PROVA 2(3 SOLUÇÕES) - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA(EAD) 2019/1

Prévia do material em texto

R University
Statistics Exam 2019-05-27 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) X (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) (e) X
3. (a) (b) X (c) (d) (e)
4. (a) (b) (c) X (d) (e)
5. (a) (b) X (c) (d) (e)
6. (a) (b) (c) (d) X (e)
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) (d) (e) X
9. (a) (b) (c) (d) X (e)
10. (a) (b) (c) (d) X (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Uma urna conte´m 5 bolas de dimenso˜es ideˆnticas numeradas 0 , 1 , 2 , 3 e 4. Uma bola e´
sorteada ao acaso da urna. Seja X o nu´mero da bola escolhida. A variaˆncia de X e´ igual a:
(a) 2.5
(b) 1.5
(c) 2
(d) 1
(e) 3
Solution
V (X) = E(X2)− E(X)2
E(X) = 0 · ( 15)+ 1 · ( 15)+ 2 · ( 15)+ 3 · ( 15)+ 4 · ( 15)
E(X) = 15 +
2
5 +
3
5 +
4
5
E(X) = 0, 2 + 0, 4 + 0, 6 + 0, 8 = 2
E(X2) = 02 · ( 15)+ 12 · ( 15)+ 22 · ( 15)+ 32 · ( 15)+ 42 · ( 15)
E(X2) = 15 +
4
5 +
9
5 +
16
5
E(X2) = 0, 2 + 0, 8 + 1, 8 + 3, 2 = 6
V (X) = E(X2)− E(X)2 = 6− 22 = 2
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo
Poisson com taxa me´dia de 2 clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de
3 minutos, no ma´ximo dois clientes se dirijam ao caixa e´ dada por:
(a) 24e−2
(b) 18e−2
(c) 7e−3
(d) 18e−6
(e) 25e−6
Solution
Em um processo de Poisson, temos que o nu´mero de ocorreˆncias de um certo evento X
ATE´ um certo tempo t (Nt) tem distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia t*me´dia do nu´mero de
ocorreˆncias NO instante t (λ). Ou ainda, Nt ∼ Poisson(λt) (lembre-se de que o paraˆmetro
da Poisson e´ igual a sua me´dia).
No exerc´ıcio, temos que a taxa me´dia de clientes por minuto, λ, e´ 2, e o enunciado pergunta
qual e´ a P (N3 ≤ 2), porque e´ em um intervalo de 3 minutos. Neste caso, N3 ∼ Poisson(2∗3)
Dessa forma, as contas ficam
P (N3 ≤ 2)
= P (N3 = 0) + P (N3 = 1) + P (N3 = 2)
Statistics Exam: 00001 3
=
e−6 ∗ 60
0!
+
e−6 ∗ 61
1!
+
e−6 ∗ 62
2!
=
e−6 ∗ 1
1
+
e−6 ∗ 6
1
+
e−6 ∗ 36
2
= e−6 + 6e−6 + 18e−6
= 25e−6
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
3. Problem
Uma varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
kx, se − 1 < x < 0
x2, se 0 ≤ x < 1
onde k e´ uma constante. A probabilidade de que X seja menor do que -0,5 e´
(a) 0, 37
(b) 0, 5
(c) 0, 66
(d) 0, 25
(e) 0, 4
Solution
A probabilidade de que X seja menor do que -0,5 pode ser escrita como P (X < −0, 5), mas
note que f(x) na˜o esta´ definida para valores menores do que -1. Portanto, P (X < −0, 5) =
P (−1 < X < −0, 5)
Para calcular P (a < x < b) sendo X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o densidade
de probabilidade igual a f(x), precisamos calcular a a´rea abaixo da curva f(x) entre os pontos
a e b, ou ainda, calcular∫ b
a
f(x)dx
Neste caso, vamos calcular∫ −0,5
−1
kxdx
= k
∫ −0,5
−1
xdx
= k
[
x2
2
]−0,5
−1
= k
[
(−0, 5)2
2
− (−1)
2
2
]
= k
[
0, 25
2
− 1
2
]
= k
[
−0, 75
2
]
Statistics Exam: 00001 4
= − 3k
4 ∗ 2
= −3k
8
Agora, precisamos descobrir o valor de k para prosseguir com as contas. Usaremos uma das
propriedades da func¸a˜o densidade de probabilidade que e´ o fato de ela integrar um dentro
de seu domı´nio, ou ainda∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
Neste caso podemos integrar entre -1 e 1, porque fora deste intervalo a func¸a˜o vale 0, assim
como sua integral. Enta˜o para descobrirmos k, temos∫ 1
−1
f(x)dx = 1∫ 0
−1
kxdx +
∫ 1
0
x2dx = 1 aqui podemos separar a func¸a˜o em 2 partes, conforme o intervalo
de X (tente desenhar a func¸a˜o f(x) no papel, a ideia ficara´ mais clara).
