EXAME(2 SOLUÇÕES) - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA(EAD) 2019/1

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R University
Statistics Exam 2019-07-12 Exam ID 00001
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Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) X (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) (e) X
3. (a) (b) (c) (d) X (e)
4. (a) X (b) (c) (d) (e)
5. (a) (b) X (c) (d) (e)
6. (a) (b) (c) X (d) (e)
7. (a) (b) (c) (d) X (e)
8. (a) X (b) (c) (d) (e)
9. (a) (b) (c) (d) X (e)
10. (a) (b) (c) (d) (e) X
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Considere a seguinte distribuic¸a˜o das frequeˆncias absolutas dos sala´rios mensais, em reais,
referentes a 200 trabalhadores de uma indu´stria.
[]@lc@ Classes de Sala´rio Nº de trabalhadoresR$ 800 ` R$ 900 50R$ 900 ` R$ 1000 70R$
1000 ` R$ 1100 40R$ 1100 ` R$ 1200 30R$ 1200 `a R$ 1300 10
Sobre essa distribuic¸a˜o de sala´rios e´ correto afirmar que:
(a) O sala´rio me´dio e´ de aproximadamente R$ 1100.
(b) A mediana encontra-se na classe de R$ 1000 ate´ R$ 1100.
(c) A mediana encontra-se na classe de R$ 900 ate´ R$ 1000.
(d) O desvio padra˜o dos sala´rios e´ pro´ximo de R$ 1000.
(e) A moda encontra-se na classe de R$ 1000 ate´ R$ 1100.
Solution
A mediana encontra-se na classe R$ 900 at? R$ 1000. Como o n?mero de funcion?rios
estudados ? par, 200, deve-se ordenar, em ordem crescente, os valores de acordo com a sua
frequ?ncia e selecionar os dois valores do meio e calcular sua m?dia aritm?tica. O sal?rio
m?dio ? de aproximadamente R$ 940. O desvio padr?o ? pr?ximo de R$ 120.A moda
encontra-se na classe R$ 900 at? R$ 1000, pois ? a que tem maior frequ?ncia.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Os funciona´rios do setor de contabilidade de uma empresa sa˜o divididos em dois grupos, os
que ganham acima de 5 sala´rios e os que ganham abaixo disso. A probabilidade de ganhar
acima de 5 sala´rios e´ de 20%. Ale´m disso, a probabilidade de um indiv´ıduo ter curso superior
dado que ganha um sala´rio mais alto e´ de 80%. Para os funciona´rios de menor rendimento
essa probabilidade e´ de 50%. Sabendo que um funciona´rio possui curso superior, qual a
probabilidade dele ganhar mais de 5 sala´rios?
(a) 0.5
(b) 0.56
(c) 0.8
(d) 0.32
(e) 0.28
Solution
Considere:
probabilidade de ter curso superior = P (CS) probabilidade de ganhar acima de 5 sala´rios
= P (+5) probabilidade de ganhar abaixo de 5 sala´rios = P (−5)
P (+5) = 0.2 P (−5) = 0.8 P (CS | +5) = 0.8 P (CS | −5) = 0.5
P (+5 | CS) = (P (+5) * P (CS | +5)) / (P (CS | +5) * P (+5)) + (P (CS | −5) * P (−5))
P (+5 | CS) = (0.2 * 0.8) / (0.8 * 0.2) + (0.5 * 0.8) P (+5 | CS) = 0.16 / (0.16 + 0.4)
P (+5 | CS) = 0.16/ 0.56 P (+5 | CS) = 0,28
(a) Incorreta
Statistics Exam: 00001 3
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
3. Problem
Suponha que as pessoas se dirijam ao caixa de um mercado de acordo com um processo
Poisson com taxa me´dia de 2 clientes por minuto. A probabilidade de que, num intervalo de
3 minutos, no ma´ximo dois clientes se dirijam ao caixa e´ dada por:
(a) 18e−2
(b) 18e−6
(c) 24e−2
(d) 25e−6
(e) 7e−3
Solution
Em um processo de Poisson, temos que o nu´mero de ocorreˆncias de um certo evento X
ATE´ um certo tempo t (Nt) tem distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia t*me´dia do nu´mero de
ocorreˆncias NO instante t (λ). Ou ainda, Nt ∼ Poisson(λt) (lembre-se de que o paraˆmetro
da Poisson e´ igual a sua me´dia).
