
No caso de grelhas, cada nó rígido possui duas componentes de 
rotação e uma de deslocamento linear vertical. Assim, de acordo com as 
Figuras 3.6 a, b e c, têm-se: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 h = 6 
b) 
 
 
 
 
 
 h = 8 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 h = 18 
Figura 3.6 – Graus de hipergeometria em grelhas. 
 
 9
 
3.6 GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 
 
3.6.1 Fatores de forma de segunda espécie 
 
São os momentos de reação a e b que surgem nos extremos de 
uma haste biengastada quando se dá uma rotação unitária numa de suas 
extremidades. 
 
Os momentos de reação são definidos por: 
 
a = 
L
JE4 
 (3.1) 
 
b = 
L
JE2 
(3.2) 
 
e expressam as rigidezes nos nós da barra biengastada. 
 
 a b 
 
 
 
 φ = 1 
 
Figura 3.7 - Fatores de forma da haste biengastada. 
 
 
 10
 
3.6.2 Fator de forma derivado de segunda espécie 
 
E o momento de reação a’ que surge no extremo da haste 
engastada-apoiada quando se dá uma rotação unitária no seu extremo 
engastado. 
 
É definido por: 
 
L
JE3a =′ 
(3.3) 
 
onde L é o comprimento da haste. 
 
 
 
 
 
 a’ 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.8 - Fator de forma da haste engastada-apoiada. 
 
 
 
 11
 
3.6.3 Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais ao eixo da 
haste biengastada 
 
São os momentos de reação que surgem nos extremos de uma haste 
biengastada quando se dá um deslocamento linear unitário num de seus 
extremos, ficando os engastes sem sofrer rotações. 
 
É definido por: 
 
c = 2L
JE6 
(3.4) 
 
onde L é o comprimento da haste. 
 
 ∆ = 1 
 
 
 c 
 c 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.9 – Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais. 
 
 
 12
 
A rotação é definida por: 
 
φ = 
L
∆ 
(3.5) 
 
Como ∆ = 1 , então φ = 
L
1 
 
 
O momento de reação nada mais é do que a soma dos fatores de 
forma da haste biengastada multiplicados pela rotação, ou seja: 
 
 
M = (a + b) φ 
(3.6) 
 
M = 2L
JE6
L
1
L
JE2
L
JE4 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 
(3.7) 
 
Dessa forma: 
 
 
c = 2L
JE6(3.8) 
 
 
 
 13
3.6.4 Fator de forma devido a deslocamento ortogonal ao eixo da 
haste engastada-apoiada 
 
É o momento de reação que surge no engaste de uma haste engastada-
apoiada quando se dá um deslocamento unitário no bordo apoiado ortogonal 
ao eixo ficando o engaste sem sofrer rotação. 
 
É definido por: 
 
c’ = 2L
JE3 
(3.9) 
 
 
 ∆ = 1 
 
 
 
 
 c’ 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.10 - Fator de forma c’ . 
 
 
 
 14
A rotação é definida por: 
φ = 
L
1 
(3.10) 
e o momento de reação por: 
 
M = a’ φ 
(3.11) 
M = 2L
JE3
L
1
L
JE3 = 
(3.12) 
 
3.6.5 Fatores de carga de segunda espécie 
 
São os momentos de reação que surgem nos extremos da haste 
biengastada devido à ação de um carregamento qualquer. São alguns 
exemplos: 
 
a) 
 P 
 M = - 
8
LP M = + 
8
LP 
 
 
 L 
 
 R = 
2
P R = 
2
P 
 
 
 
 15
b) 
 
 
 M = - 2
2
L
baP P M = + 2
2
L
baP 
 
 
 a b 
 
 
 R = 3
2
L
a)2L(bP + R = 3
2
L
b)2L(aP + 
 
 
c) 
 
 q 
 
 
 M = - 
12
Lq 2 M = + 
12
Lq 2 
 
 R = 
2
Lq R = 
2
Lq 
 
 
 
 
 
 
 16
 
d) 
 
 
 
 
 
 M = - 
20
Lq 2 M = + 
30
Lq 2 
 
 R = Lq
20
7 R = Lq
20
3 
 
 L 
 
 
 
 
Figura 3.11 - Fatores de carga 
 
 
 
3.6.6 Fatores de carga derivados de segunda espécie 
 
 
É o momento de reação que surge no extremo da haste engastada-
apoiada devido à ação de um carregamento qualquer. 
 
 
 
 17
a) 
 P 
 
 M = - LP
16
3 
 
 
 
 
 R = P
16
11 R = P
16
5 
 
 
b) 
 
 M = - ( )bL
L2
baP
2 + P 
 
 
 
 a b 
 
 
 R = ( )3 22L2 bL3bP − R = ( )32 L2 bL2aP + 
 
 L 
 
 
 
 18
 
c) 
 q 
 
 
 
 M = - 
15
Lq 2 
 
 R = 
5
Lq2 R = 
10
Lq 
 
 
d) 
 
 
 q 
 
 
 
 M = - 
120
Lq7 2 
 
 
 R = 
40
Lq9 R = 
40
Lq11 
 
 
 
 
 19
 
e) 
 
 q 
 
 
 
 
 M = - 
8
Lq 2 
 
 R = 
8
Lq5 R = 
8
Lq3 
 
Figura 3.12 - Fatores de carga derivados. 
 
 
 
 
Em alguns problemas de estruturas sujeitas às deslocabilidades 
lineares, são de muita utilidade as reações de apoio. 
 
 
 20
 
3.7 EXERCÍCIOS 
 
3.7.1 A viga continua VC1 
 
Seja a viga continua submetida a um carregamento uniformemente 
distribuído conforme o apresentado na Figura 3.13. 
 
 
 
 2 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 3 10 20 10 3 
 
 
 (m) 
 
Figura 3.13 - Viga continua com carga uniforme. 
 
 
 
a) Formação do sistema principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 h = 2 
 
 
Figura 3.14 - Grau de hipergeometria da viga. 
 
 
 
 
 21
 
b) Determinação dos fatores de forma. 
 
 
Haste AB a’ = 3/L = 3/10 = 0,30 
 
Haste BC a = 4/L = 4/20 = 0,20 
 b = 2/L = 2/20 = 0,10 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 B C 
 
 
 
Figura 3.15 - Subestruturas de cálculo conhecido. 
 
 
c) Determinação dos fatores de carga. 
 
