PROVA 3(3 SOLUÇÕES) - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA(EAD) 2019/1

Prévia do material em texto

R University
Statistics Exam 2019-07-04 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) X (c) (d) (e)
2. (a) (b) (c) X (d) (e)
3. (a) (b) (c) (d) (e) X
4. (a) (b) (c) (d) X (e)
5. (a) (b) (c) (d) (e) X
6. (a) (b) (c) (d) X (e)
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) (d) (e) X
9. (a) (b) (c) X (d) (e)
10. (a) (b) X (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Dois solos 1 e 2 devem ser comparados quanto ao seu teor de P (fo´sforo) dispon´ıvel a`s plantas.
Do solo 1, foram avaliadas 5 amostras (n1 = 5), obtendo-se me´dia X1 = 9, 0 ppm de P e,
do solo 2, foram analisadas 7 amostras (n2 = 7), obtendo-se me´dia X2 = 11, 3 ppm de P.
Calculando-se o intervalo de confianc¸a a 95% para a diferenc¸a entre as me´dias verdadeiras
(populacionais) dos teores de P dos solos, obteˆm-se os limites LI = −5, 1 ppm de P; LS = 0, 5
ppm de P, send LI e LS, respectivamente os limites inferior e superior do intervalo. Quanto
a` comparac¸a˜o dos solos, pode-se concluir atrave´s desses dados, com confianc¸a de 95%, que:
(a) os solos se diferenciam quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas, sendo o solo 2 superior.
(b) as evideˆncias amostrais na˜o sa˜o suficientes para comprovar diferenc¸as entre os solos
quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas.
(c) o intervalo de confianc¸a de 95% na˜o fornece informac¸a˜o suficiente para a decisa˜o.
(d) os solos se diferenciam quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas, sendo o solo 1 superior.
(e) sem se fazer um teste de hipo´teses e´ imposs´ıvel concluir se os solos se diferenciam quanto
ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas.
Solution
Alternativas falsas:
• os solos na˜o se diferenciam quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas, porque o
intervalo de confianc¸a conte´m o nu´mero zero, indicando que a diferenc¸a
entre os solos na˜o e´ significativa.
• sem se fazer um teste de hipo´teses na˜o e´ imposs´ıvel concluir se os solos se diferenciam
quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas. Basta observar se o nu´mero zero
pertence ao intervalo de confianc¸a.
• o intervalo de confianc¸a de 95% fornece informac¸a˜o suficiente para a decisa˜o, pois
como o nu´mero zero esta´ incluso no intervalo de confianc¸a, H0 na˜o e´ re-
jeitada.
Alternativa correta:
• as evideˆncias amostrais na˜o sa˜o suficientes para comprovar diferenc¸as entre os solos
quanto ao teor de P dispon´ıvel a`s plantas.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
No teste de hipo´teses podemos aceitar ou rejeitar H0. Quando rejeitamos H0, no´s provamos,
a uma dada significaˆncia, que H1 e´ verdadeira. No entanto quando aceitamos H0, nada
podemos afirmar por que:
(a) o n´ıvel de significaˆncia so´ e´ va´lido para rejeitar e na˜o para aceitar.
(b) o erro envolvido estara´ acima de 80%.
(c) estaremos sujeitos a cometer erro do tipo II, que na˜o e´ controlado.
(d) estaremos sujeitos a cometer erro do tipo I, que e´ controlado.
(e) o erro do tipo II e´, nesse caso, igual ao erro do tipo I.
Statistics Exam: 00001 3
Solution
Alternativa correta:
• estaremos sujeitos a cometer erro do tipo II, que na˜o e´ controlado, porque ao aceitarmos
H0 podemos cometer apenas erro do tipo II. Para cometer um erro do tipo I, ter´ıamos
que rejeitar H0.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
3. Problem
O tempo de montagem de um equipamento apresenta uma distribuic¸a˜o normal com me´dia
igual a 30 minutos e desvio padra˜o igual a 5 minutos. Novas linhas de produc¸a˜o foram
idealizadas para reduzir o tempo de montagem. A montagem de 36 novos equipamentos em
cada uma das duas novas linhas de produc¸a˜o apresenta os seguintes resultados:
[]@cc@ Linha de Produc¸~ao Me´dia (min)1 28.52 27
Atrave´s dos Testes Unilaterais de Me´dias, com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%, constata-se
que:
(a) a linha 1 tende a aumentar o tempo de montagem.
(b) nenhuma das duas linhas tendem a reduzir o tempo de montagem.
(c) as duas novas linhas de produc¸a˜o tendem a reduzir o tempo de montagem.
(d) nenhuma das alternativas esta´ correta.
(e) apenas a linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
Solution{
H0 : µ = 30
H1 : µ < 30
A estat´ıstica t para teste de hipo´teses e´ definida como
X − µ0
S√
n
Para a linha 1, temos que X = 28, 5, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
28, 5− 30
5√
36
=
−1, 5
5
6
=
−9
5
= −1, 8
Para a linha 2, temos que X = 27, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
27− 30
5√
36
Statistics Exam: 00001 4
=
−3
5
6
=
−18
5
= −3, 6
Como ttab = 2, 0301 com α = 0, 025: para a linha 1 na˜o se rejeita H0, pois -1,8 < -2,0301
na˜o e´ verdade; para a linha 2 rejeita-se H0, pois -3,6 < -2,0301 e´ verdade. Assim, apenas a
linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
4. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados.
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
Qual dos testes abaixo e´ o mais adequado para comparar as quantidades me´dias de refriger-
antes?
(a) Teste t para duas amostras emparelhadas (pares de obs.).
(b) Teste z para uma me´dia.
(c) Teste t para duas amostras independentes supondo variaˆncias diferentes.
(d) Teste t para duas amostras independentes supondo variaˆncias iguais.
(e) Teste de homogeneidade para as variaˆncias.
Solution
A resposta correta e´ “Teste t para duas amostras independentes supondo variaˆncias iguais”,
porque de fato temos amostras de duas ma´quinas independentes e tambe´m temos variaˆncias
iguais conforme os desvios padro˜es fornecidos.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
5. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados.
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
O valor-p do teste para comparar as quantidades me´dias de refrigerantes e´ um nu´mero:
Statistics Exam: 00001 5
(a) entre 0,01 e 0,025.
(b) entre 0,05 e 0,10.
(c) menor que 0,01.
(d) entre 0,025 e 0,05.
(e) maior que 0,10.
