Uso de Interpolação de Lagrange para Estimar a População do Paraná

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Dezembro de 2002, UFRGS, Porto Alegre - RS
	
	
	
USO DE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE PARA ESTIMAR A POPULAÇÃO DO ESTADO DO PARANÁ
Bruna Pontes Cechinel1
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Medianeira – Brasil
bpcechinel@gmail.com;
Resumo
O objetivo deste artigo é utilizar o método matemático de Interpolação Numérica, especificamente o modelo da Base de Lagrange, para desenvolver uma equação que possa ser usada na estimativa da população do estado do Paraná em anos que não obtemos essa informação. A partir dos dados dos censos demográficos, que o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza e fornece, dos anos de 1970, 1980, 1991 e 2000 pôde-se desenvolver um polinômio de terceiro grau que, quando substituída a incógnita relacionada ao tempo (t), obtemos uma aproximação/estimativa da população paranaense entre os anos de 1970 a 2000.
Palavras-chave: população; lagrange; censo; demográfico.
Introdução
Há o conhecimento de que a população mundial tende a crescer muito a cada ano e há organizações e institutos que tentam prever e estimar o número de pessoas de uma cidade, um estado, um país e do mundo e, para que tenha uma melhor visualização dessa previsão, é usado a ajuda de artifícios e métodos matemáticos.
A cada dez anos o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza o censo demográfico que, segundo o próprio IBGE, consiste em o recolhimento de informações de uma população, que se torna uma referência do país, de um estado, de uma cidade, de uma vila... Os dados obtidos pelo IBGE vão além de simplesmente estimar o número da população brasileira, também traz o número de pessoas desempregados no país, analfabetas, crianças que estão fora das escolas, a escolaridade dos brasileiros, a renda média do país, isso tudo para que possa ajudar de alguma forma a melhorar o meio social de cada família do país.
Há vários meios de fazer a estimativa de uma população, entre métodos mais complexos à métodos mais usuais. Um dos métodos que se pode considerar usual e didático é o de Interpolação, que tem como objetivo, através de pontos de uma função , sendo ela conhecida ou não, encontrar uma função que se aproxime da primeira função e, assim, pode-se encontrar pontos que até então não se tinha informação.
2. Referencial teórico
A necessidade de efetuar a interpolação surge em situações como quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado ou quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis, até mesmo impossíveis, de serem realizadas, assim descrevem Marcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes.
Como outros métodos, o método de Interpolação possui várias vertentes, mas com o mesmo objetivo final. Para provar tal eficácia do uso da Interpolação, fez-se uso da Interpolação de Lagrange.
2.1. Método de Lagrange
Sejam pontos distintos e .
Seja o polinômio de grau ≤ n que interpola f em . Pode-se atribuir na forma , onde os polinômios são de grau n. Para cada i, procura-se que a condição seja satisfeita, logo:
	
	
	(1)
O meio mais simplista de satisfazer (1) é impor: e, para isso, define-se por:
	
	
	(2)
Logo, é um polinômio de grau n e, assim, é um polinômio de grau menor ou igual a n. Então, a forma de Lagrange para um polinômio interpolador é:
	
	
	(3)
2.2. Diferenças divididas
As diferenças divididas são denotas por , do qual há diferenças de ordem 0, como mostra (4), e de ordem superior, (5).
	
	
	(4)
	
	
	(5)
Dada uma função e conhecidos os valores para , pôde-se construir a tabela 1:
Tabela1 – Valores das diferenças divididas
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	. . .
	Ordem n
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	.
.
.
	.
.
.
	.
.
.
	.
.
.
	.
.
.
.
.
.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Fonte: Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, por Marcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia R. Lopes
As diferenças divididas são usadas em outros métodos de Interpolação, como o método de Newton, mas também podem ser utilizadas para calcular o erro de um polinômio interpolador quando não se tem conhecimento da função “original” .
2.3. Estimativa para o erro
Como o polinômio interpolador tem como uma de suas utilidades aproximar da , haverá um erro quando comparado pontos da função encontrada com pontos do original, pois não serão os mesmos. Com o cálculo do erro, consegue-se saber o quão próximo está de .
Existem dois meios de ser encontrado esse erro. O primeiro modo é quando é conhecida a , utiliza-se: para todo x no intervalo.
O segundo meio trata-se de uma estimativa, quando não possui conhecimento da , assim, não há a possibilidade de ser calculado . Nesse caso, é usado o maior valor em módulo, até ordem , das diferenças divididas para aproximar . Ficando assim:
	
	
	(6)
3. Materiais e métodos
O primeiro passo foi o recolhimento dos dados populacionais dos censos demográficos realizados no Paraná nos anos de 1970, 1980, 1991 e 2000, esses foram os anos "base" para que pudesse ser encontrado o polinômio de Lagrange. Foi tomado como ano “zero” a data de referência de 1/9/1970 e, a partir disso, feita a relação em anos para cada data referência dos outros três censos, como mostra a tabela 2.
Tabela 2 - População, segundo o IBGE, nos últimos quatro censos demográficos
	Ano do censo demográfico
	Data referência
	População observada
	Tempo (anos)
	1970
	1/9/1970
	6929868
	0
	1980
	1/9/1980
	7629392
	10
	1991
	1/9/1991
	8448713
	21
	2000
	1/8/2000
	9563458
	29,92
Fonte: Censos demográficos de 1970, 1980, 1991 e 2000.
Observe que o número da população em um determinado ano corresponde à um ponto , como mostrado abaixo:
Tabela 3 – Pontos de uma população P em função de um tempo t
	i
	ti
	f(ti)
	0
	0
	6929868
	1
	10
	7629392
	2
	21
	8448713
	3
	29,92
	9563458
Fonte: Aperfeiçoamento da tabela 1.
Esclarecido esses pontos, pôde-se encontrar um polinômio interpolador correspondente, como pode ser observado na equação (7).
	