 
 2 kN/m 
 -66,66 +66,66 
 
 
 
 B C B C 
 
Figura 3.16 - Fatores de carga da haste BC 
 
 
MB = - q L2/12 = 2 (20)2/12 = - 66,66 kN m 
MC = + q L2/12 = 2 (20)2/12 = + 66,66 kN m 
 
 22
 
 
 2 kN/m 
 -4,5 
 
 
 
 A B A B 
 
Figura 3.17 - Fator de carga 
 
MA = 2 (3) (1,5) = 9 kN m 
 
Este momento deve ser transmitido para o nó B, mediante o 
fator de transmissão 0,5. 
 
MB = 9 a
b = (9) (0,10/0,20) = - 4,5 kN m 
 
 
 2 kN/m 
 + 25 
 
 
 
 A B A B 
 
Figura 3.18 - Fator de carga 
 
MB = q L2/8 = (2) (10)2/8 = + 25 kN m 
 
 
Assim, superpondo-se os momentos do nó B, obtém-se os 
fatores de carga finais. 
 
 
 23
 
 
 +20,5 -66,66 +66,66 -20,5 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.19 - Resumo dos fatores de carga 
 
d) Ação do hiperestático φ1 = 1 no sistema principal. 
 
 φ1 = 1 
 
 0,30 0,20 0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.20 - Ação da rotação unitária em B. 
 
 
e) Ação do hiperestático φ2 = 1 no sistema principal. 
 
 
 φ2 = 1 
 0,10 0,20 
 0,30 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.21 - Ação da rotação unitária em C. 
 
 
 24
f) Equações decoerência 
 
 (20,5 - 66,66) + (0,30 + 0,20) φ1 + 0,10 φ2 = 0 
 (66,66 - 20,5) + 0,10 φ1 + (0,20 + 0,30) φ2 = 0 
 
Na solução deste sistema são fornecidos: 
 
 φ1 = + 115,25 
 φ2 = - 115,25 
 
g) Cálculo dos momentos fletores. 
 
MBesq = 20,5 + 0,30 φ1 = 20,5 + 0,30 (115,25) = 55,07 kNm 
MBdir = - 66,66 + 0,20 φ1 + 0,10 φ2 = 
 = - 66,66 + 0,20 (115,25) + 0,10 (-115,25) = - 55,07 kNm 
 
 
h) Diagrama dos momentos fletores em kN.m 
 
 55,07 55,07 
 
 
 9 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.22 - Momentos fletores finais em kN.m. 
 
 
 
 25
i) Cálculo dos momentos fletores em formas programáveis. 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 
Figura 3.23 - Divisão da viga contínua em seções. 
 
 
i1) Momentos pela carga uniforme. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.24 - Parábolas simétricas em cada tramo 
 
 
 
Primeiro vão - M = q L2 / 2 wr = (2) (10)2 / 2 wr 
 
Segundo vão - M = q L2 / 2 wr = (2) (20)2 / 2 wr 
 
 
i2) Suspensão dos momentos fletores. 
 
A reta que une os momentos fletores determinados nas seções 
“0” e “5” apresenta uma inclinação. É necessário que seja calculada a 
distância “d”. 
 
 
 26
Primeiro vão 
 
 
 
 
 
 46,07 
 d 
 
 9 
 
 1 2 3 4 5 
 0 
 
 
Figura 3.25 - Suspensão dos momentos no primeiro vão. 
 
Pela regra de três, tem-se: 
 
(55,07 - 9) _________________________ 10 
 d _____________________________ x 
 
onde x assume os valores 0, 2, 4, 6, 8 e 10. 
 
O valor d fica expresso por: 
 
 d = 
10
07,46 x 
 
ou então: 
 
 d = 4,607 x 
 
 
 
 27
 
Segundo vão 
 
A reta que une os momentos fletores determinados nas seções e ‘’0’’ 
e ‘’5’’ é horizontal, portanto, os momentos existentes entre as seções 
intermediárias são constantes. 
 
Na Tabela 3.1 são calculadas todas as parcelas dos momentos 
fletores separadamente para todas as seções transversais. 
 
 
 
Tabela 3.1 - Momentos fletores parciais e finais 
 
 wr (qL2 / 2) wr Linha de chamada Momento 
 total 
 (kNm) 
 
 
 0 0 0 9 -9 
 1 0,16 16 -9,214 - 9 -18,214 -2,214 
 2 0,24 24 -18,428 - 9 -27,428 -3,428 
 3 0,24 24 -27,642 - 9 -36,642 -12,6 
 4 0,16 16 -36,856 - 9 -45,856 -29,8 
 5 0 0 - 55,07 -55,07 
 6 0,09 36 - 55,07 -19,07 
 7 0,16 64 -55,07 8,93 
 8 0,21 84 -55,07 28,93 
 9 0,24 96 -55,07 40,93 
 10 0,25 100 -55,07 44,93 
 11 0,24 96 -55,07 40,93 
 12 0,21 84 -55,07 28,93 
 13 0,16 64 -55,07 8,93 
 14 0,09 36 -55,07 -19,07 
 15 0 0 -55,07 -55,07 
 
 
 
 
 28
i3) Momentos fletores finais em cada seção ao longo da viga 
contínua. 
 
Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores finais. 
 
 29
j) Cálculo dos cortantes em formas programáveis. 
 
São extraídas de cada segmento biapoiado as reações provenientes 
do carregamento externo aplicado e do par de momentos em cada 
extremidade, obtidos pelo método das deformações. Estas reações são 
analisadas à esquerda e à direita de cada seção de apoio e correspondem 
aos esforços cortantes nestas seções. 
 
 q = 2 kN/m 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 9 9 55,07 55,07 55,07 55,07 9 9 
 
 
 6 10 10 20 20 10 10 6 
 
 
 4,6 4,6 4,6 4,6 
 
 
 6 5,4 14,6 20 20 14,6 5,4 6 
 
Figura 3.27 - Reações de apoio em kN. 
 
Para o primeiro vão obtém-se: 
 
R = q L / 2 = 2 (10) / 2 = 10 kN ( carga uniforme ) 
R = ∆M / L = (55 - 9) / 10 = 4,6 kN ( momentos fletores ) 
 
Para o segundo vão obtém-se: 
 
R = q L / 2 = 2 (20) / 2 = 20 kN (carga uniforme) 
 
 30
 
j1) Cortantes finais em cada seção ao longo da viga contínua. 
 
 
Figura 3.28 - Cortantes finais. 
 
 31
 
 
3.7.2 Viga continua VC2 
 
Seja a viga contínua submetida a um carregamento irregular conforme 
o apresentado na Figura 3.29. 
 
 
4 kN 2 kN/m 6 kN 1 kN/m 
 
 
 
 
 
 2 m 12 m 16 m 8 m 2 m 8 m 3 m 
 
Figura 3.29 - Viga contínua de carregamento diverso. 
 
 
a) Formação do sistema principal 
 
 
 
 
 
 A B C D E 
 h = 3 
 
Figura 3.30 - Grau de hipergeometria da viga. 
 