Solution
Para resolver este exerc´ıcio, vamos fazer um teste t (pois o desvio padra˜o populacional na˜o
nos foi informado) para a diferenc¸a entre as me´dias de litros de refrigerante da ma´quina A
e da ma´quina B. Nos foi informado pela tabela o tamanho de amostra n = 100, a me´dia
amostral de litros da ma´quina A, Xa = 0, 98, a me´dia amostral de litros da ma´quina B,
Xb = 1, 02, o desvio padra˜o amostral da ma´quina A, Sa = 1, 00, e o desvio padra˜o amostral
da ma´quina B, Sb = 1, 00.
Para realizar o teste, precisamos calcular a estat´ıstica de teste, dada por
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
Onde na e nb sa˜o o tamanho de amostra da ma´quina A e B respectivamente.
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
Calculando S2p :
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
S2p =
[12(100− 1)] + [12(100− 1)]
100 + 100− 2
S2p =
99 + 99
198
S2p =
198
198
S2p = 1
Calculando a estat´ıstica de teste:
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
t =
0, 98− 1, 02√
1
(
1
100 +
1
100
)
t =
−0, 04√
2
100
t = −0, 04 ∗ 10√
2
t = −0,4√
2
t = −0, 2828
Pela tabela da distribuic¸a˜o t de student o valor cr´ıtico para α = 0, 5 (bilateral) e α = 0, 025
(unilateral) e graus de liberdade maiores que 120 e´ 0,674, logo como o valor da estat´ıstica
de teste | − 0, 28| < tcritico enta˜o podemos afirmar que o p-valor e´ maior que 0,5 (para teste
bilateral) e maior que 0,25 (para teste unilateral). Enta˜o a resposta do exerc´ıcio e´ pvalor
maior que 0,1
Statistics Exam: 00001 6
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
6. Problem
Para testar a hipo´tese de que uma moeda e´ honesta, adotou-se a seguinte regra de decisa˜o:
na˜o rejeitar a hipo´tese nula (H0 : pi = 0, 5), se o nu´mero de caras, em uma amostra de
100 lances, estiver entre 40 (inclusive) e 60 (inclusive); caso contra´rio, rejeita´-la. Qual a
probabilidade (aproximada) de ser rejeitada a hipo´tese nula, quando ela for correta?
(a) 0,10
(b) 0,95
(c) 0,025
(d) 0,05
(e) 0,90
Solution{
H0 : pi = 0, 5
H1 : pi 6= 0, 5
A questa˜o deseja saber qual o n´ıvel de significaˆncia do teste, assim precisamos saber qual a
estat´ıstica do teste para as seguintes situac¸o˜es: quando o nu´mero de caras e´ inferior a 40,
quando o nu´mero de caras e´ superior a 60 e quando o nu´mero de caras esta´ entre 40 e 60.
• quando o nu´mero de caras e´ inferior a 40 (exemplo com 30, mas a validac¸a˜o tambe´m se
aplica para outros valores menores que 40):
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 3− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
−0, 2√
0,5·0,5
100
z =
−0, 2√
0,25
100
z =
−0, 2√
0, 0025
z =
−0, 2
0, 05
z = −4
• quando o nu´mero de caras e´ superior a 60 (exemplo com 70, mas a validac¸a˜o tambe´m
se aplica para outros valores maiores que 60):
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
Statistics Exam: 00001 7
z =
0, 7− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0, 2√
0,5·0,5
100
z =
0, 2√
0,25
100
z =
0, 2√
0, 0025
z =
0, 2
0, 05
z = 4
• quando o nu´mero de caras esta´ entre 40 e 60:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 4− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
−0, 1
0, 05
z = −2
Ou:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 5− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0
0, 05
z = 0
Ou:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 6− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0, 1
0, 05
z = 2
Portanto, precisamo de um valor que que respeite a regra para testes bilaterais, |z| > ztab.
Assim, o valor que procuramos deve ser menor que | − 4| e |4| (para rejeitarmos H0) e deve
ser maior que | − 2|, |2| e |0| (para aceitarmos H0 nas condic¸o˜es listadas pelo exerc´ıcio).
Olhando na tabela, achamos o valor 2,0046 a um n´ıvel de sigficaˆncia igual a 0,045, o que e´
aproximadamente 0,05.
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 8
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
7. Problem
Uma amostra de 400 gau´chos revelou que 170 torciam pelo Greˆmio, 150 para o Inter e 80
na˜o torciam por nenhum dos dois times. Se fossemos executar um teste de diferenc¸a de
proporc¸o˜es, uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es seria de:
(a) 3,46%.
(b) 2,50%.
(c) 1,41%.
(d) 1,96%.
(e) 4,89%.
Solution
Para calcular uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es, primeiro
precisamos descobrir o valor de cada proporc¸a˜o:
p1 =
170
400
= 0, 425
p2 =
150
400
= 0, 375
Assim, calculamos o erro padra˜o com a seguinte fo´rmula:
EP =
√
p1 · (1− p1)
n1
+
p2 · (1− p2)
n2
EP =
√
0, 425 · (1− 0, 425)
400
+
0, 375 · (1− 0, 375)
400
EP =
√
0, 425 · 0, 575
400
+
0, 375 · 0, 625
400
EP =
√
0, 244375
400
+
0, 234375
400
EP =
√
0, 0006109375 + 0, 0005859375
EP =
√
0, 001196875
EP = 0, 034595881 ∼ 0, 0346
E 0,0346 = 3,46%.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Foram estudadas 100 crianc¸as para verificar se existe associac¸a˜o linear entre idade e capaci-
dade pulmonar. O coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson, calculado com os dados desta
amostra, foi de 0,8. Para testar a hipo´tese nula de que idade e capacidade pulmonar de cri-
anc¸as na˜o sa˜o linearmente relacionadas, foi utilizado o teste t adequado. O valor calculado
para a estat´ıstica de teste e´ igual a
Statistics Exam: 00001 9
(a) 15,0
(b) 15,3
(c) 23,0
(d) 10,3
(e) 13,2
Solution
Testar a hipo´tese nula de que idade e capacidade pulmonar de crianc¸as na˜o sa˜o linearmente
relacionadas, significa testar se ρ e´ significativamente diferente de zero ou na˜o. Ou seja,
usaremos esse tipo de teste:{
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
Usamos a estat´ıstica T =
r
√
n− 2√
1− r2
Sabemos que n = 100 e que r = 0, 8, enta˜o vamos calcular T :
T =
r
√
n− 2√
1− r2
T =
0, 8
√
100− 2√
1− 0, 82
T =
0, 8
√
98√
1− 0, 64
T =
0, 8 ∗ 9, 8996√
0, 36
T =
7, 9197
0, 6
T = 13, 1995
Por motivos de arredondamento, na˜o ha´ exatamente este nu´mero entre as alternativas. En-
tretanto, o nu´mero que mais se aproxima deste e´ 13,3, que e´ a resposta correta.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
9. Problem
A relac¸a˜o entre X: precipitac¸a˜o pluviome´trica (medida em cm) e Y: colheita de milho (medida
em kg/ha) foi estudada em uma amostra de tamanho 45. Os valores observados para Y
variaram de 160 a 520 e os de X variaram de 17,8 a 160,2. Foi obtida a seguinte reta de
regressa˜o: Y¯ = 441,13 – 1,93X. Qual a conclusa˜o correta para estes dados?