No exerc´ıcio, temos que a taxa me´dia de clientes por minuto, λ, e´ 2, e o enunciado pergunta
qual e´ a P (N3 ≤ 2), porque e´ em um intervalo de 3 minutos. Neste caso, N3 ∼ Poisson(2∗3)
Dessa forma, as contas ficam
P (N3 ≤ 2)
= P (N3 = 0) + P (N3 = 1) + P (N3 = 2)
=
e−6 ∗ 60
0!
+
e−6 ∗ 61
1!
+
e−6 ∗ 62
2!
=
e−6 ∗ 1
1
+
e−6 ∗ 6
1
+
e−6 ∗ 36
2
= e−6 + 6e−6 + 18e−6
= 25e−6
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
4. Problem
Suponha que uma pesquisa tenha mostrado que o consumo mensal de a´gua, em litros, pelas
famı´lias residentes em Pelotas segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia 420 e desvio padra˜o
80. Se selecionarmos ao acaso uma famı´lia residente em Pelotas, pode-se dizer que a proba-
bilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´ um nu´mero:
(a) entre 0,025 e 0,05
(b) menor que 0,025
(c) entre 0,05 e 0,10
(d) entre 0,975 e 1,00
Statistics Exam: 00001 4
(e) entre 0,95 e 1,00
Solution
µ = 420L e σ = 80L
A probabilidade de seu consumo mensal de a´gua ser inferior a 280 litros e´:
P (X < 280) = P (Z < −1, 75) = φ(−1, 75) = 0, 0401
Z = X−µσ =
280−420
80 = − 14080 = −1, 75
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
5. Problem
A vida de uma laˆmpada ele´trica pode ser considerada uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
normal com me´dia de 50 dias e desvio padra˜o de 10 dias. Retirando-se da populac¸a˜o de
laˆmpadas todas as amostras aleato´rias poss´ıveis com 25 laˆmpadas, quais sera˜o os valores,
respectivamente, da me´dia e do erro padra˜o da distribuic¸a˜o amostral da me´dia?
(a) 50 dias e 10 dias
(b) 50 dias e 2 dias
(c) 10 dias e 2 dias
(d) 50 dias e 16 dias
(e) 50 dias e 25 dias
Solution
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2, enta˜o a
me´dia amostral tambe´m tera´ distribuic¸a˜o normal, com me´dia µ e variaˆncia
σ2
n
. Ou ainda,
se X ∼ N(µ, σ2), enta˜o X ∼ N(µ, σ
2
n
).
Neste exemplo, sendo X uma varia´vel aleato´ria igual ao tempo de vida da laˆmpada, podemos
dizer que X ∼ N(50, 102) e portanto X ∼ N(50, 10
2
25
)
X ∼ N(50, 4)
Assim, a me´dia da distribuic¸a˜o amostral e´ 50, e o erro padra˜o e´ 2 (lembre-se, 4 e´ a variaˆncia).
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria simples com reposic¸a˜o, de tamanho 64, retirada de
uma populac¸a˜o Normal com me´dia 200 e variaˆncia 400. Usando o fato que P (Z > 1, 64) =
0, 05, onde Z tem uma distribuic¸a˜o Normal Padra˜o, o valor de a para que P (|X −µ| ≤ a) =
0, 9 e´
Statistics Exam: 00001 5
(a) 3, 1
(b) 5, 1
(c) 4, 1
(d) 5, 2
(e) 3, 7
Solution
Sabemos que se uma populac¸a˜o tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia σ2, enta˜o
sua me´dia amostral tambe´m tera´ distribuic¸a˜o normal, com me´dia µ e variaˆncia
σ2
n
. Neste
caso, a me´dia amostral foi chamada de X, portanto X ∼ N(200, 400
64
).
Agora vamos abrir a expressa˜o P (|X − µ| ≤ a) = 0, 90
P (−a < X − 200 < a) = 0, 90 Note que, neste caso, X = X, e que por se tratar de uma
distribuic¸a˜o cont´ınua usar ≤ ou < na˜o faz diferenc¸a.