 32
 
 
b) Determinação dos fatores de forma. 
 
Haste AB a’ = 3/L = 3/12 = 0,25 
 
Haste BC a = 4/L = 4/16 = 0,25 
 
 b = 2/L = 2/16 = 0,125 
 
Haste CD a = 4/L = 4/10 = 0,40 
 
 b = 2/L = 2/10 = 0,20 
 
Haste DE a’ = 3/L = 3/8 = 0,375 
 
c) Determinação dos fatores de carga 
 
Haste AB MB = q L2 / 15 = (2) (12)2 / 15 = 19,2 kN m 
 
 MB = - 4 (2) (0,5) = - 4 kN m 
 
 2 kN/m 4 kN 
 
 
 
 A +19,2 B A -4 B 
 
Figura 3.31 – Fatores de carga na haste AB. 
 
 33
 
 
 
Haste BC MB = - q L2 / 12 = - (2) (16)2 / 12 = - 42,67 kN m 
 
 MC = + q L2 / 12 = + (2) (16)2 / 12 = + 42,67 kN m 
 
 2 kN/m 
 
 
 
 -42,67 +42,67 
 
Figura 3.32 - Fatores de carga na haste BC. 
 
Haste CD MC = - 
( )( )( ) 92,1
10286
L
baP
2
2
2
2
−=−= 
 
 MD = + 
( )( ) ( ) 68,7
10
286
L
baP
2
2
2
2
+== 
 
 
 6 kN 
 
 
 
 -1,92 +7,68 
 C D 
 
Figura 3.33 - Fatores de carga na haste CD. 
 34
 
 
 
Haste DE 
 
MD = - q L2 /8 = - (1) (8)2 /8 = - 8 (da carga concentrada) 
 
MD = + (1) (3) (1) (0,5) / 2 = + 0,75 (da carga triangular do balanço) 
 
 1 kN/m 
 1 kN/m 
 
 
 
 D -8 E D +0,75 E 
 
 
Figura 3.34 - Fatores de carga da haste DE. 
 
 
d) Resumo dos fatores de carga. 
 
 
 
 +15,2 -42,67 +42,67 -1,92 +7,68 -7,25 
 
 
 A B C D E 
 
Figura 3.35 - Fatores de carga totais. 
 35
 
e) Resumo dos fatores de forma e ação dos hiperestáticos no 
sistema principal. 
 
 +15,2 -42,67 +42,67 -1,92 +7,68 -7,25 
 
 
 A B C D E 
 
Ação de φ1 = 1 
 φ1 
 0,25 0,25 0,125 
 
 A B C D 
 
 
Ação de φ2 = 1 
 φ2 
 0,125 0,25 0,4 0,2 
 
 A B C D E 
 
 
Ação de φ3 = 1 
 φ3 
 0,2 0,4 0,375 
 
 A B C D E 
 
Figura 3.36 - Fatores de carga, de forma e rotações. 
 36
 
 
f) Equações de coerência 
 
(15,2 - 42,67) + 0,5 φ1 + 0,125 φ2 = 0 
(42,67 - 1,92) + 0,125 φl + 0,65 φ2 + 0,2 φ3 = 0 
(7,62 - 7,25) + 0,2 φ2 + 0,775 φ3 = 0 
 
Na solução deste sistema são encontrados: 
φl = 75,88 
φ2 = - 83,76 
φ3 = 21,04 
 
g) Cálculo dos momentos fletores. (kN m) 
 
MB esq = 15,2 + 0,25 (75,88) = 34,17 
MB dir = - 42,67 + 0,25 (75,88) + 0,125 (-83,76) = - 34,17 
MC esq = 42,67 + 0,125 (75,88) + 0,25 (-83,76) = 31,22 
MC dir = - 1,92 + 0,4 (-83,76) + 0,2 (21,04) = - 31,22 
MD esq = 7,68 + 0,2 (-83,76) + 0,4 (21,04) = - 0,64 
MD dir = - 7,25 + 0,375 (21,04) = 0,64 
 
 
 
 
 + + 
 A B C D E 
 
 
Figura 3.37 - Momentos fletores finais (kN m). 
 37
 
 
3.7.3 Pórtico com deslocabilidade linear PDL1 
 
 
Seja o pórtico sujeito a deslocabilidade linear, composto dos 
carregamentos indicados na Figura 3.38. 
 
 
 
 10 kN C 20 kN 2 kN/m 
 3 m 
 
 A B E F H 
 
 
 4 m 1 kN/m 
 
 
 D 
 2 m 
 G 
 3 m 20 m 20 m 3 m 
 
 
 
 
Figura 3.38 - Pórtico submetido a carregamentos uniformes e 
concentrados. 
 
 38
 
 
 a) Formação do sistema principal 
 
 
 C 
 
 B F 
 A H 
 
 D G h = 3 
 
 
Figura 3.39 - Grau de hipergeometria. 
 
 
b) Determinação dos fatores de forma 
 
 
Haste AB a’ = 3/L = 3/3 = 1 
 
Haste CB a’ = 3/L = 3/3 = 1 
 
 c’ = 3/L2 = 3 / 32 = 0,333 
 
Haste BD a = 4/L = 4/4 = 1 
 
 b = 2/L = 2/4 = 0,5 
 
 c = 6/L2 = 6/42 = 0,375 
 39
 
 
 Haste FG a = 4/L = 4/6 = 0,67 
 
 b = 2/L = 2/6 = 0,33 
 
 c = 6/L2 = 6/62 = 0,167 
 
 Haste BF a = 4/L = 4/20 = 0,20 
 
 b = 2/L = 2/20 = 0,10 
 
 Haste FH a’ = 3/L = 3/20 = 0,15 
 
 
c) Determinação dos fatores de carga 
 
 
Haste AB MB = + q L2 / 8 = (2) (3)2 /8 = + 2,25 
 
Haste BF MB = - q L2 / 12 = (2) (20)2 / 12 = - 66,67 
 
 MB = - P L / 8 = (20) (20) / 8 = - 50 
 
Haste FG MF = MG = q L2 / 12 = (1) (6)2 / 12 = 3 
 
 MF = - 3 
 
 MG = + 3 
 
 40
 
 
 
Haste FH MF = - q L2 /8 = - (2) (20)2 / 8 = - 100 
 
 MF = (2) (3) (1,5) (0,5) = + 4,5 
 
 
 
 
a) 2 kN/m 
 
 
 
 
 
 + 2,25 
 A B 
 
 
 
 
b) 
 2 kN/m 20 kN 
 
 
 
 -66,67 
 B -50 +50 +66,67 F 
 
 41
 
 
 
c) F d) 
 