(a) Um aumento de 1 kg/ha na colheita de milho corresponde a uma diminuic¸a˜o de 1,93
cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica.
(b) Um aumento de 1 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica corresponde a um aumento de 1,93
kg/ha na colheita de milho.
(c) Quanto maior e´ a precipitac¸a˜o pluviome´trica, menor deve ser a colheita de milho es-
perada.
Statistics Exam: 00001 10
(d) Um aumento de 1 kg/ha na colheita de milho corresponde a um aumento de 441,13 cm
na precipitac¸a˜o pluviome´trica.
(e) Um aumento de 1 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica corresponde a um aumento de
441,13 kg/ha na colheita de milho.
Solution
Alternativas falsas:
• Um aumento de 1 kg/ha na colheita de milho na˜o corresponde a um aumento de
441,13 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica, porque estes valores na˜o esta˜o relacionados
de maneira a resultar tal valor.
• Um aumento de 1 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica na˜o corresponde a um aumento de
1,93 kg/ha na colheita de milho, porque 1,93 e´ multiplicado pela varia´vel que representa
a precipitac¸a˜o pluviome´trica.
• Um aumento de 1 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica na˜o corresponde a um aumento
de 441,13 kg/ha na colheita de milho, porque estes valores na˜o esta˜o relacionados de
maneira a resultar tal valor.
• Um aumento de 1 kg/ha na colheita de milho na˜o corresponde a uma diminuic¸a˜o de
1,93 cm na precipitac¸a˜o pluviome´trica, porque estes valores na˜o esta˜o relacionados de
maneira a resultar tal valor.
Alternativa correta:
• Quanto maior e´ a precipitac¸a˜o pluviome´trica, menor deve ser a colheita de milho esper-
ada e´ verdadeira, porque quanto maior o valor de X (precipitac¸a˜o), menor sera´ o valor
de Y (colheita).
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
10. Problem
Baseado na teoria de teste de hipo´teses, pode-se dizer que
(a) a estat´ıstica t de student com n-2 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para proporc¸o˜es no caso da variaˆncia da proporc¸a˜o
populacional ser desconhecida.
(b) basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitadaao n´ıvel de significaˆncia
α.
(c) a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for verdadeira, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada
pela probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for falsa.
(d) o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, e´ sempre um teste bilateral, pois o
objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa.
(e) o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a proba-
bilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico de teste.
Solution
Alternativas falsas:
Statistics Exam: 00001 11
• a estat´ıstica t de student com n-1 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para me´dia no caso da variaˆncia populacional
ser desconhecida.
• a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for falsa, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada pela
probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for verdadeira.
• o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, nem sempre um teste bilateral,
pois o objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa. Lembre-se,
isso pode acontecer por meio de desigualdade entre as me´dias, na˜o apenas
por diferenc¸a, por exemplo:{
H0 : µa > µb
H1 : µa ≤ µb
• o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a prob-
abilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico da estat´ıstica de teste,
assumindo que a hipo´tese nula e´ verdadeira.
Alternativa correta:
• basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitada ao n´ıvel de confianc¸a α.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-07-04 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) X (c) (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) X (e)
3. (a) (b) (c) X (d) (e)
4. (a) (b) (c) X (d) (e)
5. (a) X (b) (c) (d) (e)
6. (a) (b) X (c) (d) (e)
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) X (b) (c) (d) (e)
9. (a) (b) (c) (d) (e) X
10. (a) (b) (c) X (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Na realizac¸a˜o de testes de hipo´teses, e´ poss´ıvel que se cometam erros de conclusa˜o. O erro
de conclusa˜o conhecido como erro tipo II consiste em
(a) rejeitar uma hipo´tese nula falsa.
(b) na˜o rejeitar uma hipo´tese nula falsa.
(c) rejeitar uma hipo´tese alternativa verdadeira.
(d) na˜o rejeitar uma hipo´tese alternativa falsa.
(e) rejeitar uma hipo´tese nula verdadeira.
Solution
Na˜o rejeitar a hipo´tese nula quando ela e´, na realidade, falsa, e´ a definic¸a˜o do erro tipo II.
Podemos ver a tabela de deciso˜es abaixo
[]@lcc@ Decisa˜o H0 verdadeiro H0 falsoNa˜o rejeitar H0 Conclusa˜o correta Erro tipo
IIRejeitar H0 Erro tipo I Conclusa˜o correta
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Um teste de hipo´tese rejeitou a hipo´tese nula H0 no n´ıvel de significaˆncia de 5%. O que
aconteceria com H0 nos n´ıveis de significaˆncia de 1% e 10%, respectivamente?
(a) Nada poder´ıamos afirmar e nada poder´ıamos afirmar
(b) Rejeitar´ıamos e rejeitar´ıamos
(c) Rejeitar´ıamos e nada poder´ıamos afirmar
(d) Nada poder´ıamos afirmar e rejeitar´ıamos
(e) Na˜o rejeitar´ıamos e rejeitar´ıamos
Solution
Um teste de hipo´tese com n´ıvel de significaˆncia α rejeita a hipo´tese nula quando o p-valor e´
menor do que alfa, ou ainda, quando p− valor < α.
Se um teste de hipo´tese rejeitou a hipo´tese nula H0 no n´ıvel de significaˆncia de 5%, isso quer
dizer que p− valor < 0, 05.
p − valor < 0, 05 tambe´m e´ p − valor < 0, 10, e portanto o teste rejeitaria H0 com 10% de
significaˆncia.
Entretanto, p− valor < 0, 05 na˜o necessariamente e´ p− valor < 0, 01 e assim na˜o podemos
concluir nada.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
Statistics Exam: 00001 3
3. Problem
Considere o teste da hipo´tese H0 : µ = 100 contra alternativa H1 : µ 6= 100 em uma amostra
da distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2. O valor da estat´ıstica teste t com
distribuic¸a˜o de Student sob a hipo´tese H0: µ = 100 e´ de –1,7864 e sabe-se que P(t ≥ 1,7864)
= 0,0446. Suponha que a probabilidade de erro do tipo I esteja sendo controlada em 5%.