P (− a√
400
64
<
X − 200√
400
64
<
a√
400
64
) = 0, 90
P (− a20
8
< Z <
a
20
8
) = 0, 90
P (−8a
20
< Z <
8a
20
) = 0, 90
P (−0, 4a < Z < 0, 4a) = 0, 90
P (Z < 0, 4a)− P (Z < −0, 4a) = 0, 90
A equac¸a˜o acima pode ser interpretada como a a´rea de 0,9 em torno da me´dia de uma normal
padra˜o. Nesse sentido, podemos pensar que a calda inferior precisa ter 5% de probabilidade,
assim como a calda superior. Neste sentido, P (Z < 0, 4a) precisa ser o ponto da normal
padra˜o que acumula 95% de probabilidade, enquanto que P (Z < −0, 4a) precisa acumular
5%.
De acordo com o enunciado, o ponto que satisfaz, P (Z < 0, 4a) = 0, 95 e´ 1,64. Portanto,
1, 64 = 0, 4a
a =
1, 64
0, 4
a = 4, 1
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
7. Problem
Um pesquisador avaliou se a pressa˜o sangu´ınea dos candidatos do u´ltimo concurso para um
Tribunal de Contas se alterava no in´ıcio da prova. Em condic¸o˜es normais, sem stress, os
candidatos entre 18 e 32 anos apresentaram uma pressa˜o sisto´lica me´dia de 120 mm Hg.
Apo´s medir a pressa˜o de 36 candidatos a cinco minutos do in´ıcio da prova, foi encontrada a
pressa˜o sisto´lica me´dia de 125,2 mm Hg com desvio padra˜o amostral de12 mm Hg. Deve-se
testar{
H0 : µ = 120
H1 : µ > 120
O valor calculado da estat´ıstica t e´:
Statistics Exam: 00001 6
(a) 0,43
(b) -2,60
(c) 0,01
(d) 2,60
(e) -0,43
Solution
A estat´ıstica t para teste de hipo´teses e´ definida como
X − µ0
S√
n
No exerc´ıcio, temos que X = 125, 2, µ0 = 120, S = 12 e n = 36. Aplicando estes nu´meros
na fo´rmula, temos
125, 2− 120
12√
36
=
5, 2
12
6
=
5, 2
2
= 2, 6
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
8. Problem
O tempo de montagem de um equipamento apresenta uma distribuic¸a˜o normal com me´dia
igual a 30 minutos e desvio padra˜o igual a 5 minutos. Novas linhas de produc¸a˜o foram
idealizadas para reduzir o tempo de montagem. A montagem de 36 novos equipamentos em
cada uma das duas novas linhas de produc¸a˜o apresenta os seguintes resultados:
[]@cc@ Linha de Produc¸~ao Me´dia (min)1 28.52 27
Atrave´s dos Testes Unilaterais de Me´dias, com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%, constata-se
que:
(a) apenas a linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
(b) nenhuma das alternativas esta´ correta.
(c) nenhuma das duas linhas tendem a reduzir o tempo de montagem.
(d) a linha 1 tende a aumentar o tempo de montagem.
(e) as duas novas linhas de produc¸a˜o tendem a reduzir o tempo de montagem.
Solution{
H0 : µ = 30
H1 : µ < 30
A estat´ıstica t para teste de hipo´teses e´ definida como
X − µ0
S√
n
Statistics Exam: 00001 7
Para a linha 1, temos que X = 28, 5, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
28, 5− 30
5√
36
=
−1, 5
5
6
=
−9
5
= −1, 8
Para a linha 2, temos que X = 27, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
27− 30
5√
36
=
−3
5
6
=
−18
5
= −3, 6
Como ttab = 2, 0301 com α = 0, 025: para a linha 1 na˜o se rejeita H0, pois -1,8 < -2,0301
na˜o e´ verdade; para a linha 2 rejeita-se H0, pois -3,6 < -2,0301 e´ verdade. Assim, apenas a
linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
9. Problem
Num experimento em que se estudou a produtividade de amendoim e o nu´mero de leso˜es de
cercospora com os valores me´dios das varia´veis para 17 cultivares, obteve-se um coeficiente
de correlac¸a˜o r = -0,95. Sabendo-se que, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, o valor mı´nimo
de r, em termos absolutos, para ser considerado significativo e´ de 0,482, conclua quanto a`
significaˆncia do coeficiente de correlac¸a˜o r e o que isso significa, assinalando a alternativa
correta.
