8HOMOTETIA 10052018003626

Prévia do material em texto

HOMOTETIA 
 
ARQ 102 –DESENHO GEOMÉTRICO 
HOMOTETIA 
O estudo da homotetia baseia-se no estudo das figuras semelhantes 
Lembrando ... 
São aquelas que possuem a mesma forma e obedecem a duas propriedades. 
x k = 
= K1 
= K1 
= K2 
HOMOTETIA 
As figuras homotéticas obedecem a quatro propriedades 
APLICAÇÕES 
Multiplicar um ponto P por k = 3/2, sendo dado H (centro de homotetia). 
H P 
APLICAÇÕES 
Multiplicar um ponto P por k = - 3/2, sendo dado H (centro de homotetia). 
H 
P 
APLICAÇÕES 
Multiplicar uma reta r por k = 2/3, sendo dado H (centro de homotetia). 
H 
r Processo: 
1. Escolher dois pontos A 
e B, quaisquer, da reta 
r. 
2. Multiplicar cada um 
desses pontos por k = 
2/3, obtendo A’ e B’, 
respectivamente. 
3. Unir os pontos A’ e B’, 
resultando na reta r’. 
APLICAÇÕES 
Multiplicar uma reta r por k = - 2/3, sendo dado H (centro de homotetia). 
r 
H 
APLICAÇÕES 
Multiplicar uma figura qualquer por k = m/n, sendo m e n ambos números ou ambos segmentos. 
K = + 3/2 
H 
D 
C 
A 
B 
Roteiro prático: 
1. Identificar primeiramente se a homotetia é direta 
ou inversa. Se K>0 => Homotetia direta, se K<0 => 
homotetia inversa; 
2. Escolher uma posição qualquer para ser o centro 
de homotetia; 
3. Traçar os raios vetores HA, HB, HC, HD; 
4. Para cada ponto utilizar a expressão HA’/HA = 3/2 
5. Dividir HA, HB, HC e HD em duas partes iguais 
6. Marcar a partir de H três partes, obtendo A’, B’, C’ 
e D’. 
 
 
APLICAÇÕES 
A resolução do problema anterior pode ser simplificado utilizando os dois procedimentos 
abaixo. 
a) Tomar Hd coincidente com um dos vértices do polígono; 
b) Multiplicar apenas um raio vetor e, em seguida, pelo ponto encontrado, traçar paralelas 
aos lados do polígono dado. 
D 
C 
B 
Hd = A= A’ 
D’ 
C’ 
B’ 
CC’ = AC/2 
HdC’/HdC = 3/2 
APLICAÇÕES 
Quando m e n são dois segmentos, temos que fazer uso da quarta proporcional para resolver 
o problema. 
m 
n 
K = + m/n 
B 
C 
D 
Hd = A 
HdC’/HdC = K = m/n 
m 
n HdC 
HdC’ 
APLICAÇÕES 
Multiplicar uma figura qualquer dada, de modo que um de seus segmentos resulte num 
tamanho dado. 
Exemplo: 
Multiplicar um retângulo dado de modo que a sua diagonal seja igual a d. 
d 
D = Hd = D’ C 
B A 
B’ 
C’ 
A’ 
APLICAÇÕES 
2. Multiplicar um quadrilátero por k = - 4/3. 
D 
C 
B 
Hi = A 
HiC’/HiC = - 4/3 
APLICAÇÕES 
Dada uma circunferência de raio = 3,0 cm, multiplicá-la por k = 4/3 
APLICAÇÕES 
Dada uma semicircunferência de raio = 4,0 cm, multiplicá-la por k = - 2/3 
H = CENTRO DE HOMOTETIA 
As duas linhas podem ser: 
Duas retas 
Uma reta e uma circunferência 
Duas circunferências 
Roteiro prático: 
1. Escolher um ponto X qualquer na reta b 
(vermelha) e multiplicá-lo por K = 5/2  PX’/PX = 
K = 5/2; ao multiplicar, obtém-se o ponto X’. 
2. Traçar uma reta paralela à reta b passando por X’, 
que é a reta b’. 
3. Onde b’ interceptar a reta a (azul), obtém-se o 
ponto A; 
4. Unir os pontos A e P através da reta s (amarela). 
5. Quando esta reta s interceptar a reta b 
(vermelha), obtém-se o ponto B, de forma que 
PA/PB = 5/2 = k. 
X’ 
Hd = 
Podemos resolver o problema de outra forma: 
 
1. Escolher um ponto Q sobre a reta a e multiplicá-lo por 1/k, obtendo Q’. 
2. Traçar paralela à reta a passando por Q’, obtendo a reta a’. 
3. Onde a’ interceptar a reta b obtém-se o ponto B. 
4. Traçar HB e prolongar até determinar o ponto A sobre a reta a, de modo que HB/HA = 
1/k ou HA/HB = k. 
 
 Resolver o exercício anterior para k = 2 
Hd = 
Roteiro prático: 
1. Escolher um ponto Y 
qualquer da reta a 
(vermelha). 
2. Multiplicar Y por k = ½  
OY’/OY = ½ = k 
3. Traçar uma reta paralela à 
reta a passando pelo ponto 
Y’, que é a reta a’. 
4. Quando a’ interceptar a 
circunferência, obtém-se o 
ponto A. 
5. Unindo-se O a A e 
prolongando-se, obtém-se o 
ponto B na reta a, de forma 
que AO/OB = 1/2. 
Y’ 
K = 2 
 
Raio = 3cm 
Oa = 4 cm 
1/2 
g1 
g2 
g3 
Roteiro prático: 
1. Resolver pela homotetia inversa (Hi) 
2. Multiplicar a circunferência por 
k = - 3/4 
3. Multiplicar O2 por k = - 3/4, obtendo 
O’2 
4. Com centro em O’2, e raio O’2Hi, 
traçar a circunferência 
5. Quando essa circunferência 
interceptar , determina-se sobre 
ela uma corda CA que é igual a 3/4 
da corda AD de . 
g2 
g3 
g3 
g1 
g2 
i 
CA/AD = 3/4