Assinale a resposta correta.
(a) Na˜o se pode tirar nenhuma conclusa˜o ,pois na˜o foram informados o tamanho da amostra,
a me´dia amostral e o desvio padra˜o amostral.
(b) Como o p-valor do teste e´ 0,0223 conclua H1 : µ 6= 100.
(c) Como o p-valor do teste e´ 0,0892 na˜o ha´ evideˆncia para rejeitar H0 : µ = 100.
(d) Como o p-valor do teste e´ 0,0446 conclua H0 : µ = 100.
(e) Como o p-valor do teste e´ 0,0446 conclua H1 : µ 6= 100.
Solution{
H0 : µ = 100
H1 : µ 6= 100
Considerando que o valor da estat´ıstica teste t com distribuic¸a˜o de Student sob a hipo´tese
H0 : µ = 100 e´ de –1,7864 e sabendo que P(t ≥ 1,7864) = 0,0446. Para um teste bilateral,
enta˜o o p-valor e´ de 2 · 0.0446 = 0.0892 e na˜o ha´ evideˆncia para rejeitar H0 : µ = 100.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
Assinale a afirmac¸a˜o que apresenta a melhor conclusa˜o do teste para comparar as quantidades
me´dias de refrigerantes utilizando um n´ıvel de significaˆncia de 0,05.
(a) Na˜o se rejeita H0 e conclui-se que ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias (valor p >
0,05).
(b) Rejeita-se H0 e conclui-se que na˜o existe diferenc¸a significativa entre as me´dias.(valor
p < 0,05)
(c) Na˜o se rejeita H0 e conclui-se que os dados na˜o revelaram diferenc¸a significativa entre
as me´dias (valor p > 0,05).
(d) Rejeita-se H0 e conclui-se que, em me´dia, a ma´quina A coloca menos refrigerante que
a ma´quina B (valor p < 0,05).
(e) Rejeita-se H0 e conclui-se que, em me´dia a ma´quina A coloca menos refrigerante que a
ma´quina B (valor p > 0,05).
Solution
Para resolver este exerc´ıcio, vamos fazer um teste t (pois o desvio padra˜o populacional na˜o
nos foi informado) para a diferenc¸a entre as me´dias de litros de refrigerante da ma´quina A
Statistics Exam: 00001 4
e da ma´quina B. Nos foi informado pela tabela o tamanho de amostra n = 100, a me´dia
amostral de litros da ma´quina A, Xa = 0, 98, a me´dia amostral de litros da ma´quina B,
Xb = 1, 02, o desvio padra˜o amostral da ma´quina A, Sa = 1, 00, e o desvio padra˜o amostral
da ma´quina B, Sb = 1, 00.
Com esses dados, vamos testar{
H0 : µa − µb = 0
H1 : µa − µb 6= 0
Se H0 for verdade, enta˜o na˜o ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias. Se H1 for verdade,
enta˜o ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias.
Existem dois tipos de teste t para comparac¸a˜o de duas me´dias: o que assume que as variaˆncias
de ambas as amostras sa˜o iguais e o que assume que elas sa˜o diferentes. No nosso caso, como
os desvios padro˜es amostrais sa˜o literalmente iguais, enta˜o faremos o teste t para comparac¸a˜o
de duas me´dias com variaˆncias iguais.
Para realizar o teste, precisamos calcular a estat´ıstica de teste, dada por
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
Onde na e nb sa˜o o tamanho de amostra da ma´quinaA e B respectivamente.
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
A estat´ıstica t, neste caso, segue uma distribuic¸a˜o t com na+nb−2 graus de liberdade. Isso
sera´ usado para encontrar os valores cr´ıticos de teste. Olhando na tabela t, com α = 0, 05
e 198 graus de liberdade, esse valor e´ aproximadamente 1,9720. Como a distribuic¸a˜o t e´
sime´trica, o teste rejeita a hipo´tese nula se a estat´ıstica t for maior do que 1,9720, ou menor
do que -1,9720.
Calculando S2p :
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
S2p =
[12(100− 1)] + [12(100− 1)]
100 + 100− 2
S2p =
99 + 99
198
S2p =
198
198
S2p = 1
Calculando a estat´ıstica de teste:
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
t =
0, 98− 1, 02√
1
(
1
100 +
1
100
)
t =
−0, 04√
2
100
t = −0, 04 ∗ 10√
2
Statistics Exam: 00001 5
t = −0, 4√
2
t = −0, 2828, aproximadamente
Como t = −0, 2828 > −1, 9720, enta˜o na˜o se rejeita H0 e, com 5% de significaˆncia, conclui-se
que os dados na˜o revelam diferenc¸a significativa entre as me´dias.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados.
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
O valor-p do teste para comparar as quantidades me´dias de refrigerantes e´ um nu´mero:
(a) maior que 0,10.
(b) entre 0,05 e 0,10.
(c) entre 0,025 e 0,05.
(d) entre 0,01 e 0,025.
(e) menor que 0,01.
Solution
Para resolver este exerc´ıcio, vamos fazer um teste t (pois o desvio padra˜o populacional na˜o
nos foi informado) para a diferenc¸a entre as me´dias de litros de refrigerante da ma´quina A
e da ma´quina B. Nos foi informado pela tabela o tamanho de amostra n = 100, a me´dia
amostral de litros da ma´quina A, Xa = 0, 98, a me´dia amostral de litros da ma´quina B,
Xb = 1, 02, o desvio padra˜o amostral da ma´quina A, Sa = 1, 00, e o desvio padra˜o amostral
da ma´quina B, Sb = 1, 00.
Para realizar o teste, precisamos calcular a estat´ıstica de teste, dada por
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
Onde na e nb sa˜o o tamanho de amostra da ma´quina A e B respectivamente.
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
Calculando S2p :
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
S2p =
[12(100− 1)] + [12(100− 1)]
100 + 100− 2
S2p =
99 + 99
198
S2p =
198
198
Statistics Exam: 00001 6
S2p = 1
Calculando a estat´ıstica de teste:
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
t =
0, 98− 1, 02√
1
(
1
100 +
1
100
)
t =
−0, 04√
2
100
t = −0, 04 ∗ 10√
2
t = −0, 4√
2
t = −0, 2828
Pela tabela da distribuic¸a˜o t de student o valor cr´ıtico para α = 0, 5 (bilateral) e α = 0, 025
(unilateral) e graus de liberdade maiores que 120 e´ 0,674, logo como o valor da estat´ıstica
de teste | − 0, 28| < tcritico enta˜o podemos afirmar que o p-valor e´ maior que 0,5 (para teste
bilateral) e maior que 0,25 (para teste unilateral). Enta˜o a resposta do exerc´ıcio e´ pvalor
maior que 0,1
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
Para testar a hipo´tese de que uma moeda e´ honesta, adotou-se a seguinte regra de decisa˜o:
na˜o rejeitar a hipo´tese nula (H0 : pi = 0, 5), se o nu´mero de caras, em uma amostra de
100 lances, estiver entre 40 (inclusive) e 60 (inclusive); caso contra´rio, rejeita´-la. Qual a
probabilidade (aproximada) de ser rejeitada a hipo´tese nula, quando ela for correta?