 2 kN/m 
 -3 
 
 
 
 -100 
 F H 
 
 1 kN/m 
 +3 
 
 G 
 
Figura 3.40 - Fatores de carga. 
 
 
d) Resumo dos fatores de carga e de forma e ação dos hiperestáticos 
no sistema principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 42
 
 
 
d1) Fatores de carga 
 
 
 + 2,25- 116,67 +116,67 -95,5 
 
 
 3 3 
 
 
 
 3 3 
 
 
d2) Ação de φ1 = 1 
 
 
 0,333 
 
0,333 1 0,20 0,10 
 1 
 
0,375 1 
 0,5 
 
 0,375 
 
 
 43
 
 
 
d3) Ação de φ2 = 1 
 
 
 0,167 
 
 0,10 0,20 0,15 
 
 0,67 
 
 
 0,33 
 0,167 
 
d4) Ação de φ3 = 1 
 
 0,111 
 
 0,111 0,333 
 
 0,188 0,056 
 0,375 0,167 
 0,375 
 
 0,188 
 0,167 0,056 
 
Figura 3.41 - Fatores de carga, rotações e deslocamentos. 
 44
 
 
e) Equação de coerência 
 
( 2,25 - 116,67 ) + ( 1 + 1 + 1 + 0,2 ) φ1 + 0,1 φ2 + ( -0,375 + 0,333 ) ∆3 = 0 
( 116,67 - 3 - 95,5 ) + 0,10 φ1 + ( 0,20 + 0,67 + 0,15 ) φ2 - 0,167 ∆3 = 0 
( 3 ) + ( 0,333 - 0,375 ) φ1 - 0,167 φ2 + ( 0,11 + 0,188 + 0,056 ) ∆3 = 0 
 
 3,2 φ1 + 0,1 φ2 - 0,045 ∆3 = 114,42 
 0,1 φ1 + 1,02 φ2 - 0,167 ∆3 = - 13,17 
 - 0,045 φ1 - 0,167 φ2 + 0,356 ∆3 = - 3,0 
 
 φ1 = 36,29 
 φ2 = - 23,83 
 ∆3 = - 15,02 
 
f) Cálculo dos momentos fletores 
 
MB esq = 2,25 + 1,0 (36,29) = 38,54 
MB dir = - 116,67 + 0,2 (36,29) + 0,1 (-23,83) = - 111,79 
MB sup = 1,0 (36,29) + 0,33 (-15,02) = - 31,33 
MB inf = 1,0 (36,29) - 0,375 (-15,02) = 41,92 
MF esq = 116,67 + 0,1 (36,29) + 0,2 (-23,83) = 115,53 
MF inf = - 3,0 + 0,67 ( -23,83) - 0,167 (-15,02) = - 16,45 
MF dir = - 95,5 + 0,15 (-23,83) = - 99,07 
MD = 0,5 (36,29) - 0,375 (-15,02) = 23,77 
MG = 3 + 0,33 (-23,83) - 0,167 (-15,02) = - 2,35 
 
 
 45
 
 
 
 31,3 111,8 115,5 99,1 9 9 
 38,5 
 A B F 
 41,9 16,4 H 
 23,8 
 D 2,4 
 G h = 3 
 
Figura 3.42 - Sentido de aplicação dos momentos. 
 
 111,8 115,5 
 
 
 
 38,5 99,1 9 
 
 
 41,9 31,3 + 16,4 
 
 
 
 23,8 
 
 2,4 
 
 
Figura 3.43 - Momentos fletores finais. 
 46
 
 
 
3.7.4 Pórtico com deslocabilidade linear PDL2 
 
Seja o pórtico sujeito a deslocabilidade linear composto dos 
carregamentos indicados na Figura 3.44. 
 
 
 
 E 
 2 kN/m 
 2 m 
 
 G 
 A B 
 1 kN I 4 m 
 1 kN 1 kN 
 L H M 
 C 1 kN J D 
 1 3 3 1 (m) 2 m 
 
 F 
 
 
Figura 3.44 - Pórtico com carregamentos. 
 
 
 
 
 47
 
 
a) Formação do sistema principal 
 
 
 E 
 A G B 
 
 
 
 C H D 
 
 
 
 
 F h = 3 
 
 
Figura 3.45 - Grau de hipergeometria. 
 
b) Determinação dos fatores de forma 
 
Hate AG = Haste GB = Haste CH = Haste HD 
 
 a’ = 3/L = 3 / 4 = 0,75 
 
 
Haste GH a = 4 / L = 4/4 = 1 
 b = 2 / L = 2/4 = 0,5 
 c = 6 / L2 = 6/42 = 0,375 
 48
 
 
 
Haste EG = Haste HF a = 4 / L = 4/2 = 2 
 b = 2 / L = 2/2 = 1 
 c = 6 / L2 = 6 / 22 = 1,5 
 
 
 
c) Determinação dos fatores de carga 
 
 
 
Haste AG MG = + q L2 / 15 = (2) (4)2 /15 = 2,13 
 
Haste GH MG = MH = P L / 8 = (1) (4) / 8 = 0,5 
 
Haste HF MH = MF = P L / 8 = (1) (2) / 8 = 0,25 
 
Haste CH MH = ( ) ( )( )( )( )( ) ( )1442
132bL
L2
baP
22 +=+ = 0,9375 
 onde a = 3 e b = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49
 
d) Resumo dos fatores de carga e ação dos hiperestáticos no sistema 
principal 
Fatores de carga 
 
 E 
 2,13 2,13 
 A G B 
 
 0,5 0,5 
 0,5 
 C 0,9375 H 0,9375 0,5 D 
 
 0,25 0,5 
 0,25 
 F 0,5 
 
Ação de φ1 = 1 
 
 1,5 E 
 2 
 A 1,5 0,75 G 0,75 0,375 
 B 
 1 
 
 C 0,5 H 0,375 D 
 
 
 
 F h = 3 
 50
 
 
Ação de φ2 = 1 
 
 E 
 
 AG 0,375 B 
 
 0,5 
 1 0,375 
 C 0,75 0,75 D 
 
 2 1,5 
 1 1,5 
 F 
 
Ação de ∆3 = 1 
 
 E 
 
 A G B 
 
 0,375 0,1875 
 
 C 0,1875 H 0,375 D 
 
 1,5 1,5 
 1,5 
 F 1,5 
Figura 3.46 - Fatores de carga, rotações e deslocamentos. 
 51
 
e) Equações de coerência 
 
0,5 + (0,75 + 0,75 + 1 + 2) φl + 0,5 φ2 - 0,375 ∆3 = 0 
(0,25 - 0,5) + 0,5 φl + (1 + 0,75 + 2 + 0,75) φ2 + 
 + (0,375 - 1,5) ∆3 = 0 
(-0,5 - 0,5) + 0,375 φ1 + (0,375 - 1,5) φ2 + 
 + (0,1875 + 1,5) ∆3 = 0 
 