(a) r na˜o-significativo – e´ a associac¸a˜o negativa entre a produtividade de amendoim e o
nu´mero de leso˜es de cercospora, indicando que, aumentando o nu´mero de leso˜es de
cercospora, diminui a produtividade do amendoim.
(b) r significativo – e´ a associac¸a˜o positiva entre a produtividade de amendoim e o nu´mero
de leso˜es de cercospora, indicando que, aumentando o nu´mero de leso˜es de cercospora,
aumenta a produtividade do amendoim.
(c) r significativo – e´ a associac¸a˜o positiva entre a produtividade de amendoim e o nu´mero
de leso˜es de cercospora, indicando que, aumentando o nu´mero de leso˜es de cercospora,
diminui a produtividade do amendoim.
(d) r significativo – e´ a associac¸a˜o negativa entre a produtividade de amendoim e o nu´mero
de leso˜es de cercospora, indicando que, aumentando o nu´mero de leso˜es de cercospora,
diminui a produtividade do amendoim.
Statistics Exam: 00001 8
(e) r na˜o-significativo – significa que as evideˆncias amostrais na˜o sa˜o suficientes para com-
provar associac¸a˜o entre a produtividade de amendoim e o nu´mero de leso˜es de cer-
cospora.
Solution
O valor r e´ significativo porque de acordo com o exerc´ıcio, o valor mı´nimo de r, em termos
absolutos, para ser considerado significativo a 5%, e´ de 0,482. Enta˜o se o r observado for
maior do que 0,482 em mo´dulo, ele e´ significativo. No caso, |r| = 0, 95 > 0, 482.
Se o valor r for negativo, significa dizer que ha´ uma relac¸a˜o inversa entre as duas varia´veis,
de maneira que, quando uma cresce a outra diminui e vice-versa.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Correta
(e) Incorreta
10. Problem
A relac¸a˜o entre X: precipitac¸a˜o pluviome´trica (medida em cm) e Y: colheita de milho (medida
em kg/ha) foi estudada em uma amostra de tamanho 45. Os valores observados para Y
variaram de 160 a 520 e os de X variaram de 17,8 a 160,2. Foi obtida a seguinte reta de
regressa˜o: Y¯ = 441,13 – 1,93X. O que se pode afirmar sobre esse resultado?
(a) a correlac¸a˜o entre precipitac¸a˜o pluviome´trica e colheita de milho, se houver, e´ da ordem
de 0,06%.
(b) a correlac¸a˜o entre precipitac¸a˜o pluviome´trica e colheita de milho, se houver, e´ da ordem
de 6%.
(c) existe baixa probabilidade (0,006) da precipitac¸a˜o pluviome´trica estar relacionada lin-
earmente com a colheita de milho.
(d) a correlac¸a˜o entre precipitac¸a˜o pluviome´trica e colheita de milho, se houver, e´ da ordem
de 93%.
(e) se espera uma colheita de milho de 248,13 kg/are para uma a´rea de precipitac¸a˜o plu-
viome´trica de 100 cm.
Solution
Espera-se uma colheita de milho de 248,13 kg/are para uma a´rea de precipitac¸a˜o plu-
viome´trica de 100 cm, porque conforme a reta que nos e´ informada Y¯ = 441,13 – 1,93X, se
substituirmos X por 100 obteremos 248,13.
Y¯ = 441,13 – 1,93X
Y¯ = 441,13 - 1,93 · (100)
Y¯ = 441,13 - 193
Y¯ = 248,13
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
R University
Statistics Exam 2019-07-12 Exam ID 00001
Name:
Student ID:
Signature:
1. (a) (b) (c) X (d) (e)
2. (a) (b) (c) (d) (e) X
3. (a) (b) X (c) (d) (e)
4. (a) (b) (c) (d) (e) X
5. (a) (b) (c) X (d) (e)
6. (a) X (b) (c) (d) (e)
7. (a) (b) (c) (d) (e) X
8. (a) (b) X (c) (d) (e)
9. (a) (b) (c) X (d) (e)
10. (a) X (b) (c) (d) (e)
Statistics Exam: 00001 2
1. Problem
Examinando a figura abaixo, e´ correto dizer:
A
B
x
(a) As distribuic¸o˜es possuem o mesmo coeficiente de variac¸a˜o.