(a) 0,10
(b) 0,05
(c) 0,90
(d) 0,025
(e) 0,95
Solution{
H0 : pi = 0, 5
H1 : pi 6= 0, 5
A questa˜o deseja saber qual o n´ıvel de significaˆncia do teste, assim precisamos saber qual a
estat´ıstica do teste para as seguintes situac¸o˜es: quando o nu´mero de caras e´ inferior a 40,
quando o nu´mero de caras e´ superior a 60 e quando o nu´mero de caras esta´ entre 40 e 60.
• quando o nu´mero de caras e´ inferior a 40 (exemplo com 30, mas a validac¸a˜o tambe´m se
aplica para outros valores menores que 40):
Statistics Exam: 00001 7
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 3− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
−0, 2√
0,5·0,5
100
z =
−0, 2√
0,25
100
z =
−0, 2√
0, 0025
z =
−0, 2
0, 05
z = −4
• quando o nu´mero de caras e´ superior a 60 (exemplo com 70, mas a validac¸a˜o tambe´m
se aplica para outros valores maiores que 60):
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 7− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0, 2√
0,5·0,5
100
z =
0, 2√
0,25
100
z =
0, 2√
0, 0025
z =
0, 2
0, 05
z = 4
• quando o nu´mero de caras esta´ entre 40 e 60:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 4− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
−0, 1
0, 05
z = −2
Ou:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
Statistics Exam: 00001 8
z =
0, 5− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0
0, 05
z = 0
Ou:
z =
p− pi0√
pi0·(1−pi0)
n
z =
0, 6− 0, 5√
0,5·(1−0,5)
100
z =
0, 1
0, 05
z = 2
Portanto, precisamo de um valor que que respeite a regra para testes bilaterais, |z| > ztab.
Assim, o valor que procuramos deve ser menor que | − 4| e |4| (para rejeitarmos H0) e deve
ser maior que | − 2|, |2| e |0| (para aceitarmos H0 nas condic¸o˜es listadas pelo exerc´ıcio).
Olhando na tabela, achamos o valor 2,0046 a um n´ıvel de sigficaˆncia igual a 0,045, o que e´
aproximadamente 0,05.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
7. Problem
Uma amostra de 400 gau´chos revelou que 170 torciam pelo Greˆmio, 150 para o Inter e 80
na˜o torciam por nenhum dos dois times. Se fossemos executar um teste de diferenc¸a de
proporc¸o˜es, uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es seria de:
(a) 3,46%.
(b) 2,50%.
(c) 4,89%.
(d) 1,96%.
(e) 1,41%.
Solution
Para calcular uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es, primeiro
precisamos descobrir o valor de cada proporc¸a˜o:
p1 =
170
400
= 0, 425
p2 =
150
400
= 0, 375
Assim, calculamos o erro padra˜o com a seguinte fo´rmula:
EP =
√
p1 · (1− p1)
n1
+
p2 · (1− p2)
n2
EP =
√
0, 425 · (1− 0, 425)
400
+
0, 375 · (1− 0, 375)
400
Statistics Exam: 00001 9
EP =
√
0, 425 · 0, 575
400
+
0, 375 · 0, 625
400
EP =
√
0, 244375
400
+
0, 234375
400
EP =
√
0, 0006109375 + 0, 0005859375
EP =
√
0, 001196875
EP = 0, 034595881 ∼ 0, 0346
E 0,0346 = 3,46%.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Durante muito tempo, o coeficiente de correlac¸a˜o entre a nota final num curso de treinamento
de agentes de sau´de e sua produtividade, apo´s 6 meses de curso, foi 0,50. Foram introduzidas
modificac¸o˜es no curso, com o intuito de aumentar a correlac¸a˜o. O coeficiente de correlac¸a˜o de
uma amostra de 28 agentes submetidos ao novo curso foi de 0,65. Quanto ao estabelecimento
das hipo´teses H0 (nula) e H1 (alternativa), podemos afirmar que as hipo´teses e a estat´ıstica
de teste sa˜o respectivamente:
(a) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ > 0, 50 e T = 4, 36
(b) H0 : ρ 6= 0, 50 vs. H1 : ρ > 0, 50 e T = 4, 36
(c) H0 : ρ 6= 0, 50 vs. H1 : ρ < 0, 50 e T = 4, 1
(d) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ 6= 0, 50 e T = 3
(e) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ < 0, 50 e T = 3
Solution
O objetivo do estudo e´ saber se as modificac¸o˜es introduzidas no curso aumentariam a corre-
lac¸a˜o da produtividade dos agentes de sau´de e suas respectivas notas finais no final do curso.
Portanto, o teste precisa ser do tipo{
H0 : ρ = 0, 50
H1 : ρ > 0, 50
Usamosa estat´ıstica T =
r
√
n− 2√
1− r2
Sabemos que n = 28 e que r = 0, 65, enta˜o vamos calcular T :
T =
r
√
n− 2√
1− r2
T =
0, 65
√
28− 2√
1− 0, 652
T =
3, 31
0, 759
T = 4, 36
(a) Correta
(b) Incorreta
Statistics Exam: 00001 10
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
O gerente de uma indu´stria localizada em um pa´ıs tropical vem verificando muita variac¸a˜o
na produtividade dos funciona´rios e acredita que deva ter uma relac¸a˜o com a temperatura
do dia. Num experimento organizado para estudar a relac¸a˜o entre a produtividade (pec¸as
produzidas por dia) e a temperatura do dia (medida em ºC), foram coletados dados aleato-
riamente ao longo de um per´ıodo de seis meses, obtendo-se a equac¸a˜o de regressa˜o linear
Y = 185, 96− 2, 09X. Na equac¸a˜o de regressa˜o linear, identifique a alternativa com o coefi-
ciente de inclinac¸a˜o e o que ele representa.
(a) 2,09. Estima-se em 2,09 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(b) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada reduc¸a˜o de 1ºC na
temperatura.