	
	(7)
Em seguida, quando substituídos os valores de , foram encontrados valores para :
	
	
	(8)
	
	
	(9)
	
	
	(10)
	
	
	(11)
Encontrados os valores para , foram substituídos (8), (9), (10) e (11) e em (7), resultando no seguinte polinômio:
	
	
	(12)
A equação encontrada acima possibilita que seja aproximado o número da população paranaense entre os anos de 1970 a 2000. Quanto mais dados de outros censos forem recolhidos, maior o polinômio e, consequentemente, obter-se-ia uma estimativa melhor.
4. Resultados e discussões
Obtido o polinômio de Lagrange, equação (12), foi substituído valores para t de cinco em cinco anos a partir do ano zero, no qual resultou na tabela abaixo:
Tabela 4 – Previsão da população do Paraná segundo o polinômio de Lagrange
	Ano do censo demográfico
	Data referência
	População estimada
	Tempo (ano)
	1970
	1/9/1970
	6927663
	0
	1975
	1/9/1975
	7304535
	5
	1980
	1/9/1980
	7629392
	10
	1985
	1/9/1985
	7960620
	15
	1990
	1/9/1990
	8356607
	20
	1991
	1/9/1991
	8448713
	21
	1995
	1/9/1995
	8875738
	25
	2000
	1/8/2000
	9563458
	29,92
Fonte: Dados obtidos através dos cálculos obtidos no presente artigo.
Também foi feita uma tabela com resultado mais detalhado entre os anos de 1991 a 2000
Tabela 5 – Estimativa da população paranaense dos anos 1991 a 2000
	Ano do censo demográfico
	Data referência
	População estimada
	Tempo (ano)
	1991
	1/9/1991
	8448713
	21
	1992
	1/9/1992
	8546212
	22
	1993
	1/9/1993
	8649571
	23
	1994
	1/9/1994
	8759258
	24
	1995
	1/9/1995
	8875738
	25
	1996
	1/9/1996
	8999480
	26
	1997
	1/9/1997
	9130950
	271998
	1/9/1998
	9270916
	28
	1999
	1/9/1999
	9418944
	29
	2000
	1/8/2000
	9563458
	29,92
Fonte: Dados obtidos através dos cálculos obtidos no presente artigo.
Como dito anteriormente, o polinômio (12) apenas aproxima valores da desconhecida, havendo assim um erro que deve ser calculado e observado. Portanto, o primeiro passo para que fosse estimado o erro, foi calculada e criada a tabela de diferenças divididas até a ordem , ou seja, até ordem 4. Para foi pego os dados do censo demográfico no ano de 2010 e data referência de 31/7/2010, portanto .
Tabela 6 – Tabela de diferenças divididas dos censos demográficos entre 1970 a 2010
	t
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	Ordem 3
	Ordem 4
	0
	6929868
	
	
	
	
	
	
	69952,4
	
	
	
	10
	7629392
	
	215,77749
	
	
	
	
	74483,7273
	
	181,961127
	
	21
	8448713
	
	5660,054406
	
	-14,456944
	
	
	124971,4126
	
	-395,160084
	
	29,92
	9563458
	
	-6176,776564
	
	
	
	
	88106,8
	
	
	
	39,92
	10444526
	
	
	
	
Fonte: Tabela criada a partir dos dados obtidos neste artigo.
Obtido a maior diferença dividida, foi escolhida o ponto de modo que possa ser feita a estimativa do erro. Como , foi escolhido um terceiro ponto, . Depois que foram obtidos novos , foi calculado o erro.
	
	
	(13)
A estimativa para esse erro corresponde a do valor da população estimada para o ano de 1975, o que torna uma boa margem de erro quando se trata de população.
5. Conclusão
Estimar o número da população de um local é sempre uma tarefa difícil e não precisa, porém, porém, o método da Base de Lagrange para este caso se mostrou eficiente, pois quando comparado os valores dos anos de 1970, 1980, 1991 e 2000 com os resultados obtidos pelo polinômio interpolador, a sua diferença está na casa dos decimais. 
Com o cálculo da estimativa do erro percebemos que a diferença para mais ou para menos não é grande, já que os dados são apresentados na casa dos milhões. Porém como são obtidos dados concretos e oficiais apenas a cada dez anos torna a estimativa um pouco mais difícil e menos precisa, devido a esse longo período de intervalo.
Referencial bibliográfico
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006, 505p.
GIVISIEZ, G. H. N. Introdução à métodos de estimativas e interpolações populacionais. Introdução à demografia da educação. Associação Brasileira de Estudos Populacionais, Campinas, 2004, p. 45-70. Disponível em: < http://www.abep.org.br/publicacoes/index.php/livros/article/download/151/149>. Acessado em: 16 jun 2018.
Instituto Paranaense de Desenvolvimento Econômico e Social (Ipardes). Paraná – Diagnóstico Social e Econômico. Curitiba, 2003. Disponível em: < http://www.ipardes.gov.br/biblioteca/docs/diagnostico_relatorio.pdf>. Acessado em: 28 jun 2018.
Instituto Paranaense de Desenvolvimento Econômico e Social (Ipardes). População Censitária do Paraná por Município 1980 a 2010. Curitiba. Disponível em: < http://www.mineropar.pr.gov.br/arquivos/File/economia_mineral/Populacao_Censitaria_do_Parana_por_municipio_1980_a_2010.pdf>. Acessado em: 15 jun 2018.
LOPES, V. L. R.; RUGGIERO, M. A. G. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1997, 406p.
	
	
	
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