(b) O coeficiente de variac¸a˜o de B e´ maior do que o de A.
(c) O desvio padra˜o da distribuic¸a˜o A e´ maior do que o da distribuic¸a˜o B, e as me´dias sa˜o
iguais.
(d) O desvio padra˜o de A e´ menor do que o de B e as me´dias sa˜o diferentes.
(e) O desvio padra˜o de A e´ igual ao de B, independentemente do valor da me´dia.
Solution
A me´dia e´ uma medida de tendeˆncia central e pode ser interpretado como o ponto de equi-
l´ıbrio da distribuic¸a˜o. Ja´ o desvio padra˜o e´ uma medida de variabilidade ou dispersa˜o e pode
ser interpretado como um desvio t´ıpico com respeito a` me´dia da distribuic¸a˜o. Na questa˜o
temos duas distribuic¸o˜es com a mesma me´dia, no entanto vemos que uma delas possui maior
dispersa˜o com respeito a este valor, enquanto que a outra e´ mais concentrada em torno da
me´dia. O desvio padra˜o captura esta informac¸a˜o: maior dispersa˜o, maior e´ o desvio padra˜o;
menor dispersa˜o, menor e´ o desvio padra˜o.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
2. Problem
Dois novos tipos de vacina contra determinada doenc¸a esta˜o sendo testados: a vacina do
tipo A e a vacina do tipo B. Esses dois tipos de vacinas foram aplicados em uma populac¸a˜o
de volunta´rios. Sabe-se que 60% dos volunta´rios receberam vacina do tipo A e 40% dos
volunta´rios restantes receberam vacina do tipo B. Sabe-se, tambe´m, que a vacina do tipo A
fornece 70% de imunizac¸a˜o e a do tipo B fornece 80% de imunizac¸a˜o. Assim, a probabilidade
de uma pessoa, escolhida ao acaso, ter recebido a vacina do tipo A dado que esta´ imunizada
e´ igual a
(a) 42/75.
(b) 0,5.
Statistics Exam: 00001 3
(c) 0,68.
(d) 0,42.
(e) 21/37.
Solution
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta(e) Correta
3. Problem
Uma moeda na˜o tendenciosa e´ lanc¸ada quatro vezes. A probabilidade de que sejam obtidas
duas caras e duas coroas e´:
(a) 1/2
(b) 3/8
(c) 3/4
(d) 5/8
(e) 2/3
Solution
Tal probabilidade e´ calculada como segue por um modelo Binomial:
(
n
x
) · px · qn−x
Assim, a probabilidade de ocorrerem duas caras sera´ p = 12 e a probabilidade de ocorrerem
duas coroas sera´ o complementar de p, pois sa˜o apenas 4 lanc¸amentos q = 1−p = 1− 12 = 12 .
Assim segue:(
4
2
) · ( 12)2 · ( 12)2 = 122 · 14 · 14 = 616 = 38
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
4. Problem
Um grupo de 800 soldados apresenta peso normalmente distribu´ıdo com me´dia igual a 70 kg e
desvio padra˜o igual a 5 kg. Um destacamento especial foi formado com soldados que tinham
peso entre 75 e 80 kg. Considerando-se as propriedades do desvio padra˜o para distribuic¸o˜es
normais, o destacamento especial foi formado por aproximadamente:
(a) 126 soldados
(b) 273 soldados
(c) 382 soldados
(d) 216 soldados
(e) 109 soldados
Statistics Exam: 00001 4
Solution
n = 800 soldados e µ = 420L e σ = 80L
Z = X−µσ =
75−70
5 =
5
5 = 1
Z = X−µσ =
80−70
5 =
10
5 = 2
P (1 =< Z =< 2) = φ(2)− φ(1)
P (1 =< Z =< 2) = 0, 9772− 0, 8413
P (1 =< Z =< 2) = 0, 1359
nro de soldados = 0, 1359 · 800 = 108, 72
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
5. Problem
Em uma pesquisa pre´via eleitoral treˆs candidatos conseguiram os seguintes percentuais de
intenc¸a˜o de voto, para uma amostra de 400 eleitores:
[]@lc@ Candidato %A 40B 35C 25Total 100
Utilizando-se intervalos de confianc¸a de 95% de probabilidade pode-se afirmar que:
(a) o candidato A seria o vencedor se a eleic¸a˜o fosse realizada no per´ıodo da pesquisa.