(c) 185,96. Estima-se em 185,96 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(d) 185,96. Estima-se em 185,96 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC
na temperatura.
(e) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
Solution
A equac¸a˜o de regressa˜o linear gene´rica e´ dada como Y = a + bX, onde a e´ o intercepto
da reta, ou seja, o valor que Y assume quando X for zero; e b e´ o coeficiente de inclinac¸a˜o
da reta, ou seja, o valor que, para cada aumento em uma unidade de X, Y aumenta em b
unidades.
No exerc´ıcio, o coeficiente vale -2,09 (o sinal de menos pertence a b, pois na equac¸a˜o geral
ha´ um sinal de mais entre a e b). Quando b e´ negativo, podemos interpreta´-lo como, para
cada aumento em uma unidade de X, Y diminui em b unidades.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
10. Problem
Baseado na teoria de teste de hipo´teses, pode-se dizer que
(a) a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for verdadeira, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada
pela probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for falsa.
(b) o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a proba-
bilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico de teste.
(c) basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitada ao n´ıvel de significaˆncia
α.
Statistics Exam: 00001 11
(d) a estat´ıstica t de student com n-2 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para proporc¸o˜es no caso da variaˆncia da proporc¸a˜o
populacional ser desconhecida.
(e) o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, e´ sempre um teste bilateral, pois o
objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa.
Solution
Alternativas falsas:
• a estat´ıstica t de student com n-1 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para me´dia no caso da variaˆncia populacional
ser desconhecida.
• a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for falsa, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada pela
probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for verdadeira.
• o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, nem sempre um teste bilateral,
pois o objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa. Lembre-se,
isso pode acontecer por meio de desigualdade entre as me´dias, na˜o apenas
por diferenc¸a, por exemplo:{
H0 : µa > µb
H1 : µa ≤ µb
• o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a prob-
abilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico da estat´ıstica de teste,
assumindo que a hipo´tese nula e´ verdadeira.
Alternativa correta:
• basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitada ao n´ıvel de confianc¸a α.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
R University
Statistics Exam 2019-07-04 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) X (b) (c) (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) X (e)
3. (a) (b) (c) (d) (e) X
4. (a) (b) (c) X (d) (e)
5. (a) (b) (c) (d) X (e)
6. (a) (b) (c) (d) (e) X
7. (a) X (b) (c) (d) (e)
8. (a) (b) (c) X (d) (e)
9. (a) (b) (c) (d) (e) X
10. (a) (b) (c) (d) X (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Um estat´ıstico concluiu que uma diferenc¸a entre duas me´dias amostrais e´ significativa ao
n´ıvel de 1%. Enta˜o e´ correto afirmar que:
(a) ha´ pelo menos 99% de probabilidade de uma diferenc¸a real entre as me´dias popula-
cionais.
(b) existe 1% de probabilidade de as me´dias populacionais serem diferentes.
(c) se na˜o houver diferenc¸a entre as me´dias populacionais, a probabilidade de se concluir
com base nas me´dias amostrais que existe diferenc¸a e´ de no ma´ximo 1%.
(d) sem margem de erro, pode-se afirmar que as me´dias sa˜o diferentes.
(e) se de fato houver diferenc¸a entre as me´dias populacionais, a probabilidade de ela ser
detectada pela diferenc¸a entre as me´dias amostrais e´ de 1%.
Solution
Alternativas falsas:
• se de fato houver diferenc¸a entre as me´dias populacionais, a probabilidade de ela ser
detectada pela diferenc¸a entre as me´dias amostrais depende do poder do teste, 1 -
β.
• se na˜o houver diferenc¸a entre as me´dias populacionais, a probabilidade de se concluir
com base nas me´dias amostrais que existe diferenc¸a e´ de exatamente 1%.
• existe 1% de probabilidade de se concluir que as me´dias populacionais sa˜o diferentes,
dado que na verdade elas na˜o sa˜o.
• com margem de erro, pode-se afirmar que as me´dias sa˜o diferentes. Estamos ad-
mitindo uma probabilidade de errar ao fixar o valor de α
Alternativa correta:
• ha´ pelo menos 99% de probabilidade de uma diferenc¸a real entre as me´dias popula-
cionais.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Um teste de hipo´tese rejeitou a hipo´tese nula H0 no n´ıvel de significaˆncia de 5%. O que
aconteceria com H0 nos n´ıveis de significaˆncia de 1% e 10%, respectivamente?
(a) Nada poder´ıamos afirmar e nada poder´ıamos afirmar
(b) Rejeitar´ıamos e rejeitar´ıamos
(c) Rejeitar´ıamos e nada poder´ıamos afirmar
(d) Nada poder´ıamos afirmar e rejeitar´ıamos
(e) Na˜o rejeitar´ıamos e rejeitar´ıamos
Solution
Um teste de hipo´tese com n´ıvel de significaˆncia α rejeita a hipo´tese nula quando o p-valor e´
menor do que alfa, ou ainda, quando p− valor < α.
Statistics Exam: 00001 3
Se um teste de hipo´tese rejeitou a hipo´tese nula H0 no n´ıvel de significaˆncia de 5%, isso quer
dizer que p− valor < 0, 05.
p − valor < 0, 05 tambe´m e´ p − valor < 0, 10, e portanto o teste rejeitaria H0 com 10% de
significaˆncia.
Entretanto, p− valor < 0, 05 na˜o necessariamente e´ p− valor < 0, 01 e assim na˜o podemos
concluir nada.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
3. Problem
Considere o teste da hipo´tese H0 : µ = 100 contra alternativa H1 : µ 6= 100 em uma amostra
da distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2. O valor da estat´ıstica teste t com
distribuic¸a˜o de Student sob a hipo´teseH0: µ = 100 e´ de –1,7864 e sabe-se que P(t ≥ 1,7864)
= 0,0446. Suponha que a probabilidade de erro do tipo I esteja sendo controlada em 5%.
Assinale a resposta correta.
(a) Como o p-valor do teste e´ 0,0446 conclua H1 : µ 6= 100.
(b) Na˜o se pode tirar nenhuma conclusa˜o ,pois na˜o foram informados o tamanho da amostra,
a me´dia amostral e o desvio padra˜o amostral.
(c) Como o p-valor do teste e´ 0,0446 conclua H0 : µ = 100.
(d) Como o p-valor do teste e´ 0,0223 conclua H1 : µ 6= 100.
(e) Como o p-valor do teste e´ 0,0892 na˜o ha´ evideˆncia para rejeitar H0 : µ = 100.