k
[
x2
2
]0
−1
+
[
x3
3
]1
0
= 1
k
[
02
2
− (−1)
2
2
]
+
[
13
3
+
03
3
]
= 1
k
[
−1
2
]
+
1
3
= 1
−k
2
=
2
3
k = −4
3
Substituindo o valor de k
P (X < −0, 5) = − 3k8 = − 38 ∗ − 43 = 12 = 0, 5
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Suponha que uma pesquisa tenha mostrado que o consumo mensal de a´gua, em litros, pelas
famı´lias residentes em Pelotas segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 420 e desvio padra˜o
80. Se selecionarmos ao acaso uma famı´lia residente em Pelotas, pode-se dizer que a proba-
bilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´ um nu´mero:
(a) entre 0,05 e 0,10
(b) entre 0,975 e 1,00
(c) entre 0,025 e 0,05
(d) entre 0,95 e 1,00
(e) menor que 0,025
Statistics Exam: 00001 5
Solution
µ = 420L e σ = 80L
A probabilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´:
P (X < 280) = P (Z < −1, 75) = φ(−1, 75) = 0, 0401
Z = X−µσ =
280−420
80 = − 14080 = −1, 75
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
Um grupo de 800 soldados apresenta peso normalmente distribu´ıdo com me´dia igual a 70 kg e
desvio padra˜o igual a 5 kg. Um destacamento especial foi formado com soldados que tinham
peso entre 75 e 80 kg. Considerando-se as propriedades do desvio padra˜o para distribuic¸o˜es
normais, o destacamento especial foi formado por aproximadamente:
(a) 273 soldados
(b) 109 soldados
(c) 216 soldados
(d) 382 soldados
(e) 126 soldados
Solution
n = 800 soldados e µ = 420L e σ = 80L
Z = X−µσ =
75−70
5 =
5
5 = 1
Z = X−µσ =
80−70
5 =
10
5 = 2
P (1 =< Z =< 2) = φ(2)− φ(1)
P (1 =< Z =< 2) = 0, 9772− 0, 8413
P (1 =< Z =< 2) = 0, 1359
nro de soldados = 0, 1359 · 800 = 108, 72
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
Uma certa caracter´ıstica populacional e´ descrita por uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ e
variaˆncia 16. Se observarmos uma amostra aleato´ria simples de tamanho 900, a probabilidade
de que a me´dia amostral na˜o se afaste de µ por mais de 0,3 unidades e´ de, aproximadamente:
(a) 66%
Statistics Exam: 00001 6
(b) 67%
(c) 84%
(d) 98%
(e) 64%
Solution
Na˜o foi dito qual e´ a distribuic¸a˜o populacional, cuja me´dia e´ um valor µ desconhecido e
variaˆncia 16, mas podemos usar o teorema central do limite para conhecer a distribuic¸a˜o da
me´dia amostral.
O teorema central do limite diz que, para um tamanho de amostra grande o suficiente
(valor subjetivo), a me´dia amostral converge para uma distribuic¸a˜o normal, independente
da distribuic¸a˜o populacional. Como 900 pode ser considerado um tamanho de amostra
grande, enta˜o X ∼ N
(
µ,
16
900
)
.
A probabilidade de que a me´dia amostral na˜o se afaste de µ por mais de 0,3 unidades pode
ser calculada como
P (|X − µ| < 0, 3)
= P (−0, 3 < X − µ < 0, 3)
= P
− 0, 3√
16
900
<
X − µ√
16
900
<
0, 3√
16
900

= P
(
−0, 34
30
< Z <
0, 3
4
30
)
= P
(
−9
4
< Z <
9
4
)
= P (Z < 2, 25)− P (Z < −2, 25)
= 0, 9878− 0, 0122
= 0, 9755
Arredondando em duas casas decimais, temos que P (|X − µ| < 0, 3) = 98%
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
7. Problem
Uma ma´quina de empacotar leite em po´, o faz segundo uma Normal com me´dia P e desvio
padra˜o 10 g. O peso me´dio P deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham
menos do que 1000 g. Com a ma´quina assim regulada, a probabilidade de que o peso total
de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4040 g e´
(a) 0, 115
(b) 0, 18
(c) 0, 165
(d) 0, 195
(e) 0, 385
Statistics Exam: 00001 7
Solution
Vamos considerar X como uma varia´vel aleato´ria que representa o peso dos pacotes preenchi-
dos pela ma´quina. Assim, X ∼ N(p, 102). Vamos primeiramente descobrir o peso descon-
hecido p.
Utilizandoa fo´rmula da normal padra˜o:
Z =
X − µ
σ
O valor de Z precisa ser tal que acumule 0,055 de probabilidade. Olhando na tabela da
normal padra˜o, encontramos que esse valor e´ -1,6. Enta˜o
−1, 6 = 1000− p
10
−1, 6 ∗ 10 = 1000− p
−16− 1000 = −p
p = 1016
Agora sabemos que X ∼ N(1016, 102)
Tendo conhecimento de que, se X1, X2, ..., Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes com dis-
tribuic¸a˜o normal com me´dia µ1, µ2, ..., µn e variaˆncia σ
2
1 , σ
2
2 , , ..., σ
2
n, respectivamente, enta˜o
n∑
i=1
Xi ∼ N
(
n∑
i=1
µi,
n∑
i=1
σ2i
)
. Ou ainda, soma de varia´veis aleato´rias normais tem me´dia igual
a soma das me´dias individuais e variaˆncia igual a soma das variaˆncias individuais. Neste
caso, enta˜o, temos
n∑
i=4
Xi ∼ N(4 ∗ 1016, 4 ∗ 100)
n∑
i=4
Xi ∼ N(4064, 202)
A probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4040 g
pode ser calculada usando, novamente, a normal padra˜o
Z =
4040− 4064
20
Z = −24
20
Z = −1, 2
Olhando na tabela da normal padra˜o, temos que o valor acumulado ate´ 1,2 e´ 0,115, aproxi-
madamente.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Em uma pesquisa pre´via eleitoral treˆs candidatos conseguiram os seguintes percentuais de
intenc¸a˜o de voto, para uma amostra de 400 eleitores:
[]@lc@ Candidato %A 40B 35C 25Total 100
Utilizando-se intervalos de confianc¸a de 95% de probabilidade pode-se afirmar que:
(a) os resultados apontam um empate te´cnico entre os candidatos A e B para o primeiro
lugar, e tambe´m empate te´cnico entre os candidatos B e C para o segundo lugar.
Statistics Exam: 00001 8
(b) nenhuma das alternativas anteriores.