(b) os resultados apontam um empate te´cnico entre os candidatos A e B para o primeiro
lugar, e tambe´m empate te´cnico entre os candidatos B e C para o segundo lugar.
(c) para o primeiro lugar existe empate te´cnico entre os candidatos A e B.
(d) o candidato A seria o primeiro colocado, mas haveria uma indefinic¸a˜o entre os can-
didatos B e C para o segundo lugar.
(e) nenhuma das alternativas anteriores.
Solution
Candidato A: P = 0, 4 e α = 0, 05
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,4·(0,6)
400
� = 1, 96 ·
√
0,24
400
� = 2, 0046 · √0, 0006
� = 2, 0046 · 0, 024494897
� = 0, 048009998
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 4− 0, 048009998; 0, 4 + 0, 048009998]
Candidato B: P = 0, 35 e α = 0, 05
Statistics Exam: 00001 5
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,35·(0,65)
400
� = 1, 96 ·
√
0,2275
400
� = 1, 96 · √0, 00056875
� = 1, 96 · 0, 02384848
� = 0, 04674302
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 35− 0, 04674302; 0, 35 + 0, 04674302]
Candidato c: P = 0, 25 e α = 0, 05
� = ztab ·
√
P ·(1−P )
n
� = 1, 96 ·
√
0,25·(0,75)
400
� = 1, 96 ·
√
0,1875
400
� = 1, 96 · √0, 00046875
� = 1, 96 · 0, 021650635
� = 0, 042435244
I.C. = [P − �;P + �]
I.C. = [0, 25− 0, 042435244; 0, 25 + 0, 042435244]
Ocorre empate te´cnico entre os candidatos A e B porque seus intervalos coincidem.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
6. Problem
O peso de crianc¸as rece´m-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuic¸a˜o
normal com me´dia P e desvio padra˜o desconhecido. Uma amostra de 16 rece´m-nascidos
indicou um peso me´dio de 3,0 kg e desvio padra˜o amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de
confianc¸a para P, com coeficiente de confianc¸a de 96% e´ dado por:
(a) 3,00 +- 0,45
(b) 3,00 +- 0,68
(c) 3,00 +- 0,37
(d) 3,00 +- 0,41
(e) 3,00 +- 0,73
Solution
n = 16, G.L. = 15, µ = 3, 0kg, σ = 0, 8kg e α = 0, 04
� = ttab · S√n
� = 2, 2485 · 0,8√
16
Statistics Exam: 00001 6
� = 2, 2485 · 0, 2
� = 0, 4497
I.C. = [X¯ − �; X¯ + �]
I.C. = [3, 00− 0, 4497; 3, 00 + 0, 4497]
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
7. Problem
Em uma fa´brica, duas ma´quinas esta˜o ajustadas para encher cada garrafa com 1 litro de
refrigerante. Para comparar a eficieˆncia destas duas ma´quinas, uma amostra de tamanho
100 foi coletada aleatoriamente de cada ma´quina. A tabela abaixo apresenta os resultados
encontrados
[]@lcc@ Ma´quina A Ma´quina BTamanho da amostra 100 100Me´dia de refrigerante (em
litros) 0,98 1,02Desvio padra˜o 1,00 1,00
Assinale a afirmac¸a˜o que apresenta a melhor conclusa˜o do teste para comparar as quantidades
me´dias de refrigerantes utilizando um n´ıvel de significaˆncia de 0,05.
(a) Rejeita-se H0 e conclui-se que na˜o existe diferenc¸a significativa entre as me´dias.(valor
p < 0,05)
(b) Na˜o se rejeita H0 e conclui-se que ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias (valor p >
0,05).
(c) Rejeita-se H0 e conclui-se que, em me´dia a ma´quina A coloca menos refrigerante que a
ma´quina B (valor p > 0,05).
(d) Rejeita-se H0 e conclui-se que, em me´dia, a ma´quina A coloca menos refrigerante que
a ma´quina B (valor p < 0,05).