Solution{
H0 : µ = 100
H1 : µ 6= 100
Considerando que o valor da estat´ıstica teste t com distribuic¸a˜o de Student sob a hipo´tese
H0 : µ = 100 e´ de –1,7864 e sabendo que P(t ≥ 1,7864) = 0,0446. Para um teste bilateral,
enta˜o o p-valor e´ de 2 · 0.0446 = 0.0892 e na˜o ha´ evideˆncia para rejeitar H0 : µ = 100.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
4. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados.
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
Qual o valor calculado para a estat´ıstica do teste para comparar as quantidades me´dias de
refrigerantes?
(a) − 10·0.42
Statistics Exam: 00001 4
(b) − 10·0.4√
2
(c) − 0.4√
2
(d) − 0.04
10·√2
(e) − 0.42
Solution
Para resolver este exerc´ıcio, vamos fazer um teste t (pois o desvio padra˜o populacional na˜o
nos foi informado) para a diferenc¸a entre as me´dias de litros de refrigerante da ma´quina A
e da ma´quina B. Nos foi informado pela tabela o tamanho de amostra n = 100, a me´dia
amostral de litros da ma´quina A, Xa = 0, 98, a me´dia amostral de litros da ma´quina B,
Xb = 1, 02, o desvio padra˜o amostral da ma´quina A, Sa = 1, 00, e o desvio padra˜o amostral
da ma´quina B, Sb = 1, 00.
Existem dois tipos de teste t para comparac¸a˜o de duas me´dias: o que assume que as variaˆncias
de ambas as amostras sa˜o iguais e o que assume que elas sa˜o diferentes. No nosso caso, como
os desvios padro˜es amostrais sa˜o literalmente iguais, enta˜o faremos o teste t para comparac¸a˜o
de duas me´dias com variaˆncias iguais.
Para realizar o teste, precisamos calcular a estat´ıstica de teste, dada por
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
Onde na e nb sa˜o o tamanho de amostra da ma´quina A e B respectivamente.
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
Calculando S2p :
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
S2p =
[12(100− 1)] + [12(100− 1)]
100 + 100− 2
S2p =
99 + 99
198
S2p =
198
198
S2p = 1
Calculando a estat´ıstica de teste:
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
t =
0, 98− 1, 02√
1
(
1
100 +
1
100
)
t =
−0, 04√
2
100
t = −0, 04 ∗ 10√
2
t = −0, 4√
2
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 5
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
Sejam as hipo´teses H0 : µ = 5 versus H1 : µ > 5, em que µ e´ a me´dia de uma distribuic¸a˜o
normal com variaˆncia conhecida igual a 25. Uma amostra aleato´ria simples de tamanho
100 dessa populac¸a˜o foi selecionada e obteve-se uma me´dia amostral de 5,32. Considerando
um n´ıvel de significaˆncia de 5%, o p-valor aproximado da estat´ıstica de teste e a respectiva
decisa˜o sa˜o:
(a) 0,125 e na˜o rejeitar a hipo´tese nula.
(b) 0,001 e rejeitar a hipo´tese nula.
(c) 0,001 e na˜o rejeitar a hipo´tese nula.
(d) 0,261 e na˜o rejeitar a hipo´tese nula.
(e) 0,034 e rejeitar a hipo´tese nula.
Solution{
H0 : µ = 5
H1 : µ > 5
Primeiro devemos calcular a estat´ıstica do teste z (pois conhecemos o desvio padra˜o =
√
25):
temos X¯ = 5, 32, µ0 = 5, σ =
√
25 = 5 e n = 100
z =
X¯ − µ0
σ√
n
z =
5, 32− 5
5√
100
z =
0, 32
5
10
z =
0, 32 · 10
5
z =
3, 2
5
z = 0, 64
Agora, para calcular o p-valor devemos consultar na tabela z para a´reas unilaterais qual a
a´rea acumulada por 0,64. Na tabela, a a´rea acumulada por 0,6745 e´ de 0,25 e por 0,5244
e´ de 0,3, como 0,64 se encontra entre esses dois valores, sua a´rea acumulada, p-valor, e´ de
0,261. A hipo´tese nula na˜o e´ rejeitada porque, considerando um teste unilateral a` direita,
a suposic¸a˜o z > ztab deve ser verdadeira para rejeitarmos H0, o que na˜o e´ verdade com os
valores que obtivemos, 0, 64 > 1, 645. O valor de ztab foi obtido utilizando a tabela z com
valor unilateral e α = 0, 05.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
Statistics Exam: 00001 6
6. Problem
Seja p a proporc¸a˜o de torcedores de um certo time de futebol numa populac¸a˜o muito grande.
Deseja-se testar H0 : p = 0, 1 versus H1 : p > 0, 1 com base numa amostra aleato´ria simples
de tamanho 400, utilizando-se o seguinte crite´rio: rejeitar H0 se o nu´mero de torcedores do
time na amostra for maior do que 52. O n´ıvel de significaˆncia desse teste e´, aproximadamente,
de:
(a) 6,78%
(b) 5,34%
(c) 4,36%
(d) 1,56%
(e) 2,28%
Solution{
H0 : p = 0, 1
H1 : p > 0, 1
Primeiramente, devemos calcular a estat´ıstica do teste z:
z =
p− p0√
p0·(1−p0)
n
Mas antes disso, devemos encontrar um valor para p. Como foi dito no enunciado devemos
rejeitar H0 se o nu´mero de torcedores do time na amostra for maior do que 52, assim
utilizamos o pro´ximo valor maior: 53.
p =
53
400
= 0, 1325
Ca´lculo da estat´ıtica do teste:
z =
0, 1325− 0, 1√
0,1·(1−0,1)
400
z =
0, 0325√
0,1·0,9
400
z =
0, 0325√
0,09
400
z =
0, 0325√
0, 000225
z =
0, 0325
0, 015
z = 2, 16
Assim, para rejeitarmos H0 devemos usar o teste unilateral a` direita e z > ztab deve ser
verdade para z = 2, 16, mas para z = 2 ja´ na˜o deve ser verdade (pois z = 2 e´ o valor da
estat´ıstica quando o nu´mero de torcedores e´ 52, ou seja, quando ainda devemos aceitar H0).
Ao observarmos a tabela enta˜o, devemos procurar por um valor menor que 2,16 e maior que
2. O valor que corresponde a`s necessidades para teste unilateral, aproximadamente, e´ 2,0537,
que tem n´ıvel de significaˆncia igual a 0,02. Assim, temos o n´ıvel de significaˆncia pro´ximo de
0,0228 (2,28%).
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
Statistics Exam: 00001 7
(d) Incorreta
(e) Correta
7. Problem
Uma amostra de 400 gau´chos revelou que 170 torciam pelo Greˆmio, 150 para o Inter e 80
na˜o torciam por nenhum dos dois times. Se fossemos executar um teste de diferenc¸a de
proporc¸o˜es, uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es seria de:
(a) 3,46%.
