C1 - A4 - CADERNO DE QUESTÕES

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CADERNO DE QUESTÕES – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A 
UMA VARIÁVEL 
AULA TEÓRICA 04 
 
1. Um silo em forma de cone com 16m de altura e 8m de diâmetro está 
recebendo uma carga de soja cuja vazão de enchimento é de 3m³/min. 
Obtenha a taxa de crescimento do nível da soja até que se obtenha 2m 
de profundidade. 
 
 
Resolução: 
Lembre-se que o diâmetro é o dobro do valor do raio. Portanto o raio do cone é 
de 4m. Precisamos calcular o volume do cone quando a altura ℎ = 2. 
O volume do cone é calculado através da fórmula 𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ. 
Porém, como estamos procurando a taxa em que a altura do nível da soja 
aumenta, iremos substituir o raio pela sua relação com a altura: 
𝑟
ℎ
=
4
16
 
𝑟 =
ℎ
4
 
Assim, o volume irá variar de acordo com a altura, ou seja: 
𝑉 =
1
3
𝜋 (
ℎ
4
)
2
ℎ 
𝑉 =
1
3
𝜋
ℎ2
16
ℎ 
𝑉 =
𝜋
48
ℎ3 
Agora que temos a fórmula do volume em relação à altura, podemos derivá-la 
em relação ao tempo e obter 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜋
48
𝑑ℎ3
𝑑𝑡
 
Derivando implicitamente ℎ3 temos 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜋
48
3ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
Substituindo a taxa de vazão e h 
3 =
𝜋
16
22
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
12
𝜋
≈ 3,82 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
 
 
2. Obtenha os extremos absolutos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2. 
 
Resolução: 
Lembre-se que para obtermos os valores extremos de uma função, devemos 
encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função. Portanto 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 − 1 
3𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0 
Cujas raízes são 𝑥1 =
2
3
 −
√7
3
 e 𝑥2 =
2
3
+
√7
3
 ou seja, 𝑥1 = −0,21 e 𝑥2 = 1,55 
 
3. Obtenha os pontos críticos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥. 
 
Resolução: 
Lembre-se que para obtermos os valores extremos de uma função, devemos 
encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função. Portanto 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12 
3𝑥2 − 12 = 0 
𝑥 = ±2 
Quando 𝑥 = 2 temos que 𝑓(2) = 23 − 12 ∗ 2 = −16. Portanto o ponto crítico é 
𝑃(2; −16). 
Quando 𝑥 = −2 temos que 𝑓(2) = (−2)3 − 12 ∗ (−2) = 16. Portanto o ponto 
crítico é 𝑄(−2; 16). 
4. Obtenha e classifique os pontos críticos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
27
2
𝑥2. 
 
Resolução: 
Lembre-se que para obtermos os valores extremos de uma função, devemos 
encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função. Portanto 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 27𝑥 
3𝑥2 − 27𝑥 = 0 
𝑥(3𝑥 − 27) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = 9 
Quando 𝑥 = 0 temos que 𝑓(0) = 0. Portanto o ponto crítico é 𝑃(0; 0). 
Quando 𝑥 = 9 temos que 𝑓(9) = 93 −
27
2
∗ 92 = −
729
2
. Portanto o ponto crítico é 
𝑄 (9; −
729
2
). 
Para classificar os pontos, precisamos calcular a derivada de segunda ordem da 
função. Portanto 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 27 
Agora, avaliaremos o sinal de 𝑓′′ nos pontos críticos: 
𝑓′′(0) = 6 ∗ 0 − 27 
𝑓′′(0) < 0 
Portanto 𝑃(0; 0) é máximo. 
𝑓′′(9) = 6 ∗ 9 − 27 
𝑓′′(0) > 0 
Portanto 𝑄(9; −364,5) é mínimo. 
 
 
 
5. Com o objetivo de minimizar a quantidade de alumínio utilizado na 
produção de latas de refrigerante, uma equipe calculou a fórmula da área 
de alumínio utilizado em relação ao raio da lata como sendo 𝐴(𝑟) =
2𝜋𝑟2 +
700
𝑟
. Obtenha os valores do raio e da altura da lata de forma que 
seu volume seja de 350ml. 
 
Resolução: 
Lembre-se que latas de refrigerante possuem um formato cilíndrico e que o 
volume do cilindro é calculado pela fórmula 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ. 
O volume da lata que queremos é 350, então 350 = 𝜋𝑟2ℎ 
Derivando a função 𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟2 +
700
𝑟
 em relação à r e calculando suas raízes, 
iremos obter os valores extremos da função. 
𝐴′(𝑟) = 4𝜋𝑟 −
700
𝑟2
 
4𝜋𝑟 −
700
𝑟2
= 0 
4𝜋𝑟3 − 700
𝑟2
= 0 
𝑟 ≠ 0 
4𝜋𝑟3 − 700 = 0 
4𝜋𝑟3 = 700 
𝑟3 =
700
4𝜋
 
𝑟 = √
175
𝜋
3
 
É o raio que minimiza a quantidade de alumínio. Utilizando essa informação na 
fórmula do volume: 
350 = 𝜋 (√
175
𝜋
3
)
2
ℎ 
350
𝜋
=
1752/3
𝜋2/3
ℎ 
350
𝜋
∗
𝜋
2
3
175
2
3
 = ℎ 
ℎ =
350
175
2
3 ∗ 𝜋1/3
≈ 7,64 
é a altura que minimiza a quantidade de alumínio.