Arco Duplo

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Fundamentos da Matemática – BSI 2018.2 
 
 
 
Prof: Gilberto Gil 
1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CEFET - Celso Suckow da Fonseca - Campus Maria da Graça 
 Soma de Arcos 
1. Sendo 
1
M arctg(X), N arctg
X
 
= =  
 
 e 
P tg(M N),= −
 o 
valor de 
30P
 para 
X 15=
 é 
a) 
224
.
30
 b) 
45
.
6
 c) 
45.
 d) 
224.
 e) 
225.
 
 
2. Considere o triângulo com ângulos internos 
x, 45
 e 
120 .
 O valor de 
2tg (x)
 é igual a 
a) 
3 2.−
 b) 
4 3 7.−
 c) 
7 4 3.−
 
d) 
2 3.−
 e) 
2 4 3.−
 
 
3. Se 
tg x cotg x 1,− =
 então o valor de 
tg 2x
 é 
a) 
2
 b) 
1
 c) 
0
 d) 
1−
 e) 
2−
 
 
4. O maior valor de 
tgx,
 com 
1 3
x arcsen
2 5
 
=  
 
 e 
x 0, ,
2
π 
  
 
 é 
a) 
1
.
4
 b) 
1
.
3
 c) 
1
.
2
 d) 
2.
 e) 
3.
 
 
5. No esquema abaixo, estão representados um quadrado 
ABCD
 e um círculo de centro 
P
 e raio 
r,
 tangente às retas 
AB
 e 
BC.
 O lado do quadrado mede 
3r.
 
 
A medida 
θ
 do ângulo 
CAP
 pode ser determinada a partir 
da seguinte identidade trigonométrica: 
tg( ) tg( )
tg( )
1 tg( ) tg( )
α β
α β
α β
−
− =
+ 
 
O valor da tangente de 
θ
 é igual a: 
a) 
0,65
 b) 
0,60
 c) 
0,55
 d) 
0,50
 
 
6. O valor de 
cos(105 )
 é 
a) 
3
.
2
 b) 
2 6
.
4
+
 c) 
2 6
.
2
−
 
d) 
2 6
.
2
+
 e) 
2 6
.
4
−
 
 
7. Assinale a alternativa que contém valor exato de 
log A,
 
sabendo-se que: 
2 sen 20 sen 70
A
3 cos 50 sen 40
  
=
 + 
 e 
log2 0,3.=
 
a) 
1.
 b) 
0,6.−
 c) 
0,8.−
 d) 
0,6.
 e) 
0,3.
 
 
8. Considerando-se que 
2
sen(5 ) ,
25
 =
 tem-se que 
cos(50 )
 é 
a) 
2
( 621 2)
50
+
 
b) 
2
( 621 2)
50
−
 
c) 
2
(1 621)
50
−
 
d) 
2
( 621 1)
50
−
 
 
9. Sendo 
x
 um arco e satisfazendo 
x
2
π
π 
 e 
24
sen(x) ,
25
=
 o valor de 
x
cos
2
 
 
 
 é: 
a) 
1
25
 b) 
1
5
−
 c) 
1
5
 d) 
3
5
−
 e) 
3
5
 
 
10. Se 
sen x sen y 
15
3
+ =
 e 
cos x cos y 1,+ =
 
então, 
( )sec x – y
 é igual a 
a) 
1
3
 b) 
1
2
 c) 
2
 d) 
3
 e) 4 
 
11. Dado 
2
y cos 2arcsen ,
3
 
=  
 
 temos que 
a) 
y 3=
 b) 
4
y
3
=
 c) 
1
y
9
=
 d) 
3
y
2
=
 e) 
1
y
3
=
 
 
12. A expressão 
cotg(2x) cossec(2x)+
 pode ser escrita 
como: 
a) 
cos(x) sen(x)
cos(x)sen(x)
+
 
b) 
tg(x)
 
c) 
cotg(x)
 
d) 22 cos (2x) sen(2x)
sen(4x)
 +
 
 
e) 22 cos(2x) sen (2x)
sen(4x)
 +
 
 
 
13. Sejam x e y números reais positivos tais que 
x y
2
+ =
. Sabendo-se que 
( ) 1sen y x 3− =
, o valor de 
2 2tg y tg x−
é igual a 
a) 
3
2
 b) 
5
4
 c) 
1
2
 d) 
1
4
 e) 
1
8
 
 
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Prof: Gilberto Gil 
2 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CEFET - Celso Suckow da Fonseca - Campus Maria da Graça 
 
14. O período da função real 
f
 definida por 
sen 3x sen x
f(x)
cos 3x cos x
+
=
+
 é igual a 
a) 
2π
 
b) 
π
 
c) 
4
π
 
d) 
2
π
 
 
15. Sabendo que 
6
cos sen ,
3
 −  =
então o valor de 
( )sen 2
é: 
a) -1 b) 
5
9
−
 c) 
1
6
 d) 
1
3
 e) 
5
6
 
 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
De 
( )M arctg X ,=
 
tgM X=
 
 
De 
1
N arctg ,
X
 
=  
 
 
1
tgN
X
=
 
 
Para 
X 15,=
 
tgM 15=
 e 
1
tgN
15
=
 
( )P tg M N
tgM tgN
P
1 tgM tgN
1
15
15P
1
1 15
15
112
P
15
112
30P 30 224
15
= −
−
=
+ 
−
=
+ 
=
=  =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Do enunciado, 
( )
x 45 120 180
x 60 45
tgx tg 60 45
tg60 tg45
tgx
1 tg60 tg45
3 1
tgx
1 3 1
+ + =
= −
= −
−
=
+ 
−
=
+ 
 