(c) o candidato A seria o primeiro colocado, mas haveria uma indefinic¸a˜o entre os can-
didatos B e C para o segundo lugar.
(d) o candidato A seria o vencedor se a eleic¸a˜o fosse realizada no per´ıodo da pesquisa.
(e) para o primeiro lugar existe empate te´cnico entre os candidatos A e B.
Solution
Candidato A: P = 0, 4 e α = 0, 05
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,4·(0,6)
400
� = 1, 96 ·
√
0,24
400
� = 2, 0046 · √0, 0006
� = 2, 0046 · 0, 024494897
� = 0, 048009998
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 4− 0, 048009998; 0, 4 + 0, 048009998]
Candidato B: P = 0, 35 e α = 0, 05
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,35·(0,65)
400
� = 1, 96 ·
√
0,2275
400
� = 1, 96 · √0, 00056875
� = 1, 96 · 0, 02384848
� = 0, 04674302
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 35− 0, 04674302; 0, 35 + 0, 04674302]
Candidato c: P = 0, 25 e α = 0, 05
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,25·(0,75)
400
� = 1, 96 ·
√
0,1875
400
� = 1, 96 · √0, 00046875
� = 1, 96 · 0, 021650635
� = 0, 042435244
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 25− 0, 042435244; 0, 25 + 0, 042435244]
Ocorre empate te´cnico entre os candidatos A e B porque seus intervalos coincidem.
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 9
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
9. Problem
A espessura me´dia de um produto e´ de 0,685 polegadas e o desvio padra˜o de 0,006 polegadas,
segundo uma distribuic¸a˜o normal. Uma das ma´quinas responsa´vel por este produto foi para
inspec¸a˜o do controle de qualidade. Dez amostras coletadas teriam que estar com a medida
entre os limites de confianc¸a com grau de 99,73%. Qual sera´ este intervalo?
(a) [0,685 ; 0,700]
(b) [0,666 ; 0,690]
(c) [0,650 ; 0,686]
(d) [0,679 ; 0,690]
(e) [0,685 ; 0,695]
Solution
n = 10, µ = 0, 685, σ = 0, 006 e α = 0, 0027
� = ztab · σ√n
� = 3, 0233 · 0,006√
10
� = 3, 0233 · 0, 001897366596
� = 0, 00573630843
I.C. = [X¯ − �; X¯ + �]
I.C. = [0, 685− 0, 00573630843; 0, 685 + 0, 00573630843]
I.C. = [0, 679; 0, 690]
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
10. Problem
Com o objetivo de avaliar a prefereˆncia do eleitor a`s ve´speras de uma eleic¸a˜o para prefeito
num munic´ıpio serrano do Rio Grande do Sul, planeja-se um levantamento por amostragem.
Considere que seja admiss´ıvel um erro de ate´ 4%, com 95% de confianc¸a, para as estimativas
percentuais dos va´rios candidatos. Com base nessas informac¸o˜es, assinale a alternativa
correta quanto ao nu´mero de eleitores que devem ser pesquisados.
(a) 1000
(b) 100
(c) 2000
(d) 600
(e) 750
Statistics Exam: 00001 10
Solution
O exerc´ıcio nos forneceu o n´ıvel de confianc¸a = 0,95 e o erro = 0,04. O objetivo da questa˜o
e´ usar essas informac¸o˜es para calcular o tamanho de amostra. Perceba que este e´ o caso em
que a proporc¸a˜o e´ desconhecida, enta˜o a fo´rmula que antes era
n =
Z2α/2p(1− p)
e2
Agora sera´
n =
(
Zα/2
e
)2
∗ 0, 25
usamos 0,25 no lugar de p(1-p), porque este e´ o maior valor poss´ıvel de p(1-p), trabalhamos
com o pior caso ja´ que na˜o sabemos o valor de p(1-p).
As contas seguem como
n =
(
1, 96
0, 04
)2
∗ 0, 25
n = (49)2 ∗ 0, 25
n = 2401 ∗ 0, 25
n = 600, 25
Arredondando para o nu´mero mais pro´ximo, temos n = 600.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-05-27 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) X (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) X (e)
3. (a) (b) (c) X (d) (e)
4. (a) (b) (c) (d) X (e)
5. (a) (b) X (c) (d) (e)
6. (a) (b) (c) X (d) (e)
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) X (d) (e)
9. (a) (b) (c) X (d) (e)
10. (a) X (b) (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Um jogador lanc¸a para o ar duas moedas honestas. Ganhara´ R$1, 00 se ocorrer uma cara
e R$2, 00 se ocorrer duas caras. Por outro lado, perdera´ R$5, 00 se na˜o ocorrer cara. O
jogador deve esperar:
(a) ganhar 25 centavos
(b) perder 75 centavos
(c) perder 25 centavos
(d) ganhar 50 centavos
(e) perder 50 centavos
Solution
Deve-se calcular a esperanc¸a de X:
E(X) = 2 · ( 14)+ 1 · ( 12)− 5 · ( 14)
E(X) =
(
1
2
)
+
(
1
2
)− ( 54)
E(X) = − 14 = −0, 25
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo
Poisson com taxa me´dia de 2 clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de
3 minutos, no ma´ximo dois clientes se dirijam ao caixa e´ dada por:
(a) 18e−2
(b) 24e−2
(c) 18e−6
(d) 25e−6
(e) 7e−3
Solution
Em um processo de Poisson, temos que o nu´mero de ocorreˆncias de um certo evento X
ATE´ um certo tempo t (Nt) tem distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia t*me´dia do nu´mero de
ocorreˆncias NO instante t (λ). Ou ainda, Nt ∼ Poisson(λt) (lembre-se de que o paraˆmetro
da Poisson e´ igual a sua me´dia).
No exerc´ıcio, temos que a taxa me´dia de clientes por minuto, λ, e´ 2, e o enunciado pergunta
qual e´ a P (N3 ≤ 2), porque e´ em um intervalo de 3 minutos. Neste caso, N3 ∼ Poisson(2∗3)
Dessa forma, as contas ficam
P (N3 ≤ 2)
= P (N3 = 0) + P (N3 = 1) + P (N3 = 2)
=
e−6 ∗ 60
0!
+
e−6 ∗ 61
1!
+
e−6 ∗ 62
2!
=
e−6 ∗ 1
1
+
e−6 ∗ 6
1
+
e−6 ∗ 36
2
= e−6 + 6e−6 + 18e−6
= 25e−6
Statistics Exam: 00001 3
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
3. Problem
Uma varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
kx, se − 1 < x < 0
x2, se 0 ≤ x < 1
onde k e´ uma constante. A probabilidade de que X seja menor do que -0,5 e´
(a) 0, 31
(b) 0, 57
(c) 0, 5
(d) 0, 25
(e) 0, 15
Solution
A probabilidade de que X seja menor do que -0,5 pode ser escrita como P (X < −0, 5), mas
note que f(x) na˜o esta´ definida para valores menores do que -1. Portanto, P (X < −0, 5) =
P (−1 < X < −0, 5)
Para calcular P (a < x < b) sendo X uma varia´vel aleato´ria cont´ınuacom func¸a˜o densidade
de probabilidade igual a f(x), precisamos calcular a a´rea abaixo da curva f(x) entre os pontos
a e b, ou ainda, calcular∫ b
a
f(x)dx
Neste caso, vamos calcular∫ −0,5
−1
kxdx
= k
∫ −0,5
−1
xdx
= k
[
x2
2
]−0,5
−1
= k
[
(−0, 5)2
2
− (−1)
2
2
]
= k
[
0, 25
2
− 1
2
]
= k
[
−0, 75
2
]
= − 3k
4 ∗ 2
= −3k
8
Agora, precisamos descobrir o valor de k para prosseguir com as contas. Usaremos uma das
propriedades da func¸a˜o densidade de probabilidade que e´ o fato de ela integrar um dentro
de seu domı´nio, ou ainda
Statistics Exam: 00001 4
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
Neste caso podemos integrar entre -1 e 1, porque fora deste intervalo a func¸a˜o vale 0, assim
como sua integral. Enta˜o para descobrirmos k, temos∫ 1
−1
f(x)dx = 1∫ 0
−1
kxdx +
∫ 1
0
x2dx = 1 aqui podemos separar a func¸a˜o em 2 partes, conforme o intervalo
de X (tente desenhar a func¸a˜o f(x) no papel, a ideia ficara´ mais clara).
k
[
x2
2
]0
−1
+
[
x3
3
]1
0
= 1
k
[
02
2
− (−1)
2
2
]
+
[
13
3
+
03
3
]
= 1
k
[
−1
2
]
+
1
3
= 1
−k
2
=
2
3
k = −4
3
Substituindo o valor de k
P (X < −0, 5) = − 3k8 = − 38 ∗ − 43 = 12 = 0, 5
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Um grupo de 800 soldados apresenta peso normalmente distribu´ıdo com me´dia igual a 70 kg e
desvio padra˜o igual a 5 kg. Um destacamento especial foi formado com soldados que tinham
peso entre 75 e 80 kg. Considerando-se as propriedades do desvio padra˜o para distribuic¸o˜es
normais, o destacamento especial foi formado por aproximadamente:
(a) 216 soldados
(b) 126 soldados
(c) 273 soldados
(d) 109 soldados
(e) 382 soldados
Solution
n = 800 soldados e µ = 420L e σ = 80L
Z = X−µσ =
75−70
5 =
5
5 = 1
Z = X−µσ =
80−70
5 =
10
5 = 2
P (1 =< Z =< 2) = φ(2)− φ(1)
P (1 =< Z =< 2) = 0, 9772− 0, 8413
Statistics Exam: 00001 5
P (1 =< Z =< 2) = 0, 1359
nro de soldados = 0, 1359 · 800 = 108, 72
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
5. Problem
Seja X a altura das pessoas de uma determinada populac¸a˜o. Suponha que ela siga o modelo
normal com me´dia 170 cm e desvio padra˜o 10 cm. Supondo que 8% das pessoas mais altas
possam ser convidados para a pra´tica de basquete. Enta˜o a altura mı´nima para receber tal
convite, considerando o resultado arredondado para o cm mais pro´ximo, seria:
(a) 191 cm
(b) 184 cm
(c) 162 cm
(d) 201 cm
(e) 157 cm
Solution
Sabemos que X ∼ N(µ = 170, σ2 = 102). Para descobrir a altura mı´nima para receber o con-
vite, precisamos descobrir o ponto de X no qual, depois dele, acumule 8% de probabilidade.
Ou ainda, um ponto x no qual P (X ≥ x) = 0, 08.
Quando estamos calculando probabilidades de uma varia´vel aleato´ria normal, e´ muito u´til
utilizarmos a distribuic¸a˜o normal padra˜o, transformando a varia´vel aleato´ria X em uma nova
varia´vel aleato´ria Z de forma que Z =
X − µ
σ
=
X − 170
10
. Assim, vamos buscar um valor
de X para o qual
P (Z ≥ X − 170
10
) = 0, 08 ou ainda
P (Z <
X − 170
10
) = 0, 92
Ao olharmos na tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜o, precisamos encontrar o valor de Z que
acumule 92% de probabilidade, pois acima desse ponto e´ acumulado 8% de probabilidade.