(b) 1,41%.
(c) 1,96%.
(d) 4,89%.
(e) 2,50%.
Solution
Para calcular uma estimativa do erro padra˜o da diferenc¸a entre as duas proporc¸o˜es, primeiro
precisamos descobrir o valor de cada proporc¸a˜o:
p1 =
170
400
= 0, 425
p2 =
150
400
= 0, 375
Assim, calculamos o erro padra˜o com a seguinte fo´rmula:
EP =
√
p1 · (1− p1)
n1
+
p2 · (1− p2)
n2
EP =
√
0, 425 · (1− 0, 425)
400
+
0, 375 · (1− 0, 375)
400
EP =
√
0, 425 · 0, 575
400
+
0, 375 · 0, 625
400
EP =
√
0, 244375
400
+
0, 234375
400
EP =
√
0, 0006109375 + 0, 0005859375
EP =
√
0, 001196875
EP = 0, 034595881 ∼ 0, 0346
E 0,0346 = 3,46%.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
8. Problem
Durante muito tempo, o coeficiente de correlac¸a˜o entre a nota final num curso de treinamento
de agentes de sau´de e sua produtividade, apo´s 6 meses de curso, foi 0,50. Foram introduzidas
modificac¸o˜es no curso, com o intuito de aumentar a correlac¸a˜o. O coeficientede correlac¸a˜o de
uma amostra de 28 agentes submetidos ao novo curso foi de 0,65. Quanto ao estabelecimento
das hipo´teses H0 (nula) e H1 (alternativa), podemos afirmar que as hipo´teses e a estat´ıstica
de teste sa˜o respectivamente:
Statistics Exam: 00001 8
(a) H0 : ρ 6= 0, 50 vs. H1 : ρ < 0, 50 e T = 4, 1
(b) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ < 0, 50 e T = 3
(c) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ > 0, 50 e T = 4, 36
(d) H0 : ρ 6= 0, 50 vs. H1 : ρ > 0, 50 e T = 4, 36
(e) H0 : ρ = 0, 50 vs. H1 : ρ 6= 0, 50 e T = 3
Solution
O objetivo do estudo e´ saber se as modificac¸o˜es introduzidas no curso aumentariam a corre-
lac¸a˜o da produtividade dos agentes de sau´de e suas respectivas notas finais no final do curso.
Portanto, o teste precisa ser do tipo{
H0 : ρ = 0, 50
H1 : ρ > 0, 50
Usamos a estat´ıstica T =
r
√
n− 2√
1− r2
Sabemos que n = 28 e que r = 0, 65, enta˜o vamos calcular T :
T =
r
√
n− 2√
1− r2
T =
0, 65
√
28− 2√
1− 0, 652
T =
3, 31
0, 759
T = 4, 36
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
O gerente de uma indu´stria localizada em um pa´ıs tropical vem verificando muita variac¸a˜o
na produtividade dos funciona´rios e acredita que deva ter uma relac¸a˜o com a temperatura
do dia. Num experimento organizado para estudar a relac¸a˜o entre a produtividade (pec¸as
produzidas por dia) e a temperatura do dia (medida em ºC), foram coletados dados aleato-
riamente ao longo de um per´ıodo de seis meses, obtendo-se a equac¸a˜o de regressa˜o linear
Y = 185, 96− 2, 09X. Na equac¸a˜o de regressa˜o linear, identifique a alternativa com o coefi-
ciente de inclinac¸a˜o e o que ele representa.
(a) 185,96. Estima-se em 185,96 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(b) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada reduc¸a˜o de 1ºC na
temperatura.
(c) 185,96. Estima-se em 185,96 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC
na temperatura.
(d) 2,09. Estima-se em 2,09 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(e) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
Statistics Exam: 00001 9
Solution
A equac¸a˜o de regressa˜o linear gene´rica e´ dada como Y = a + bX, onde a e´ o intercepto
da reta, ou seja, o valor que Y assume quando X for zero; e b e´ o coeficiente de inclinac¸a˜o
da reta, ou seja, o valor que, para cada aumento em uma unidade de X, Y aumenta em b
unidades.
No exerc´ıcio, o coeficiente vale -2,09 (o sinal de menos pertence a b, pois na equac¸a˜o geral
ha´ um sinal de mais entre a e b). Quando b e´ negativo, podemos interpreta´-lo como, para
cada aumento em uma unidade de X, Y diminui em b unidades.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
10. Problem
Baseado na teoria de teste de hipo´teses, pode-se dizer que
(a) o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a proba-
bilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico de teste.
(b) o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, e´ sempre um teste bilateral, pois o
objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa.
(c) a estat´ıstica t de student com n-2 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para proporc¸o˜es no caso da variaˆncia da proporc¸a˜o
populacional ser desconhecida.
(d) basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitada ao n´ıvel de significaˆncia
α.
(e) a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for verdadeira, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada
pela probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for falsa.
Solution
Alternativas falsas:
• a estat´ıstica t de student com n-1 graus de liberdade (em que n e´ o tamanho da amostra)
e´ a indicada para o teste de hipo´teses para me´dia no caso da variaˆncia populacional
ser desconhecida.
• a probabilidade do erro tipo II e´ calculada pela probabilidade de na˜o se rejeitar a
hipo´tese nula, quando esta for falsa, e a probabilidade do erro tipo I e´ calculada pela
probabilidade de rejeitar a hipo´tese nula quando esta for verdadeira.
• o teste t, utilizado na comparac¸a˜o de duas me´dias, nem sempre um teste bilateral,
pois o objetivo e´ avaliar se a diferenc¸a entre as duas me´dias e´ significativa. Lembre-se,
isso pode acontecer por meio de desigualdade entre as me´dias, na˜o apenas
por diferenc¸a, por exemplo:{
H0 : µa > µb
H1 : µa ≤ µb
• o p-valor de um teste de hipo´teses bilateral ou bicaudal e´ igual a duas vezes a prob-
abilidade da regia˜o interna delimitada pelo valor cr´ıtico da estat´ıstica de teste,
assumindo que a hipo´tese nula e´ verdadeira.
Statistics Exam: 00001 10
Alternativa correta:
• basta calcular o intervalo de confianc¸a para µ com (1− α)% de confianc¸a e verificar se
este intervalo conte´m ou na˜o o valor zero para verificar se a hipo´tese nula do teste para
uma me´dia (H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0) deve ser rejeitada ao n´ıvel de confianc¸a α.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta