L1-2019-1

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
1a Lista de Exercícios de Cálculo I
Questão 1. Estude o sinal da expressão:
(a) 3− x;
(b)
2− x
x− 5
(c) x(x2 + 3);
(d) x3 − 2x2 + x;
(e) (x− 1)(1 + x)(1− 2x);
(f)
x− 3
x− 2 ;
(g) (2x− 1)(x2 − 1)
(h)
(x− 1)(x+ 1)
3− 2x
(i) ax + b, a, b ∈ R, com
a > 0
(j) ax+ b, a < 0 e a, b ∈ R.
Questão 2. Resova as inequações abaixo:
(a) 3x+ 6 < x+ 3;
(b) 2x+ 1 ≥ 3x;
(c)
x− 2
3x+ 1
< 0;
(d) (2x− 3)(x+ 1) > 0;
(e)
x− 3
x2 + 1
> 0;
(f) x2 + 5 ≤ 0;
(g)
x− 1
2− x < 1;
(h)
x2 − 9
x+ 1
> 2;
(i) (2x− 1)(x2 − 4) < 0;
(j)
x2 − 3
x2 + 3
≥ 0;
(k) x2 > 1;
(l) 4x2 − 4x+ 1 < 0
Questão 3. Verifique as identidades:
(a) (x2 − a2) = (x− a)(x+ a);
(b) (x3 − a3) = (x− a)(x2 + ax+ a2);
(c) (xn − an) = (x − a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + · · · +
an−2x+ an−1), onde n 6= 0 é um número natural.
Questão 4. Simplifique as expressões:
(a)
x2 − 1
x− 1 ;
(b)
x3 − 8
x2 − 4 ;
(c)
4x2 − 9
2x+ 3
;
(d)
1
x − 1
x− 1 ;
(e)
x4 − 1
x− 1 ;
(f)
1
x2 − 19
x− 3 ;
(g)
(x+ h)2 − x2
h
;
(h)
(x+ h)3 − x3
h
;
(i)
1
x+h − 1x
h
.
Questão 5. Resolva as equações:
(a) |2x+ 3| = 0;
(b)
∣∣x2 − 3x− 1∣∣ = 3;
(c) |x| = 4x+ 2;
(d) |3x+ 2| = |x+ 1|;
(e) |3x− 2| = 3x− 2;
(f) |4− 3x| = 3x− 4.
Questão 6. Resolver as inequações modulares
abaixo:
(a) |3x− 1| < −2;
(b) |3x− 1| < 1
3
;
(c) |2x− 1| < x;
(d) |3x− 2|+ 2x− 3 ≤ 0;
(e)
∣∣x2 − 4∣∣ < 3x;
(f) |4x− 7| ≥ −1;
(g)
∣∣∣∣2x− 14− x
∣∣∣∣ > 2;
(h) ||x| − 2| > 1;
(i) |x+ 2|+ |2x− 3| < 10.
Questão 7.
a) Seja P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é,
a0 6= 0, a1, a2, . . . , an são números inteiros. Seja α um
número inteiro. Prove que se α for uma raiz de P (x), en-
tão α será um divisor do termo independente a0.
b) Seja P (x) um polinômio de grau n. Prove que α é
uma raiz de P (x) se, e somente se, P (x) é divisível por
x− α.
Questão 8. Caso Existam, determine as raízes in-
teiras da equação:
(a) x3 + 2x2 + x− 4 = 0;
(b) 2x3 − x2 − 1 = 0;
(c) x4 − 3x3 + x2 + 3x = 2;
(d) x3 + x2 + x− 14 = 0.
Questão 9. Seja P (x) um polinômio de grau n.
Prove que α é raiz de P (x) ⇔ P (x) é divisível por x− α.
(Sugestão: Divida P (x) por x− α.)
Questão 10. Fatore o polinômio dado:
(a) x2 − 3x+ 2;
(b) x2 − 25;
(c) x2 − x− 2;
(d) x2 − 6x+ 9;
(e) x3 + 2x2 − x− 2;
(f) x4 − 3x3 + 3x− 2;
(g) x3 − 1
(h) x3 + 6x2 + 11x+ 6.
Referências:
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. V. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. V. 1. São Paulo: Cengage, 2006.
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