Tal ponto e´ 1,41. Substituindo Z = 1, 41 na equac¸a˜o acima, temos
1, 41 =
X − 170
10
14, 1 = X − 170
X = 184, 1
Portanto, P (X ≥ 184, 1) = 0, 08
Ou seja, 184 cm (arredondando para o nu´mero mais pro´ximo) e´ a altura mı´nima para receber
o convite.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
Statistics Exam: 00001 6
(e) Incorreta
6. Problem
Uma ma´quina de empacotar leite em po´, o faz segundo uma Normal com me´dia P e desvio
padra˜o 10 g. O peso me´dio P deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham
menos do que 1000 g. Com a ma´quina assim regulada, a probabilidade de que o peso total
de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4040 g e´
(a) 0, 37
(b) 0, 19
(c) 0, 115
(d) 0, 23
(e) 0, 17
Solution
Vamos considerar X como uma varia´vel aleato´ria que representa o peso dos pacotes preenchi-
dos pela ma´quina. Assim, X ∼ N(p, 102). Vamos primeiramente descobrir o peso descon-
hecido p.
Utilizando a fo´rmula da normal padra˜o:
Z =
X − µ
σ
O valor de Z precisa ser tal que acumule 0,055 de probabilidade. Olhando na tabela da
normal padra˜o, encontramos que esse valor e´ -1,6. Enta˜o
−1, 6 = 1000− p
10
−1, 6 ∗ 10 = 1000− p
−16− 1000 = −p
p = 1016
Agora sabemos que X ∼ N(1016, 102)
Tendo conhecimento de que, se X1, X2, ..., Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes com dis-
tribuic¸a˜o normal com me´dia µ1, µ2, ..., µn e variaˆncia σ
2
1 , σ
2
2 , , ..., σ
2
n, respectivamente, enta˜o
n∑
i=1
Xi ∼ N
(
n∑
i=1
µi,
n∑
i=1
σ2i
)
. Ou ainda, soma de varia´veis aleato´rias normais tem me´dia igual
a soma das me´dias individuais e variaˆncia igual a soma das variaˆncias individuais. Neste
caso, enta˜o, temos
n∑
i=4
Xi ∼ N(4 ∗ 1016, 4 ∗ 100)
n∑
i=4
Xi ∼ N(4064, 202)
A probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4040 g
pode ser calculada usando, novamente, a normal padra˜o
Z =
4040− 4064
20
Z = −24
20
Z = −1, 2
Olhando na tabela da normal padra˜o, temos que o valor acumulado ate´ 1,2 e´ 0,115, aproxi-
madamente.
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 7
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
7. Problem
A vida de uma laˆmpada ele´trica pode ser considerada uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
normal com me´dia de 50 dias e desvio padra˜o de 10 dias. Retirando-se da populac¸a˜o de
laˆmpadas todas as amostras aleato´rias poss´ıveis com 25 laˆmpadas, quais sera˜o os valores,
respectivamente, da me´dia e do erro padra˜o da distribuic¸a˜o amostral da me´dia?
(a) 50 dias e 2 dias
(b) 50 dias e 16 dias
(c) 50 dias e 25 dias
(d) 50 dias e 10 dias
(e) 10 dias e 2 dias
Solution
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2, enta˜o a
me´dia amostral tambe´m tera´ distribuic¸a˜o normal, com me´dia µ e variaˆncia
σ2
n
. Ou ainda,
se X ∼ N(µ, σ2), enta˜o X ∼ N(µ, σ
2
n
).
Neste exemplo, sendo X uma varia´vel aleato´ria igual ao tempo de vida da laˆmpada, podemos
dizer que X ∼ N(50, 102) e portanto X ∼ N(50, 10
2
25
)
X ∼ N(50, 4)
Assim, a me´dia da distribuic¸a˜o amostral e´ 50, e o erro padra˜o e´ 2 (lembre-se, 4 e´ a variaˆncia).
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
A espessura me´dia de um produto e´ de 0,685 polegadas e o desvio padra˜o de 0,006 polegadas,
segundo uma distribuic¸a˜o normal. Uma das ma´quinas responsa´vel por este produto foi para
inspec¸a˜o do controle de qualidade. Dez amostras coletadas teriam que estar com a medida
entre os limites de confianc¸a com grau de 99,73%. Qual sera´ este intervalo?
(a) [0,666 ; 0,690]
(b) [0,650 ; 0,686]
(c) [0,679 ; 0,690]
(d) [0,685 ; 0,695]
(e) [0,685 ; 0,700]
Solution
n = 10, µ = 0, 685, σ = 0, 006 e α = 0, 0027
Statistics Exam: 00001 8
� = ztab · σ√n
� = 3, 0233 · 0,006√
10
� = 3, 0233 · 0, 001897366596
� = 0, 00573630843
I.C. = [X¯ − �; X¯ + �]
I.C. = [0, 685− 0, 00573630843; 0, 685 + 0, 00573630843]
I.C. = [0, 679; 0, 690]
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
Uma amostra aleato´ria simples de tamanho 400 de uma distribuic¸a˜o normal foi observada,
verificando-se uma me´dia amostral igual a 20,3 com um desvio padra˜o conhecido igual a 2,0.
Um intervalo com 95% de n´ıvel de confianc¸apara a me´dia populacional sera´ dado por:
(a) (17,136 ; 23,464)
(b) (16,973 ; 23,627)
(c) (20,104 ; 20,496)
(d) (18,583 ; 22,017)
(e) (19,985 ; 20,615)
Solution
O intervalo de confianc¸a para a me´dia populacional de uma distribuic¸a˜o normal com variaˆncia
conhecida e´ dada pela fo´rmula
IC(µ, 1− α) =
[
X − Zα/2 σ√
n
;X + Zα/2
σ√
n
]
Onde µ e´ a me´dia populacional desconhecida, 1 − α e´ o n´ıvel de confianc¸a, X e´ a me´dia
amostral, Zα/2 e´ o valor tabelado da normal padra˜o no qual P (Z > z) =
α
2
, ou seja, Zα/2 e´
o valor da normal padra˜o no qual a a´rea a direita dele e´
α
2
. σ e´ a variaˆncia conhecida e n e´
o tamanho de amostra.