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
3 1
tg x
1 3
3 2 3 1 1
tg x
1 2 1 3 3
4 2 3
tg x
4 2 3
2 2 3
tg x
2 2 3
2 3
tg x
2 3
2 3 2 3
tg x
2 3 2 3
2 2 2 3 3
tg x
2 3
tg x 7 4 3
 −
=   + 
−   +
=
+   +
−
=
+
 −
=
 +
−
=
+
− −
= 
+ −
−   +
=
−
= −
 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
2 21tgx cotgx 1 tgx 1 tg x 1 tgx 1 tg x tgx
tgx
− =  − =  − =  − = −
 
 
Portanto, 
2
2 tgx 2 tgx
tg(2x) 2
tgx1 tg x
 
= = = −
−−
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
2
1 3 3 3 4 3
x arcsen 2x arcsen sen 2x cos2x tg 2x
2 5 5 5 5 4
tg x 3 (não convém)
2 tg x 3
3tg x 8tg x 3 0 ou
41 tg x
1tg x
3
   
= → = → = → = → =   
   
= −

= → + − = →
−
=
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
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3r
CÂB tg 1
3r
r 1
PÂB tg
4r 4
11 3 4 34tg tg ( ) tg tg 0,6
1 4 5 51 1
4
α α
β β
θ α β θ α β θ θ
= → = =
= → = =
−
= − → = − = → =  → = =
+ 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
cos105 cos(60 45 )
cos105 cos60 cos45 sen60 sen45
1 2 3 2
cos105
2 2 2 2
2 6
cos105
4
 =  + 
 =    −   
 =  − 
−
 =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Considerando que 
sen70 cos20 = 
 e que 
cos50 sen40 . = 
 Podemos escrever que: 
2 sen20 sen70 2 sen20 cos20 sen40 1
A
3 sen40 sen40 4 sen40 43 cos50 sen40
       
= = = =
  +    + 
 
 
Portanto, 
21logA log log2 2 log2 2 0,3 0,6.
4
−= = = −  = −  = −
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
( ) ( )
2
2 2 621cos 5 1 cos5
25 25
2 621 2 2 2
cos50 cos 45 5 cos45 cos5 sen45 sen5 621 2
2 25 2 25 50
 
= −  = 
 
 =  +  =    −    =  −  =  −
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 2 2
2
2
x x
x cos 0
2 4 2 2 2
cos x 1 sen x
24 7
cos x 1 cos x
25 25
7
como x , temos cosx
2 25
π π π
π
π
π
 
       
 
= −
 
= −  =  
 
  = −
 
 
Utilizando, agora, a fórmula do cosseno do arco duplo, 
temos: 
2 2 2x x x xcosx cos 2 cos x cos sen cos x 2 cos 1
2 2 2 2
       
=   = −  =  −       
       
 
 
Logo, 
2 2 27 x x 18 x 9 x 32 cos 1 2cos cos cos
25 2 2 25 2 25 2 5
x x 3
como cos 0, temos cos
2 2 5
       
− =  −  =  =  =        
       
   
 =   
   
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Sabendo que 
2 2sen cos 1,α α+ =
 
cos( ) cos cos sen senα β α β α β− = +
 e 
1
sec ,
cos
α
α
=
 
vem 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
1515 sen x 2senxseny sen ysenx seny
93
cos x cos y 1 cos x 2cos xcos y cos y 1
sen x cos x 2 (senx seny cos xcos y)
5
sen y cos y 1
3
2
2 (senxseny cos xcos y)
3
1
3
senxseny cos xcos y1
3
cos(x y)
sec(x y) 3.
+ + =+ =

+ = + + =
 + +  + +
+ + = +
  + =
 =
+
 =
−
 − =
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Considere o ângulo 
,α
 com 
0, ,
2
π
α
 
  
 
 tal que 
2
sen .
3
α =
 Logo, 
 
2
2
2
y cos 2arcsen
3
cos2
1 2 sen
2
1 2
3
8
1
9
1
.
9
α
α
 
=  
 
=
= − 
 
= −   
 
= −
=
 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
Sabendo que 
2cos2x 2cos x 1= −
 e 
sen2x 2senxcosx,=
 vem 
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2
cos2x 1
cotg2x cossec 2x
sen2x sen2x
1 cos2x
sen2x
1 2cos x 1
2senxcos x
cos x
senx
cotgx.
+ = +
+
=
+ −
=
=
=
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Como x e y são arcos complementares senx = cos y , seny = 
cosx e tgx = 1/tgy 
sen (y – x ) = 
1
3
 
seny.cosx – senx.cosy = 
1
3
 
cosx.cosx – senx.cosx = 
1
3
 
cos2x – sen2x = 
1
3
 
cos2x – ( 1- cos2x) = 
1
3
 
2.cos2x = 
1
3
+ 1 
cos2x = 
2
3
 
 
e sen2x = 1 – cos2x 
 
logo sen2x = 
1
3
 
e tg2x = 
1
13
2 2
3
=
 
logo, tg2y = 2 
 
Portanto: tg2y – tg2 x = 2 – ½ = 3/2 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
3x x 3x x
2.sen .cos
2 2f(x)
3x x 3x x
2.cos .cos
2 2
sen(2x)
f(x)
cos(2x)
f(x) tg(2x)
+ −
=
+ −
=
=
 
Logo, o período é P = 
2 2
=
π π
. 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, 
temos: 
cos2

 + sen2

 - 2.sen

.cos

 = 
2
3
 
1 – sen(2

) = 
2
3
 
sen(2

) = 
1
3