Lista 4 - P2- Regra da Cadeia Sec 3 4

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1–6 Escreva a função composta na forma . [Identifique a fun-
ção de dentro e a de fora .] Então, encontre a deri-
vada .
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7–46 Encontre a derivada da função.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
18.
19.
20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38. y 5 ek tg 3x
–
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47–50 Encontre e .
47. 48.
49. 50.
51–54 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
51. , 52. , 
53. , 54. , 
55. (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto .
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na
mesma tela.
56. (a) A curva é chamada curva ponta de bala.
Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto
.
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na
mesma tela.
57. (a) Se , encontre .
(b) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparando
os gráficos de e .
58. A função , , aparece em apli-
cações à síntese de modulação de frequência (FM).
(a) Use um gráfico de f, feito por uma calculadora gráfica, para
fazer um esboço rústico do gráfico de .
(b) Calcule e use essa expressão, com uma ferramenta grá-
fica, para fazer o gráfico de . Compare com o gráfico obtido
no item (a).
59. Encontre todos os pontos do gráfico da função
nos quais a reta tangente é horizontal.
60. Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva
nos quais a reta tangente é horizontal.
61. Se , onde , , ,
e , encontre .ts5d ­ 22 t9s5d ­ 6 F9s5d
Fsxd ­ f stsxdd f s22d ­ 8 f 9s22d ­ 4 f 9s5d ­ 3
y ­ sen 2x 2 2 sen x
f sxd ­ 2 sen x 1 sen2x
f 9
f 9sxd
f 9
f sxd ­ sensx 1 sen 2xd 0 ø x ø p
f f 9
f sxd ­ xs2 2 x 2 f 9sxd
s1, 1d
y ­ | x |ys2 2 x 2
s0, 1d
y ­ 2ys1 1 e2x d
y ­ senssen xd sp, 0d y ­ sen x 1 sen2x s0, 0d
y ­ s1 1 2xd10 s0, 1d y ­ s1 1 x 3 s2, 3d
y ­ e ax sen bx y ­ e e
x
y ­ cossx 2d y ­ cos2x
y9 y 0
y ­ cosssenstgpxd y ­ fx 1 sx 1 sen2xd3g 4
tsxd ­ s2ra rx 1 ndp y ­ 23x
2
f std ­ sen2sesen2 t d y ­ sx 1 sx 1 sx
f std ­ tgse t d 1 e tg t y ­ senssenssen xdd
y ­ cot2ssen ud
y ­ cosS1 2 e2x1 1 e2xD y ­ s1 1 xe22x
y ­ 2senpx y ­ x 2e21yx
y ­ senstg 2xd y ­ sec2smud
Fstd ­ e t sen 2t Fsvd ­ S v
v
3
1 1D
6
y ­
r
sr 2 1 1
y ­
e u 2 e2u
e u 1 e2u
y ­ 521yx Gsyd ­ sy 2 1d
4
sy2 1 2yd5
y ­ s1 1 2e3x y ­ 1012x
2
y ­ S x 2 1 1
x 2 2 1D
3
f ssd ­ Î s2 1 1
s2 1 4
Fstd ­ s3t 2 1d4s2t 1 1d23
hstd ­ st 1 1d2y3s2t 2 2 1d3
tsxd ­ sx 2 1 1d3sx 2 1 2d6
f sxd ­ s2x 2 3d4sx 2 1 x 1 1d5
y ­ xe2kx y ­ e22 t cos 4t
y ­ cossa3 1 x 3d y ­ a3 1 cos3x
tstd ­
1
st 4 1 1d3
f std ­ s3 1 1 tg t
Fsxd ­ s4 1 1 2x 1 x 3 f sxd ­ s1 1 x 4d2y3
Fsxd ­ sx 4 1 3x 2 2 2d5 Fsxd ­ s4x 2 x 2d100
y ­ esx y ­ s2 2 e x
y ­ s1 2 x 2 d10 y ­ tgssen xd
y ­ sen 4x y ­ s4 1 3x
dyydx
u ­ tsxd y ­ f sud
f stsxdd
3.4 Exercícios
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador Requer sistema de computação algébrica
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
;
;
;
REGRAS DE DERIVAÇÃO 185
logo,
Quando , a Equação 8 mostra que . Assim, e quando 
Portanto
Isso demonstra a Regra da Cadeia.
­ f 9sbd t9sad ­ f 9stsadd t9sad
dy
dx
­ lim
Dxl0
Dy
Dx
­ lim
Dxl0
f f 9sbd 1 «2 gft9sad 1 «1g
Dxl 0 Dul 0 «1 l 0 «2 l 0 Dxl 0.
Dy
Dx
­ f f 9sbd 1 «2 gft9sad 1 «1g
Lista 4 - P2- Regra da Cadeia
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
SO_RR7
Realce
x
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
t9sxdf 9sxdtsxdf sxd
;
;
186 CÁLCULO
62. Se , onde e , encontre
.
63. Uma tabela de valores para , , e é fornecida.
(a) Se , encontre .