Comec¸aremos com o valor tabelado de Z. Com o n´ıvel de confianc¸a de 95% temos, 1− α =
0, 95, α = 0, 05. Procurando o valor de Z na tabela, encontramos que Z0,025 = 1, 96 (um
macete seria procurar o valor de Z que acumula 0,95, o complementar de 0,05).
Agora temos todos as informac¸o˜es necessa´rias.
IC(µ, 0, 95) =
[
20, 3− 1, 96 2√
400
; 20, 3 + 1, 96
2√
400
]
IC(µ, 0, 95) =
[
20, 3− 1, 96 2
20
; 20, 3 + 1, 96
2
20
]
IC(µ, 0, 95) = [20, 3− 0, 196; 20, 3 + 0, 196]
IC(µ, 0, 95) = [20.104; 20, 496]
(a) Incorreta
(b) Incorreta
Statistics Exam: 00001 9
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
10. Problem
Com o objetivo de avaliar a prefereˆncia do eleitor a`s ve´speras de uma eleic¸a˜o para prefeito
num munic´ıpio serrano do Rio Grande do Sul, planeja-se um levantamento por amostragem.
Considere que seja admiss´ıvel um erro de ate´ 4%, com 95% de confianc¸a, para as estimativas
percentuais dos va´rios candidatos. Com base nessas informac¸o˜es, assinale a alternativa
correta quanto ao nu´mero de eleitores que devem ser pesquisados.
(a) 600
(b) 2000
(c) 1000
(d) 750
(e) 100
Solution
O exerc´ıcio nos forneceu o n´ıvel de confianc¸a = 0,95 e o erro = 0,04. O objetivo da questa˜o
e´ usar essas informac¸o˜es para calcular o tamanho de amostra. Perceba que este e´ o caso em
que a proporc¸a˜o e´ desconhecida, enta˜o a fo´rmula que antes era
n =
Z2α/2p(1− p)
e2
Agora sera´
n =
(
Zα/2
e
)2
∗ 0, 25
usamos 0,25 no lugar de p(1-p), porque este e´ o maior valor poss´ıvel de p(1-p), trabalhamos
com o pior caso ja´ que na˜o sabemos o valor de p(1-p).
As contas seguem como
n =
(
1, 96
0, 04
)2
∗ 0, 25
n = (49)2 ∗ 0, 25
n = 2401 ∗ 0, 25
n = 600, 25
Arredondando para o nu´mero mais pro´ximo, temos n = 600.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-06-22 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) (d) (e) X
2. (a) (b) (c) (d) X (e)
3. (a) (b) (c) (d) X (e)
4. (a) (b) X (c) (d) (e)
5. (a) (b) (c) X (d) (e)
6. (a) (b) X (c) (d) (e)
7. (a) (b) X (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) (d) X (e)
9. (a) (b) (c) (d) (e) X
10. (a) (b) X (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Um jogador lanc¸a para o ar duas moedas honestas. Ganhara´ R$1, 00 se ocorrer uma cara
e R$2, 00 se ocorrer duas caras. Por outro lado, perdera´ R$5, 00 se na˜o ocorrer cara. O
jogador deve esperar:
(a) ganhar 25 centavos
(b) perder 75 centavos
(c) ganhar 50 centavos
(d) perder 50 centavos
(e) perder 25 centavos
Solution
Deve-se calcular a esperanc¸a de X:
E(X) = 2 · ( 14)+ 1 · ( 12)− 5 · ( 14)
E(X) =
(
1
2
)
+
(
1
2
)− ( 54)
E(X) = − 14 = −0, 25
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
2. Problem
Uma moeda na˜o tendenciosa e´ lanc¸ada quatro vezes. A probabilidade de que sejam obtidas
duas caras e duas coroas e´:
(a) 3/4
(b) 5/8
(c) 2/3
(d) 3/8
(e) 1/2
Solution
Tal probabilidade e´ calculada como segue por um modelo Binomial:
(
n
x
) · px · qn−x
Assim, a probabilidade de ocorrerem duas caras sera´ p = 12 e a probabilidade de ocorrerem
duas coroas sera´ o complementar de p, pois sa˜o apenas 4 lanc¸amentos q = 1−p = 1− 12 = 12 .
Assim segue:(
4
2
) · ( 12)2 · ( 12)2 = 122 · 14 · 14 = 616 = 38
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
3. Problem
Seja a varia´vel aleato´ria x com func¸a˜o de densidade
f(x) =
{
k(x+ 1), se − 1 < x < 1
0, caso o contra´rio
Assinale a alternativa que conte´m o valor correto da constante k.