4,5 φl + 0,5 φ2 + 0,375 ∆3 = - 0,5 
0,5 φ1 + 4,5 φ2 - 1,125 ∆3 = 0,25 
0,375 φ1 - 1,125 φ2 + 1,69 ∆3 = 1 
 
φ l = - 0,21 
φ2 = 0,29 
∆3 = 0,83 
 
f) Cálculo dos momentos fletores 
 
MG sup = 2 (-0,21) = - 0,42 
MG esq = 2,13 + 0,75 (-0,21) = 1,97 
MG dir . = - 2,13 + 0,75 (-0,21) = - 2,28 
MG inf = 0, 5 + 1 (-0,21) + 0,5 (0,29) + 0,375 (0,83) = 0,75 
ME = 1 (-0,21) = - 0,21 
MH sup = - 0,5 + 0,5 (-0,21) + (1) (0,29) + 0,375 (0,83) = - 0,004 
MH esq = 0,94 + 0,75 (0,29) = 1,16 
MH dir = - 0,94 + 0,75 (0,29) = - 0,72 
MH inf = 0,25 + 2 (0,29) - 1,5 (0,83) = - 0,42 
MF = - 0,25 + 1 (0,29) -1,5 (0,83) = - 1,21 
 52
 
 
Observa-se que a convenção de sinais empregada no Método dos 
Deslocamentos nada tem a ver com a utilizada nos diagramas de momentos 
fletores, tais como ilustrados na Figura 3.47. 
 
No Método dos Deslocamentos, quando o momento gira no sentido 
horário em torno do nó, ele assume um sinal positivo. No diagrama final dos 
momentos, o sinal positivo nas hastes horizontais se verifica quando as 
tensões de tração ocorrerem nas fibras inferiores. Nas hastes verticais é 
indiferente a escolha do sinal positivo, seja para a tensão de tração 
nas fibras da esquerda ou nas fibras da direita. 
 
 0,2 
 1,97 2,3 
 0,42 
 + 
 + 0,75 
 
 1,0 
 1,16 + 0,72 
 
 + 0,004 0,42 + 
 1,5 1,32 
 
 - 
 1,21 
 
Figura 3.47 - Momentos fletores finais. 
 53
 
3.7.5 Pórtico com deslocabilidade linear PDL3 
 
Seja o pórtico com o carregamento indicado na Figura 3.48. 
 
 
 C 
 1 m 
 F 3 kN 
 1 kN/m 
 1 m 
 
 D 
 B 
 1 m 
 2 kN/m G 3 kN 
 
 1 m 
 A E 
 2 m 
 
 
 
Figura 3.48 - Pórtico sujeito aos carregamentos. 
 
a) Formação do sistema principal 
 
 
 C 
 
 
 B D 
 
 
 A E 
 
 
 
Figura 3.49 - Grau de hipergeometria. 
 
 54
 
 
 
b) Determinação dos fatores de forma 
 
 
Haste AB = Haste ED = Haste CD = Haste BD 
 
a = 4/L = 4/2 = 2 
 
b = 2/L = 2/2 = 1 
 
c = 6 / L2 = 6 / 22 = 1,5 
 
 
c)Determinação dos fatores de carga 
 
 
Haste AB MB = MA = q L2 / 12 = (2) (2)2 / 12 = 0,67 
 
Haste BD MD = MB = q L2 / 12 = (2) (2)2 /12 = 0,67 
 
 Haste BD MD = MB = q L2 /12 = (1) (2)2 / 12 = 0,33 
 
 Haste CD MC = MD = P L / 8 = (3) (2) / 8 = 0,75 
 
 Haste DE MD = ME = P L / 8 = (3) (2) / 8 = 0,75 
 
 
 
 55
 
 
 
 
 
2 kN/m B 2 1,5 C 
 
 
 
 0,67 0,75 
 
 3 kN 
 
 
 0,67 0,75 
 
 2 1,5 
 
 
 A D 
 
 1 kN/m 
 
 
 
 
 
 B D 
 
 
 0,33 0,33 
 
 
 
 
Figura 3.50 - Fatores de carga nas hastes. 
 
 
 
 
 
 
 56
 
 
 
 
d) Resumo dos fatores de carga, de forma e a ação dos hiperestáticos 
no sistema principal 
 
Fatores de carga 
 
 
 1,5 0,75 
 
 
 0,33 0,75 
 
 1,5 0,33 
 
 0,67 
 2 1,5 0,75 
 
 0,67 
 0,75 
 
 
 2 1,5 
 
 
Ação da rotação φ1 = 1 
 
 
 
 φ = 1 
 
 
 
 
 1,5 2 1 
 
 
 2 
 
 
 1,5 1 
 
 57
 
 
 
 
 
Ação da rotação φ2 = 11 1,5 
 
 
 
 1 2 
 2 1,5 
 
 
 1,5 
 2 
 
 1 1,5 
 
 
 
 
 
Ação do deslocamento linear unitário ∆3 = 1 
 
 1,5 
 
 1,5 
 
 
 1,5 1,5 
 
 1,5 
 
 1,5 1,5 1,5 
 
 
 1,5 1,5 1,5 1,5 
 
 
 
 
Figura 3.51 - Fatores de carga, rotações e deslocamentos. 
 58
 
 
e) Equações de coerência 
 
(0,67 - 0,33) + ( 2 + 2 ) φl + (1) φ2 - 1,5 ∆3 = 0 
(0,33 + 0,75 - 0,75) + (1) φ1 + ( 2 + 2 + 2 ) φ2 + 
 + (1,5 - 1,5) ∆3 = 0 
(-2 + 1,5 + 1,5) - 1,5 φ1 + (1,5 - 1,5) φ2 + 
 + (1,5 + 1,5 + 1,5) ∆3 = 0 
 
A solução é: 
 
φ1 = - 0,183 
φ2 = - 0,025 
∆3 = - 0,283 
 
f) Cálculo dos momentos fletores 
 
MA = -0,67 + 1 (-0,183) - 1,5 (-0,383) = - 0,43 
MB inf = 0,67 + 2 (-0,183) - 1,5 (-0,283) = + 0,72 
MB dir = - 0,33 + 2 (-0,183) + 1 (-0, 025) = - 0,72 
MD esq = 0,33 + 1 (-0,183) + 2 (-0,025) = + 0,10 
MC = - 0,75 + 1 (-0,025) + 1,5 (-0,283) = -1, 2 
MD sup = 0,75 + 2 (-0,183) + 1,5 (-0,283) = + 0,28 
MD inf = - 0,75 + 2 (-0,183) - 1,5 (-0,283) = - 0,38 
ME = 0, 75 + 1 (-0, 025) - 1,5 (-0,283) + 1,15 
 
 
 
 
 59
 
 
 
 
 
 C 1,2 
 
 - 
 
 
 0,76 + 
 
 
 0,72 
 
 
 0,72 0,10 0,28 
 
 B + D 0,38 
 
 
 
 + 0,74 
 
 + 
 
 
 
 0,43 1,15 
 
 
 A B 
 
 
Figura 3.52 - Momentos fletores finais. 
 