(b) Se , encontre .
64. Sejam f e t as funções no Exercício 63.
(a) Se , encontre .
(b) Se , encontre .
65. Se f e t forem as funções cujos gráficos são mostrados, sejam
, , e . Encontre cada
derivada, se ela existir. Se não existir, explique por quê.
(a) (b) (c)
66. Se f for a função cujo gráfico é mostrado, sejam
e . Use o gráfico de f para estimar o valor de cada
uma das derivadas.
(a) (b)
67. Se , onde o gráfico de f é mostrado, avalie .
68. Suponha que f seja uma derivável em e , um número real. Se-
jam e . Encontre expressões para
(a) e (b) .
69. Suponha que f seja derivável em . Sejam e
. Encontre expressões para (a) e (b) .
70. Sejam e , onde ,
e .
(a) Encontre e em termos de c.
(b) Em termos de k, encontre uma equação da reta tangente para
o gráfico de h no ponto onde .
71. Seja , onde , , ,
e . Encontre .
72. Se t for duas vezes derivável e , encontre em ter-
mos de , e .
73. Se , onde e , encontre
.
74. Se , onde , , ,
e , encontre .
75. Mostre que a função satisfaz a
equação diferencial .
76. Para quais valores de r a função satisfaz a equação dife-
rencial ?
77. Encontre a 50ª derivada de .
78. Encontre a 1000ª derivada de .
79. O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado
pela equação onde s é medido em cen-
tímetros e t, em segundos. Encontre a velocidade da partícula após
t segundos.
80. Se a equação de movimento de uma partícula for dada por
, dizemos que a partícula está em movimento
harmônico simples.
(a) Encontre a velocidade da partícula no tempo t. 
(b) Quando a velocidade é zero?
81. Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais vi-
sível dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de
tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio
dessa estrela é de 4,0, com uma variação de . Em vista des-
ses dados, o brilho de Delta Cefeu no tempo t, onde t é medido
em dias, foi modelada pela função
(a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias.
(b) Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de
crescimento após 1 dia.
82. No Exemplo 4 da Seção 1.3 chegamos a um modelo para a du-
ração da luz do dia (em horas) em Ancara, Turquia, no t-ésimo dia
do ano:
Use esse modelo para comparar como o número de horas de luz
do dia aumenta em Ancara em 21 de março e em 21 de maio.
83. O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma
força de amortecimento (tal como o amortecedor em um carro) é
frequentemente modelado pelo produto de uma função exponen-
cial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de
movimento de um ponto nessa mola seja
onde s é medido em centímetros e t, em segundos. Encontre a ve-
locidade após t segundos e faça o gráfico das funções posição e
velocidade para .
84. Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a
equação
pstd ­
1
1 1 ae 2k t
0 ø t ø 2
sstd ­ 2e21,5 t sen 2pt
Lstd ­ 12 1 2,8 senF 2p365 st 2 80dG
Bstd ­ 4,0 1 0,35 senS 2p t5,4 D
60,35
s ­ A cossvt 1 dd
sstd ­ 10 1 14 sens10p td
f sxd ­ xe2x
y ­ cos 2x
y0 2 4y9 1 y ­ 0
y ­ erx
y0 2 4y9 1 13y ­ 0
y ­ e 2xsA cos 3x 1 B sen 3xd
f 9s2d ­ 5 f 9s3d ­ 6 F9s1d
Fsxd ­ f sx f sx f sxddd f s1d ­ 2 f s2d ­ 3 f 9s1d ­ 4
F9s0d
Fsxd ­ f s3f s4 f sxddd f s0d ­ 0 f 9s0d ­ 2
t t9 t 0
f sxd ­ xtsx 2 d f 0
t9s2d ­ 5 f 9s3d ­ 6 r9s1d
rsxd ­ f stshsxddd hs1d ­ 2 ts2d ­ 3 h9s1d ­ 4
x ­ 0
t9s0d t0s0d
f 9s0d ­ 5 f 0s0d ­ 22
tsxd ­ e cx 1 f sxd hsxd ­ e kx f sxd f s0d ­ 3
Gsxd ­ e f sxd F9sxd G9sxd
R Fsxd ­ f se x d
F9sxd G9sxd
Fsxd ­ f sx a d Gsxd ­ f f sxdga
R a
x
y
0
1
1
f
tsxd ­ sf sxd t9s3d
x
y
0 1
y=ƒ
1
h9s2d t9s2d
tsxd ­ f sx 2 d
hsxd ­ f s f sxdd
x
y
0
f
g
1
1
u9s1d v9s1d w9s1d
usxd ­ f stsxdd vsxd ­ ts f sxdd wsxd ­ tstsxdd
Gsxd ­ tstsxdd G9s3d
Fsxd ­ f s f sxdd F9s2d
Hsxd ­ ts f sxdd H9s1d
hsxd ­ f stsxdd h9s1d
f t f 9 t9
h9s1d
hsxd ­ s4 1 3f sxd f s1d ­ 7f 9s1d ­ 4
SO_RR7
Realce