Statistics Exam: 00001 3
(a) 0,3
(b) 2
(c) 1
(d) 0,5
(e) 0,1
Solution
Para que uma func¸a˜o seja considerada uma func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria, e´
necessa´rio que, dentre outras suposic¸o˜es, ela integre 1 em seu domı´nio. Ou seja∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
Enta˜o para encontrarmos o valor de k, basta resolver a equac¸a˜o∫ 1
−1
k(x+ 1)dx = 1
k
∫ 1
−1
(x+ 1)dx = 1
k
[
x2
2
+ x
]1
−1
= 1
k
[
1
2
+ 1− (1
2
− 1)
]
= 1
k[+1 + 1] = 1
2k = 1
k =
1
2
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
4. Problem
Suponha que uma pesquisa tenha mostrado que o consumo mensal de a´gua, em litros, pelas
famı´lias residentes em Pelotas segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 420 e desvio padra˜o
80. Se selecionarmos ao acaso uma famı´lia residente em Pelotas, pode-se dizer que a proba-
bilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´ um nu´mero:
(a) entre 0,95 e 1,00
(b) entre 0,025 e 0,05
(c) menor que 0,025
(d) entre 0,05 e 0,10
(e) entre 0,975 e 1,00
Solution
µ = 420L e σ = 80L
A probabilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´:
P (X < 280) = P (Z < −1, 75) = φ(−1, 75) = 0, 0401
Z = X−µσ =
280−420
80 = − 14080 = −1, 75
Statistics Exam: 00001 4
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
Os analistas de uma empresa de consultoria avaliam um projeto numa me´dia de 40 horas com
desvio padra˜o de 5 horas. Considere que o tempo para avaliar um projeto seja normalmente
distribu´ıdo. Avalie os itens abaixo, a partir dos dados apresentados:
(a) Apenas 5% dos projetos levam mais do que 50 horas.
(b) Pelo menos 25% dos projetos sa˜o avaliados em tempo inferior a 30 horas.
(c) A probabilidade de um projeto ser avaliado num per´ıodo entre 28 e 35 horas e´ superior
a 10%.
(d) 10% dos projetos requerem tempo de avaliac¸a˜o superior a 46 horas.
(e) A probabilidade de um projeto ser avaliado em menos de 35 horas e´ inferior a 10%.
Solution
• A probabilidade de um projeto ser avaliado num per´ıodo entre 28 e 35 horas e´ superior
a 10%.
P (28 < X < 35)
= P (
28− 40
5
< Z <
35− 40
5
) transformac¸a˜o na normal para a normal padra˜o
= P (−2, 4 < Z < −1)
= P (1 < Z < 2, 4) grac¸as ao fato de a normal ser sime´trica
= P (Z < 2, 4)− P (Z < 1)
= 0, 9918− 0, 8413 olhar na tabela da normal padra˜o
= 0, 1505
Verdadeira
• A probabilidade de um projeto ser avaliado em menos de 35 horas e´ inferior a 10%.
P (X < 35)
= P (Z <
35− 40
5
) transformac¸a˜o na normal para a normal padra˜o
= P (Z < −1)
= P (Z > 1) grac¸as ao fato de a normal ser sime´trica
= 1− P (Z < 1) complementar
= 1− 0, 8413 olhar na tabela da normal padra˜o
= 0, 1587
Falso
• 10% dos projetos requerem tempo de avaliac¸a˜o superior a 46 horas.
Statistics Exam: 00001 5
P (X > x) = 0, 1 para qual x essa afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
P (Z > z) = 0, 1
1− P (Z < z) = 0, 1
P (Z < z) = 0, 9
Z = 1, 28 olhar o valor na tabela da normal padra˜o
Z =
X − µ
σ
1, 28 =
X − 40
5
5 ∗ 1, 28 = X − 40
6, 4 + 40 = X
X = 46, 4
Falso. . .
• Apenas 5% dos projetos levam mais do que 50 horas.
P (X > x) = 0, 05 para qual x essa afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
P (Z > z) = 0, 05
1− P (Z < z) = 0, 05
P (Z < z) = 0, 95
Z = 1, 64 olhar o valor na tabela da normal padra˜o
Z =
X − µ
σ
1, 64=
X − 40
5
5 ∗ 1, 64 = X − 40
8, 2 + 40 = X
X = 48, 2
Falso
• Pelo menos 25% dos projetos sa˜o avaliados em tempo inferior a 30 horas.
P (X < x) = 0, 25 para qual x essa afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
P (Z < z) = 0, 25
Z = −0, 67 olhar o valor na tabela da normal padra˜o
Z =
X − µ
σ
1, 64 =
X − 40
5
5 ∗ 1, 64 = X − 40
8, 2 + 40 = X
X = 48, 2
Falso
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
Statistics Exam: 00001 6
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria simples com reposic¸a˜o, de tamanho 64, retirada de
uma populac¸a˜o Normal com me´dia 200 e variaˆncia 400. Usando o fato que P (Z > 1, 64) =
0, 05, onde Z tem uma distribuic¸a˜o Normal Padra˜o, o valor de a para que P (|X −µ| ≤ a) =
0, 9 e´
(a) 2, 8
(b) 4, 1
(c) 5, 4
(d) 3, 2
(e) 3, 7
Solution
Sabemos que se uma populac¸a˜o tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2, enta˜o
sua me´dia amostral tambe´m tera´ distribuic¸a˜o normal, com me´dia µ e variaˆncia
σ2
n
. Neste
caso, a me´dia amostral foi chamada de X, portanto X ∼ N(200, 400
64
).
Agora vamos abrir a expressa˜o P (|X − µ| ≤ a) = 0, 90
P (−a < X − 200 < a) = 0, 90 Note que, neste caso, X = X, e que por se tratar de uma
distribuic¸a˜o cont´ınua usar ≤ ou < na˜o faz diferenc¸a.
P (− a√
400
64
<
X − 200√
400
64
<
a√
400
64
) = 0, 90
P (− a20
8
< Z <
a
20
8
) = 0, 90
P (−8a
20
< Z <
8a
20
) = 0, 90
P (−0, 4a < Z < 0, 4a) = 0, 90
P (Z < 0, 4a)− P (Z < −0, 4a) = 0, 90
A equac¸a˜o acima pode ser interpretada como a a´rea de 0,9 em torno da me´dia de uma normal
padra˜o. Nesse sentido, podemos pensar que a calda inferior precisa ter 5% de probabilidade,
assim como a calda superior. Neste sentido, P (Z < 0, 4a) precisa ser o ponto da normal
padra˜o que acumula 95% de probabilidade, enquanto que P (Z < −0, 4a) precisa acumular
5%.