(e) Na˜o se rejeita H0 e conclui-se que os dados na˜o revelaram diferenc¸a significativa entre
as me´dias (valor p > 0,05).
Solution
Para resolver este exerc´ıcio, vamos fazer um teste t (pois o desvio padra˜o populacional na˜o
nos foi informado) para a diferenc¸a entre as me´dias de litros de refrigerante da ma´quina A
e da ma´quina B. Nos foi informado pela tabela o tamanho de amostra n = 100, a me´dia
amostral de litros da ma´quina A, Xa = 0, 98, a me´dia amostral de litros da ma´quina B,
Xb = 1, 02, o desvio padra˜o amostral da ma´quina A, Sa = 1, 00, e o desvio padra˜o amostral
da ma´quina B, Sb = 1, 00.
Com esses dados, vamos testar{
H0 : µa − µb = 0
H1 : µa − µb 6= 0
Se H0 for verdade, enta˜o na˜o ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias. Se H1 for verdade,
enta˜o ha´ diferenc¸a significativa entre as me´dias.
Existem dois tipos de teste t para comparac¸a˜o de duas me´dias: o que assume que as variaˆncias
de ambas as amostras sa˜o iguais e o que assume que elas sa˜o diferentes. No nosso caso, como
os desvios padro˜es amostrais sa˜o literalmente iguais, enta˜o faremos o teste t para comparac¸a˜o
de duas me´dias com variaˆncias iguais.
Statistics Exam: 00001 7
Para realizar o teste, precisamos calcular a estat´ıstica de teste, dada por
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
Onde na e nb sa˜o o tamanho de amostra da ma´quina A e B respectivamente.
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
A estat´ıstica t, neste caso, segue uma distribuic¸a˜o t com na+nb−2 graus de liberdade. Isso
sera´ usado para encontrar os valores cr´ıticos de teste. Olhando na tabela t, com α = 0, 05
e 198 graus de liberdade, esse valor e´ aproximadamente 1,9720. Como a distribuic¸a˜o t e´
sime´trica, o teste rejeita a hipo´tese nula se a estat´ıstica t for maior do que 1,9720, ou menor
do que -1,9720.
Calculando S2p :
S2p =
[S2a(na − 1)] + [S2b (nb − 1)]
na + nb − 2
S2p =
[12(100− 1)] + [12(100− 1)]
100 + 100− 2
S2p =
99 + 99
198
S2p =
198
198
S2p = 1
Calculando a estat´ıstica de teste:
t =
Xa −Xb√
S2p
(
1
na
+ 1nb
)
t =
0, 98− 1, 02√
1
(
1
100 +
1
100
)
t =
−0, 04√
2
100
t = −0, 04 ∗ 10√
2
t = −0, 4√
2
t = −0, 2828, aproximadamente
Como t = −0, 2828 > −1, 9720, enta˜o na˜o se rejeita H0 e, com 5% de significaˆncia, conclui-se
que os dados na˜o revelam diferenc¸a significativa entre as me´dias.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Correta
Statistics Exam: 00001 8
8. Problem
O tempo de montagem de um equipamento apresenta uma distribuic¸a˜o normal com me´dia
igual a 30 minutos e desvio padra˜o igual a 5 minutos. Novas linhas de produc¸a˜o foram
idealizadas para reduzir o tempo de montagem. A montagem de36 novos equipamentos em
cada uma das duas novas linhas de produc¸a˜o apresenta os seguintes resultados:
[]@cc@ Linha de Produc¸~ao Me´dia (min)1 28.52 27
Atrave´s dos Testes Unilaterais de Me´dias, com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%, constata-se
que:
(a) nenhuma das duas linhas tendem a reduzir o tempo de montagem.
(b) apenas a linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
(c) nenhuma das alternativas esta´ correta.
(d) as duas novas linhas de produc¸a˜o tendem a reduzir o tempo de montagem.
(e) a linha 1 tende a aumentar o tempo de montagem.
Solution{
H0 : µ = 30
H1 : µ < 30
A estat´ıstica t para teste de hipo´teses e´ definida como
X − µ0
S√
n
Para a linha 1, temos que X = 28, 5, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
28, 5− 30
5√
36
=
−1, 5
5
6
=
−9
5
= −1, 8
Para a linha 2, temos que X = 27, µ0 = 30, S = 5 e n = 36. Aplicando estes nu´meros na
fo´rmula, temos
27− 30
5√
36
=
−3
5
6
=
−18
5
= −3, 6
Como ttab = 2, 0301 com α = 0, 025: para a linha 1 na˜o se rejeita H0, pois -1,8 < -2,0301
na˜o e´ verdade; para a linha 2 rejeita-se H0, pois -3,6 < -2,0301 e´ verdade. Assim, apenas a
linha 2 tende a reduzir o tempo de montagem.
(a) Incorreta
(b) Correta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
Statistics Exam: 00001 9
(e) Incorreta
9. Problem
Foram estudadas 100 crianc¸as para verificar se existe associac¸a˜o linear entre idade e capaci-
dade pulmonar. O coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson, calculado com os dados desta
amostra, foi de 0,8. Para testar a hipo´tese nula de que idade e capacidade pulmonar de cri-
anc¸as na˜o sa˜o linearmente relacionadas, foi utilizado o teste t adequado. O valor calculado
para a estat´ıstica de teste e´ igual a
(a) 10,3
(b) 15,0
(c) 13,2
(d) 15,3
(e) 23,0
Solution
Testar a hipo´tese nula de que idade e capacidade pulmonar de crianc¸as na˜o sa˜o linearmente
relacionadas, significa testar se ρ e´ significativamente diferente de zero ou na˜o. Ou seja,
usaremos esse tipo de teste:{
H0 : ρ = 0
H1 : ρ 6= 0
Usamos a estat´ıstica T =
r
√
n− 2√
1− r2
Sabemos que n = 100 e que r = 0, 8, enta˜o vamos calcular T :
T =
r
√
n− 2√
1− r2
T =
0, 8
√
100− 2√
1− 0, 82
T =
0, 8
√
98√
1− 0, 64
T =
0, 8 ∗ 9, 8996√
0, 36
T =
7, 9197
0, 6
T = 13, 1995
Por motivos de arredondamento, na˜o ha´ exatamente este nu´mero entre as alternativas. En-
tretanto, o nu´mero que mais se aproxima deste e´ 13,3, que e´ a resposta correta.
(a) Incorreta
(b) Incorreta
(c) Correta
(d) Incorreta
(e) Incorreta
10. Problem
O gerente de uma indu´stria localizada em um pa´ıs tropical vem verificando muita variac¸a˜o
na produtividade dos funciona´rios e acredita que deva ter uma relac¸a˜o com a temperatura
do dia. Num experimento organizado para estudar a relac¸a˜o entre a produtividade (pec¸as
Statistics Exam: 00001 10
produzidas por dia) e a temperatura do dia (medida em ºC), foram coletados dados aleato-
riamente ao longo de um per´ıodo de seis meses, obtendo-se a equac¸a˜o de regressa˜o linear
Y = 185, 96− 2, 09X. Na equac¸a˜o de regressa˜o linear, identifique a alternativa com o coefi-
ciente de inclinac¸a˜o e o que ele representa.
(a) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(b) 185,96. Estima-se em 185,96 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC
na temperatura.
(c) -2,09. Estima-se em 2,09 a reduc¸a˜o na produtividade para cada reduc¸a˜o de 1ºC na
temperatura.
(d) 2,09. Estima-se em 2,09 o aumento na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
(e) 185,96. Estima-se em 185,96 a reduc¸a˜o na produtividade para cada aumento de 1ºC na
temperatura.
Solution
A equac¸a˜o de regressa˜o linear gene´rica e´ dada como Y = a + bX, onde a e´ o intercepto
da reta, ou seja, o valor que Y assume quando X for zero; e b e´ o coeficiente de inclinac¸a˜o
da reta, ou seja, o valor que, para cada aumento em uma unidade de X, Y aumenta em b
unidades.
No exerc´ıcio, o coeficiente vale -2,09 (o sinal de menos pertence a b, pois na equac¸a˜o geral
ha´ um sinal de mais entre a e b). Quando b e´ negativo, podemos interpreta´-lo como, para
cada aumento em uma unidade de X, Y diminui em b unidades.
(a) Correta
(b) Incorreta
(c) Incorreta
(d) Incorreta
(e) Incorreta