 
 
3.7.6 Pórtico com deslocabilidade linear PDL4 
 
Seja o pórtico rotulado sujeito a deslocabilidade linear com os 
carregamentos indicados conforme a Figura 3.53. 
 
 60
 
 
 
 3 kN/m 
 
 
 D E 
 1 m 
 A 
 
 5 kN 
 2 m 
 C 
 
 
 
 
 3 m 
 
 
 4 kN/m 
 
 6 m 5 m 
 
 
Figura 3.53 - Pórtico rotulado. 
 
a) Formação do sistema principal. 
 
 
 
 D E 
 A 
 
 
 h = 2 C 
 
 
 
 B 
 
 
Figura 3.54 - Grau de hipergeometria. 
 61
 
 
b) Determinação dos fatores de forma 
 
Haste AD a’ = 3 E J / L = 3/6 = 0,5 
Haste DE a’ = 3 E J / L = 3/5 = 0,6 
Haste DB a = 4 E J / L = 4/6 = 2/3 
 b = 2 E J / L = 2/6 = 1/3 
 c = 6 E J / L2 = 6 / 62 = 1/6 
Haste EC a’ = 3 E J / L = 3/3 = 1 
 c’ = 3 E J / L2 = 3 / 32 = 1/3 
 
 
 φ=1 φ=1 
 
 
 a’ = 0,6 
 
 a’ = 0,5 
 A D D E 
 
 φ = 1 ∆ = 1 ∆ = 1 
 
 D D E 
 
 
 a = 0,667 c = 0,167 
 
 
 
 
 
 b = 0,333 c = 0,167 c’ = 0,333 
 
 
 B B C 
 
 
Figura 3.55 - Fatores de forma das hastes. 
 62
 
 
c) Determinação dos fatores de carga 
 
Haste AD MD = + q L2 / 8 = (3) (6)2 / 8 = 13,5 
Haste DE MD = - q L2 / 8 = - (3) (5)2 / 8 = - 9,375 
Haste DB MD = + q L2 / 30 = + (4) (6)2 / 30 = 4,8 
 MB = - q L2 /20 = - (4) (6)2 / 20 = - 7,2 
 RD = q L / 6 = (4) (6) / 6 = 4 
 RB = q L / 3 = (4) (6) / 3 = 8 
 RD = - ( 7,2 - 4,8 ) / 6 = - 0,4 
 RB = + ( 7,2 - 4,8 ) / 6 = + 0,4 
 
 
Repare que as reações nos pontos D e B podem ser calculadas de uma 
só vez, utilizando-se o formulário do carregamento triangular para haste 
biengastada, ou seja: 
 
 
RD = 3 / 20 q L = 3,6 
RB = 7 /20 q L = 8,4 
 
 
Haste CE MC = + ( ) ( )( )( )( )( ) 22,232
13125bL
L2
baP
22 =
+=+ 
 RE = 
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) =
+=+ 3
2
3
2
32
13225
L2
bL2aP 2,59 
 RC = 
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) =
−=− 3
22
3
22
32
13315
L2
bL3bP 2,41 
 63
 
 
 3 kN/m 3 kN/m 
 
 
 
 13,5 - 9,375 
 
 
 D D E 
 A 
Figura 3.56 - Fatores de carga nas hastes. 
 
Para estas hasteshorizontais não são necessárias as reações 
concentradas nos apoios, uma vez que nenhuma deslocabilidade vertical 
ocorre. 
 D 4,0 0,4 3,6 
 
 4,8 
 
 
 
 
 
 7,2 
 
 8,0 0,4 8,4 
 
 4 kN/m 
 
 E 2,59 
 
 
 5 kN 
 
 
 
 
 
 C 2,41 
 
 
Figura 3.57 - Fatores de carga nas hastes. 
 64
 
 
d) Resumo dos fatores de carga, forma e ação dos hiperestáticos no 
sistema principal. 
 
Fatores de carga 
 
 
 13,5 9,375 
 
 
 
 3,6 4,8 2,59 
 
 
 2,41 2,22 
 
 
 
 
 7,2 
 
 8,4 
 
 
Ação da rotação φ1 = 1 
 
 0,5 0,6 
 
 
 
 0,167 
 0,67 
 
 
 
 
 
 
 0,33 
 0,167 
 
 65
 
 
 
Ação do deslocamento linear ∆2 = 1 
 
 ∆ = 1 ∆ = 1 
 
 
 0,111 
 0,0556 0,167 
 
 
 0,333 
 0,111 
 
 
 0,167 
 
 
 0,0556 
 
 
Figura 3.58 -(a) - Fatores de carga 
 (b) - Ação da rotação φ1 = 1 
 (c) - Ação do deslocamento ∆2 = 1 
 
 
Reações na haste DB 
 
RD = RB = [ 1/6 + 1/6 ] / 6 = 1/18 = 0,0556 
RC = RE = [1/3]/3 = 1/9 = 0,111 
 
e) Equações de coerência 
 
(4,8 + 13,5 - 9,375) + (0,5 + 0,6 + 0,667) φ1 - 0,167 ∆2 = 0 
(2,59 - 3,6) - 0,167 φ1 + (0,0556 + 0,111) ∆2 = 0 
 
8,925 + 1,767 φl - 0,167 ∆2 = 0 
- 1,0 - 0,167 φ1 + 0;167 ∆2 = 0 
 66
 
A solução é: 
φ1 = - 4,95 
∆2 = + 1,10 
 
f) Cálculo dos momentos fletores em kN m 
 
MD esq = 13,5 + 0,5 (-4,95) = 11,03 
MD dir = - 9,375 + 0,6 (-4,95) = - 12,34 
MD inf = 4,8 + 0,667 (-4,95) - 0,167 (1,10) = 1,32 
MB = - 7,2 + 0,333 (-4,95) - 0,167 (1,10) = - 9,03 
MC = 2,22 - 0,333 (1,10) = 1,86 
 
 11,03 12,34 
 6,17 
 5,51 
 
 
 
 1,32 + 
 + 
 3,21 2,72 
 
 7,99 
 + 
 
 1,86 
 
 
 21,49 12,59 
 
 
 
 9,03 
 
 
Figura 3.59 - Momentos fletores finais.
 
 67
 
 
3.8 ESTRUTURAS SIMÉTRICAS E ANTIMÉTRICAS 
 
É comum o tirar o partido da simetria em algumas estruturas 
hiperestáticas. Basta fazer uma reordenação das cargas e colocar alguns 
vínculos fictícios que representem a condição anterior da estrutura antes de 
ser desmembrada. 
 
 
3.8.1 Caso em que o eixo de simetria intercepta um nó da estrutura 
 
 
Seja o pórtico da Figura 3.60. 
 
 
 P 
 C 
 B D 
 
 
 A E 
 
 
Figura 3.60 - Pórtico com carga. 
 
 
 
A carga pode ser transformada em simétrica e antimétrica. 
 
 68
 
 
 P P/2 C 
 C 
 B D B D 
 P/2 
 
 A E A E 
 
 Carga simétrica. Carga antimétrica. 
 
Figura 3.61 - Desmembramento do carregamento. 
 
a) Estudo do carregamento simétrico 
 
A estrutura simétrica com o carregamento simétrico fica representada 
por: 
 
 
 
 P/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.62 - Estrutura com carga simétrica. 
 69
 
 
Foi escolhido o vínculo fictício na extremidade C, em virtude de o nó C 
não sofrer rotação; só deslocamentos verticais. 
 
Na resolução hiperestática o sistema principal fica constituído por: 
 
 
 
 C 
 
 B 
 
 
 
 
 A h = 2 
 
 
 
Figura 3.63 - Sistema principal. 
 
São necessários dois vínculos para transformarem esta estrutura em 
totalmente indeslocável. 
 
 
b) Estudo do carregamento antimétrico 
 
A estrutura simétrica com o carregamento antimétrico fica 
representada por: 
 70
 
 
 
 P/2 
 C 
 B 
 
 
 
 
 A 
 
Figura 3.64 - Estrutura com carregamento antimétrico. 
 
Observa-se que o nó C não apresenta deslocamento vertical em 
virtude da disposição das cargas, mas um deslocamento horizontal a ser 
considerado. 
 
Na resolução hiperestática, o sistema principal fica constituído por: 
 
 
 A 
 
 B 
 
 
 
 h = 2 
 A 
Figura 3.65 - Sistema principal. 
 71
 
 
São necessários dois vínculos para transformarem esta estrutura em 
totalmente indeslocável. 
 
 
3.8.2 Caso em que o eixo de simetria intercepta completamente 
uma barra da estrutura 
 
 
Seja o quadro da Figura 3.66. 
 
 
 
 P 
 CB D 
 
 
 
 A E 
 
 
 
Figura 3.66 - Quadro com a carga total. 
 
 
 
A carga pode ser transformada em: 
 72
 
 
 
 P/2 P/2 
 C 
 
 B D 
 
 
 
 A E 
 
 
 
Figura 3.67 a – Carga simétrica. 
 
 
 
 P/2 
 C 
 
 B D 
 
 P/2 
 
 A E 
 
 
 
Figura 3.67 b - Carga antimétrica. 
 73
 
 
a) Estudo do carregamento simétrico 
 
 
A estrutura simétrica com o carregamento simétrico fica 
representada pela aquela da Figura 3.68. 
 
 
 
 
 
 P/2 C 
 
 B 
 
 
 
 
 A 
 
 
 
Figura 3.68 - Estrutura com carga simétrica. 
 
 
 
 
Não ocorrem rotações nem deslocamentos verticais no nó C. 
 
 74
 
 
 
Na resolução hiperestática, a o sistema principal fica constituído por: 
 
 
 
 
 
 C 
 B 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
Figura 3.69 - Sistema principal. 
 
 
 
 
Uma chapa no nó B é necessária para transformar esta estrutura em 
totalmente indeslocável. 
 
 
 
 
 75
 
 
b) Estudo do carregamento antimétrico 
 
A estrutura com o carregamento antimétrico pode ser representada 
pela aquela da Figura 3.70. 
 
 
 
 P/2 C 
 
 
 B 
 
 
 
 A 
 
 
Figura 3.70 - Estrutura com carga antimétrica. 
 
 
 
O nó C sofre rotações, mas não pode sofrer deslocamentos verticais. 
A única maneira de representar esta situação é manter a barra vertical que 
passa pelo nó C. 
 
 
 
 
 76
 
 
Na resolução hiperestática, o sistema principal fica constituído por: 
 
 C 
 
 B 
 
 
 h = 3 
 
 
 A 
 
Figura 3.71 - Sistema principal. 
 
3.8.3 Caso de viga contínua em que o eixo de simetria coincide 
com o apoio e o carregamento é simétrico 
 
Seja a viga contínua da Figura 3.72. 
 
 
 P P (kN) 
 p p (kN/m) 
 
 
 
 A B C D E 
 
Figura 3.72 - Viga com carga simétrica. 
 77
 
 
 
Ela pode ser tratada simplesmente como: 
 
 
 
 P 
 p 
 
 
 
 A B C 
 
 
 
Figura 3.73a – Viga carregada até a metade. 
 
O apoio central, que não sofre rotações nem deslocamentos verticais, 
pode ser assimilado perfeitamente a um engaste, mantendo-se o 
carregamento na metade do comprimento total da viga. 
 
 
 
Figura 3.73b – Viga carregada até a metade. 
 78
 
 
3.8.4 Caso de viga continua em que o eixo de simetria coincide com o 
apoio e o carregamento é totalmente antimétrico 
 
Seja a viga contínua da Figura 3.74. 
 
 
 p P 
 
 
 
 A B C D E 
 p 
 P 
Figura 3.74 – Viga contínua com carga antimétrica. 
 
Ela pode ser tratada simplesmente como a apresentada na Figura 
3.75. 
 p P 
 
 
 
 A B C 
 
Figura 3.75 – Viga carregada até a metade. 
 
Havendo rotações, mas sem deslocamentos verticais, o apoio central 
permanece como uma rótula e os momentos fletores se apresentam 
antimétricos de sinais contrários. 
 79
 
 
 
3.8.5 Caso de viga continua em que o eixo de simetria corta um vão e o 
carregamento é simétrico 
 
 
Seja a viga contínua da Figura 3.76. 
 
 
 
 p P P p 
 
 
 
 
 
Figura 3.76 - Viga com carregamento simétrico. 
 
A solução é feita por inteiro, sem tirar nenhum partido de simetria. 
 
Não há como idealizar um apoio fictício no meio do vão que 
represente a ausência de rotações e a presença de deslocamento vertical. 
 
Os hiperestáticos encontrados nos pontos simétricos são iguais, 
porém, de sinais contrários. 
 
Isto significa dizer que: 
 
φ1 = - φ2 
 80
 
 
Os momentos fletores nos pontos simétricos são iguais e de mesmo 
sinal. 
 
 
 
 
 
 A B C D 
 
 
Figura 3.77 - Momentos fletores finais. 
 
 
3.8.6 Caso de viga continua em que o eixo de simetria corta um 
vão e o carregamento é totalmente antimétrico 
 
Seja a viga contínua da Figura 3.78. 
 
 
 p P 
 
 
 
 
 P p 
 
 
Figura 3.78 - Viga com carregamento antimétrico. 
 81
 
 
A solução é feita por inteiro, sem tirar partidos de simetria. Não há 
como idealizar um apoio fictício no meio do vão que represente a presença 
de rotações e a ausência de deslocamentos verticais. Os hiperestáticos 
encontrados nos pontos simétricos são iguais e de mesmo sinal, ou seja: 
 
φ1 = φ2 
 
Os momentos fletores nos pontos simétricos são iguais, mas têm sinais 
contrários.A B C D 
 
Figura 3.79 - Momentos fletores finais. 
 
3.8.7 Exemplo de um quadro com hastes de inércias variáveis 
 
Seja o quadro de carregamento assimétrico da Figura 3.80, onde 
ocorrem variações do momento de inércia em cada haste em dm4. 
 
Uma das hastes será considerada como sendo a de momento de 
inércia básico. Os momentos de inércia das demais serão determinados 
em função deste momento de inércia básico onde é expresso o 
comprimento de haste equivalente l’. 
 
 82
 
 
 5 kN/m 
 
 
 J = 200 J = 200 G J = 200 H J=200 E 
 
A 
 
 
 3 m 
 
8 kN/m 3 kN/m 
 
 J = 100 J = 100 J = 100 
 
 
 
 
 
 B C D 
 4 m 8 m 8 m 4 m 
 
 
Figura 3.80 - Quadro de inércia variável ( J EM dm4). 
 
 
 
a) Comprimento elástico das hastes. 
 
Será escolhida como inércia básica Jb = 200 m4. 
 
Haste AF = Haste HE L’ = L
J
J
a
b = 
100
200 4,0 = 4,0 m 
Haste BF = Haste CG = Haste DH L’ = 
100
200 3,0 = 6,0 m 
Haste FG = Haste GH L’ = 
200
200 8,0 = 8,0 m 
Ja = inércia da haste em análise 
 
 83
 
b)Cálculo dos fatores de forma das hastes 
 
Haste AF = Haste HE a’ = 3 / L’ = 3 / 4 = 0,75 
Haste BF = Haste CG = Haste DH a = 4 / L’ = 4 / 6 = 0,667 
 b = 2 / L’ = 2 / 6 = 0,333 
Haste FG = Haste GH a = 4 / L’ = 4 / 8 = 0,50 
 b = 2 / L’ = 2 / 8 = 0,25 
 
O problema será dividido em duas grandes partes: 
 
• Estudo do carregamento simétrico 
• Estudo do carregamento antimétrico 
 
c) Estudo do carregamento simétrico 
 
 5 kN/m 
 
 
 F G H E 
 
 A 
 
 
 4 kN/m 4 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B C D 
 
Figura 3.81 - Quadro com carregamento simétrico. 
 84
 
c1) Formação do sistema principal 
 
O nó se comporta como se fosse perfeitamente engastado. Basta 
que se analise o quadro simplesmente como o mostrado na Figura 
3.82. 
 
 
 F G 
 
 A 
 
 
 B h = 1 
 
 
Figura 3.82 - Sistema principal 
 
c2) Cálculo dos fatores de carga 
 
Haste AF MF = q L2 / 8 = (5) (4)2 / 8 = 10 
Haste FG MF = - q L2 / 12 = - (5) (8)2 / 12 = - 26,67 
 MG = + q L2 / 12 = + (5) (8)2 / 12 = + 26,67 
Haste FB MB = - q L2 / 12 = - (4) (3)2 / 12 = - 3 
 MF = + q L2 / 12 = + (4) (3)2 / 12 = 3 
 
c3) Resumo dos fatores de carga e de forma 
 10 -26,67 +26,67 
 
 
 F G 
 
 A +3 
a) f. carga 
 
 B 
 - 3 
 85
 
 
 0,75 0,50 0,25 
 
 
 F G 
 
 A 
 
b) f. forma 
 B 
 0,333 
 
 
Figura 3.83 - (a) Fatores de carga e (b) Fatores de forma. 
 
 
c4) Equação de coerência 
 
(0,50 + 0,667 + 0,75) φ1 + (10 + 3 - 26,67) = 0 
φ1 = + 7,131 
 
Para o quadro inteiro, têm-se para os resultados dos hiperestáticos: 
 
φ1 = + 7,131 
φ2 = 0 
φ3 = - 7,131 
 
c5) Cálculo dos momentos ( kN m) 
 
MB = - 3 + 0,333 (7,131) = - 0,63 
MF esq = 10 + 0,75 (7,131) = 15,35 
MF inf = 3 + 0,667 (7,131) = 7,75 
MF dir = - 26,67 + 0,50 (7,131) = 23,10 
MG esq = 26,67 + 0,25 (7,131) = 28,45 
 86
 
 28,45 
 
 23,10 23,10 
 
 
 15,35 15,35 
 
 
A 
 F + G + H 
 
 7,75 7,75 
 
 
 
 + + 
 
 
 
 
 
 
 0,63 0,63 
 
 B C D 
Figura 3.84 - Momentos fletores. 
 
d) Estudo do carregamento antimétrico 
 
 
 F G H 
 
 A E 
 
 
 4 kN/m 3 kN/m 4 kN/m 
 
 
 
 B C D 
 
 
Figura 3.85 - Quadro com carregamento antimétrico. 
 
 87
 
d1) Formação do sistema principal 
 
 
 
 F G H 
A E 
 
 
 
 
 
 h = 3 
 
 
 
 
 B C D 
 
 
Figura 3.86 – Sistema principal. 
 
 
d2) Resumo dos fatores de carga e de forma 
 
Fatores de carga 
 
 
 
 
 
 + 3 + 2,25 + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 - 3 - 2,25 - 3 
 
 
 
 
 
 88
 
 
Rotação φ1 = 1 
 
0,75 0,50 0,25 
 
 
 
 0,667 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação φ2 = 1 
 
 0,25 0,50 0,50 0,25 
 
 
 
 
 0,667 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,333 
 
 
 
 
 
 89