De acordo com o enunciado, o ponto que satisfaz, P (Z < 0, 4a) = 0, 95 e´ 1,64. Portanto,
1, 64 = 0, 4a
a =
1, 64
0, 4
a = 4, 1
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
Statistics Exam: 00001 7
7. Problem
Uma certa caracter´ıstica populacional e´ descrita por uma varia´vel aleato´ria com me´dia µ e
variaˆncia 16. Se observarmos uma amostra aleato´ria simples de tamanho 900, a probabilidade
de que a me´dia amostral na˜o se afaste de µ por mais de 0,3 unidades e´ de, aproximadamente:
(a) 68%
(b) 98%
(c) 72%
(d) 53%
(e) 95%
Solution
Na˜o foi dito qual e´ a distribuic¸a˜o populacional, cuja me´dia e´ um valor µ desconhecido e
variaˆncia 16, mas podemos usar o teorema central do limite para conhecer a distribuic¸a˜o da
me´dia amostral.
O teorema central do limite diz que, para um tamanho de amostra grande o suficiente
(valor subjetivo), a me´dia amostral converge para uma distribuic¸a˜o normal, independente
da distribuic¸a˜o populacional. Como 900 pode ser considerado um tamanho de amostra
grande, enta˜o X ∼ N
(
µ,
16
900
)
.
A probabilidade de que a me´dia amostral na˜o se afaste de µ por mais de 0,3 unidades pode
ser calculada como
P (|X − µ| < 0, 3)
= P (−0, 3 < X − µ < 0, 3)
= P
− 0, 3√
16
900
<
X − µ√
16
900
<
0, 3√
16
900

= P
(
−0, 34
30
< Z <
0, 3
4
30
)
= P
(
−9
4
< Z <
9
4
)
= P (Z < 2, 25)− P (Z < −2, 25)
= 0, 9878− 0, 0122
= 0, 9755
Arredondando em duas casas decimais, temos que P (|X − µ| < 0, 3) = 98%
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Uma revenda de automo´veis vende carros montados no Brasil. O proprieta´rio esta´ interessado
em estimar o valor me´dio θ dos gastos extras com opcionais casados com a compra de carros
novos. Uma amostra de 16 vendas produziu um valor me´dio de R$1.062, 00 com desvio
padra˜o de R$144, 00. Assinale a opc¸a˜o que da´ os limites de confianc¸a para θ com coeficiente
de 98%. Despreze centavos.
Statistics Exam: 00001 8
(a) [R$ 955,00; R$ 1.168,00]
(b) [R$ 938,00; R$ 1.186,00]
(c) [R$ 997,00; R$ 1.124,00]
(d) [R$ 968,00; R$ 1.155,00]
(e) [R$ 990,00; R$ 1.134,00]
Solution
n = 16, G.L. = 15, µ = 1062, σ = 144 e α = 0, 02
� = ttab · S√n
� = 2.602 · 144√
16
� = 2.602 · 36
� = 93.672
I.C. = [X¯ − �; X¯ + �]
I.C. = [1062− 93.672; 1062 + 93.672]
I.C. = [968; 1155]
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
9. Problem
A espessura me´dia de um produto e´ de 0,685 polegadas e o desvio padra˜o de 0,006 polegadas,
segundo uma distribuic¸a˜o normal. Uma das ma´quinas responsa´vel por este produto foi para
inspec¸a˜o do controle de qualidade. Dez amostras coletadas teriam que estar com a medida
entre os limites de confianc¸a com grau de 99,73%. Qual sera´ este intervalo?
(a) [0,685 ; 0,695]
(b) [0,666 ; 0,690]
(c) [0,685 ; 0,700]
(d) [0,650 ; 0,686]
(e) [0,679 ; 0,690]
Solution
n = 10, µ = 0, 685, σ = 0, 006 e α = 0, 0027
� = ztab · σ√n
� = 3, 0233 · 0,006√
10
� = 3, 0233 · 0, 001897366596
� = 0, 00573630843
I.C. = [X¯ − �; X¯ + �]
I.C. = [0, 685− 0, 00573630843; 0, 685 + 0, 00573630843]
I.C. = [0, 679; 0, 690]
(a) Incorreta
(b) Incorreta
Statistics Exam: 00001 9
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
10. Problem
Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da populac¸a˜o favora´vel a` eleic¸a˜o
de um determinado ponto tur´ıstico para constar no selo comemorativo de aniversa´rio da
cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra piloto e o resultado apurou 50% de intenc¸a˜o
de votos para esse ponto tur´ıstico. Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos
percentuais, para mais ou para menos, e que o n´ıvel de confianc¸a utilizado foi de 95%, foram
ouvidas, aproximadamente:
(a) 50 pessoas
(b) 2400 pessoas
(c) 1200 pessoas
(d) 100 pessoas
(e) 4800 pessoas
Solution
O exerc´ıcio nos forneceu as seguintes informac¸o˜es: Nı´vel de confianc¸a = 0,95, erro = 0,02,
proporc¸a˜o = 0,5. O objetivo da questa˜o e´ usar essas informac¸o˜es para calcular o tamanho
de amostra. Este e´ o caso em que a proporc¸a˜o e´ conhecida, por isso usaremos a fo´rmula
n =
Z2α/2p(1− p)
e2
n =
(1, 96)20, 5(1− 0, 5)
(0, 02)2
n =
3, 8416 ∗ 0, 25
0, 0004
n =
0, 9604
0, 0004
n = 2401
Arredondando para o nu´mero mais pro´ximo, temos n = 2400.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta